Estructuras semánticas de los problemas de multiplicación y división (página 2)

§    simbólicos, que se caracterizan por la brevedad y en ellos prevalecen el empleo de signos y notaciones matemáticas y

§   con texto: son los que describen relaciones cuantitativas que existen entre objetos en un lenguaje no simbólico, común.

Ahora bien, estos últimos se sub-dividen en:

-          matemático si el texto que emplea es del lenguaje propio de esta asignatura y

-          no matemático o común si su texto es el empleado en la vida, en la práctica y no en el lenguaje propio de la Matemática.

Ahora bien ¿qué es una estructura semántica?

De acuerdo a la Enciclopedia Electrónica: Encarta 2001 se tiene que el término semántica se define como la "parte de la lingüística que estudia la significación de las palabras". Tiene otra acepción como adjetivo: "relativo a la significación: valor semántico de una palabra"[1].

La comunicación descansa sobre el supuesto que los hablantes comprendan las palabras del mismo modo. Pero toda palabra es significativa, aparece en determinado contexto y situación espacio-temporal que incluye al hablante y al oyente. El contexto y la situación sirven para determinar el significado del mensaje.

Con respecto a la expresión "estructura semántica", en la literatura lingüística consultada solo hemos encontrado referencia explícita sobre la misma en el texto de J. Lyons (1973) que apunta: "el vocabulario de una lengua contiene una cantidad de sistemas léxicos  cuya estructura semántica puede describirse a base de relaciones de sentido paradigmáticas y sintagmáticas"[2].

Este mismo autor  precisa: "por sentido de una palabra entendemos el lugar que ésta ocupa en un sistema de relaciones que ella misma contrae con otras palabras del vocabulario"[3]. 

Las relaciones sintagmáticas (horizontal) son las que se establecen con el resto de las palabras en la cadena hablada en una sucesión temporal que están presentes. No siempre se admite variaciones en el orden de las palabras sin que pierdan sentido. Por el contrario, las relaciones paradigmáticas (vertical) son las que se establecen entre una palabra y todas aquellas que podrían ocupar la misma posición en la cadena hablada que están ausentes.

¿Qué se entiende por "estructura semántica de los problemas simples con texto?"

La mayoría de los trabajos consultados relacionados con este tipo de estructura, no se propusieron conceptualizar sobre la misma. En el artículo de Lozada de M. de Oca, A. (1994) se tiene la aserción: "La estructura semántica de una expresión o frase se refiere al contenido semántico de la misma, esto es el significado de cada una de las palabras que ensamblado resulta el significado de las oraciones y de la expresión completa"[4].

Se puede apreciar que esta definición es tautológica al contener un círculo, o sea, que el concepto es definido mediante el definidor y viceversa. Tampoco particulariza en el concepto concreto que nos interesa caracterizar.

Otros afirman: "Una categoría semántica está constituida por la conceptualización del sentido de un conjunto de situaciones, reducibles a procedimientos similares de abstracción"[5].  Con anterioridad habían hecho referencia a que las categorías semánticas se refieren a las estructuras semánticas aditivas o multiplicativas. De lo anterior se infiere que el concepto de categoría semántica está subordinado al de estructura que es más particular; además la definición dada es demasiado general para ajustarse estrictamente al concepto que pretende definir.  

En este trabajo se asumirá que la estructura semántica de los problemas aritméticos simples con texto es cada uno de los diferentes modelos lingüísticos, con énfasis en el significado, que pueden adoptar estos problemas para darles salida a los significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con números naturales. 

También hay que tener en cuenta lo que se denomina campo semántico, considerando que: "…engloba palabras cuyo significado tienen relación entre sí, ya sea una actividad, un arte, una ciencia, etc. Ejemplo: campo semántico de asiento: sillón, sofá, taburete, silla."[6].

Estructuras semánticas de los problemas de multiplicación o división:

"Las estructuras semánticas de multiplicación en el dominio de los problemas orales de un solo paso pueden ser divididos en cuatro clases: Estas clases coinciden con las clases de las estructuras semánticas de la división"[7]].

En una nota aclaratoria ellos asumieron por problemas orales a los "… referidos a un contenido no matemático"[8].

Todo el estudio que se realiza en el referido documento está destinado a las estructuras multiplicativas, aclarando que por cada estructura multiplicativa se pueden distinguir dos versiones para la división, siempre que los factores de la multiplicación  jueguen diferentes roles.

Un aspecto a perfeccionar, es el relacionado a las definiciones o caracterizaciones de cada una de estas estructuras, pues los autores se limitan a plantear un ejemplo y después enumerar algunos de sus aspectos distintivos.

La primera de las clases es la más amplia y abarca otras cinco subclases: "Todo problema de esta clase…tiene en común lo siguiente: Un factor, el multiplicando, es una medida g1, o especialmente un número cardinal finito. El segundo factor, el multiplicador, es un operador O que  forma el enésimo múltiplo de g1. O aparece como un número "puro", una cantidad sin dimensión. El producto g2 es una medida de la misma clase que el primer factor. Esto es llamado el g1 – O – g2 modelo de multiplicación y división"[9].  Después se refieren a dos de esos elementos son conocidos y el tercero desconocido; en dependencia de cual es la incógnita se tendrá una de multiplicación o división.

La primera de estas sub-clases es denominada "estructura de parte-todo" y es descrita por dichos autores así: "…O significa un número cardinal… y la misma medida g1  que está presente simultáneamente. g2 es representada por la unión de g1. g1 y g2 pueden ser cardinales o cantidades de magnitud"[10].

Conviene establecer otra denominación más práctica para esta estructura, definida en un lenguaje más sencillo en correspondencia con los significados de las operaciones de la multiplicación antes precisados y que sirven de fundamento a las mismas. De hecho, estos autores no hacen referencia a este tipo de significados. Esta  estructura se pudiera llamar, como lo hizo Greer (1987): de "grupos iguales" y  quedaría así:

 Los PROBLEMAS DE GRUPOS IGUALES (GI) se caracterizan por establecer relaciones entre un todo, la cantidad de partes iguales en que se ha dividido el mismo y el contenido de cada una de las partes. Se tendrían tres clases en dependencia  que lo desconocido sea uno de los aspectos mencionados en la definición:

GI 1: (Total desconocido):

         Amelia tiene 8 cajas de lápices con 10 lápices  en cada una. ¿Cuántos lápices tiene en total?                        8 . 10 = ?

GI 2: (Contenido desconocido):

         Amelia tiene 80 lápices y quiere repartirlos por igual en 8 cajas. ¿Cuántos lápices   tendrán cada caja?         80 : 8 = ?

GI 3: (Partes iguales desconocida):

         Amelia tiene 80 lápices y quiere colocarlos en cajas de 10 lápices cada una. ¿Cuántas cajas necesitará para envasarlos?     80 : 10 = ?

Se coincide con estos autores que en esta estructura usualmente no aparecen las palabra "tiempo" o  "vez"; pero se emplea con frecuencia el vocablo "cada".

La segunda de las sub-categorías la llaman "estructura de repetición" que es caracterizada así: "…O significa el número cardinal de repetición de una acción. Con cada repetición un representante adicional de g1 ocurre. Un representante de g2 es sucesivamente descompuesto separando los representantes de g1"[11].  

En este caso se mantiene la denominación, pero expresándolo en un lenguaje más asequible:

Los PROBLEMAS DE REPETICIÓN ® son aquellos que en su interpretación inicial nos conduce al planteamiento de operaciones sucesivas de adición (de iguales sumandos) o de sustracción (de iguales sustraendos). Se tendrían tres sub-categorías en dependencia de si la operación sucesiva es de adición o de sustracción (una para cuando la cantidad. de veces es desconocida y la otra si el sustraendo es desconocido):

Suma de sumandos iguales:

R 1: Cada vez que Antonio visita a sus abuelos le lleva 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos  habrá llevado cuando vaya 20 veces?

Restas sucesivas de iguales sustraendos:

a)             Cantidad de veces desconocida:

R 2: Antonio tiene 120 caramelos. Si cada vez que él visita a sus abuelos le lleva 6        caramelos. ¿Cuántas visitas deberá hacer para entregar esa cantidad de caramelos?      120 – 6 – 6 – … = 0    o sea 120 : 6 = ?

b)            Sustraendo desconocido:

R 3: Antonio tiene 120 caramelos. Si cada vez que él visita a sus abuelos le lleva la misma cantidad y él va 20 veces al mes. ¿ Cuántos caramelos le lleva en cada viaje?   

En este tipo de categorías se emplea con frecuencia los términos "veces", "cada vez", "todas las veces", entre otros de su mismo campo semántico.

Se considera que las distintas estructuras semánticas establecidas o por puntualizar, son diferentes categorías o tipos y no constituyen una clasificación o división en clases, pues las clases no son disjuntas. Sin embargo, como se verá en estas dos últimas estructuras no siempre es posible determinar con precisión cuando un problema dado pertenece a una categoría o a otra (de hecho esto no tiene repercusiones negativas para el proceso de enseñanza-aprendizaje, todo lo contrario permite desarrollar diversos puntos de vistas y defenderlos). Se Ilustrará estos planteamientos con el siguiente ejemplo:

·           Un jardinero siembra en un cantero 12 filas de lechugas. Si en cada uno de ellos planta 10 de ellos. ¿Cuántas lechugas él ha sembrado en total?

Si se hace énfasis solamente en el resultado de la actividad (que en este caso es sembrar) el problema sería de grupos iguales, pero si además nos interesa el desarrollo o el proceso de la actividad entonces lo consideraríamos de repetición.

Esta ambigüedad podría salvarse si estableciéramos que en los casos que lo requieran se considerará tanto el resultado como el desarrollo de la actividad.

La  tercera clase que introducen es "la estructura de cambio multiplicativo" que se explica de la siguiente forma: "O significa un proceso que transforma un representante de g1 en un representante g2"[12]. Estos problemas, por lo general, se caracterizan por establecerse en ellos relaciones de divisibilidad, que estaría representada por lo que ellos denominan operador O. Aquí se denominará simplemente de divisibilidad:

  Los PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD (Dv) se caracterizan por establecer relaciones entre una cantidad y su múltiplo o divisor.

A diferencia de los autores de referencia, donde de manera implícita, solamente determinan tres sub-categorías, en nuestro caso se tendrían seis, en dependencia de que lo desconocido sea: un múltiplo (divisor), el número conocido   un múltiplo (divisor) de él o qué múltiplo (divisor) es un número de otro:

Los autores de referencia solo consideran los problemas dinámicos como los que siguen:

b) dinámicos:

Dv 1: Una granja agropecuaria inició la producción con 1 000 cerdos. Durante su primer año se triplicó esa cantidad. ¿Cuál fue la producción de la granja al final de ese año?

Dv 2: Una fábrica en su primer año de trabajo tuvo $ 3000 de gastos. Al finalizar el segundo año redujo los mismos a la tercera parte respecto al primero. ¿A cuánto ascendieron los gastos en ese segundo año de labor?

Dv 3: Al finalizar el primer año de trabajo la producción de una granja agropecuaria fue de  3 000 cerdos. Esa cantidad representa el triplo de lo que tenía al comienzo del año. ¿Con cuántos cerdos inició su reproducción?

Dv 4: Al finalizar el segundo año de trabajo de una fábrica tuvo $ 1 000 de gastos. Esa cantidad representa la tercera parte de lo que gastó durante su primer año de labor.  ¿Cuánto gastó en su primer año de trabajo?

Dv 5: Una granja agropecuaria inició la producción con 1 000 cerdos. Durante su primer año ya tenían 3 000 cerdos. ¿Cuántas veces es la producción al finalizar el primer año de trabajo al compararla con lo que poseía al principio?

Dv 6: Una fábrica en su primer año de trabajo tuvo $ 3 000 de gastos, mientras que en el segundo solo gastó $ 1 000. ¿Qué parte representa lo gastado durante el segundo año al compararlo con lo que gastó en el primero?

Sin embargo, también pueden ser estáticos como se ejemplifican a continuación:

a) estáticos: 

¡Dv 1: (Hallar el múltiplo de un número):

           Pedro tiene 4 años de edad y su hermana Carmen tiene el triplo de su edad. ¿Qué edad tiene Carmen?               3 . 4 = ?

¡Dv 2: (Hallar el divisor de un número):

           Carmen tiene 12 años de edad y su hermano Pedro tiene la tercera parte de su edad. ¿Qué edad tiene Pedro?         12 : 3 = ?

¡Dv 3: (Hallar el número conocido un múltiplo de él):

           Carmen tiene 12 años de edad. Su edad representa el triplo de la de su hermano Pedro. ¿Qué edad tiene Pedro?         12 : 3 = ?

¡Dv 4: (Hallar el número conocido un divisor de él):

           Pedro tiene 4 años de edad. Su edad representa la tercera parte de la de su hermana Carmen. ¿Qué edad tiene Carmen?      4 . 3 = ?

¡Dv 5: (Hallar que múltiplo es un número de otro):

           Carmen tiene 12 años y su hermano Pedro tiene 4. ¿Cuántas veces es la edad de Carmen respecto a la de su hermano?    12 : 4 = ?

¡Dv 6: (Hallar qué divisor es un número de otro):

           Carmen tiene 12 años y su hermano Pedro tiene 4. ¿Qué parte representa la edad de Pedro respecto a la de su hermana?     12 : 4 = ?

Con frecuencia se emplean los términos "doble" "triplo", "mitad", "tercera parte", entre otros de esta misma naturaleza.

Estos últimos ejemplos justifican la NO denominación de cambio multiplicativo, como una extrapolación de la estructura aditiva de cambio, por ser esta última dinámica, pero la multiplicativa NO necesariamente lo es.

La cuarta subclase que indican es "la estructura de comparación multiplicativa" donde se afirma  "O significa una relación estática entre g1 y g2. En la mayoría de los casos los representantes de g1 y g2 son disjuntos"[13]. 

Se mantendría la denominación pero se definiría así:

Los PROBLEMAS DE COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA (CM) son aquellos donde además de establecer una relación de divisibilidad entre las cantidades o conjuntos que intervienen en el mismo, se introduce una semejanza o diferencia cuantitativa entre dos cantidades que intervienen en el mismo.  

Aquí ellos solamente incluyen tres sub-clases porque emplean como expresión comparativa "tantas veces como", que  aunque en nuestro idioma no es muy usado, tiene sentido y lo mantendremos. Existen tres  sub-categorías en dependencia que la incógnita sea: el conjunto comparado, el conjunto referente o el conjunto factor (resultado de la comparación multiplicativa).

Conjunto comparado desconocido:

CM 1: Ana tiene 9 caramelos y  Beatriz tiene cuatro veces tantos como Ana. ¿Cuántos  caramelos tiene Beatriz?          9.4 = ?

Conjunto referente desconocido:

CM 2: Ana tiene 36 caramelos. Ella tiene cuatro veces tantos como Beatriz. ¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?       36 : 4 = ?

Conjunto factor desconocido:

CM 3: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene 36. ¿Cuántas veces tiene Beatriz tantos  caramelos como Ana?        36 : 4 = ?

Aunque ellos afirman que se establece una relación estática, el siguiente ejemplo justifica que también puede ser dinámica:

·           Un ciclista recorrió ayer 5 km., mientras que lo que ha transitado hoy es tres veces tanto como lo que hizo ayer. ¿Cuántos km. ha viajado hoy?

Se ha incluido una variante de esta categoría que es muy usada en el lenguaje cotidiano. La misma se obtiene cuando combinamos los adverbios de cantidad más o menos con un adjetivo, como se ilustra seguidamente:

¡CM 1" : Un peatón camina en una hora 5 km. Un ciclista es 4 veces más rápido que el peatón. ¿Cuántos km. recorre el ciclista en una hora?  4.5 = ?

¡CM 1": Un ciclista recorre 20 km. en una hora. Un peatón es 4 veces más lento (menos  rápido) que el ciclista. ¿Cuántos km. camina el peatón en una hora?  20:4 = ?

¡CM 2": Un ciclista recorre 20 km. en una hora. él es 4 veces más rápido que un peatón. ¿Cuántos km. camina el peatón en una hora?  20:4 = ?

¡CM 2": Un peatón camina en una hora 5 km. él es 4 veces más lento que un ciclista. ¿Cuántos km. recorre el ciclista en una hora? 4.5 = ?

¡CM 3": Un peatón camina en una hora 5 km. mientras que un ciclista recorre 20 km. en ese mismo tiempo. ¿Cuántas veces es más rápido el ciclista que el peatón? 20:5 = ?

¡CM 3": Un peatón camina en una hora 5 km. mientras que un ciclista recorre 20 en ese mismo tiempo. ¿Cuántas veces es más lento el peatón que el ciclista?  20:5 = ?

La última subclase las denominan "estructura de proporción" y la idea central expresada consiste en que en este caso el operador O es sustituido por dos conjuntos de medidas:

G = {g1, g2} y G´ = {e, g} y que entre los elementos de ambos conjuntos se asume una relación de proporcionalidad. Los problemas con esa estructura son conocidos en nuestro país como problemas de proporcionalidad.

Los PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD (P) son aquellos donde intervienen cuatro cantidades que cumplen que dos de ellas pertenecen a una misma magnitud y están expresadas en una misma unidad de medida que al multiplicarlas o dividirlas por otras dos correspondientes de otra magnitud que también tienen una misma unidad de medida, el resultado es constante. De ellas una siempre es igual a la unidad y  otra es desconocida.

Los autores de referencia solamente consideran tres sub-categorías, las relacionadas con la proporcionalidad directa; sin embargo, se incluyen aquí  otras tres, para la proporcionalidad inversa:

Cociente constante (Proporcionalidad directa):

P 1: Si una persona camina como promedio 5 km. en 1 hora. ¿Qué distancia recorre en 3  hrs.?  3.5 =?

P 2: Si una persona camina como promedio 5 km. en 1 hora. ¿En qué tiempo recorrerá 15 km.?   15 : 5 = ?

P 3: Si una persona camina 15 km. durante 3 hrs. ¿Cuál es el promedio de km. que recorre en  una hora?   15:3 = ?

Producto constante ( Proporcionalidad inversa):

¡P 4: Si un alumno necesita 12 días para limpiar un campo de tomates. ¿Cuántos días necesitarán 4 alumnos para realizar la misma labor, al mismo ritmo de trabajo? 12:4 = ?

¡P 5: Si un alumno necesita 12 días para limpiar un campo de tomates. ¿Cuántos alumnos se necesitarán para realizar la misma labor en 3 días, al mismo ritmo de trabajo?  12:3 = ?

¡P 6: Si 4 alumnos necesitan 3 días para limpiar un campo de tomates. ¿Cuántos días         necesitará un alumno para realizar él solo esta labor, al mismo ritmo de trabajo? 3.4 = ?

Entre los problemas de proporcionalidad y los de grupos iguales existe una gran relación. A continuación se enunciarán dos problemas con el mismo contexto, pero donde un ligero cambio de alguna palabra cambia su estructura:

·           Una persona camina a una velocidad promedio de 5 km. por hora. ¿Cuánto recorre en 3 horas? ( grupos iguales)

·           Una persona camina 5 km. en una hora como promedio. ¿Cuántos km recorre en 3 horas? (proporcionalidad)

La segunda clase que Schmidt y Weiser ofrecen en su artículo, como ya se dijo denominan: "la estructura de combinación" donde "los dos factores a y b son cardinales de los conjuntos finitos A y B. El producto a aparece como el número de elementos de A x B"[14].  

Siguiendo el significado en el cual se basan los denominaría de conteo, y se pudieran caracterizar de la siguiente manera:

Los PROBLEMAS DE CONTEO © son aquellos donde se aplica la igualdad card(AxB) = card(a).card(B), (se refieren a las distintas formas de hacer algo).

En esta ocasión se tienen dos sub-categorías en dependencia de que lo desconocido sea card(AxB) o el cardinal de otro de los dos conjuntos, ya que aquí los dos factores juegan el mismo rol, para nuestros efectos.

C 1: (Cardinal del producto cartesiano desconocido):

        Juana tiene 4 blusas y 3 sayas. ¿Cuántas combinaciones distintas podrá ponerse con  ambas prendas de vestir?      4.3 = ?

C 2: (Cardinal de uno de los conjunto desconocido):

        Juana tiene 4 blusas y cierta cantidad de sayas. ¿Cuántas sayas tendrá si en total podrá ponerse 12 combinaciones diferentes          12 : 4 = ?

Los problemas de esta estructura con frecuencia emplean los términos de; "posibles combinaciones", "las combinaciones que pueden ser hechas" o "las distintas formas de hacer algo",  u otras expresiones lingüísticas parecidas.

La penúltima de las estructuras que proponen la denominan "de composición de operadores"; al respecto señalan: "En esta estructura los dos factores y el producto son operadores del mismo dominio de medidas. La multiplicación ocurre como la composición de dos factores. La medida de los múltiplos, los cuales tienen que ser formados, aparecen solo como variables"[15].

Los autores de referencia solamente indican la posibilidad del múltiplo, pero también se deben incluir los divisores como se puede apreciar en la siguiente definición. Además, sería oportuno denominarlos:

Los  PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD REPETIDA (DR) son aquellos donde se aplica la siguiente inferencia; si b = k1.a  y c = k2.b entonces c = k3.a con k3 = k.k2 donde a,b,c son números naturales y k1,k2 k3 son números racionales.                   

Aquí se tendrán seis subcategorías, en dependencia que lo desconocido sea k1, k2 o k3 y de que los mismos sean múltiplos o divisores o sea si kiєN o kiєQ

Lo anterior se ilustra a continuación:

Múltiplo (divisor) compuesto desconocido:

DR 1: Durante su primer año de vida Otto triplicó su peso al nacer; mientras que en el segundo año él duplicó su peso respecto al primer año. ¿Cuántas veces es el peso al  finalizar su segundo año de vida respecto a su peso al nacer?   3.2 = ?

¡DR 2: Una fábrica en su segundo año de trabajo redujo los gastos a la mitad respecto al primer año; mientras que en el tercero disminuyó la tercera parte respecto al segundo año. ¿Qué parte representa los gastos en el tercer año respecto al primero?  2.3 = ?

Primer múltiplo (divisor) desconocido:

DR 3: Durante su segundo año de vida Otto duplicó su peso respecto al primero. Al finalizar su segundo año de vida él sextuplicó su peso respecto al que tuvo al nacer. ¿Cuántas veces es su peso al concluir su primer año de vida con relación a su peso al nacer?     6:2 = ?:

¡DR 4: Una fábrica durante su tercer año de trabajo redujo los gastos a la tercera respecto al segundo año. Al finalizar el tercer año disminuyó los gastos la sexta parte con relación al primer año. ¿Qué parte representa los gastos en el segundo año respecto al primero?  6:3 = ?

Segundo múltiplo (divisor) desconocido:

DR 5: Durante su primer año de vida Otto triplicó su peso al nacer. Al finalizar su segundo año de vida él sextuplicó su peso respecto al que tuvo al nacer. ¿Cuántas veces es su  peso al concluir su segundo año de vida respecto al primer año?   6:3 = ?

¡DR 6: Una fábrica durante su segundo año de trabajo redujo los gastos a la mitad respecto al primer año. Al finalizar el tercer año disminuyó los gastos la sexta parte con relación al primer año. ¿Qué parte representa los gastos en el tercer año respecto al segundo? 6:2 = ?

La última estructura que introducen los autores es la llamada "multiplicación por fórmula" que es aquella en que  dos factores aparecen como cantidad de magnitud. El producto es una cantidad de magnitud  también." [16]

Para comprender esta estructura es necesario poseer conocimientos de diversas disciplinas  y que los alumnos hayan dominado las estructuras anteriores. Es por ello que se comparte el criterio que la misma debe introducirse en el currículo escolar al finalizar la enseñanza primaria. No obstante,  por la incidencia que tiene en la geometría escolar se considera  oportuno introducir la estructura siguiente como un caso particular de la que se acabó de nombrar:

Los PROBLEMAS DE ARREGLOS RECTANGULARES (AR) son aquellos donde intervienen el cálculo del "área" de un "rectángulo", donde los "lados" pueden ser o no un conjunto discreto.

Aquí se tendrían dos subcategorías para el caso que los lados sean un conjunto discreto (subconjunto de los números naturales) y dos también cuando los lados sea un conjunto continuo (subconjunto de números reales). En ambos casos la estructura multiplicativa corresponde al área desconocida y la de la división cuando uno de los lados es desconocido.

"Área" del "rectángulo" desconocida:

¡AR 1:  Los niños de una escuela primaria participaron en un desfile martiano formando un bloque rectangular de 235 niños a lo largo y por 25 niños a lo ancho. Calcula la cantidad de niños que desfilaron en este bloque.  234.25 = ?  

AR 1": Un terreno deportivo rectangular tiene 60 m de largo y 30 m de ancho. ¿Qué área tiene el terreno?  60.30 = ?

"Longitud" de un "lado" desconocida:

¡AR 2: En un desfile martiano participaron 2 500 niños de una escuela primaria formando un bloque rectangular de 100 niños a lo largo. ¿Cuántos niños desfilaron a lo ancho?                2 500 : 100 = ?

AR 2": Un terreno deportivo rectangular tiene un área de 1 800 m2. ¿Cuánto mide su ancho si   tiene 60 m de largo?   1 800 : 60 = ?

En conclusión, el sistema de estructuras semánticas descrito es completo, pues cada problema aritmético con texto simple de multiplicación o división se le puede asignar, al menos, a una de estas estructuras semánticas y cada significado práctico de estas operaciones está representado en las mismas.

Aunque las estructuras semánticas que se han definido se refieren a los problemas simples, existe una estructura que se emplea incorrectamente como una de comparación multiplicativa cuando en realidad se establece una comparación tanto aditiva como multiplicativa, luego es un sencillo problema compuesto. Es por ello se incluirá aquí. La misma se pudiera caracterizar así:

Los PROBLEMAS DE COMPARACIÓN ADITIVA MULTIPLICATIVA (CAM) son aquellos donde se establece una relación de semejanza cuantitativa y al mismo tiempo de divisibilidad entre dos cantidades. En ellos intervienen: conjunto comparado, referente y factor. Existen seis sub-clases en dependencia de cual de los conjuntos anteriores es la incógnita y de si la comparación es por exceso o por defecto.

Conjunto comparado desconocido:

¡CAM 1: Ana tiene 9 caramelos. La cantidad de caramelos que tiene Beatriz es 4 veces mayor que la de Ana. (Beatriz tiene 4 veces más caramelos que Ana). ¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?

4 + 1 = ? (5) ;     9 . 5 = ?

¡CAM 2:  Ana tiene 45 caramelos. La cantidad de caramelos que tiene Beatriz es 4 veces menor que la de Ana. (Beatriz tiene 4 veces menos caramelos que Ana). ¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?

   4 + 1 = ? (5) ;     45 : 5 = ?

                                        Conjunto referente desconocido:

¡CAM 3: Ana tiene 45 caramelos. Esa cantidad de caramelos es 4 veces mayor que los que tiene Beatriz. (Ana tiene 4 veces más caramelos que Beatriz). ¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?

4 + 1 = ? (5) ;     45 : 5 = ?

¡CAM 4: Ana tiene 9 caramelos. Esa cantidad de caramelos es 4 veces menor que los que tiene Beatriz. (Ana tiene 4 veces menos caramelos que Beatriz). ¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?          

        4 + 1 = ? (5) ;     9 . 5 = ?

                                          Conjunto factor desconocido:

¡CAM 5: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene 45. ¿Cuántas veces mayor es la cantidad de caramelos que tiene Beatriz respecto a los de Ana. (¿Cuántas veces tiene Beatriz más caramelos que Ana?)

     45 : 9 = ? (5);     5 – 1 = ?

¡CAM 6: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene 45. ¿Cuántas veces menor es la cantidad de caramelos que tiene Ana respecto a los de Beatriz. (¿Cuántas veces tiene Ana menos caramelos que Beatriz? )

45 : 9 = ? (5);     5 – 1 = ?                   

NOTA:- Las notaciones de las estructuras acompañadas de un asterisco (*) indican que son adecuaciones lingüísticas realizadas por el autor del presente trabajo, mientras que las que se le antepone un signo de admiración (¡) han sido creadas por el propio autor del texto.

Para finalizar se va a presentar un cuadro comparativo del sistema de estructuras de la multiplicación y división que se han acabado de estudiar con las establecidas por otros autores:

BIBLIOGRAFÍA:

1.         CAMPISTROUS L. Y C. RIZO (1996): "Aprende a resolver problemas aritméticos", Editorial Pueblo y Educación, C. Habana,

2.         CAPOTE, M. (2003): "Una estructuración didáctica para la etapa de orientación en la solución de problemas aritméticos con texto en el primer ciclo de la escuela primaria". Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Pinar del Río.

3.         CAPOTE, M. (2005): "La etapa de orientación en la solución de problemas aritméticos para la escuela primaria", Editorial Pueblo y Educación, C. Habana. 

4.         DE TORO, MIGUEL (1968): "Pequeño Larousse Ilustrado", Ediciones Revolucionaria, La Habana.

5.         FISCHBEIN, E,, M. DERI, M. S. NELLO Y M.S. MARINO (1985): "The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division", Journal for Research in Mathematics Education, 16, pp. 3-17, EE.UU. 

6.         GREER, B. (1992): "Multiplication and Division as models of Situation", EN Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning, New York, D.A: Grouws, McMillan, p. 276-295.

7.         LOZADA DE MONTES DE OCA, ANA. (1994): "Análisis de los problemas aritméticos y procesos de solución presentados en el programa instruccional y en algunos textos de matemática a nivel de primer grado",  Revista Enseñanza de la Matemática, Vol, 3, No. 2, Venezuela.

8.         LYONS, JOHN (1973): "Introducción a la lingüística teórica",  Segunda edición corregida,  Teide, Barcelona.

9.         MARTÍNEZ, J., M. AGUILAR Y J.I. NAVARRO (2001): "Los problemas matemáticos en la Educación Primaria", Servicios de Publicaciones Universidad de Cádiz, España, (libro electrónico).

10.      NAVARRO, JOAQUÍN [ET AL] (2000): "Enciclopedia Autodidáctica Interactiva Océano", Tomo I, Grupo Editorial S.A., Barcelona.

11.      SCHMIDT, S. Y W. WEISER (1995): "Semantic structures of one-step word problems involving multiplication or division", Educational Studies in Mathematics 28, Holanda.

12.      VERGNAUD, g. (1983): "Multiplicative Structures", EN Lesh, R. y Landau, M. (Eds), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, p. 127-174. London, Academic Press.

13.       VEST, F. R. (1971): "A catalog of models for multiplication and division of whole numbers", EN Educational Studies in Mathematics, 3, pp.220-228, Holanda.

Autor:

Dr. C. Manuel Capote Castillo

Breve biografía del autor:

Es Doctor en Ciencias Pedagógicas,  Profesor Titular y Consultante de la Universidad Pedagógica "Rafael M. de Mendive" de la provincia de Pinar del Río, Cuba. Es Licenciado en Educación en la especialidad de Matemática. Tiene 40 años de experiencia en la docencia; de ellos 28 en la educación superior. Ha dirigido varios proyectos investigativos relacionados con la enseñanza primaria.  Su tesis de doctorado está relacionada con la etapa de orientación en la solución de problemas aritméticos en la enseñanza primaria. Los aspectos básicos de la misma fueron publicados en forma de libro en el año 2005.

País, ciudad y fecha correspondientes al trabajo realizado:

Cuba, Pinar del Río, abril 2002.

[1] DE TORO, MIGUEL (1968): "Pequeño Larousse Ilustrado", Ediciones Revolucionaria, La Habana, p. 934.

[2] LYONS, JOHN (1973): "Introducción a la lingüística teórica",  Segunda edición corregida,  Teide, Barcelona, p. 455.

[3] IBIDEM; p. 440.

[4] LOZADA DE MONTES DE OCA, ANA. (1994): "Análisis de los problemas aritméticos y procesos de solución presentados en el programa instruccional y en algunos textos de matemática a nivel de primer grado",  Revista Enseñanza de la Matemática, Vol, 3, No. 2, Venezuela, p. 65.

[5] MARTÍNEZ, J., M. AGUILAR Y J.I. NAVARRO (2001): "Los problemas matemáticos en la Educación Primaria", Servicios de Publicaciones Universidad de Cádiz, España, (libro electrónico), p. 66.

[6] NAVARRO, JOAQUÍN [ET AL] (2000): "Enciclopedia Autodidáctica Interactiva Océano", Tomo I, Grupo Editorial S.A., Barcelona, p. 268.

[7] SCHMIDT, S. Y W. WEISER (1995): "Semantic structures of one-step word problems involving multiplication or division", Educational Studies in Mathematics 28, Holanda, p. 56,

[8] IBIDEM, p. 71.

[9] IBIDEM, p. 57.

[10] IBIDEM, p. 57.

[11] IBIDEM, p. 58.

[12] IBIDEM, p. 58.

[13] IBIDEM, p. 58

[14] IBIDEM, p. 59

[15] IBIDEM, p. 69

[16] IBIDEM, p. 61 (Esa magnitud es de un orden mayor que las dadas originalmente. Nota del autor de este libro).