Valor del dinero en el tiempo (página 2)

LAS TASAS DE INTERÉS

Existen diferentes formas de pactar el pago de intereses. Cada decisión en cuanto al pago incide sobre el monto del interés, o sea, sobre la tasa de interés que efectivamente se paga o se recibe. Hay tres aspectos del pago de intereses que determinan el monto que verdaderamente se pagará, a saber:

– la capitalización de intereses: tasas simples y compuestas.

– la frecuencia de la capitalización: tasas nominales y efectivas.

– el momento del pago de intereses: tasas vencidas y anticipadas.

A continuación, se detallarán las diferentes modalidades de pagar los intereses y se aclarará su relevancia para el establecimiento de equivalencias financieras.

El interés simple

Si la tasa de interés financiera pagada es una tasa simple, se paga interés únicamente sobre el capital originalmente invertido o prestado (el principal). Los intereses acumulados no pagan interés, no se "capitalizan". En tal caso, si se invierte P en el año O, se retorna $(P + iP) o $ P(l + i) en el año 1; si se deja el capital invertido otro año, se ganará nuevamente

$iP y se tendrá acumulado $ (P + iP + iP) o sea, $P (1 + 2i)

Sucesivamente, si se deja el principal invertido, al final del tercer año se ganará otro monto de intereses y se tendrá $P (1 + 3i).

Por lo tanto, al invertir una suma P a una tasa simple, i, durante n períodos, se recibirá al final del n-ésimo período una suma (futura), F, como se aprecia en la ecuación 3.1:

F = P (1 + ni) Ecuación 3.1

Alternativamente, si un inversionista desea saber cuánto dinero debe invertir en el presente, P, para recibir una suma, F, dentro de n períodos:

P = F Ecuación 3.2

( 1+ ni)

La ecuación (3.2) permite calcular el valor inicial que uno podría pedir prestado si sabe que su capacidad de repago al final del año n es igual a $F, dada una tasa de interés simple

Suponga que tiene $600.000 para invertir o prestar en este momento y la tasa de interés financiera es del 1 0% anual, pagadera como tasa simple. ¿ Cuál será el retorno mínimo que lo inducirá a invertir en un proyecto en lugar de prestar el dinero, si se supone que el período de inversión o de préstamo es de cinco años? La ecuación (3.1) brinda la solución para este problema. Se sabe que si presta el dinero se genera un valor futuro que puede ser calculado con dicha ecuación. Se tiene: P = $600.000; i = 10%; y n = 51; Se calcula F:

F= ($600.000) (1 + 5(0,10)) = $900.000

Como consecuencia, no se invertiría si el proyecto que le ofrecen no produce $900.000 o más para el final del Año 5

El interés compuesto

En contraste con la tasa de interés simple la tasa compuesta significa que los intereses no se pagan únicamente sobre el principal, sino también sobre los intereses acumulados. Con la tasa compuesta, al invertir $P en el Año O, se puede retirar al final del Año la cantidad $P( 1 +i); a mantener tanto el principal ($P) como los intereses del primer año ($iP) en el fondo de inversión durante el segundo año, los intereses se acumulan sobre ambos y, por lo tanto, al final del Año 2, podría retirar $(P+iP)(l+i) o sea, $ P (1 + i)2 . Esto es, el inversionista habrá ganado en ese segundo año, intereses sobre el capital y, además, sobre los intereses devengados en el primer año.

En la misma forma, dejando tanto el principal como los intereses invertidos, al final del

Año 3 se tendrá $ P (1 + i)2 (1 + i) = $ P (1 + 3i) .

En forma general, se tiene que al final del año n, habrá $ P (1 + ir. Este mismo concepto se plantea en la ecuación 3.3:

F=p (l+ i)n Ecuación 3,3

Nótese que el período de interés y el período de inversión se definen en las mismas unidades de tiempo; años, en este caso.

Asimismo, para el caso en el que se conoce la suma F que se desea recibir (o repagar) en el futuro y se necesita conocer la suma presente P, que será necesario invertir (o pedir) en el presente, se tiene:

P =

La tasa compuesta genera más retorno que la tasa simple, ya que paga intereses sobre una cantidad que va aumentando con el tiempo. Esto se puede comprobar si se repiten los ejemplos que mostraron el uso de la Ecuaciones 3.1 y 3.2, para el caso de una tasa compuesta.

Para la tasa simple, se mostró que al invertir $600.000 a una tasa de interés simple del 10% anual, se obtendrá una suma de $900.000 dentro de cinco años. Si ahora se tiene una tasa de interés compuesta, se calcula F en la siguiente forma:

F = ($600.000) (1 + 0,10)5 =" $966.306

Observamos que el rendimiento con el interés compuesto es mayor que el que se obtenía con la tasa de interés simple, ya que la introducción de la acumulación de intereses sobre intereses ha incrementado el fruto de la inversión.

Otro ejemplo puede contribuir a ilustrar la diferencia entre la tasa simple y la compuesta. Se busca calcular la tasa de interés simple que hace que $500 prestados hoy generen $600 dentro de dos años. En este caso, la suma futura es $600; la suma presente $500.

Se tiene F = $600; P = $500; y n = 2. Se despeja i de la Ecuación 3.1 o la Ecuación 3.2.

i =

i =

I =0,10=10%

Ahora se calcula la tasa compuesta que hace que los $600 recibidos ahora y los $500 prestados hace dos años sean equivalentes; se tiene

F = 600; P = 500; n = 2. Se despeja i de la Ecuación 3.3:

i= (F/P)/I/n – 1

i = (F/Pp)1/2 -1

i = 0,0954 = 9,54%

La tasa compuesta necesaria para hacer que $50.0. generen $600. dos años después, es menor que la tasa simple necesaria para cumplir el mismo fin, debido a que los intereses acumulados ganan intereses en el escenario de la tasa compuesta.

A partir de este momento, se hará referencia siempre a la tasa compuesta por considerar que representa la alternativa de inversión más común en el mundo real. Todas las equivalencias financieras discutidas se basarán en una tasa compuesta.

LOS PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN: LAS TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

Los conceptos de interés nominal e interés efectivo están asociados a los intereses compuestos. Son dos formas de expresar una tasa de interés compuesta para un período de inversión determinado, definidos unos períodos de capitalización o liquidación de intereses, y una forma de pago de los mismos (anticipada o vencida). Antes de expresar la diferencia entre tasas compuestas nominales y efectivas, es necesario precisar tres términos que estipulan las condiciones de su pago:

Los períodos de inversión son aquellos que se utilizan para la construcción del flujo de fondos y que, por lo tanto, están determinados por las características de los proyectos. Por lo general, son anuales. Son los períodos de referencia para la tasa de interés. Los períodos de liquidación o capitalización de intereses son los períodos en los cuales los intereses se liquidan o se capitalizan para acumularse. Los períodos de liquidación o capitalización pueden ser diarios, semanales, quincenales, mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales o de otra duración.

La forma de pago de los intereses hace referencia a si la liquidación o la acumulación de los intereses se hace al final (vencida) o al principio (anticipada) de cada período de liquidación. Por lo general, una tasa de interés se asume vencida, a no ser que se indique lo contrario. Las diferencias entre tasas de interés nominales con intereses vencidos o anticipados se señalarán más adelante.

Ahora bien, utilizando esta terminología, se puede definir la tasa de interés nominal, como la tasa pagada durante un período de inversión, sin tener en cuenta la acumulación o composición de intereses que se logra dentro de este período y la forma de pago. La tasa nominal es la que se cita como base de negociaciones; es la tasa a la que se pactan la mayoría de las inversiones en el mercado financiero. A partir de la tasa nominal, se pactan la forma de pago y los períodos de capitalización. Por ejemplo, una tasa nominal del 35% anual podría ser capitalizable trimestre vencido. Asimismo, podría ser pagadero semestre anticipado.

En contraste, la tasa de interés efectiva, expresa la rentabilidad de una tasa compuesta, teniendo en cuenta la acumulación de intereses dentro del período de inversión, la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversión. También tiene en cuenta la forma de pago de los intereses, reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciba reinvertidos más temprano que en el caso en el que se pagan en forma vencida. La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversión; como tal, debe ser la tasa que se utilice en el manejo de equivalencias financieras.

La tasa de interés efectiva refleja el rendimiento que se habría recibido al final de un período de inversión si los intereses se hubiesen capitalizado, independientemente de que se paguen o se capitalicen.

En el mercado financiero, es común hablar de la rentabilidad de las diferentes alternativas de inversión, en términos de tasas efectivas anuales. Dicha tasa refleja la rentabilidad verdadera de la inversión, que debe ser la que se utiliza en el manejo de equivalencias financieras.

LAS TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS

El interés vencido

El interés vencido se paga en el momento de terminar (vencer) el período de causación de intereses. Como tal, se desembolsa después de haber transcurrido el tiempo durante el cual el dueño del dinero ha sacrificado sus usos en actividades alternativas.

El interés anticipado

En contraste, el interés anticipado se paga en el momento de iniciar el período de causación de intereses. Por ejemplo, el pago de intereses correspondientes al período de un préstamo se realiza en el momento de desembolsar el capital del préstamo; como consecuencia, el prestatario efectivamente recibe el monto que ha pedido prestado menos el monto de interés correspondiente al primer período.

El interés anticipado se entrega al dueño del dinero antes de transcurrir el tiempo durante el cual va a sacrificar sus usos alternativos. Como tal, cuenta con los intereses desde el comienzo del período, en el que los puede reinvertir o utilizar para generar algún beneficio, sin necesidad de esperar hasta que termine el período. En consecuencia, se esperaría que el interés anticipado correspondiente a un determinado período sea menor que su equivalente vencido.

Cuando se dice que el interés sobre un préstamo de $K es una tasa anticipada, significa que en el momento de ubicarse el préstamo, el prestamista tiene que pagar los intereses del primer período, $K, al prestatario, quedándose con (1- ia) $K. Por lo tanto, es como si no hubiera sacado un préstamo por todo el valor $K, sino por una suma menor. No obstante, el valor a ser repagado al final del período del préstamo es efectivamente $K.

Así, el costo verdadero de un crédito cuyo interés se paga en forma anticipada es superior al costo para el caso que se pagara la misma tasa en forma vencida.

EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE SUMAS DE DINERO EN DIFERENTES MOMENTOS DEL TIEMPO

Unas sumas de dinero, en diferentes momentos del tiempo, se definen como equivalentes cuando son indiferentes entre ellas para un inversionista, dada una tasa de interés. Las equivalencias más comunes se definen entre:

– Una suma presente y una suma futura

– Una suma presente y una serie uniforme

– Una suma futura y una serie uniforme

Equivalencia entre una suma presente y una suma futura

Al establecer equivalencias entre una suma futura, F y otra presente, P, la pregunta que debe hacerse el evaluador financiero es: ¿Qué valor debería tener F para compensar el desembolso de P?

La intuición diría que el monto F debería reponer P y, además, lo que P habría ganado en una inversión alternativa.

La manera de formalizar esta respuesta intuitiva ya se ha planteado en este capítulo. Si el lector recuerda, cuando se definió la tasa de interés compuesta con la ecuación (3.3), se demostró que un inversionista puede invertir una suma P a una tasa i y dentro de n períodos de inversión recibir una suma F, donde

F = P (1 +)1)n

Dada una tasa de interés i, se acepta que para este inversionista será indiferente tener P hoyo recibir F dentro de n períodos, porque, si tiene P, podrá invertido a la tasa i y recibir F. En otras palabras, es indiferente tener F al final del período n, o tener P al final del período O.

Otra forma de interpretar esta equivalencia consiste en conceptualizar a F como el mínimo que un inversionista esperará recibir dentro de n períodos, por sacrificar la posibilidad de darle a P un uso alternativo en el momento O y optar mas bien por comprometer esa suma (P) en una inversión determinada hasta el final del período n

Por estas razones, se afirma que P (en el año O) y F (en el "n") son equivalentes, dada una tasa de interés i.

Por ejemplo, un proyecto requiere una inversión actual de 300.000 y va a generar un rendimiento único dentro de dos años. Si no se invierte en el proyecto, se utilizará el dinero en el mercado financiero, donde gana un interés de 10% anual. ¿Qué monto de dinero tendría que dar el proyecto para que el inversionista sea indiferente entre él y la alternativa de inversión financiera?

La alternativa financiera generará:

$ 300.000 (1 + 0.1)2 = 363.000

Por lo tanto, el proyecto deberá generar por lo menos $363.000 para que sea equivalente a la inversión en la alternativa financiera.

Valor presente de una suma futura

Asimismo, si se conoce la suma futura (el ingreso previsto) y se desea saber la suma que será necesario invertir hoy para poder recibir aquella, dada una tasa de interés compuesta, basta con utilizar la siguiente fórmula:

Como se puede apreciar, para un inversionista será indiferente recibir F en el período n o P el día de hoy, pues sabe que si invierte P ahora a la tasa i, obtendrá F en el período n. Por esta razón, se dice que F y P son sumas equivalentes para un inversionista, dada una tasa de interés i. Por ejemplo, un inversionista tiene un bono por valor de $ 10.000.000, a ser liquidado dentro de 5 años, y quiere saber el valor del bono hoy, en el presente, dado que la tasa de interés es del 20%.

En este caso, el inversionista estaría dispuesto a recibir:

Si alguien le paga al inversionista $4.018.776 éste podrá, en el peor de los casos, invertir dicha suma al 20% anual y dentro de cinco años obtendrá:

F = $4.018.776 (1 + 0.2)5 = $10.000.000

Por lo tanto, desde el punto de vista financiero, $4.018.776 al final del período O, son equivalentes a $10.000.000 al final del período 5, dada una tasa de interés del 20%.

Acumulación de una serie uniforme (valor futuro de una serie uniforme)

Ahora se va a considerar la equivalencia entre una serie de inversiones de igual valor y una suma futura, o sea, un flujo con las siguientes características:

Se denomina A la cantidad invertida anualmente, desde el año 1 hasta el año n, y F la suma futura, pagada en el año n. La suma F tendrá que equivaler a la serie de inversiones, más los intereses pagados y acumulados sobre cada una de estas inversiones. Por lo tanto, deberá reponer lo siguiente:

A : la inversión realizada en el año n

A(1+i) : la inversión del año (n-1), con los intereses correspondientes

A (1 + i)2 : la inversión del año (n-2) con los intereses de los dos años que estuvo invertida

A (1 + i)3 : la inversión del año (n-3), con los intereses de tres años

y así sucesivamente, hasta A (1 + ir-1 que representa la inversión del año 1 y los intereses de (n-l) años.

Por lo tanto:

F (1 + i) = A (1 + i) + A (1 + i)2 + A (1 + i)3 +… + A (1 +)n-1

La solución de F corresponde a una serie geométrica finita. Esta se encuentra multiplicando los dos lados de la ecuación por (l + i):

F (1 + i) = A (1 + i) + A (1 + i)2 + A (1 + i)3 +… + A (1 + i)n

Ahora, se resta la ecuación F de la ecuación F (1+ i):

F[(I+i)-I]=(I+i)n -A

o, lo que es igual,

F(i) = A ((1+i)n-l)

Despejando F, se obtiene:

F =

Se presenta el caso de un banco que ofrece una tasa de interés mensual del 5% si se consigna una suma fija al final de cada mes, por 48 meses, y no se retira ningún dinero hasta el final del mes 48. En este caso, se consideran consignaciones mensuales e intereses mensuales. Se quiere saber cuál es el valor de la suma futura equivalente a la serie de 48 consignaciones de $2000 cada una. Si las consignaciones no ganaran intereses ni tuvieran alternativas de inversión, la suma futura sería $96.000. Con la ganancia del 5% mensual, se observa que:

F = 2000((1,05)48 -1) / 0,05 = 376.051

Amortización de una suma futura

En este caso, se considera la necesidad de generar una suma para el futuro, acumulando una serie de inversiones que reciben intereses. Un ejemplo para el cual es relevante esta acumulación es el caso de un fondo en el que se hace una consignación anual durante n años, con el fin de acumular la suma necesaria para reemplazar una máquina al final del

año n. En tal caso se conocen el monto necesario en el año n, que se denomina F, y la tasa de interés, i, se quiere calcular A. Por lo tanto, se despeja A de la Ecuación (3.8):

A =

Como ejemplo, suponga que un agricultor tiene un tractor que durará cinco años más, a partir de este momento. Con el fin de reemplazar ese equipo al final del año 5, ese agricultor desea acumular en una cuenta de ahorros que gana el l0% anual compuesto, los fondos necesarios. ¿Cuál es la cantidad que debe invertir anualmente para generar $1.000.000 que sería el precio del tractor, al cabo de 5 años?

En este caso, F = 1.000.000, i = 0.10 y n = 5; se calcula A:

A = 1.000.000 (0,10) / ((1,1)5 -1) = 163.797

La recuperación de capital en una serie uniforme

Las equivalencias ya estudiadas permiten extender el análisis a otras posibles inversiones. Por ejemplo, considere el caso en que usted encuentra necesario reservar unos fondos para el mantenimiento de su hogar durante 24 meses, ya que tiene que viajar durante ese tiempo y no tendrá forma de enviar dinero a la casa. Piensa consignar $3.000.000 en una cuenta de ahorros que genera intereses del 1,5% mensual. Los que quedan en casa van a retirar una suma fija al final de cada mes. Este caso corresponde a un flujo de fondos con las siguientes características:

Se conoce el valor de P, de i y de n. Lo que se desea saber es el valor de la suma A que podrá retirarse mensualmente. Dicho valor sería igual a no ganaran intereses. Pero como sí los ganan, A será mayor.

El valor se obtiene con las ecuaciones (3.3) y (3.8):

F=P(1+i)n

A =

Sustituyendo la ecuación (3.3) en la ecuación (3.8) se observa la relación entre A y P:

A = P (l+i)n (i)

(l+i)n -1

En este caso: P = 3.000.000; i = 0,015 y n = 24. Por consiguiente:

A =

La equivalencia expresada por la ecuación (3.9) permite calcular el valor de los repagos (amortizaciones e intereses) de un préstamo concedido en un año O, que debe ser repagado en n cuotas anuales de igual valor, pagando intereses sobre saldos.

Consideremos un préstamo en el año O para financiar la construcción de un acueducto. En ese año se recibe $1.500.000, que debe cancelarse en cuotas anuales de igual valor entre el año 1 y el año 7. Se paga un interés de 25% anual.

En este caso, se tiene P = 1.500.000; n=7; i = 25%. Por lo tanto, la cuota anual que debe pagarse es:

A =

Es necesario tener en cuenta que el valor de A representa el pago de amortización del préstamo más los intereses sobre saldos. La presentación en el flujo de fondos exigirá desagregar A en sus dos componentes. Esto se logra construyendo una tabla de amortización, como la que se presenta a continuación:

(miles de pesos)

n saldo inicial cuota (A) Interes Amortización Saldo Final

1 1500.00 474.51 375.00 99.51 1400.49

2 1400.49 474.51 350.12 124.39 1276.10

3 1276.10 474.51 319.02 155.49 1120.61

4 1120.61 474.51 280.15 194.36 926.25

5 926.25 474.51 231.56 242.95 683.30

6 683.30 474.51 170.82 303.69 379.61

7 379.61 474.51 94.90 379.61 0

Se tiene entonces la información necesaria para el flujo de caja, intereses y amortización, por período. Se observa que, mientras los primeros disminuyen, la amortización -o recuperación del capital- aumenta. La suma de las amortizaciones deberá ser igual a la cantidad inicialmente prestada.

PRINCIPALES INDICADORES DE EVALUACION

Valor Actual Neto

Es la actualización del flujo de caja la valor presente. El proyecto deberá realizarse siempre y cuando el VAN sea mayor que cero a una tasa de actualización igual al costo de oportunidad del capital (COK). En estricto, el VAN se define como el valor actual de los flujos menos la inversión inicial. Examinemos un simple proyecto reflejado en el gráfico siguiente:

Para calcular su VAN se debe utilizar el costo de oportunidad del capital (COK) del inversionista. Suponiendo que éste es el 20% anual, obtenemos:

Un VAN (0.20) positivo indica que la rentabilidad es superior al 20% del costo de oportunidades del capital. Esto es, el inversionista recibirá 833 dólares por sobre el 20% que quería obtener, después de recuperar la inversión.

En términos mas generales, podemos expresar el VAN de un proyecto como la suma de todos sus flujos de caja descontados.

VAN = St / (1+r)n

Donde St es el flujo de caja del proyecto (positivo o negativo) en el momento t, n es la vida útil del proyecto (o el número total de periodos relevantes) y r es la tasa anual de descuento.

Tasa interna de Retorno

Indica la máxima tasa de interés que el proyecto puede afrontar, sin ganar ni perder. Es decir, busca igualar la actualización de los ingresos y egresos. La TIR es aquella tasa que hace al VAN igual a cero. En términos mas específicos, la TIR puede definirse como aquella tasa de descuento que, cuando se aplica al flujo de caja del proyecto, produce un VAN igual a cero.

Operativamente, la TIR es el valor de r que satisface la ecuación:

La TIR debe ser mayor al Costo de Oportunidades de Capital (COR) de los inversionistas para que el proyecto sea renatable.

Trabajando con nuestro ejemplo simple, podemos apreciar que:

• El proyecto rinde el 20% que exige el inversionista y 833 dólares mas o sea, está ganando mas del 20%.

• Probablemente si el inversionista exige el 21%, el proyecto se lo dará y aún sobrara un excedente.

• Como este excedente es todo del inversionista, la TIR busca hasta cuando podría el inversionista aumentar la tasa e retorno exigida. Es decir, hasta cuanto podría ganar. Por ello buscará aquella tasa que haga el VAN igual a cero.

Ahora bien, para que el VAN sea cero, la diferencia entre el valor actual del flujo en el año 1 y la inversión del año 0, debe ser igual a cero.

Relación Beneficio/Costo (B/C)

La relación Beneficio/costo esta representada por la relación  de los ingresos y egresos; En donde los Ingresos y los Egresos deben ser calculados utilizando el VPN o el CAUE, de acuerdo al flujo de caja; pero, en su defecto, una tasa un poco más baja, que se denomina "TASA SOCIAL" ; esta tasa es la que utilizan los gobiernos para evaluar proyectos.

El análisis de la relación B/C, toma valores mayores, menores o iguales a 1, lo que implica que:

• B/C > 1 implica que los ingresos son mayores que los egresos, entonces el proyecto es aconsejable.

• B/C = 1 implica que los ingresos son iguales que los egresos, entonces el proyecto es indiferente. 

• B/C < 1 implica que los ingresos son menores que los egresos, entonces el proyecto no es aconsejable.

Al aplicar la relación Beneficio/Costo, es importante determinar las cantidades que constituyen los Ingresos llamados "Beneficios" y qué cantidades constituyen los Egresos llamados "Costos". Por lo general, las grandes obras producen un beneficio al público, pero a su vez, produce también una perdida denominada "Desventaja", se puede tomar como ejemplo de esto la construcción de una represa hidroeléctrica, la cual produce un beneficio que es la generación de electricidad. La electricidad puede ser cuantificada en dinero; a su vez, se produce una pérdida, por la inundación de terrenos aptos para la agricultura y esa pérdida, también puede ser cuantificada en dinero. (E. Gomez http://www.gestiopolis.com)

Periodo de Recuperación

El periodo de recupero indica en cuanto tiempo el inversionista recuperará su inversión. Este indicador tiene mucho sentido cuando se emplea complementariamente al VAN. Cuando el proyecto que se evalúa es uno solo, el simple hecho de que se recupere la inversión está indicando que el VAN es positivo. Sin embargo, cuando hay más de un proyecto, el que posibilite recuperar con mayor prontitud la inversión no implica que sea el más conveniente para los intereses del inversionista.

Es una situación más estable y normal, difícilmente se tomará una decisión basado sólo en este criterio. Pero si puede ser una importante información complementaria cuando la diferencia entre VAN de dos proyectos no significativa y se visualiza una posibilidad de cambio en las condiciones futuras del entorno. Si no es así, siempre el proyecto de mayor VAN será mejor, ya que reporta un excedente superior a lo que se exige a la inversión.

Ejemplo

VALOR ANUAL EQUIVALENTE

Pueda calcularse para costos o para ingresos: para el caso de costos

Primero se calcula el VACT (Valor actual de costos totales) mediante la siguiente relación:

Donde:

VACT = Valor actual de costos totales

FCt = Flujo de costos totales periodo t

VR = Valor de recuperación de la inversión al final de la vida

útil del proyecto

COK = Costo de oportunidad del capital

n = Vida útil del proyecto

Para luego calcular el VAE de costos (valor equivalente anual):

Con este indicador se puede calcular el costo eficacia (CE) del proyecto:

CE = VACT/ Número de población con acceso o beneficios del proyecto.

TASA INTERNA DE RETORNO AJUSTA (TUR)

Con el fin de resolver los problemas inherentes en el uso de la TIR de la selección de proyectos, se ha difinido la TIR ajustada. La cual tambien ha sido denominada Tasa Unica de Retorno TUR Concretamente, el ajuste de la TIR busca resolver los problemas de la inexistenxcia o existencia múltiple de TIR y reinversion de los flujos excedentes a la tasa de interes interna del proyecto y no a la tasa de interes de oportunidad.

Con al TIR ajustada se garantiza la existencia de una sola tasa, independientemente de la estructura de los flujos. Ademas, se elimina el supuesto de que todos los recursos excedentes se reinvierten a la misma TIR y se introduce la reinversion a la tas ade interes de oportunidad.

La TIR ajustada se cualcula mediante la conversión del flujo neto de proyecto en un flujo simplificado de la siguiente forma:

Empleando la tasa de interés de oportunidad se calcula el equivalente futuro de los ingresos del proyecto en el ultimo año en su vida útil (año T) .Denominemos este equivalente $F. Asimismo, se calcula el equivalente presente de los egresos del proyecto $P.

La TIR Ajustada o la TUR es aquélla tasa que expresa una relación entre $P y $F.

Utilicemos la sigla TUR para denominar el criterio.

Se establece:

$F = $P (1+TUR)T

Así la TUR resulta ser el valor positivo de la T – esima raíz de la razón entre $F y $P

TUR = ($F / $P)1/T – 1

Para entender la interpretación de la TIR ajustada (o TUR) consideremos el siguiente caso para el cual no fue posible encontrar una TIR. Dadas las características del flujo.

Supongamos adicionalmente que la tasa de interés de oportunidad del inversionista que estudia el proyecto es de 10%. Al pasar el ingreso neto del año 0 a su equivalente futuro y el costo del año 1 a su equivalente presente (año 0). El flujo se convierte en el siguiente:

En este caso , la TIR ajustada o TUR es mayor que la tasa de oportunidad. Esto quiere decir que la rentabilidad del proyecto, asumiendo las reinversiones de los recursos excedentes a la tasa de oportunidad, es mayor que el rendimiento de las alternativas de inversión que rinde un 10% .

Si la TIR ajustada o TUR fuera igual a lop invertir en el proyecto será equivalente a seleccionar iguales las alternativas financieras y por tanto se asumirá una actitud de indiferencia frente al proyecto.

Por consiguiente se deduce que la TUR puede ayudar a determinar la rentabilidad de un proyecto. El criterio es el siguiente:

Si TUR> lop2 el proyecto es atractivo, ya que sus ingresos reponen los costos y generan recursos adicionales a los que se obtendrían en el uso alternativo.

Si TUR< lop el proyecto no vale la pena ya que hay alternativas de inversión que arrojan mayor es beneficio (estas son las que se ven reflejadas por el costo de oportunidad del dinero)

Si TUR = lop es indiferente realizar el proyecto o escoger las alternativas ya que arrojan el mismo beneficio.

Es importante tener en cuenta que la TIR ajustada o TUR igual que el VPN o la RBC, es función de la tasa de interés de oportunidad. Al modificar lop los valores de la TIR ajustada cambian.

Índice de rentabilidad (IR)

Según Brealey y Myers " cuando los fondos son limitados, necesitamos centrarnos en lo que proporciona el mejor resultado para nuestro bolsillo. En otras palabras, tenemos que realizar los proyectos que ofrecen la mayor relación entre el valor actual y desembolso inicial. Esta razón es simplemente el índice de rentabilidad…" Este índice puede definirse de cualquiera de las siguientes formas:

En los ejemplos de esta sección utilizaremos la primera definición

Ejemplo VII.4.

Se tiene tres proyectos independientes que presentan un VAN positivo, pero solo se cuenta con S/. 3,000 para invertir ¿Qué proyectos se debe ejecutar?

Cuadro VII.6

ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Con los S/. 3,000 podemos invertir en A o en B y C. Según el IR los proyectos que debemos elegir son, en primer lugar el C y en segundo lugar el B. Además, en conjunto, generan un mayor VAN que el proyecto A, por el mismo monto de inversión.

Este sencillo método de clasificación también tiene sus limitaciones:

• Solo sirve para clasificar proyectos independientes. La existencia de relaciones entre los proyectos independientes. La existencia de relaciones entre los proyectos impone restricciones adicionales a las de capital que deben ser analizadas por su cuenta.

• Cuando lso recursos de capital están limitados para cada uno de los periodos se incorpora restricciones adicionales.

• Debe agotarse totalmente el capital disponible. De lo contrario, es posible que la relación de los proyectos por medio del IR no genera un resultado optimo.

CONTRADICCIONES ENTRE EL VAN Y LA TIR Y CÓMO ELIMINARLAS.

Las principales contradicciones aparentes entre el Van y la TIR son de dos tipos:

• El primer tipo surge cuando se contradicen respecto a un mismo proyecto para determinar si es rentable o no. La explicación a esta contradicción es la presencia de una tasa de retorno múltiple.

• El segundo tipo surge a tratar de elegir entre proyectos mutuamente excluyentes utilizando el VAN y la TIR como criterio de decisión. Estos problemas surgen cuando los proyectos a evaluar no cumplen con alguna de estas características: una misma distribución de ingresos, misma escala en el monto de inversión y/o misma vida útil.

A continuación desarrollaremos cada uno de estos problemas v veremos cómo resolverlos.

Diferente escala de inversión

No todos los proyectos requieren de la misma inversión. La diferencia en dichos montos trae complicaciones en el análisis pues dar como resultado una TIR sobrestimada (por un volumen de inversión comparativamente menor). Para comparar proyectos utilizando la TIR es necesario que ambos tengan la misma inversión. Veamos esto; con un ejemplo.

Ejemplo

Se tienen dos proyectos A y C, ambos con una vida útil de 3 años. La COK es 10% y los flujos de caja para los próximos tres años se presentan en el Cuadro I.

Cuadro 1 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y C

En el cuadro se puede apreciar cómo los dos indicadores (VAN y TIR) se contradicen. Esto de debe a que los montos de inversión no son los mismos, por lo que no se puede determinar cuál proyecto debe elegirse. Para poder comparar ambos proyectos es necesario solucionar esta contradicción igualando los montos de inversión, como se muestra a continuación.

Cuadro 2 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y C CON IGUAL INVERSIÓN

1/ Lo que se intenta es igualar los montos de inversión de ambos proyectos (3,000-1,8000 = 1,200). Sin embargo, esta cantidad de dinero invertida en el proyecto genera los beneficios de la mejor alternativa (1,200 x 0.1 = 120).

Una vez obtenidos los flujos de caja, se debe calcular el VAN y la TIR para este nuevo proyecto.

Comparando el proyecto C con el proyecto A podemos concluir que la información brindada por el VAN era la adecuada: el proyecto A es el proyecto que debe realizarse porque no sólo tiene una tasa de retorno mayor sino que también tiene un VAN mayor.

Diferente vida útil

Muchas veces, los proyectos entre los cuales un inversionista debe elegir tienen vidas útiles diferentes, lo cual puede generar contradicciones entre el VAN y la TIR de los proyectos. La TIR mide la rentabilidad del dinero que permanece invertido en el proyecto y, si la vida útil difiere, no considera aquella rentabilidad que el dinero que sale del negocio obtendrá en la mejor alternativa de inversión, lo cual distorsiona el valor de este indicador. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo .

Un inversionista necesita comparar el proyecto E con el proyecto F, donde el costo de oportunidad es de 10% y las vidas útiles son diferentes para cada uno, como se muestra en el siguiente cuadro.

Cuadro 3 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS E Y F

Una vez más, podemos observar una contradicción entre ambos indicadores: el VAN indica que la mejor opción es el proyecto E; sin embargo, la TIR indica que la mejor alternativa es el proyecto F.

La solución a esta contradicción radica en considerar que el dinero que sale del proyecto es invertido en la mejor alternativa disponible: en este caso, el banco.

Cuadro 4.

1 / Lo que se obtiene del proyecto F al finalizar su vida útil es invertido en la mejor alternativa durante el segundo año a fin de igualar las vidas útiles.

2/ C = A+B

Una vez obtenido el nuevo proyecto H, donde los ingresos del proyecto se reinvierten en la mejor alternativa, se debe hallar el VAN y la TIR para compararlos con el proyecto E.

Estos resultados indican que la mejor alternativa es el proyecto E pues tiene un VAN y una TIR mayores. Nuevamente, el VAN es el que brinda la información adecuada para elegir entre estos dos proyectos.

Ahora, la TIR calculada del proyecto H es más baja pues resulta ser el promedio de su rentabilidad a lo largo de 2 años de vida útil: 80% en el primer año y sólo 10% en el segundo (siendo este 10% la rentabilidad de la mejor alternativa).

Distribución de beneficios desigual

En este caso, el monto de la inversión es similar para cada uno de los proyectos pero la distribución de los beneficios a través del tiempo no es la misma. Por ejemplo, en un proyecto se pueden recibir los flujos de beneficios de manera uniforme en cada período o todos al final de la vida útil.

Ejemplo

Se tienen dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, con una misma vida útil de tres años, una inversión de S/. 3'000,000 y un COK de 10%. Cada proyecto tiene una distribución diferente de los flujos de beneficios, como se muestra a continuación.

Cuadro 5 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y B

(en miles de soles)

A partir de los resultados del cuadro anterior se observa que el VAN y la TIR se contradicen: si tomamos en cuenta el VAN debe realizarse el proyecto B; sin embargo, si tomamos en cuenta la TIR deberíamos realizar el proyecto A. Esta contradicción puede ser solucionada si, en el caso del proyecto B, se incorpora en el análisis de la TIR la rentabilidad que adquieren los flujos fuera del proyecto en la mejor alternativa posible. Esto se logra mediante un nuevo indicador: la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) que se desarrollará más adelante. Cabe resaltar que este indicador es útil para solucionar el problema de la distribución de beneficios desiguales, pero no el de vidas útiles distintas o el de distinto monto de inversión.

Otra manera de eliminar esta contradicción es utilizando la tasa de retorno de los flujos increméntales, en cuyo caso será necesario evaluar la diferencia de los proyectos. Veamos este concepto con un ejemplo.

Ejemplo

Imaginemos dos proyectos: A y B. Cada uno con los flujos de caja que presentamos en el Cuadro 6

Cuadro 6

FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y B

Para elaborar el análisis de los flujos increméntales, se crea un nuevo proyecto llamado Proyecto (A-B). Como se observa en el Cuadro VI.21. este proyecto incremental equivale a pedir un préstamo con desembolso de S/. 200 y S/. 2,500 los años 1 y 2, respectivamente, y con un repago de S/. 3,200 el último año. Si calculamos el VAN de este proyecto y éste resulta positivo, entonces el proyecto A será mejor que el B; asimismo al calcular la TIR, que en este caso representa la tasa de interés efectivamente pagada por el préstamo, si ésta es menor que el COK diremos nuevamente que A es mejor que B. Haciendo los cálculos respectivos obtenemos los siguientes resultados:

A partir de ellos se puede concluir que la mejor alternativa es el proyecto B, tal como lo había indicado el VAN.

Podemos comprobar estos resultados calculando el VAN y la TIR del proyecto (B-A). Este nuevo proyecto incremental sí es una inversión con salidas de dinero en los primeros años y entradas en el último (ver Cuadro VI.22.).

Cuadro 7 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y B

Por ello, el proyecto B será rentable si el VAN es positivo y la TIR es mayor que el COK. Calculando estos indicadores se concluye otra vez que B es mejor que A.

TASA VERDADERA DE RENTABILIDAD (TVR)

Como ya se mencionó, otra manera de solucionar el Problema de distribución desigual de beneficios es calculando la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) para cada proyecto. Este indicador, al igual que la TIR, mostrará la rentabilidad promedio pero, en este caso, no sólo del capital que se mantiene en el proyecto, sino también del monto de ingresos que sale del proyecto por concepto de utilidades. La fórmula es la siguiente:

(VI.7)

Donde:

r: Costo de oportunidad del capital (COK)

n: Número total de períodos. i: Período corriente.

Ejemplo

Si aplicamos la ecuación (VI.7.) al ejemplo anterior se obtiene, para el proyecto A, una TVR de 20.8%, y para el proyecto B una TVR de 22.30%. Por lo tanto, se llega a la misma conclusión sugerida por la solución anterior: la mejor alternativa es el proyecto B.

Se puede concluir que si los proyectos no tienen una distribución igual de ingresos y la TIR y el VAN se contradicen, para tomar una decisión se deberá calcular una diferencia de proyectos o la TVR. De esta manera se elimina la contradicción que existe entre el VAN y la TIR.

En conclusión, podemos recomendar que la tasa interna de retorno se utilice sólo para proyectos convencionales; no debe ser utilizada para comparar proyectos mutuamente excluyentes. Sólo se podrá utilizar para esto último si ambos proyectos tienen la misma vida útil, la misma escala de inversión y una distribución de beneficios similar. De lo contrario, será necesario recurrir a los diferentes métodos propuestos para eliminar la contradicción y tomar una decisión adecuada.

Ejemplo 8

Inversiones Saturno Ldta. es una gran compañía que invierte en toda clase de proyectos con el ánimo de maximizar la rentabilidad total de sus inversiones. Debido a su prestigio y tradición, esta empresa puede invertir sin ninguna dificultad, al 20% de interés anual, en una amplia gama de proyectos.

Actualmente, Inversiones Saturno Ltda. dispone de S/. 500,000 para invertir y ha identificado, además de los proyectos habituales, cuatro alternativas que, por ser competitivas entre sí, no se pueden llevar a cabo simultáneamente. Por este motivo, el Gerente Financiero de Saturno enfrenta la decisión de invertir en uno de los cuatro nuevos proyectos y, si les sobra dinero, colocarlo en una de las alternativas habituales; o no invertir en los nuevos proyectos colocando los S/. 500,000 en las alternativas normales que rinden 20% anual.

En el siguiente cuadro aparece una descripción de los nuevos proyectos de inversión: allí se muestran las partidas que los constituyen y los momentos en que ellas ocurren. Además, aparecen los cálculos que hizo el Gerente Financiero que incluyen el VAN, a una tasa de descuento de 20% anual, y la TIR.

Cuadro 8.

NUEVOS PROYECTOS DE INVERSIÓN DISPONIBLES

PARA INVERSIONES SATURNO LDTA.

(en soles)

El ordenamiento preferencial resultante de cada uno de los índices utilizados para evaluar los cuatro proyectos de inversión se muestra a continuación.

Cuadro 9 ORDENAMIENTO PREFERENCIAL DE LOS NUEVOS PROYECTOS

Respecto de este cuadro, el Gerente Financiero hizo las siguientes observaciones:

• a) Todos los proyectos son aconsejables en sí mismos por cualquiera de los dos índices que se utilicen, ya que todos los VAN son mayores que cero y todas las rentabilidades internas sobrepasan el 20% que es el costo de oportunidad del capital.

• b) El ordenamiento preferencial que resulta de cada una de las técnicas de evaluación utilizadas es enteramente inconsistente. En tanto que la TIR señala los proyectos A y D como los mejores, el VAN muestra al proyecto C como el mejor y al B como el peor.

Se aconseja, sin embargo, utilizar el reordenamiento que indica el VAN.

Se quiere demostrar que el Gerente Financiero tiene razón al afirmar que el ordenamiento adecuado es el que proviene del VAN.

Debido a que se trata de proyectos mutuamente excluyentes con diferente volumen de inversión y distribución de beneficios, la TIR pierde efectividad en la comparación de los proyectos y es esta la razón de las contradicciones con el VAN. Lo más apropiado es entonces obtener la TVR de cada proyecto.

Proyecto A

Inversión = -100,000

Beneficio final año

Proyecto B

Inversión = -200,000

Beneficio final año

Proyecto C

Inversión = -300,000

Beneficio final año

Proyecto D

Inversión = -400,000

Beneficio final año

Sin embargo, subsiste la contradicción con el VAN, ya que estas rentabilidades son sobre volúmenes de inversión diferentes y, por tanto, hay que hacer una análisis incremental.

Cuadro 10 ANÁLISIS INCREMENTAL

1/ Se calculó como la TVR.

2/ Es indiferente elegir el proyecto A o el proyecto B (TIR = 20%). En este caso, se trabaja con el proyecto A, pero si se trabajara con el proyecto B el resultado no cambiaría.

3/ El proyecto (C-A) es rentable (TIR > 20%), lo cual quiere decir que C es mejor que A.

4/ El proyecto (D-C) no es rentable (TIR < 20%), lo cual quiere decir que C es mejor que D.

Así desaparece la contradicción y se elige el proyecto C.

TALLER II

PROBLEMAS EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

• 1. ¿Cuanto tiempo será necesario para que?

• a. Una inversión de S1.200.000 se convierta en S1.950.000 con una tasa de interés del 27.5% anual?

• 2. Una empresa deposita hoy $700.000 en una entidad que paga una tasa de interés anual variable que depende del tiempo medido en años así:

La persona retira S250.000 dentro de 2 años y deposita $180.000 tres años más tarde del retiro. Calcular el saldo al cabo de 10 años

• 3. Un señor tiene hoy una deuda por valor de S650.000 y le cobran un interés del 3% mensual. A su vez, el señor dispone hoy de $450.000 los cuales deposita en una cuenta al 4% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo el dinero que tiene en la cuenta le alcanzará para cancelar la deuda existente en ese momento?

• 4. Dentro de cuántos trimestres se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $910.660 sabiendo que hoy se hace un depósito de 5400.000 y luego retiros así: $80.000 dentro de 9 meses. S120.000 dentro de 12 meses, si la cuenta de ahorros abona un interés del 9.9% trimestral.

• 5. Hallar la tasa efectiva anual equivalente al:

Respuestas

3% mensual

30% anual, capitalizable mensualmente

18% semestral

9% trimestral

• 6. Se dispone hoy de una suma para invertir y se presentan dos alternativas: la primera es invertir: la primera es invertir al 29% capitalizable mensualmente y la segunda es invertir al 30.5% capitalizable semestralmente. ¿Cuál se debe aceptar?

• 7. Una persona deposita S 100.000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del 28% capitalizable trimestralmente; dentro de 3 años retira la tercera parte del total acumulado en su cuenta, dos años más tarde hace un depósito igual a la mitad del saldo existente en ese momento y dos años después retira la totalidad del dinero existente en esa fecha. Hallar el valor de este último retiro

• 8. Sustituir una obligación que consta de tres pagares de $100.000, $260.000 y $560.000 para dentro de 2,5 y 10 meses respectivamente, por su equivalente en dos pagos iguales uno para dentro de 10 meses y el otro a 20 meses, sabiendo que la tasa de interés acordada en todos los casos es del 32.22% capitalizable mensualmente

• 9. Una institución bancaria le hace un préstamo a uno de sus clientes por valor de $1,540.000 cobrándole una tasa de interés del 39% capitalizare mensualmente. La deuda se debe cancelar en dos pagos iguales de $1.148.314 cada uno. Si un pago se hace al cabo de un año, ¿cuándo se deberá cancelar el otro?

• 10. En el problema anterior para que valor de la tasa de interés, los dos pagos se deben hacer en 6 y 12 meses

• 11.  Una persona deposita hoy S450.000 en una corporación de ahorro que paga el 28% capitalizare trimestralmente. Tres años después deposita $620.000 un año más tarde deposita 3500.000 y dos años después, decide retirar la cuarta parte del total acumulado hasta ese momento. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros, cinco meses después del último retiro

• 12. Cuando usted adquirió una obligación, se comprometió a cancelarla mediante el siguiente plan: cuota inicial de $860.000, tres pagos de S950.000, S730.000 y $1.250.000 a 6, 10 y 15 meses respectivamente y un interés del 33% capitalizable trimestralmente. Transcurridos ocho meses usted cancela la mitad del saldo en ese momento, y el resto lo cancela cuatro meses más tarde. Se pide hallar el valor de cada uno de esos dos pagos

• 13. Una persona deposita S50.000 mensuales durante 4 años, en una entidad que paga el 30.5% capitalizable trimestralmente. Al cabo de ese tiempo, la persona empieza a retirar S50.000 por mes vencido y durante 4 años. Averiguar el saldo al final de los 8 años

• 14. . Un carro tiene un valor de contado de S 16.000.000 y se puede adquirir con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a tres años en cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 42% capitalizare mensualmente, hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera se cancela dentro de tres meses

• 15. Una cuenta de ahorros se inicia hoy con cuotas mensuales iguales, debiendo hacer la última dentro de 18 meses a una tasa de interés del 3% mensual, y se harán retiros iguales cada mes de cantidades que sean el doble de la depositada, si el primer retiro se hace dentro de 19 meses, se pregunta: ¿durante cuánto tiempo se podrá retirar dinero antes que se agote el fondo?

APLICACIÓN DE INDICADORES DE EVALUACION

• 16.  Supóngase que el Proyecto A consiste en la fabricación de un instrumento que se manejara manualmente, y el proyecto B es un proyecto en el que el instrumento se manejara a través de una computadora.

En la tabla siguiente, se tiene las inversiones iniciales y los beneficios netos

correspondientes:

Hallar la TIR para ambos proyectos

Hallar el VAN al 10%

¿Qué proyecto elegiría por qué?

• 17.  Se tiene dos proyectos Alternativos, una gran empresa textil y una pequeña empresa textil con los sgtes flujos.

Si el costo de capital es 12,5% se pide calcular el VAN,TIR,

TIR Mg,VANMg, B/C Mg.De acuerdo a ello decidir cuál de los proyectos se debería ejecutar.

• 18.  Una Empresa desea financiar un proyecto de los que presentó su analista financiero, los flujos de ambos proyectos se presentan en el sgte cuadro.

La empresa esta pensando en elegir B, cuyo TIR es mayor .

Es corecta la decisiòn de la empresa Porquè

Cuál sería el criterio de decisiòn correcto.

• 19.  -Una Empresa desea financiar un proyecto de los que presentó su anlista financiero, los flujos de ambos proyectos se presentanen el sgte cuadro.

Cuál de los dos proyectos aconsejaría Ejecutarlo porqué?

• 20.  Se desea elegir el equipo más adecuado posible para una fábrica de chompas de alpaca y se cuenta con dos alternativas, cuál de ellas aconsejaría ud?

• 21.  Se tiene dos alternativas se trata de utilizar tuberías X de 18' y Z de 24'de diámetro, el costo inicial de X es 21,000 y de Z 32,000 los costos de mantenimiento de X son 6700 por año, y de Z 3850 por año, es necesario este servicio por 7 años, al finalizar el sétimo año se puede vender las tuberías a la mitad del costo inicial Establezca dos indicadores que permitan decidir por cuál alternativa optar. Cok 10%.

• 22.  Se cuenta con dos alternativas tecnológicas

Si el costo de capital es 12 y 16% respectivamente se pide calcular el Valor actual de costos de A, El Valor actual de costos de B , el TIR marginal, graficar e interpretar.

• 23.  Se tiene 2 carreteras cuyos flujos de costos para cada uno son :Se desea elegir el equipo más adecuado posible para una fábrica de chompas de alpaca y se cuenta con dos alternativas, cuál de ellas aconsejaría ud

Cuál de los proyectos elegir si se tiene

a. COK 10%

b.COK 20 %

c.COK >20%