´ ´ ´ Universidad de La Habana Facultad de Matematica y Computacion Departamento de Matematica ´ ´ ´ ´ ´ DE LAS FUNCIONES ´ Tesis presentada en opcion al grado de Licenciado en Matematica Autor: Rolby Milian Perez Tutor: Dra. Rita Roldan Inguanzo Ciudad de La Habana 2008 
RESUMEN En el presente trabajo se estudia el problema de la dualidad del espacio de las funciones de p-variaci´on acotada (Vp, p > 1), de?nidas sobre R y con valores en C, considerando su estructura de ´algebra de Banach conmutativa y unitaria. Se prue- ba que Vp es un ´algebra semisimple y se obtiene un teorema de representaci´on que conduce a la exposici´on de algunos resultados sobre el espacio de ideales. ABSTRACT In this paper it had studied the problem of the duality of the space of functions of p-bounded variation (Vp, p > 1), with domain R and values in C. It had considered the structure of conmutative Banach Algebra with unitary element. Here will be proved that it‘s a semisimple algebra and be presented a representation theorem that conduce to the explanation of some ones results about the ideals space. III 
˜ ˜ ´ En la Enciclopedia de la Matem´atica (ver [12]), se declara al An´alisis Funcional como la parte del An´alisis Matem´atico moderno, cuyo objetivo principal es el estudio de las funciones y = f(x), cuyas variables (o al menos una de ellas) var´ian en un espacio de dimensi´on in?nita. Tal estudio se divide en tres partes: (i) Determinaci´on y estudio de los espacios in?nitos. (ii) Estudio de las funcionales. (iii) Estudio de los operadores. De esta manera, para describir de manera compacta la historia del An´alisis Fun- cional, conviene enfatizar en la evoluci´on de dos conceptos: teor´ia espectral y du- alidad. Respondiendo a los intereses de este estudio, se describe a continuaci´on de modo breve el desarrollo del concepto de dualidad. El problema de la dualidad de espacios de funciones data de los or´igenes del problema de momentos en la Teor´ia de las Probabilidades. La relaci´on de este problema con la Teor´ia de las Probabilidades fue senalada por el matem´atico ruso Tschebyche? (1821-1894), quien comenz´o sus estudios en este sentido alrededor del ano 1855. Tschebyche? consider´o las integrales +8 f(x)xndx, (n = 1,2…), -8 donde f es una funci´on no negativa. Estos son los momentos de la distribuci´on en (-8,+8) de la funci´on de densidad f. N´otese que a´un no se de?nen los momentos en t´erminos de una integral de Stieltjes. Este tipo de integrales fueron introducidas por Stieltjes (1856-1894) en 1894, cuando trabajaba con fracciones continuas. Para este momento Tschebyche? hab´ia resuelto el problema, considerando integrales en la forma anterior para x ? [0,1]. Sin embargo, es con los trabajos de Hadamard (1865-1963) y de Riesz (1880-1956), donde se evidencia que el problema de momen- tos puede ser formulado como el problema de la existencia, en un espacio lineal, de una funcional lineal, que toma determinados valores para una sucesi´on dada de elementos del espacio. Tomando estos elementos como fn(x) = xn, se obtiene el problema de momentos. Una generalizaci´on de este problema conduce a la teor´ia de 2 
dualidad en espacios de Banach. Respecto a la representaci´on de funcionales lineales continuos, se puede mencionar a Hadamard (ver [17]), quien ataca el problema de representar los funcionales lineales y continuos sobre C[a,b] (para ´el la continuidad de un funcional U signi?ca que U(fn) tiende a U(f) cuando fn tiende a f uniformemente). Hadamard selecciona una funci´on ?ja F tal que si para todo f ? C[a,b] se tiene b a f(x) = l´im n uniformemente en x, entonces U(f) = l´im n f(t)F(n(t – x))dt b a f(t)Fn(t)dt, ´ ´ U(f) = donde Fn(t) = U[nF(n(t – x))]. De esta manera, la elecci´on de F es arbitraria. En 1904, Frechet (1878-1973) presenta una nueva demostraci´on del teorema de Hadamard y comienza a investigar problemas similares sustituyendo a C[a,b] por otros espacios de funciones. Tan pronto como comenz´o el estudio del espacio de Hilbert, Frechet y Riesz independientemente demuestran que para toda funcional lineal f continua sobre l2 existe un unico elemento x0 ? l2 tal que f(x) = x,x0 para toda x ? l2. Tal resultado se conoce como Teorema de Riesz-Frechet o Teorema de Representaci´on de Riesz (ver, por ejemplo, [7]). En 1909, Riesz obtiene el Teorema de representaci´on de funcionales de?nidas y continuas sobre C[a,b] con la topolog´ia de la convergencia uniforme, logrando as´iuna mejora considerable del Teorema de Hadamard, al liberarse de la arbitrariedad de la sucesi´on Fn. Ello se logra a trav´es de las integrales de Stieltjes. Riesz demuestra (ver, por ejemplo, [9]) que toda funcional lineal continua U : C[a,b] ? R puede ser escrita de modo unico como b f(x)da(x), a donde a(x) es una funci´on de variaci´on acotada en [a,b]. Para ´el, una funci´on de variaci´on acotada es la diferencia de dos funciones mon´otonas no decrecientes. De esta forma se puede identi?car al espacio dual de C[a,b] con el espacio de las fun- ciones de variaci´on acotada. Este teorema signi?c´o un gran avance en las ideas de dualidad, ya que como las funciones de variaci´on acotada pueden ser discontinuas s´olo en un conjunto numerable de puntos, resulta imposible identi?car a las fun- cionales lineales co
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