1-1 q 1-1 q 1-1 q 1-1 q i constituyen una sucesi´on creciente no acotada, y con ello la funci´on dada no es de q-variaci´on acotada en el intervalo cerrado [0,1]. Para calcular ahora la q-variaci´on de la funci´on (2.1) para un n´umero real q > p, sea p : 0 = t0 < t1 < … < tn = 1 una partici´on cualquiera de [0,1]. Agregando los puntos t1,t2….,t2m+1 con ti = 1 para 1 = i = 2m y t2m+1 = 0 de la partici´on p , se construye una nueva partici´on p : 0 = t0 < t1 < … < ts = 1 con s = n+2m+1 de [0,1]. Entonces se cumple n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q = 2 s j=1 |f(tj) – f(tj-1)|q 1 q . Reordenando la parte derecha de esta desigualdad es n i=1 |f(ti) – f(ti – 1)|q 1 q = 2 2m jk+1 k=1 j=jk+1 |f(tj) – f(tj – 1 )|q 1 q , donde la suma interior se desarrolla sobre todos los subintervalos de la partici´on p que est´an en el intervalo [tk,tk+1] de la partici´on p . Es claro que la funci´on dada es mon´otona en cada subintervalo de la partici´on p . Entonces la funci´on f pertenece a los
conjuntos V1[tk,tk+1] (k = 1,…,2m), y por tanto a Vq[tk,tk+1] para q > 1. As´i se obtiene n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q = 2 2m k=1 Vqq(f;tk,tk+1) 1 q , o sea, n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q = 2 2m k=1 |f(tk+1) – f(tk)|q 1 q . Pero la parte derecha de esta desigualdad se corresponde en este caso a la serie arm´onica (2.2), que converge para q > p. De aqu´i se deduce entonces n |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q < 8, i=1 para toda partici´on de [0,1] y q > p, y con ello la funci´on dada es de q-variaci´on acotada en el intervalo cerrado [0,1] para todo n´umero real q > p. Q.e.d. Del
producto de?nido en Vp y la expresi´on del m´odulo de p-continuidad se deduce siguiente teorema. 32
Teorema 2.4 Cp es un ideal de Vp. Demostraci´on: Sean f ? Cp y g ? Vp, entonces n +8 p 1 p ?p(d)(f * g) = supsup K d? = supsup K d? i=1 +8 -8 -8 n i=1 ((f * g)(ti – t) – (f * g)(ti-1 – t))dg(t) |(f * g)(ti – t) – (f * g)(ti-1 – t)|p|dg(t)|p 1 p = ?p(d)(f) · ?p(d)(g). Pero ?p(d)(f) ? 0 cuando d ? 0, por lo que (f * g) ? Cp, lo cual demuestra el teorema. Q.e.d. 1 g(t) = Las siguientes observaciones establecen una importante relaci´on entre el ´algebra de las
funciones absolutamente integrables con la unidad adjunta La y el ´algebra de las funciones de variaci´on acotada (para de?nici´on de ´algebra con unidad adjunta ver [6]). Sea g(t) ? C1 ? V1 ? Vp. Entonces g(t) es diferenciable y su derivada es tal que t -8 g (t)dt. De ello se deduce que g 1 = +8 -8 |g (t)|dt = g 1 La, pues g 1 = supsup K ? n i=1 |g(ti) – g(ti-1)| K = supsup ? n i=1 | ti ti-1 g (t)dt| = +8 -8 |g (t)|dt = g 1 La. 1 g(t) = Adem´as, el producto de funciones absolutamente continuas corresponde con el pro- ducto de sus
derivadas como funciones de La. Es decir, si +8 -8 g1(t – t)dg2(t), 33
entonces se cumple g (t) = +8 -8 g1(t – t)g2(t)dt. 1 ? (t) + De lo anterior se deduce que si se asigna a cada ?e + f(t) ? La la funci´on t f(?)d?, 1 1 -8 se obtiene un isomor?smo isom´etrico del ´algebra La en el ´algebra V1, por lo que La es una sub´algebra de V1. 2.2. El teorema de representaci´on Sea ahora f(t) ? Vp. Resulta sencillo comprobar que la integral F(s) = +8 eistdf(t) -8 existe para todo s ? R. Esta integral es llamada transformada de
Fourier-Stieltjes de la funci´on f(t). Es claro que la adici´on y la multiplicaci´on por un escalar de una funci´on de Vp corresponden con las de su transformada de Fourier-Stieltjes. La convoluci´on de funciones en Vp, (como com´unmente se designa al producto sobre esta ´algebra), corresponde tambi´en con el producto de sus transformadas +8 -8 eistd +8 -8 f(t – u)dg(u) = +8 -8 +8 -8 eistdf(t – u) dg(u) = +8 -8 +8 -8 eis(t-u)df(t – u) eisudg(u) = +8 -8 eistdf(t) +8 -8 eisudg(u) De esta manera, haciendo corresponder a cualquier funci´on f(t) ? Vp el
valor de su transformada de Fourier-Stieltjes en cualquier punto ?jo s0, se obtiene un homo- mor?smo del ´algebra Vp en el campo de los n´umeros complejos. El ideal generado por este homomor?smo se denota por Ms0. Entonces f(Ms0) = +8 -8 eis0tdf(t) = F(s0). N´otese que si s1,s2 ? R con s1 = s2, existe al menos una funci´on absolutamente continua tal que g(Ms1) = g(Ms2). 34
Sea f(t) ? Vp, tal que f(t) ? Ms para todo s ? R, (es decir, f(Ms) = F(s) = 0). La funci´on gh(t) = ? ? ? t 0 1 + h 1 t < -h -h = t = 0 t> 0 es absolutamente continua. Entonces por el lemma 2.4, la funci´on (f * gh)(Ms) = 1 h h 0 f(t + t)dt tambi´en es absolutamente continua. De aqu´i que (f * gh)(Ms) = f(Ms)gh(Ms) = 0. Entonces, por el teorema de unicidad de la transformada de Fourier en L1 se tiene que (f * gh)(t) = 0 para todo t ? R. Pero (f * gh)(t) ? f(t) cuando h ? 0, por lo que se concluye que f(t) = 0. De lo anterior se deduce que f(t) ? Vp est´a un´ivocamente determinada por su trans- formada de Fourier-Stieltjes y que el radical Rad(Vp) = {M; M ? MVp} de Vp es ´ ´ vac´io, o lo que es lo mismo, Vp es un ´algebra semisimple. Al ser Vp semisimple, la transformada de Gelfand es un isomor?smo de Vp en un subespacio de C(MVp), donde C(MVp) es el ´algebra de todas las funciones continuas con
valores complejos de?nidas sobre el espacio de ideales maximales de Vp. Como MVp es Hausdor? compacto, se tiene C(MVp) = C0(MVp) (ver, por ejemplo, [7]), por lo que el teorema de representaci´on de Riesz garantiza la existencia de una unica medida regular µ ? MR(MVp) de?nida sobre MVp para cada funcional lineal continuo F sobre C(MVp). Considerando para cada funcional lineal continuo F sobre C(MVp) su restricci´on al correspondiente subespacio isomorfo a Vp, se cumple entonces el siguiente teorema. Teorema 2.5 (de representaci´on) Para cada funcional lineal y continuo F de?nido sobre Vp existe una unica medida regular µ tal que F(f) = MVp fdµ, ?f ? Vp y se cumple F = µ . 35
Este teorema garantiza la posibilidad de identi?car al dual de Vp con el espacio de las medidas regulares de?nidas sobre MVp. La integraci´on indicada en el teorema se efect´ua sobre el espacio de ideales maximales de Vp, del cual no se tiene una carac- terizaci´on. En el siguiente cap´itulo se presentan algunas observaciones sobre el espacio de ideales de Vp, las cuales pudieran constituir la base en la b´usqueda de una caracterizaci´on de MVp. 36
´ Cap´itulo 3 ACERCA DE LOS IDEALES DE Vp Este cap´itulo estar´a dedicado al estudio del espacio de los ideales de Vp. Como se mencion´o anteriormente, la importancia de este estudio radica esencialmente en la necesidad de obtener una caracterizaci´on de MVp para la integraci´on en el teorema 2.5. Definicion 3.1 Un ´algebra topol´ogica es un espacio topol´ogico lineal dotado de una multipli- caci´on asociativa tal que para toda vecindad Ua del origen existe otra vecindad Uß2 del origen, tal que Uß2 ? Ua. Teorema 3.1 Vp es un ´algebra topol´ogica. Demostraci´on: Sea Ua ? F una vecindad del origen en Vp, entonces para toda f ? Ua es f p = n |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p < a, ti ? p, ?i = 1,…,n, i=1 siendo p una partici´on cualquiera de K y K un compacto cualquiera de R. Si se selecciona Uß2, tal que ß2 < a, entonces para todas g1,g2 ? Uß2 se tiene que g1 * g2 p = g1 p g2 p < ß2 < a, lo cual demuestra la proposici´on. Q.e.d. 38
´ ´ fh = c Definicion 3.2 Se dice que un subconjunto no vac´io S de un ´algebra topol´ogica A est´a consti- tuido por divisores topol´ogicos de cero si y s´olo si existe una sucesi´on {zn} ? A que cumple que zn = 1 para toda n, tal que l´imznf = 0, n para toda f ? S. Definicion 3.3 Un elemento f ? A, siendo A un ´algebra topol´ogica, se dice dominado por los elementos g1,…gn si existe una constante c > 0 tal que para todo h ? A se tiene n gih . ´ / i=1 En este caso suele escribirse f < (g1,…,gn). Se dice que f ? A es dominado por un ideal I ? A si f < (g1,…,gn) para alguna n-´upla de elementos de I. En este caso se escribe f < I. Se dice que un ideal I posee la
propiedad de dominaci´on si la relaci´on f < I implica que x ? I. Definicion 3.4 Sea A un ´algebra topol´ogica. Se dice que un ideal I ? A puede ser separado de un elemento x0 ? I si existe una sucesi´on {gn} ? A, tal que gnf ? 0 para todo f ? I y gnx0 0. / |(f * g)(t) – (f * g)(t0)| = Se dice que dos ideales I1 e I2 pueden ser separados si uno de ellos puede ser separado de todos los elementos del otro. Un ideal I tiene la propiedad de separaci´on si puede ser separado de cualquier elemento h ? I. Teorema 3.2 El subespacio CVp de las funciones continuas de Vp es un ideal. Demostraci´on: Sean f ? CVp y g ? Vp. Sea adem´as t0 ? R un punto arbitrario de R tal que |t – t0| < d para d > 0. Entonces +8 (f(t – t) – f(t0 – t))dg(t) |(f * g)(t) – (f * g)(t0)| = e -8 y como f es continua, para todo e > 0 existe d > 0 tal que para |t-t0| < d se tiene |f(t) – f(t0)| < e. Luego, se cumple +8 -8 dg(t). 39
Haciendo ahora e = +8 -8 dg(t) e se demuestra la proposici´on. Q.e.d. El ideal de las funciones absolutamente p-continuas tiene en el espacio de los ideales de Vp una
estructura singular, los resultados siguientes veri?can esta a?rmaci´on. Teorema 3.3 Cp es un ideal formado por divisores topol´ogicos de cero. Demostraci´on: Sea {fn} ? Vp la sucesi´on fn(t) = 1 1 0 = t = n 0 en otro caso . Es claro que fn ? Vp para todo n ? N y que fn = 1. Sea ahora g ? Cp. Entonces (fn * g)(t) = = = +8 -8 +8 -8 1/n 0 fn(t – t)dg(t) g(t – t)dfn(t) g(t – t)dfn(t) = l´im n n i=1 g(t – ?i)[fn(ti) – fn(ti – 1)], 1 donde los ti son puntos de una partici´on del intervalo de integraci´on y ?i ? [ti-1,ti] para i = 1,…,n. Si se toma ?i = ti, es claro que el l´imite anterior es igual a g(t) – g(t – n) y si n ? 8, como g es continua, se tiene que (fn * g)(t) ? 0, Q.e.d. lo cual demuestra la proposici´on. Teorema 3.4 Todos los elementos de Vp estan dominados por Cp. 40
Demostraci´on: Sea la funci´on gn(t) = ? ? ? 1 1 0 t < -n 1 + nt -n = t = 0 . 1 t> 0 Se comprueba f´acilmente que gn(t) ? Cp para todo n. Es claro que (gn*f)(t) ? f(t) cuando n ? 8. De aqu´i que existe N tal que (gm * f)(t) = f(t) para todo m > N. Sea ahora f0 ? Vp un elemento ?jo arbitrario. Entonces f0 * g p = gmk * g * f0 p si mk > N, g ? Vp. Considerando entonces para n > N la n-´upla (g1,…,gn), para todo m tal que N < m = n se cumple que f0 * g p = gm * g p f0 p. Luego f0 * g p = f0 p n – N n m=N+1 gm * g p, lo cual demuestra la proposici´on. Q.e.d. Los dos siguientes teoremas se deducen de manera inmediata de resultados que aparecen en [19]. Teorema 3.5 CVp posee la propiedad de dominaci´on y la propiedad de separaci´on. Demostraci´on: Este resultado es consecuencia inmediata del teorema 4.11 de [19], a partir de se- leccionar Za = fa. De aqu´i que, por el teorema 4.12 de [19], CVp tiene tambi´en la propiedad de separaci´on Q.e.d. Teorema 3.6 Para un elemento ?jo f ? Vp, los ideales I = {g ? Vp; g * f = 0} son de la forma I = {M ? L(Vp); I ? M}, donde L(Vp) = MVp I ?(Vp), I tal que ?(Vp) es el conjunto de los ideales de Vp formados por divisores topol´ogi- cos de cero. 41
Demostraci´on: Al ser Vp semisimple, este resultado es consecuencia inmediata de la proposici´on 4.38 de [19]. Q.e.d. ´ Teorema 3.7 Los unicos ideales maximales que no contienen a Cp son los Ms con s ? R. Demostraci´on: Sea M = Ms, tal que M Cp. Sea tambi´en FM el funcional asociado a M. Como M Cp, existe g ? Cp tal que FM(g) = 0. De aqu´i que Fs(g)FM(g) = ?MFs(g), con ?M ? C y ?M = FM(g). ´ Por otro lado, g es un divisor topol´ogico de cero, por lo que fn * g ? 0 cuando n ? 8, (fn se considera como en el teorema 3.3). Luego, Fs(g * fn) = Fs(fn)Fs(g). Restando las dos ultimas
ecuaciones es Fs(g)FM(g) – Fs(g * fn) = ?MFs(g) – Fs(fn)Fs(g). De aqu´i que Fs(?Mg) = Fs(g)[Fs(?M – fn)], y pasando al l´imite cuando n ? 8 se obtiene Fs(?Mg) = Fs(?Mg) – Fs(g)Fs(l´imfn). Entonces es Fs(g)Fs(l´imfn) = 0. Por otro lado l´imfn = H(t) = 1 t =0 0 en otro caso . / Como Fs(H(t)) = 0 para todo s ? R, lo cual se comprueba f´acilmente, se tiene en- tonces que Fs(g) = 0, de donde se deduce que si g ? Cp y g ? M, entonces g ? Ms y por tanto, Cp M ? Ms. Se considera ahora el ideal generado por M y Cp M, o sea M,Cp M , y se com- prueba que no constituye toda el ´algebra Vp, por lo que M no es maximal. 42
Si M,CpM = Vp, entonces ? M,CpM y puede escribirse como = am+ßmp tal que a,ß ? C, m ? M y mp ? Cp M. De aqu´i que – am = ßmp. Multiplicando esta expresi´on por la conocida fn es ( – am) * fn = ßmp * fn. Pasando al l´imite cuando n ? 8 y teniendo en cuenta que mp es un divisor topol´ogi- co de cero, se cumple que ( – am) * H = 0; l´imfn = H. Luego, H = am * H, por lo que am = . Pero como m ? M, entonces am ? M, lo cual contradice que M es un ideal maximal, quedando as´i demostrado el teorema. Q.e.d. ˜ Este resultado ofrece una informaci´on de peso en la b´usqueda de una caracterizaci´on del espacio de los ideales maximales de Vp. De ´el se deduce que una parte de los ideales de MVp son generados por la transformada de Fourier-Stieltjes, por lo que est´an totalmente caracterizados por ´esta, mientras que los restantes ideales de MVp son los que contienen a Cp. Finalizando este
trabajo, queda a´un abierto el problema sobre la descripci´on com- pleta y rigurosa del espacio de ideales maximales del ´algebra de las funciones de p-variaci´on acotada. Sin embargo, no resulta ocioso senalar que ´este es un problema particularmente dif´icil, a partir de la di?cultad de la cuesti´on an´aloga para el ´algebra de las fun- ciones de variaci´on acotada, re?ejada en la obra de Gelfand [4], donde se considera abierto el problema de la descripci´on general de los ideales maximales de V1. Esto tambi´en se
muestra en el ejemplo que se describe a continuaci´on (ver [3]): Sea G un
grupo abeliano localmente compacto, y M(G) el espacio de Banach de las medidas de Baire sobre G, con la norma de la variaci´on total. La convoluci´on µ * ? de dos medidas µ, ? ? M(G) est´a de?nida sobre conjuntos de Baire E por (µ * ?)(E) = G µ(E – x)d?(x). 43
Con la convoluci´on como multiplicaci´on, M(G) es un ´algebra de Banach conmuta- tiva. El ´algebra M(G) tiene como
identidad a la masa puntual del grupo. La cor- respondencia f ? fds sumerge a L1(G) isom´etricamente como ideal cerrado en M(G). Respecto a este ejemplo plantea Gamelin: ”The maximal ideal space of M(G) is horrible, unless G is discrete”. 44
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES ´ estudio del problema de la dualidad del espacio de las funciones de p-variaci´on aco- tada. Para ello se generaliza la de?nici´on de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada y de funciones absolutamente p-continuas de [16] al caso de funciones com- plejas de variable real. Entre las propiedades de los espacios Vp y Cp, aqu´i de?nidos, se destacan la de- mostraci´on de que Vp es una ´algebra de Banach conmutativa unitaria y semisimple y que Cp es un ideal de Vp compuesto por divisores topol´ogicos del cero. El resultado de mayor importancia en el segundo cap´itulo es el Teorema de Repre- sentaci´on que permite indenti?car al espacio dual de Vp con el espacio de las medidas regulares sobre el espacio MVp de ideales maximales de Vp a trav´es de una integral de Lebesgue. El no tener una caracterizaci´on adecuada del espacio MVp de ideales maximales de Vp conduce a la necesidad de su estudio en el tercer cap´itulo, donde se presentan algunos resultados sobre la estructura del espacio de ideales de Vp y se caracteriza parcialmente al espacio MVp, clasi?cando a sus elementos como los ideales generados por la transformada de Fourier-Stieltjes (totalmente caracterizados por ella) y los ideales que contienen a Cp. En este punto se comenta la di?cultad de obtener una caracterizaci´on completa del espacio de ideales maximales de Vp. 46
RECOMENDACIONES En [3] se de?ne la topolog´ia “envoltura-n´ucleo” (hull-kernel) sobre el espacio de ideales maximales de un ´algebra de Banach conmutativa y unitaria y se estudia su relaci´on con la topolog´ia de Gelfand. Resulta sencillo comprobar que el conjunto de los ideales Ms es denso en MVp con la topolog´ia “envoltura-n´ucleo”. Esto indica como l´inea de trabajo futura el estudio de propiedades similares en la topolog´ia de Gelfand, lo cual podr´ia contribuir a la caracterizaci´on del espacio de ideales maxi- males de Vp. Tambi´en resultar´ia de inter´es, tanto por su valor anal´itico intr´inseco, como por su posible aplicaci´on pr´actica, el estudio de la teor´ia espectral en estos espacios. Igualmente se podr´ia generalizar el estudio al caso de operadores en espacios de Banach. 47
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