Didáctica de la geometría

Objetivo # 1:

Objetivos específicos y contenidos de geometría

Actividad 1: Haga una lista de los objetivos específicos relacionados con Geometría de cada grado y año del bachillerato conjuntamente con sus contenidos y escriba al lado de cada uno, una actividad de enseñanza.

Solución:

Objetivo # 1:

Cuadro comparativo entre contenidos de geometría de la una y los de bachillerato

Actividad 2: Elabore un cuadro comparativo entre los contenidos de la asignatura Geometría de la carrera Educación Matemática de la UNA y los contenidos de geometría del pensum vigente de la III Etapa y media Diversificada y Profesional, emita una conclusión al respecto.

CONCLUSIONES

Gran parte de los contenidos del programa de geometría de la UNA, se encuentran en los programas de geometría de 7º a 9º grado de EB y de 4º y 5º año de EMDP, sin embargo, el tratamiento de los temas en la geometría euclidiana, que se enseña en la UNA, es más profundo en el contenido y más extenso en cuanto a los diferentes tópicos tratados. En éste se estudian Proposiciones y su cálculo, Reglas de Inferencia, Conectivos Lógicos, los cuales nos conducen a realizar Demostraciones, las cuales no se enseñan en la escuela básica ni en el bachillerato, salvo algunas demostraciones que aparecen hechas en los libros y que el profesor puede mostrar a sus estudiantes, los bachilleres no egresan capacitados para realizarlas, esta es una de las mayores dificultades que encuentran dichos estudiantes al ingresar al programa de geometría de la UNA. Algunas construcciones como la división de segmento en varias partes iguales, la Fórmula de Herón y el Teorema de Hipócrates, también están ausentes de los programas de la III Etapa y EMDP.

La forma de responder a un examen de geometría también varía en la UNA, en la que se exige el razonamiento de cada respuesta y no solo los cálculos para hallar determinada variable.

Aunque en la III Etapa y Media Diversificada se estudian Teoremas y Axiomas en geometría, su aplicación en la resolución de problemas se reduce a los más conocidos, como el Teorema de Pitágoras, el Teorema de Tales y el Teorema de Euclides, pero la mayor parte de teoremas no se practican, solo se mencionan.

Objetivo #2

Actividad 1

Explicacion del teorema de Pitágoras utilizando contextos extraescolares

La actividad consistiría en que los estudiantes tomen una cinta métrica y midan la base (X) y la altura (Y) de la pantalla protectora de su computadora, la cual debe ser rectangular. Luego, medir una de las diagonales del rectángulo, la cual dividiría la pantalla en dos triángulos rectángulos, siendo X y Y los catetos, los cuales forman el ángulo recto, y D la diagonal, la cual sería la hipotenusa de los triángulos.

Entonces se aplica la fórmula:

Objetivo #2

Actividad 2

Demostración geométrica usando el geoplano

Demostrar con un geoplano que uniendo los puntos medios de los lados de un tra pezoide de manera consecutiva, se forma un paralelogramo. (Esto pasa en cualquier cuadrilátero).

TESIS:

EFGH es paralelogramo

Aplicando la PROPIEDAD DE LA BASE

MEDIA, la cual dice que la medida de la

Base media de un triángulo es igual a la

Mitad del lado que NO une:

Definición de paralelogramo: un paralelogramo es un cuadrilátero que posee sus dos pares de lados opuestos congruentes, entonces EFGH es un paralelogramo.

Para realizar esta demostración en un GEOPLANO, se procedió de la siguiente manera: en una hoja de papel bond se trazó una serie de líneas horizontales paralelas entre sí, con una separación de dos cm (Geoplano de 2 X 2), luego se trazaron líneas verticales con la misma separación. Se colocó sobre una tabla de madera y se colocaron clavos en cada uno de los puntos de corte de las líneas. De inmediato se armó el cuadrilátero ABCD con hilos de tejer. Se ubicaron los puntos medios de los lados del cuadrilátero y se identificaron con las letras E, F, G, y H, formando el cuadrilátero EFGH al unir estos puntos con líneas rectas con un marcador, se formaron las diagonales AC y DB, atravesando hilos entre los puntos A y C y entre los puntos B y D, después de realizar la demostración analíticamente, se comprobó en la práctica, midiendo los lados de éste último cuadrilátero, que, efectivamente, los lados EF y HG son iguales, y los lados EH y GF, también son iguales entre sí. Lo cual demuestra en de hecho que EFGH es un paralelogramo.

Objetivo #2

Actividad 3

Análisis de una lección de geometría según las pautas del profesor Minguez

Escogí una lección de la página 170 del libro de Matemática de 9º grado de la Editorial Santillana de 1998

• 1- Título: Proporcionalidad y Semejanza.

Subtítulo: Razón y Proporción.

• 2- Objetivos: se presentan en las primeras páginas del libro, donde se muestran todos los objetivos del mismo. Al comienzo de la lección no se manifiestan los objetivos.

• 3- Esquema Conceptual – Procedimental de la lección: la página donde se encuentra el tema se presenta dividida por una línea vertical en dos partes. En la parte derecha, que es el doble de ancho que la izquierda, se desarrolla la lección con ejemplos gráficos y detalles en tres colores. En la parte izquierda está colocada una definición que el estudiante debe recordar (vista en cursos anteriores), en este caso "Proporcionalidad", aquí aparece un ejemplo de aplicación de esta definición. En la parte inferior de la hoja aparece un recuadro con el título "aplica en tu cuaderno", donde hay ejercicios para que los educandos elaboren a manera de práctica.

• 4- Introducción, motivación y/o aplicación: la introducción que se hace al principio del capítulo se presenta como un problema sacado de la vida real, en donde se ve una jugada de béisbol mostrándose el esquema de triángulos formados por el recorrido de la pelota y el recorrido del bateador. La pregunta es: ¿existe proporcionalidad entre los dos triángulos?. Considero que esto fomenta la curiosidad y la motivación en el estudiante. También establece una conexión entre los conceptos previos que se requieren para asimilar los nuevos y ésta información nueva. No se hacen consideraciones de carácter histórico pero sí se acerca a la realidad.

• 5- Importancia del estudio del tópico particular. Contextualización según la carrera de estudios. Historia: solamente se observa el tema desarrollado como se explicó en el punto 3, pero no se habla de la importancia del tópico.

• 6- Definición, explicación de los conceptos y de los procedimientos: la explicación de conceptos es clara y está ilustrada con ejemplos en los cuales se indica con gráficas, números y operaciones, los diferentes elementos de una proporción, cuándo dos segmentos son proporcionales, cuál es la razón entre dos segmentos, la forma en que se representa la proporción y la manera como se lee y expresa en palabras dicha proporción. Al final se da la definición exacta de segmentos proporcionales.

• 7- Ejemplificaciones de los conceptos y procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios: como se indicó en el punto 6, en la lección se presentan ejemplos gráficos, numéricos y expresados en palabras para una mejor comprensión conceptual y práctica.

• 8- Actividades orientadas con especificación para desarrollarlas en forma individual y en grupos: se observan actividades para ser desarrolladas en forma individual, aunque el profesor puede escoger varias de ellas para hacer que sean resueltas en grupo.

• 9- Ejercitación de los conceptos y procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios: se presentan varios ejercicios propuestos que están al nivel de los estudiantes del 9º grado y relacionados con el tema, sin embargo, son pocos, en mi opinión.

• 10- Problemas clásicos y actuales en consideración de la historia y la carrera de estudios: este libro presenta problemas que son clásicos y algunas (pocas) demostraciones para este tema.

• 11- Preguntas que obliguen a la síntesis conceptual y procedimental, a la estructuración con conceptos y procedimientos previos: para este tema en particular, no se muestra ningún problema o ejercicio que cumpla con estas condiciones.

• 12- Preguntas para investigar y profundizar sobre aspectos estudiados con una referencia bibliográfica preestablecida y al alcance del estudiante: por lo menos para este tema no se observan preguntas de este tipo.

• 13- Actividades de autoevaluación: en este libro no se encuentran actividades de autoevaluación.

• 14- Esquema resumen de la lección: en este libro de texto no se observan esquemas resumen de las lecciones.

• 15- Respuestas y/o esquemas de resolución a todos los ejercicios, problemas, preguntas y actividades propuestas: al terminar cada capítulo se presentan una serie de ejercicios y problemas propuestos, al final del libro se muestra un solucionario de todos estos ejercicios de final de cada capítulo. Los ejercicios propuestos en la página donde se desarrolla la lección, no traen respuestas.

Objetivo # 4

Actividad 1

Cuestionario para conocer las creencias de los estudiantes de bachillerato sobre geometría, su enseñanza y aprendizaje

Tipo de Cuestionario: Preguntas abiertas.

• 1- ¿Qué es lo primero que viene a tu mente cuando escuchas la palabra GEOMETRÍA?

• 2- ¿Qué temas recuerdas más sobre Geometría?

• 3- ¿Te gustaba la forma en que tu profesor te explicaba Geometría?

• 4- ¿Recuerdas haber utilizado materiales tales como figuras de madera e instrumentos para dibujar?

• 5- ¿Crees que las actividades que se pueden realizar con estos materiales ayudan al aprendizaje?

• 6- ¿Le harías algunos cambios a la forma de explicar de tus profesores de Geometría?

• 7- ¿Cómo lo harías tú si fueras profesor de esta materia?

• 8- ¿Has aplicado tus conocimientos de Geometría en la resolución de problemas de tu vida diaria?

• 9- ¿Te resulta fácil aprender Geometría?

• 10- ¿Qué es lo más difícil para ti en Geometría?

• 11- ¿Consideras que la Geometría está ubicada dentro del campo numérico?

• 12- ¿Piensas que se estudian bastantes temas de Geometría en primaria y bachillerato?

• 13- Se entregan 8 palillos a cada estudiante y se les dice que con ellos hagan la figura con mayor área que puedan imaginar.

Objetivo # 4

Actividad 2

RESULTADO DE LA APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO

Este instrumento fue empleado en un grupo de estudiantes de 4º año de bachillerato del Liceo Josefina de Lizarzábal ubicado en la Parroquia Francisco Eugenio Bustamante, en la Urbanización Raúl Leoni de la ciudad de Maracaibo, Estado Zulia. Dos terceras partes de los estudiantes que respondieron el cuestionario solamente recuerdan algunas figuras planas, de las que no pueden precisar la manera como calculaban su área, recuerdan que se hacían cálculos y medidas. Las figuras que más recuerdan son el cuadrado, el triángulo y la circunferencia. La mayor parte de los educandos hubieran preferido que su profesor utilizara otro método de enseñanza de la Geometría que fuera más práctico y entretenido, que utilizara diversos materiales con las figuras objeto de estudio. Les hubiera gustado hacer trabajos grupales. Ese sería el método que ellos emplearían si fueran profesores de Geometría. Casi la totalidad de los estudiantes a quienes se aplicó el cuestionario, consideran difícil la Geometría, siendo la realización de cálculos y la aplicación de fórmulas lo más difícil para ellos. Todos consideran que la Geometría está ubicada dentro del campo numérico. También piensan que no se dan suficientes temas de Geometría en primaria ni en bachillerato. La mayor parte de ellos reconocen que han aplicado la geometría alguna vez en su vida, aunque sin darse cuenta, una minoría dice que no la ha utilizado nunca y que esos conocimientos no le hacen falta.

En la actividad con palillos, el 40% de los estudiantes formaron la figura de mayor área, un octágono, que es lo más cercano a un círculo. El resto realizaron triángulos y rectángulos usando varios palillos por lado.

Objetivo #6

Actividad 1

Propuesta para enseñar un tópico de geometría con aplicación tecnológica

Rectas notables de un triángulo: MEDIATRIZ

Objetivos:

• Trazar un triángulo.

• Ubicar los puntos medios de cada lado.

• Trazar las mediatrices.

• Ubicar el Circuncentro.

Materiales:

• Computador.

• Software Geogebra.

Instrucciones:

• Abrir la aplicación de Geogebra.

• Elegir entre las figuras que aparecen en la barra superior, un triángulo.

• Colocar el cursor en la Vista Gráfica (parte derecha de la ventana).

• Trazar el triángulo como lo indica la barra. (Vértices uno a uno y finalmente, reelegir el primero).

• En la Vista Algebráica (parte izquierda de la ventana), aparecen las coordenadas de cada uno de los vértices identificados con letras mayúsculas.

• Si es necesario, cambiamos las coordenadas para facilitar el trabajo.

• El cambio de coordenadas se hace con clic secundario sobre el objeto (triángulo), eligiendo "propiedades del Objeto".

• Al trazar el triángulo las coordenadas de los vértices fueron:

D = (4,43; -1,05)

E = (1; -8)

F = (9; -8)

Cálculo de los puntos medios de los lados del triángulo con la fórmula:

Sobre estos puntos se trazan las mediatrices que son las perpendiculares al punto medio de cada uno de los lados.

Por los puntos A,B y C, se trazan perpendiculares utilizando la herramienta "recta que pasa por dos puntos", elegida de la barra superior, cuando se terminan de trazar, se encuentra el punto de corte entre las mediatrices, el punto I(4,91 ; -5,81), el cual se denomina Circuncentro, porque es el centro de la circunferencia circunscrita, la que pasa por los tres vértices del triángulo. Se traza la circunferencia con la herramienta "Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos".

El software GEOGEBRA nos permitió trazar el triángulo, las mediatrices aproximadas, y el círculo, con lo cual se puede explicar a los estudiantes la definición de las rectas y el punto de corte entre ellas. A medida que colocamos los puntos necesarios para el trazado, se van mostrando en la parte izquierda de la ventana, los "objetos libres", que son las coordenadas de los puntos que sirvieron de vértices del triángulo y las coordenadas de los puntos que sirvieron de apoyo para trazar las rectas mediatrices. También se muestran los "objetos dependientes", que son las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo, el punto de corte de las mediatrices (circuncentro), las ecuaciones de estas rectas y la ecuación de la circunferencia.

Este trabajo se puede evaluar así:

Si el estudiante logra:

• 1- Trazar el triángulo correctamente.

• 2- Encontrar los puntos medios de los lados del triángulo.

• 3- Trazar las perpendiculares a los puntos medios.

• 4- Encontrar el circuncentro.

• 5- Trazar el circulo cuyo centro es el circuncentro.

La calificación es 5 si logra los cinco puntos.

La calificación es 1 si no logra los puntos 2, 3, 4 y 5

La calificación es 2 si no logra los puntos 3, 4 y 5

La calificación es 3 si no logra los puntos 4 y 5

La calificación es 4 si no logra el punto 5

Objetos libres

D = (4,43 ; -1,05)

E = (1; -8)

F = (9, -8)

G = (6,15 ; -6,52)

H = (4,89 ; -4,35)

Objetos Dependientes:

A = (2.7 ; -4,55)

B = (6,7 ; -4,5)

C = (4,94 ; -8)

I = (4,91 ; -5,81)

a: 1,97X + 3,45Y = -10,4

b: -3,65X – 0,05Y = -17,65

c: 1,31X – 1,79Y = 16,83

g: (X-4,91)² + (Y – 5,81)² = 21,51

polígono2 = 27,79

Las herramientas informáticas con que se cuenta en la actualidad son una excelente ayuda para los docentes, tanto en centros de enseñanza media como en las universidades. Por ejemplo, permiten realizar esos cálculos directos pero tediosos que nunca se ven en las clases ni en los libros, o ilustrar grá?camente la variación del comportamiento de algún objeto geométrico cuando se recorren los valores de cierto parámetro.

Existen numerosos paquetes de cálculo simbólico (o CAS, por Computer Algebra

System) de tipo profesional, con un desempeño excelente, como Mathematica, Maple o Matlab, pero en este trabajo preferí una herramienta de software libre: GeoGebra, orientado a la geometría dinámica. Uno de los motivos para esta selección es que se trata de Software Libre, ya que la situación en los países en vías de desarrollo, no permite que se disponga de las licencias de campus, por su alto costo, en un instituto de enseñanza media no se dispone de los mismos recursos que una universidad. Entonces, una alternativa a esta situación consiste en el uso de programas como GeoGebra y Maxima (sin perjuicio de los grandes paquetes como Mathematica, nada impide usarlos enparalelo).

GeoGebra es un sistema de geometría dinámica orientado a la enseñanza de la

Matemática a nivel preuniversitario. Sus desarrolladores son Markus Hohenwarter, Michael Borcherds e Yves Kreis. GeoGebra es un software libre, multilingüe y multiplataforma. El programa y las instrucciones para su instalación se encuentran en http://www.geogebra.org/cms/es. En GeoGebra, a cada objeto algebraico le corresponde un objeto geométrico y viceversa, con la excepción de algunos objetos algebraicos auxiliares. Los primeros se despliegan en la ventana algebraica y los segundos en la ventana geométrica. Puntos, vectores, rectas, secciones cónicas, etc., se pueden construir pulsando en los respectivos iconos que se encuentran en los cajones de herramientas, o bien tecleando la orden apropiada en la ventana de texto. Vale la pena hacer notar que la versión actual de GeoGebra incorpora una hoja de cálculo.

Componentes principales de GeoGebra: el comportamiento global del programa (unidad angular, posiciones decimales, tamaño de letra, idioma, etc.) se puede modi?car seleccionando en la barra superior el menú Options (el idioma por defecto es el inglés).

Cada objeto construido tiene atributos (nombre, color, estilo, etc.) que pueden modi?carse mediante un menú contextual, que se despliega al pulsar sobre el objeto en cuestión con el botón derecho del ratón.

Las construcciones hechas se pueden modi?car de forma dinámica seleccionando

la herramienta Desplaza (primera herramienta en el extremo izquierdo) y arrastrando luego con el ratón los objetos que queremos modi?car. Las construcciones hechas pueden exportarse a una plantilla dinámica en formato html, la cual puede verse y modi?carse de forma interactiva con la mayor parte de navegadores web. Para tal se selecciona en la barra de menús la opción Archivo/Exporta/Plantilla Dinámica como Página Web (html).

Autor:

Nubia Esther Gómez de Velásquez

TRABAJO PRÁCTICO

ASIGNATURA: DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

FECHA DE ENTREGA AL ESTUDIANTE: 21/03/2012

LAPSO ACADÉMICO: 2011-2

CENTRO LOCAL: ZULIA

CARRERA: EDUCACIÓN MATEMÁTICA