Las ecuaciones de Maxwell

Indice1. Introducción. 2. Ecuaciones De Maxwell 3. Los potenciales retardados

1. Introducción.

Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el electromagnetismo. El fenómeno era similar a la gravitación, cuyas leyes fueron descubiertas por Newton; así como un cuerpo masivo produce una fuerza gravitacional sobre otro, un cuerpo eléctricamente cargado y en movimiento produce una fuerza electromagnética sobre otro cuerpo cargado. La diferencia más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo produce y también de su velocidad; por esta razón, la teoría del electromagnetismo es más complicada que la teoría newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell son más complejas que la fórmula de Newton para la fuerza gravitacional. Un aspecto común entre la gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una aparente acción a distancia entre los cuerpos, acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no resolvió ese problema, pero inventó un concepto que desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo electromagnético. Según esta interpretación, en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una fuerza electromagnética, cuya intensidad y dirección están definidas por medio de unas fórmulas matemáticas. En realidad, más que un concepto, el campo es una definición que da cierta consistencia a la idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra lejana, sin tener que recurrir a una acción a distancia. Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo electromagnético era una noción matemática sumamente útil, descrita por ecuaciones, pero cuya realidad física trascendía toda interpretación teórica. El primer éxito, y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la elucidación de la naturaleza de la luz. Maxwell demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda electromagnética que consiste en oscilaciones del campo electromagnético. Así quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de la opinión de Newton.

2. Ecuaciones De Maxwell

Introducción al curso. Este curso inicia con el estudio de las ecuaciones de Maxwell, tiene un requisito: FM-320 (Electromagnetismo), en el cual se estudiaron las relaciones electrostáticas, con la ley experimental de Coulomb y se introdujo el estudio de los campos magnéticos estáticos producidos por el movimiento de cargas. Se estudió la distribución de cargas estacionarias y el movimiento uniforme de cargas (velocidad constante) . También se estudió la relación entre campos eléctricos y magnéticos provocada por el movimiento relativo de cargas. Y que un campo eléctrico estable que actúa sobre un conductor, forza en éste una corriente estable, la cual provoca a su vez un campo magnético estático.

En este curso vamos a considerar un caso más general para los campos, es decir , consideraremos los campos que resultan del movimiento de cargas, el cual puede variar con el tiempo .

Esto conduce a la propagación de la energía en la forma de ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell en su forma general son:

<>

Donde: E = Intensidad de campo eléctrico V/m  E = Flujo Eléctrico Coulombs D = Densidad de flujo eléctrico C/ H = Intensidad de campo magnético A/m B = Densidad de flujo magnético Wb/ o T  m = Flujo Magnético Wb J = Densidad de corriente A/

= Densidad del volumen de carga C/

Todas las variables son vectores dependientes de x,y,z,t, es decir V(x,y,z,t). La compilación de las ecuaciones y su consolidación como conjunto, más el desarrollo del concepto de densidad de desplazamiento de corriente, se debe a James Clerk Maxwell, un físico y matemático escocés del siglo XIX. A pesar de que él no descubrió estas ecuaciones, el conjunto de ellas lleva su nombre porque fué él quien compiló los resultados obtenidos por Ampere, Faraday, Gauss, Coulomb y otros, e hizo importantes adiciones a la ley de Ampere (el concepto de desplazamiento de corriente). En este capítulo vamos a estudiar cada una de estas ecuaciones por separado.

Ley de Faraday Sabemos que una corriente estable produce un campo magnético,en 1831 Michael Faraday demostró que un campo magnético variante en el tiempo puede producir una corriente eléctrica. Quizás es más exacto decir que lo que Faraday descubrió fue que cuando se altera el flujo magnético que pasa por un circuito cerrado,entonces se induce un voltaje o fuerza electromotriz (fem), la cual podría producir una corriente en este circuito.

Figura. 2.1aFigura. 2.1b

Figura 2.1. La ley de Faraday se puede escribir de la siguiente manera:

<> V ó (2.1)

Donde es el flujo magnético que pasa a través de cualquier superficie S limitada por el circuito (ruta cerrada c). El flujo que produce la corriente resultante (o inducida) se opone a los cambios en el flujo original. La última oración es un enunciado de la Ley de Lenz y es la que da el signo menos a la ecuación de la fem.

La fuerza electromotriz es un voltaje debido a alguna forma de energía distinta a la energía eléctrica y se define como:

(2.2)

Si el flujo se puede encontrar integrando la componente normal de la densidad de flujo, sobre la superficie que nos interesa, entonces:

(2.3)

Combinando estas tres ecuaciones (2.1, 2.2 y 2.3) obtenemos:

(2.4)

El teorema de Stokes nos dice que :

<> Donde S es una superficie abierta limitada por el contorno c.

Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuación (2.4) obtenemos

(2.5)

Donde s1 y s2 son cualquier superficie abierta limitada por la ruta cerrada de la ecuación 2.2 Nótese que s1 y s2 no son necesariamente la misma superficie, pero sus límites sí.

Si la ruta cerrada es fija o estacionaria, entonces s1 y s2 no son dependientes del tiempo. Si así ocurre, entonces podemos derivar a B dentro de la integral, parcialmente en el tiempo ().Entonces:

(2.6)

La ecuación anterior es válida sin importar S1, ni S2, ni sus respectivos límites;por lo tanto, si S1 y S2 son idénticos, entonces la igualdad de la ecuación (2.6) se cumple sólo si los integrandos son iguales. Por lo tanto:

(2.7)

Y se deduce que E es no conservativo (). Esta es la forma diferencial de una de las ecuaciones de Maxwell, la forma integral se obtiene de la ecuación 2.4. con la S fija (). Entonces:

(2.8)

Las ecuaciones de Maxwell (ley de Faraday) para el caso electrostático ( / t=0). Se obtienen inmediatamente:

(2.9)

(2.10)

Ejemplo 2-1 Un lazo circular de 10 cm de radio se localiza en el espacio libre junto a un conductor que lleva una corriente senoidal de 0. 5 A a 1 Khz . Calcule el voltaje inducido en un pequeño espacio del lazo si el conductor está a una distancia de 15 cm del centro del lazo.

Solución:

Para efectos de simplificación colocamos el círculo (lazo) junto con los ejes coordenados y el conductor exactamente sobre el eje Y.

El voltaje es igual a la fem y la fem se calcula a través de fem = –, y para calcular  m requerimos B, ya que  m se calcula por :

 m =  s  B. ds ,

si B =  oI.,

donde r es la distancia que hay de la fuente de B ( el 2r conductor ) hasta su área de influencia (círculo ), r coincide con el eje X, no tiene que ver con el radio del círculo.

La ecuación del círculo es ( x – 0.15 ) 2 + ( y – 0.1) 2 = r 2 luego ( y – 0.1) 2 = r 2 – ( x – 0.15 ) 2y – 0.1 = [ r 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2y = 0.1 + [ r 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 , donde r = 0.1 m así 0. 25 0.1 + [ r 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 m =    oI dydx 0.05 0 2 r 0.25 0.1 + [ r2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 m =   oI y dx 0.05 2 r 0 0. 25 m =  oI {  [ 0.1 + [ 0.1 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 ] dx } 2 0.05 x x

0.25 0.25 1 / 2=  oI {  0.1 dx +  [ ( 0.1 )2 – ( x – 0.15 )2 ] dx } 2 0.05 x 0. 5 x2 x20. 25 0. 25 1/2=  oI { 0.1 ( ln x )  +  [ ( 0.01 ) – ( x – 0.15 )2 ] dx } 2 0.05 0.05 x2 x2 m =  o I ( 0.1609 + 0.1199 ) =  oI ( 0.2806 ) = ( 4 10- 7 ) ( 0.5 sen  t ) ( 0.2806) 2 2 2  m = 0.2808 x 10- 7 sen  t después fem = – d m = – ( 2 ) ( 5 x 103 ) ( 0.2808 x 10- 7 ) cos  t = 9. 048 x 10- 4 cos  t dt donde el valor máximo es : fem max = 9. 048 x 10- 4 = 0. 9048 mV.

Leyes de Gauss La ley de Gauss establece que "el flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga toral que está dentro de la superficie". La importancia de la contribución de Gauss no radica en establecer la ley, sino en darle una expresión matemática. Si imaginamos una distribución de carga, mostrada como una nube de cargas puntuales, en la fig. 2.3, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma. La superficie cerrada podría ser la superficie de algún material real, pero más generalmente podría ser cualquier superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es Q, entonces pasarán Q Coulombs de flujo eléctrico por el interior de la superficie. En cada punto de la superficie el vector de densidad de flujo eléctrico D tendrá un valor Ds, donde el subíndice s nos recuerda que D debe evaluarse en la superficie, y Ds en general va a variar en magnitud y dirección de un punto a otro de la superficie. Ahora vamos a considerar un elemento incremental s de la superficie, el cual es tan pequeño que puede considerarse una porción plana de la superficie, la completa descripción de s requiere no sólo su magnitud, sino también su dirección, es decir, su orientación en el espacio . En otras palabras s es una cantidad vectorial. La única dirección que se le puede asociar a s es la dirección de la normal al plano que es tangente a la superficie en el punto en cuestión. Existen dos normales que podrían asociarse a s, se selecciona la que "salga" de la superficie cerrada.

Fig.2.3

Consideremos un elemento  s en cualquier punto P y sea  el ángulo que forman Ds con s , como se muestra en la figura 2.3. Entonces, el flujo que pasa a través de s es el producto de la componente normal de Ds y de s,  = flujo a través de  s = (Ds, normal)( s) = DsCos s Si aplicamos la definición de producto punto: A.B|A||B|Cos AB. Entonces  = Ds.s. El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales de flujo que pasan a través de s

La integral resultante es una integral de superficie cerrada y puesto que ds siempre involucra las diferenciales de dos coordenadas (dxdy ó  d d ó ), entonces la integral es una doble integral, se utiliza una S abajo del signo de la integral para indicar que es una integral de superficie. Una última convención es poner un pequeño círculo en el signo de la integral para indicar que la integral se va a hacer sobre una superficie cerrada. Entonces la formulación matemática de la ley de Gauss es:

<> (la carga contenida) (2.11)

Ahora, la carga contenida podrían ser varias cargas puntuales:

O una carga lineal (que tiende de n a infinito).

O una carga de superficie

O una carga de volumen

La última forma es la más usada y debemos estar de acuerdo en que es una generalización de las tres anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:

(2.12)

Una expresión matemática que simplemente quiere decir que el flujo eléctrico total que puede pasar a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga contenida por esa superficie. Esta es la primer ley de Gauss y la tercer ecuación de Maxwell.

Hemos obtenido la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral, para su forma en producto punto aplicamos el teorema de la Divergencia a la parte izquierda de 2.12:

El teorema de la divergencia nos dice que , donde V es el volumen contenido o limitado por la superficie S.

Substituyendo en 2.12 (2.13).

Como los volúmenes en 2.13 son los mismos, entonces la igualdad se cumple sólo si los integrandos son iguales, así tenemos la forma puntual de la tercer ecuación de Maxwell:

(2.14)

Para demostrar la segunda ecuación de Gauss definimos el vector de densidad de flujo magnético B como .

Donde B se mide en Weber/ o en el SIU en Teslas (T), también se puede utilizar el Gauss (G) donde 1 Wb/= 10E3 G. Y , la permeabilidad en el espacio libre, es: =4 xH/m y H es equivalente a A/m y  Weber = H.A.

es la inductancia por unidad de longitud de una línea de transmisión inmersa en el medio al cual representa .

Haciendo una analogía entre B y D podemos definir a  como el flujo magnético que pasa por una superficie S y de (1.11) tenemos:

<> (Wb)(2.15)

En (2.11) el flujo eléctrico  es igual a Q la carga encerrada por S

La carga Q es la fuente de las líneas de flujo eléctrico y estas líneas empiezan en cargas positivas y terminan en cargas negativas.

Para las líneas de flujo magnético no se ha descubierto una fuente análoga a Q. Puesto que . , el campo B es de la misma forma. Las lineas de flujo magnético son cerradas y no terminan en una "carga magnética ". Por esta razon la ley de Gauss para el campo magnético es:

(2.16)

Como en (2.12), aplicamos a 2.16 el teorema de la divergencia y obtenemos la forma puntual de la segunda ley de Gauss.

 .B = 0(2.17)

No hemos probado (2.16) ni (2.17), pero hemos sugerido su validez. Y hay que hacer notar que la densidad de flujo magnético B es solenoidal ya que no tiene fuente.

Las siguientes relaciones son importantes: D =  E (2.18) B =  H (2.19) J =  E (2.20) de conducción. J = (2.21) de convección.

Ejemplo 2.2. Sea D = ( 8x + 4x 3 )ax – 2y ay + 2z az C/m2 . Utilize la ley de Gauss para calcular la carga encerrada en la región cúbica: – a  xyz  a.

Solución: Para x = a a aQ1=  (8a + 4a3 )ax. axdydz – a – aa a a aQ1= (8a + 4a3) y dz =  (8a + 4a3 )2a dz = (8a + 4a3 )2a z = 4a2 (8a + 4a3 ) = 32a3 + 16a5

– a – a – a – aPara x = -a – a a Q2=  – (( – 8a – 4a3 )ax.axdzdy a – aa a -a -aQ2= (8a + 4a3)z dy =  -(8a+4a3)2a dy = -(8a+4a3)2a y = – (8a + 4a3) (2a) (- 2a) = 32a3 + 16a5 a – a a a

Para y = a – a a – a a – a Q3=   ( -2a ay . aydzdx =  -2a z dx = -2a (2a) dx = -4a(2) x = 8a3 a -a a – a aPara y = – a a a a a Q4=  – ( +2a)ay.-ay dxdz = -2a x dz = – 4a2 z = – 8a3 – a -a -a -a Para z = a -a a -a a aQ5=  2a az .az dxdy =  2a x dy = – 4a2 y = 8a3 a -a a a -a Para z = -a – a a -a a – aQ6=  -2a az . -az dydx =  2a y dx = 4a2 x = – 8a3 a -a a -a a

La carga total encerrada va a ser la suma de la carga de cada cara, CT=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6. Por lo tanto la carga total encerrada en la región pedida es CT = 2 ( 32a3 + 16a5 ) = 64a3 + 32a5 C.

Ley de Ampere y Corriente de Dezplazamiento. La ley de Ampere (o quizás sea más correcto decir la ley circuital de Ampere) simplemente establece que la integral de línea de H alrededor de cualquier ruta cerrada (o la circulación de H) es igual a la corriente encerrada por esa ruta. La ruta es completamente arbitraria. La dirección de la corriente se encuentra aplicando la regla de la mano derecha, la ley en su expresión matemática es:

<> (2.21)

Esta expresión se puede derivar directamente de la ley de Biot-Savart, es una demostración larga y tediosa, vamos a aceptar (2.21) como definición para obtener la segunda ecuación de Maxwell en su forma puntual.

Si aplicamos el teorema de Stokes a (2.21) [ superficie abierta S, rodeada por el contorno C.]

<> (2.22)

Donde S1 es cualquiera de las posibles superficies abiertas definidas por la ruta de integración C, usada para la integral de línea. Si substituimos el lado derecho de (2.21) en el lado izquierdo de (2.22) obtenemos :

<> (2.23)

Puesto que la ley de Ampere establece que S1 y S2 son arbitrarias, podemos entonces hacerlas idénticas, pero aún arbitrarias.

En este caso tenemos:

(2.24)

Si S es arbitraria, los límites de integración pueden ser idénticos y en este caso la igualdad se cumple sólo si los integrandos son iguales.

<> (2.25)

La cual es un caso particular de la segunda ecuación de Maxwell. Si aplicamos el divergente a (2.25):

<> (2.26)

es cero ya que el divergente del rotacional de cualquier vector es cero.La ecuación (2.25) no es correcta para el caso general, pero de la conservación de la carga para el caso variante en el tiempo tenemos que:

<> (2.27)

Por lo tanto para que (2.26) cumpla con el caso general hay que agregarle:

<> (2.28)

De la tercera ecuación de Maxwell tenemos que : , entonces.

<> (2.29)

Si D y sus derivadas espaciales y la del tiempo son continuas entonces:

<> (2.30)

Substituyendo (2.30) en (2.29) y reordenando tenemos:

<> (2.31)

la cual es la segunda ecuación de Maxwell en su forma puntual.

El término agregado,, fué la principal contribución de Maxwell y debido a esta contribución se asocia su nombre con el conjunto de ecuaciones. Este término es obviamente una densidad de corriente () , y así lo nombró Maxwell Densidad de Corriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de la densidad de flujo eléctrico).

En la mayoría de las aplicaciones de baja frecuencia, la corriente de desplazamiento es despreciada. Esta es una razón porque su presencia no fue fácil de verificar o detectar, hata que hubieron fuentes de alta frecuencia.

Para obtener la forma integral de la 2a ecuación de Maxwell, hay que integrar ambos lados de (2.30) sobre una superfiicie abierta fija, haciendo esto tenemos:

<> (2.32 a)

Si aplicamos el teorema de Stokes al lado izquierdo de (2.32) y (2.20) a su lado derecho tenemos.

<> (2.32 b)

La cual es la forma integral de (2.31), la segunda ecuación de Maxwell

Ejemplo 2.3 Un dieléctrico con pérdidas tiene  = 4 10- 7 H/m ,  = ( 10- 8 / 36 ) F/m y  = 2 x 10- 8 S/m . Si se tiene un campo eléctrico E = 200 sen  t az V/m en el dieléctrico. a) ¿ A qué frecuencia tendrán iguales magnitudes la corriente de conducción y la corriente de desplazamiento ?. b) A esta frecuencia calcule la corriente de desplazamiento instantánea.

Solución: Ejemplo 1.4. Encuentre la amplitud de la densidad de corriente de desplazamiento en : a) El aire cercano a una antena de automovil , donde la intensidad de una señal de FM es E = 80 cos ( 6. 277 x 108 t – 2. 092y ) az V/m; b) Dentro de un conductor metálico donde f = 1Khz,  = 5 x 107 S / m ,  r = 1 y la corriente de conducción es J = 107 sen ( 6283t – 444z ) ax A / m2 c) Un capacitor de placas paralelas tiene como dieléctrico el aire, sus placas miden 10 cm2 las cuales están separadas por una distancia de 2 mm. Si el capacitor se conecta a una fuente senoidal de voltaje de 50 V ( 1 Mhz ), calculae la magnitud de la corriente de desplazamiento.

Campos de tipo Senoidal y fasores. El mayor énfasis en nuestro estudio de las ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo se hará con el comportamiento senoidal de la campos vectoriales. Para este caso, los campos se van a escribir en la forma de fasores, lo cual va a simplificarnos considerablemente los detalles matemáticos. Para ilustrar este importante concepto, vamos a escribir el vector intensidad de campo eléctrico de la siguiente manera:

<> (2.33)

Supongamos que cada uno de estos componentes tiene una variación senoidal en el tiempo (la cual vamos a suponer arbitrariamente que es cosenoidal) de la forma :

<> (2.34a)

<> (2.34b)

<> (2.34c)

Donde las magnitudes y los ángulos de fase de los componentes son independientes del tiempo t, pero podrían depender de las coordenadas espaciales, por ejemplo,Cada una de estas formas enel tiempo las vamos a escribir en forma fasorial, pro ejemplo, la forma fasorial de es:

<> (2.35)

Y de manera similar se hace para los fasores: Las ecuaciones en el dominio del tiempo se pueden obtener a partir de los fasores al multiplicar por y tomando la parte real del resultado:

<> (2.36)

En donde se aplicó la identidad de Euler

<> y

Y Re(.) es la parte real de la cantidad compleja. El campo vectorial completo se puede escribir de igual manera como:

<> (2.37)

Con este resultado podemos definir la forma fasorial del campo vectorial como:

<> (2.38)

Y (2.37) se puede escribir como:

<> (2.39)

Para resolver los problemas involucrados con la variación senoidal de los campos vectoriales, reemplazamos los campos vectoriales por sus formas fasoriales multiplicadas por .

<> (2.40a)

<> (2.40b)

<> (2.40c)

<> 2.40d)

Nótese que la derivada con respecto al tiempo, de las formas (2.40) es equivalente a multiplicarlas por j ; es decir:

<> (2.41)

Esta importante propiedad permite una gran simplificación en la solución de estos problemas. Si sustituimos (2.40) y (2.41) en las ecuaciones de Maxwell y cancelando , término común a ambos lados de las ecuaciones, obtenemos:

<>

El producto de cada fasor de campo vectorial y se puede ver como compuesto de dos partes. Por ejemplo, la componente x de se puede escribir como:

<> (2.43)

Donde Im(.) denota la parte imaginaria de la cantidad compleja. De esta manera, es la suma de dos términos:

<> (2.44)

Puesto que cada una de las ecuaciones de Maxwell es lineal, cada ecuación en (2.42), al multiplicarse por , se puede factorizar como la suma de dos ecuaciones:

una para las partes Re(.) y otra para las partes jIm(.). Así, resolvemos para (2.42) y utilizamos la porción deseada de la solución. Por lo tanto, resolviendo (2.42) para las cantidades fasoriales complejas obtenemos las formas en el dominio del tiempo de las soluciones, simplemente multiplicando cada fasor por y tomando la parte real del resultado.

Si el medio es lineal, homogéneo e isotrópico (lo cual supondremos de aquí en adelante), (2.42) se vuelve:

<>

Aquí la permitividad, permeabilidad y conductividad pueden ser funciones de la frecuencia [(f), (f), (f)], como ocurre para los medios materiales. Se va a utilizar ( ) para designar no sólo las cantidades fasoriales complejas, sino también otras cantidades que sean complejas.

Ecuaciones de Maxwell en Forma Integral La forma integral de las ecuaciones de Maxwell permiten reconocer generalmente, las leyes experimentales de las cuales fueron obtenidas mediante un proceso de generalización. Los experimentos deben tratar con cantidades físicas macroscópicas y sus resultados tienen que ser expresados en términos de relaciones integrales. Una ecuación diferencial siempre representa una teoría. Se recopilarán ahora las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell obtenidas en la sección anterior. Integrando una formula sobre una superficie y aplicando el teorema de Stokes, se obtiene la ley de Faraday,

E . dL = -[(s)(B/t).(dS)]

y si se aplica el mismo proceso a la otra formula se produce la ley circuital de Ampére,

H . dL = 1 +[(s)(B/t).(dS)]

Las leyes de Gauss para los campos magnéticos y eléctricos se obtienen integrando las formulas sobre un volumen y utilizando del teorema de la divergencia:

D . dS = vol Pvdv

sB . dS = 0

Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en la frontera de B, D, H y E las cuales son necesarias para evaluar las constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de ecuaciones diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no cambian en general la forma que tienen para campos estáticos o estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlas. Entre cualquier par de medios físicos (donde K debe ser cero sobre la sobre la superficie), la formula permite relacionar las componentes tangenciales del campo E, Et1 = Et2 y Ht1 = Ht2 Las integrales de superficie producen las condiciones de frontera sobre las componentes normales, DN1 – DN2 = PS y BN1 – BN2

3. Los potenciales retardados

Los potenciales variantes con el tiempo, llamados generalmente potenciales retardados por razones que se explicarán en breve, tienen su mayor aplicación en problemas de radiación en los que la distribución de la fuente se conoce aproximadamente. Debe recordarse que el potencial eléctrico escalar y puede expresarse en términos de una distribución de carga estática, V = (vol)(Pvdv) /(4¶R) (estático) y el potencial magnético vectorial pude encontrarse de una distribución de corriente que sea constante en el tiempo, A = (vol) (µJdv)/(4¶R) (cd) Las ecuaciones diferenciales satisfechas por V, V² V = – pv/£ (estático) y A, V²A = – µJ (cd) Ecuaciones de Maxwell en Forma Punto Se han obtenido dos de las ecuaciones de Maxwell para campos variantes con el tiempo,

y

Las dos ecuaciones restantes permanecen sin cambio con respecto a la forma que tienen cuando no existe dependencia temporal: La ecuación anterior esencialmente establece que la densidad de carga es una fuente (o sumidero) de las lineas de flujo eléctrico. Observe que no se puede seguir diciendo que todo flujo eléctrico comienza y termina en una carga porque la parte importante de la ley de Faraday muestra que E, y también D, pueden tener circulación si está presente un campo magnético variable. Por ello las lineas de flujo eléctrico pueden formar trayectorias cerradas. Sin embargo, sigue siendo cierto que cada coulomb de carga debe tener un coulomb de flujo eléctrico saliendo de él. Con la última ecuación se reconoce el hecho de que se desconoce la existencia de "cargas magnéticas" o polos. El flujo magnético siempre se encuentra en circuitos cerrados y nunca diverge de una fuente puntual. Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética. Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo eléctrico y el magnético, y con sus fuentes, cargas y densidades de corriente. Las ecuaciones auxiliares que relacionan D y E

B con H

que define la densidad de corriente de conducción,

y que define la densidad de corriente de convección en términos de la densidad de carga volumétrica pv,

Autor:

José Juan Jiménez Alejandro