El concepto de función como una integración de los registros de representación

Resumen

El siguiente trabajo tiene como propósito central identificar cuáles son las estrategias que utilizan los estudiantes para resolver problemas relacionados con el concepto de función, principalmente la lineal y la cuadrática, además de establecer si los estudiantes relacionan los diferentes registros de representación y si conciben la variación y el cambio como elementos de una función. Todo bajo el enfoque de la modelación matemática y las situaciones problemas que fueron fundamentales en la realización de los instrumentos para la recolección de la información.

Para tal motivo se tomó una muestra de 28 estudiantes del grado noveno pertenecientes al colegio Monseñor Alfonso Uribe Jaramillo del municipio de Rionegro (ANT), con los cuales se aplicaron una serie de instrumentos con el fin de resolver la siguiente pregunta: ¿Qué relaciones se deben establecer entre los registros de representación del concepto de función para entenderlo como modelo matemático?

Para abortar tal cuestionamiento se retomaron como referentes teóricos los planteamientos de Posada & Villa (2006), Azcárate & Deuloffu (1996), quienes paralelamente permitieron orientar el análisis de los resultados de esta investigación. Desde la perspectiva de estos autores, se planteó la idea de función como modelo matemático, es decir, un objeto que atrapa la variación y el cambio, además de las diversas interpretaciones y relaciones que se pueden hacer de la representación tabular, algebraica, gráfica y el lenguaje natural que en conjunto forman los registros de representación que se abordan en el trabajo.

El marco teórico se desarrolla en cinco apartados, en el primero y segundo de ellos se hace referencia a la modelación matemática como método de enseñanza, además se define lo que se entiende por modelación matemática. En el tercer apartado se habla sobre las situaciones problemas y su importancia dentro del aula de clases. En el cuarto apartado se habla de los algoritmos estereotipados y se diferencian los sumisos y los innovadores, en el último apartado se habla sobre el concepto de función, primero haciendo una reseña histórica, luego a la enseñanza de concepto y cuáles deberían ser las mejores estrategias para la enseñanza del mismo según los autores retomados y por último se centra el estudio de los registros de representación y sus principales características.

De otro modo, las situaciones que sirvieron como objetos para la recolección de la información fueron tres en la primera se le da la oportunidad a que los estudiantes planten una situación y la modelen, en la segunda se tiene como objeto detonador de la actividad un partido de futbol y por último se creó una historia en la que los estudiantes deberían seguir una serie de pistas para poder encontrar un tesoro, dichas actividades contaron con preguntas orientadoras que permitían que los estudiantes ordenaran las ideas y presentaran resultados de forma adecuada.

Para el análisis de las actividades planteadas se hizo una triangulación entre la información recogida en los instrumentos, el marco teórico y la voz del autor de este trabajo, acompañado de entrevistas y registros fotográficos. Durante el análisis de esta actividad se observa que los 28 estudiantes observados presentan diferentes niveles de comprensión del concepto de función, sin embargo sólo una pequeña parte de este grupo se pudo realizar una integración de los registros de representación, lo que para los autores referenciados en este trabajo significa que han comprendido la función como un modelo matemático, el resto de los estudiantes relacionan algunos de los registros, lo que les permite tener nociones del concepto pero no su total comprensión. Además se hace un análisis de los resultados obtenidos al implementar la modelación matemáticas y las situaciones problema, puesto que era una metodología nueva para los estudiantes.

Por último, se presentan las conclusiones del proceso de investigación frente a los elementos que intervienen en la construcción del concepto de función.

INTRODUCCIÓN

En el contexto escolar la enseñanza de la funciones se ha limitado a la aplicación de algoritmos y a la memorización de ecuaciones, dejando a un lado las diferentes interpretaciones que se pueden obtener de este concepto, esto se debe a que aún se continua enseñando el concepto de función a partir de la teoría conjuntos, dejando a un lado elementos fundamentales como son la variación y el cambio y su relación con los diferentes registros de representación.

La enseñanza y aprendizaje del concepto de función implica tener una mirada estructurada de los elementos que lo componen, además de relacionar los diferentes registros de representación a partir de unos muy buenos saberes previos, que le va a permitir al estudiante comprender que es lo que encuentra haciendo, lo que posibilita que se pueda aplicar en diferentes situaciones, tanto dentro del ámbito escolar como de la vida diaria.

La finalidad que se ha trazado con este trabajo, es la de indagar si los estudiantes al resolver situaciones problemas, relacionan los diferentes registros de representación, para entender el concepto de función como un modelo matemático, es decir, analizando sí en los diferentes procedimientos y estrategias que realizan los estudiantes, establecen algún tipo de conexión entre los conceptos, o si por el contrario los ven como elementos separados.

El trabajo se realizó en el Colegio Monseñor Alfonso Uribe Jaramillo del Municipio de Rionegro (ANT), con 28 estudiantes del grado 9°, proceso que duro seis meses, en donde se dictaron clases bajo el modelo establecido por la institución, lo que permitió que los educandos tuvieran algunos saberes previos a la hora de resolver las actividades propuestas para este trabajo, lo que sirvió para realizar un análisis acerca de las estrategias pedagógicas y metodológicas que se pueden utilizar para enseñar el concepto de función.

La experiencia de aula realizada fue de corte cualitativo , utilizando el estudio de caso como metodología de la investigación, además fue seleccionado todo un grupo de la institución, a quienes se les hizo un seguimiento continuo, tanto dentro como fuera del aula, analizando el por qué y el cómo de sus respuestas.

El desarrollo del trabajo está estructurado en cinco capítulos:

En el primer capítulo titulado "planteamiento del problema" se realiza una justificación sobre la pertinencia e importancia de la investigación, además se da cuenta del diseño metodológico de la investigación.

En el segundo capítulo titulado "antecedentes" se recopilan dos investigaciones realizadas en diferentes momentos y que hacen parte de los referentes teóricos que se tuvieron en cuenta para la investigación.

En el tercer capítulo titulado "marco teórico" se presentan las teorías y referentes teóricos que se tomaron para el análisis de la investigación. Partiendo de la modelación matemática y las situaciones problema como metodología de enseñanza, continuando con los algoritmos estereotipados y finalizando con un análisis del concepto de función partiendo de la historia del mismo hasta sus principales elementos en la actualidad.

En el cuarto capítulo titulado "Diseño de actividades" se muestran los tres instrumentos aplicados a los estudiantes para efectos de la recolección de la información, en este se realiza un análisis de cada una de las actividades.

En el quinto capítulo se analizan los resultados, a partir de dos categorías que emergieron de la información recogida, en las cuales se pretende dar solución al objetivo y al problema de la investigación. Para lograrlo se realiza una triangulación entre el marco teórico, las voces de los participantes y las voces de los autores del trabajo.

En el sexto capítulo se presentan las conclusiones que surgieron de los análisis de los resultados y que sintetizan el trabajo, además se presentan algunas recomendaciones que pueden servir de apoyo para nuevas investigaciones y para fortalecer la labor de los docentes en ejercicio.

Capítulo 1

1.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 MOTIVACIÓN

La educación en Colombia a través de los años ha sufrido múltiples cambios y eso se puede evidenciar en todas las reformas que se han realizado durante su historia, sin embargo, lo que se escribe muy pocas veces se aplica y esto se hace evidente en las estadísticas del sector educativo1 que da el ministerio de educación nacional colombiana en donde se muestra que el modelo pedagógico tradicional es aplicado en gran parte del país, caso mucho más evidente en el municipio de Rionegro (ANT) en donde más del 50% de las instituciones educativas trabajan bajo este modelo.

El ministerio de Educación desde la reforma curricular, luego con los lineamientos y estándares en el área de las matemáticas ha propuesto una formación de pensamientos aplicables y útiles para aprender cómo aprender, además propone un conocimiento adaptable por fuera del aula de clases, donde el estudiante debe tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a la de los demás.

Sin embargo, es evidente que bajo un modelo tradicional lo que propone el MEN, no puede ser aplicado correctamente, puesto que, en este modelo el estudiante solo recibe una información y ésta es aplicada a problemas que muchas veces están descontextualizados, es decir, el educando debe repetir lo que se le ha enseñado, pero no tiene la autonomía de expresar lo que siente.

Según Morín (2001), en la educación del futuro se debe ubicar la información y los elementos en su contexto para que adquieran sentido, es decir, se debe educar para que los estudiantes puedan aplicar lo que ven en el aula de clases en diferentes contextos, eso no significa que se baje la rigurosidad de lo que se enseña sino que se replanten las estrategias de aprendizaje.

Igualmente, la labor docente requiere una constante actualización en los procesos de enseñanza/aprendizaje y en los saberes propios de cada docente, para así brindar a los estudiantes cursos de calidad que sean útiles en su formación. De aquí que, deba existir un compromiso constante por mejorar cada día y buscar diferentes estrategias de trabajo dentro del aula.

Es por lo anterior que el rol del docente que transmite conocimiento se debe replantear en la medida que todo lo que se desea saber se encuentra en libros y especialmente en la internet, pero también es claro que si no se tiene una orientación adecuada el estudiante se puede perder en un mar de conocimiento que no va tener ningún significado para él, es por esto que la nueva concepción del docente es crear estrategias que permitan acercarse al estudiante con el saber y con un reto mayor que es el de darle una aplicabilidad tanto dentro del aula como por fuera, a lo que se enseña.

Ahora bien, en las matemáticas el concepto de función es de gran trascendencia en el ámbito escolar, ya que, como lo expresan Azcárate & Deuloffu (1996), en el mundo actual y especialmente en los medios de comunicación la mayor parte de la información sobre los fenómenos de cambio en las diferentes ramas se difunde por medio de tablas y gráficas, que son dos de las formas de expresar la relación funcional. Por lo que se debe estudiar cuidadosamente para poder brindarle al educando suficientes herramientas para que pueda interpretar la información que hay a su alrededor, además de mostrar su importancia dentro formación académica y profesional.

Finalmente, todo lo escrito anteriormente es la principal motivación para realizar un trabajo sobre la enseñanza del concepto de función que sea acorde a los nuevos retos que exige la educación actual y que pueda servir de consulta a docentes y estudiantes que se encuentren preocupados por mejorar su labor.

1.2 APORTES

Este trabajo dará una nueva visión de la enseñanza del concepto de función, la cual será muy acorde a lo que plantean los lineamientos curriculares en cuanto a que se tendrá en cuenta el contexto del estudiante y sus mayores intereses para su enseñanza sin olvidar el rigor matemático.

Además, para los docentes en ejercicio y en formación este trabajo les dará herramientas para comprender mejor el concepto de función, ya que se hará una investigación seria y con toda la rigurosidad investigativa, para obtener unos resultados que puedan mostrar cuales son las mejores estrategias para abordar este concepto en particular.

1.3 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

La educación matemática en Colombia ha sufrido múltiples cambios, así lo muestra los documentos para tal fin como la Renovación Curricular de la década de los ochenta, los Lineamientos Curriculares de 1998 y, los Estándares Básicos de Matemáticas del 2006, vigentes en el sistema educativo colombiano, los cuales ofrecen elementos de orden didáctico para el mejoramiento de las metodologías de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Desde las interacciones en el aula, se puede observar que la metodología de las clases de matemáticas, no ha cambiado sustancialmente en relación con la de aquellos tiempos, en que lo más relevante era la enseñanza de fórmulas y algoritmos, además, que sus contenidos eran impartidos en forma fragmentada, privando a los estudiantes de comprender su estructura y de observar las relaciones que se dan entre los conceptos matemáticos.

Igualmente se observa que aunque en los últimos años la tecnología ha avanzado en todas sus ramas, y es más asequible tener computadores dentro de las Instituciones, la educación no se ha apropiado de estos elementos adecuadamente, en cierta parte porque muchas de las centros educativos no cuentan con material suficiente, y en otros casos porque las salas de informática solo son utilizadas por el área de tecnología e informática.

En el caso de las funciones se observa que su enseñanza se ha centrado en la memorización de ecuaciones que permiten llegar a resultados pero no se trabaja de forma adecuada el conjunto de representaciones que se involucran en dicho tema, tales como: el lenguaje natural, la representación tabular, representación algebraica y representación gráfica.

Dándole mayor importancia a la representación algebraica, tabular y gráfica, pero dejando a un lado el lenguaje natural lo que se hace evidente en la dificultad que presentan los estudiantes para representar algebraicamente una situación del mundo real, además se observa dentro de los salones que aunque se trabajan estas tres representaciones, los estudiantes no las relacionan como elementos de una misma función.

Dificultad que se evidencia en la Institución Monseñor Alfonso Uribe Jaramillo del municipio de Rionegro en el grado noveno, en el cual a los estudiantes se les dificulta pasar del lenguaje natural al algebraico y viceversa, igualmente aunque estos resuelven ecuaciones algebraicas y las grafican adecuadamente, no las relacionan como elementos de una misma función, lo que dificultad una comprensión más elaborada del concepto.

También se ha encontrado que aunque se han desarrollado muchas investigaciones con base al tema, aun se continúan viendo las mismas dificultades y errores en su enseñanza, todo lo anterior motivó a realizar un trabajo sobre lo referenciado, a nivel local.

1.4 HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN

El concepto de función puede continuar presentando muchas dificultades si se siguen los modelos clásicos de enseñanza, en la medida que los estudiantes no van a encontrar ninguna relación de lo que trabajan en el aula con diferentes fenómenos que pueden existir en el mundo, en la medida que simplemente van a estar realizando algoritmos para obtener un resultado.

Sin embargo, esto puede cambiar si se estudian los diferentes registros de representación (tabular, grafico, algebraico y lenguaje natural) con los que se puede analizar una función, en la medida que se tendrán cuatro componentes que aunque diferentes en su modo de representación van a conducir a un mismo elemento, lo que abrirá la mente del estudiante debido a que no se ceñirá a la solución de un algoritmo, sino que podrá encontrar diferentes situaciones en donde se puede aplicar lo visto en clase.

Para lograr esto se propone crear diferentes situaciones en donde el estudiante pueda analizar e interpretar funciones polinómicas en diferentes contextos que sean conocidos para ellos como puede ser el ámbito familiar, escolar, deportivo y recreativo, pero siempre con la finalidad de que se relacionen las diferentes representaciones del concepto.

1.5 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

A partir de las teorías encontradas y las observaciones en el trabajo del aula, se evidencia la necesidad de indagar la forma como los estudiantes abordan actividades asociadas al concepto de función; y poder documentar desde allí el tipo de relaciones que construyen, y las estrategias para obtener mejores resultados en su enseñanza por lo tanto surge la pregunta que motivó el trabajo de investigación: ¿Qué relaciones se deben establecer entre los registros de representación del concepto de función para entenderlo como modelo matemático?

1.6 OBJETIVOS

1.6.1 Objetivo General

Desarrollar una propuesta pedagógica – didáctica dirigida a obtener mejoras en los procesos de enseñanza / aprendizaje del concepto de función que potencien el desarrollo del pensamiento variacional y que permita establecer relaciones entre los registros de representación con estudiantes grado noveno.

1.6.2 Objetivos Específicos

· Elaborar una estrategia de intervención que propicie espacios de aprendizaje mediante la formulación y solución de situaciones problemáticas.

· Establecer criterios y categorías que permitan evaluar las relaciones entre los registros de representación.

1.7 ALCANCE

El alcance que se quiere obtener con éste trabajo es mostrar que relaciones se deben establecer entres los registros de representación del concepto de función para entenderlo como un modelo matemático, para esto se hará un rastreo bibliográfico y un marco teórico que permita que el lector tenga ideas claras y concisas de lo que se está hablando y lo que se desea hacer.

Asimismo se aplicaran una serie de instrumentos dentro del aula de clases con un grupo de estudiantes, para analizar si al entregarle a los educandos situaciones en donde tengan que aplicar los diferentes registros de representación de los que se estará hablando a lo largo del escrito, se obtendrá una mejor comprensión del concepto.

Además se categorizaran los resultados con el fin de analizar los hechos más significativos y más repetitivos de cada instrumento, con el fin de obtener resultados que permitan mejorar la enseñanza de los mismos. Sin embargo, no se realizará una propuesta de enseñanza del concepto, pero quedará abierta esta actividad para futuros trabajos.

1.8 METODOLOGÍA DE TRABAJO

El presente estudio se caracterizará por ser una investigación cualitativa; "La frase metodología cualitativa se refiere en su más amplio sentido a la investigación que produce datos descriptivos: las propias palabras de las personas, habladas o escritas, y la conducta observable". Taylor (1996, p. 19). En esta se emplea el estudio de casos como método de investigación, como lo expresa C.A.R.E. y citado por L.A.C.E (1999, p. 6) "El hecho de que existan muchas definiciones del caso significa que existe, en efecto solo una el estudio de casos es una lucha por alcanzar la madurez metodológica y personal". Por lo tanto, este método fue seleccionado ya que no se busca establecer generalizaciones en una determinada población, sino estudiar un caso particular, tratar de interpretarlo y comprenderlo.

Por tal motivo para éste trabajo se tomara un grupo de 28 estudiantes pertenecientes a el grado 9°A del Colegio Monseñor Alfonso Uribe Jaramillo ubicado en el Municipio de Rionegro (ANT), de carácter privado, en donde se tomaran estudiantes con rendimiento superior, básico e insuficiente, y se le aplicaran una serie de instrumentos que serán los que arrojarán la información que será analizada y triangulada para obtener datos que puedan dar respuesta a la pregunta planteada.

1.8.1 Técnicas e instrumentos utilizados en la recolección de la información

La información se recogerá a partir de entrevistas en profundidad, diarios de campo, fotos, actividades de aula y registros fílmicos, todo con el aval de los estudiantes que serán participes de la investigación.

1.8.1.1. Observación participante.

La observación participante será una herramienta fundamental para el trabajo, se llevará a cabo durante las interacciones con los participantes de la investigación, en charlas extra clase, acompañada del carácter crítico y reflexivo del investigador. Como lo afirma Taylor "La observación participante es empleada para designar la investigación que involucra la interacción social entre el investigador y los informantes durante la cual se recogen datos de modo sistemático y no intrusivo". (1996, p. 31)

La participación que se llevara a cabo en la investigación será una participación moderada debido a que en algunos momentos el investigador intervendrá y guiará a los participantes actividades que se plantearán.

1.8.1.2. Entrevistas en profundidad.

Las entrevistas como parte de las técnicas de recolección de información se utilizarán después de cada actividad, con el propósito de entrar en detalle con las soluciones que no permitían una interpretación clara y significativa. Como lo afirma Taylor (1996, p. 101), Las "entrevistas cualitativas en profundidad son reiterados encuentros cara a cara entre el investigador y los informantes, encuentros éstos dirigidos hacia la comprensión de las perspectivas que tienen los informantes respecto de sus vidas, experiencias o situaciones, tal como lo expresan en sus propias palabras".

Las entrevistas en profundidad tendrán un carácter de semi- estructuradas, en la medida que se tendrá un guion que se desarrollara a lo largo de la entrevista, pero no se establecido para desarrollarlo, por el contrario se le dará toda la libertad a los participantes para que hablan libremente.

1.8.1.3. Diario de campo.

El diario de campo es una buena herramienta para sistematizar la observación, por este motivo, es también parte fundamental de este estudio, se convierte en un material que permite a los docentes plasmar sus interpretaciones, reflexiones de sus vivencias y reconocer las dificultades en búsqueda de soluciones, además, facilitar un desarrollo sistemático y reflexivo de la labor docente. Como afirma Viviana González Maura, (2006, p. 9) "El valor del diario como instrumento potenciador de desarrollo profesional se manifiesta en la posibilidad que brinda al sujeto, a partir de la reflexión sistemática de su desempeño, identificar problemas y plantearse posibles estrategias de solución dirigidas al auto-perfeccionamiento profesional y a la mejora de la práctica educativa".

1.8.1.4 Fotos.

Las fotos servirán para plasmar momentos y objetos que serán relevantes para el proceso de investigación, además para mostrar al lector del trabajo una imagen de los participantes de la investigación.

1.8.1.5 Registros fílmicos.

Los registros fílmicos se realizarán para no perder de vista ningún detalle que se presentará en el aula de clase, siendo soporte para reconocer en los diálogos con los estudiantes, formas de razonar, además, sirven de apoyo para el análisis de los resultados, ya que cuando los maestros observan y dialogan con algunos alumnos, otros pueden hacer aportes que sean relevantes en el momento.

1.8.1.6. Actividades de aula.

Las actividades que se desarrollarán tendrán como objetivo que los estudiantes del grado noveno comprendan las relacionen entre los registros de representación del concepto de función, para esto se utilizarán situaciones problema que permitan comprender mejor estos conceptos, además se utilizarán como mediadores software, que permitirán una apropiación más clara del concepto.

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