Administración Financiera I (Análisis) (página 2)

Interés simple

Conceptos básicos y ejercicios:

NOTAS DEL TEMA:

Cuando el interés se paga sólo sobre el capital prestado, se le conoce como interés simple y se emplea en préstamos a corto plazo.

Componentes:

Capital prestado (capital o principal)

Suma del interés y capital prestado (monto)

El tiempo acordado (plazo)

El importe adicional que se paga (interés, se expresa en %)

Interés = Capital x Tasa de interés x Número de períodos

La notación puede variar entre autor y autor: Por ejemplo:

Villalobos (2003) cita I = Cin ó I =(C*i*n),

Pastor, (1999) refiere I = P*i * n

Lo importante es el significado de cada variable, por lo que utilizaremos la siguiente fórmula:

I= Pin

I = P*i*n

Donde:

I= interés ganado

P= capital

i= tasa de interés

n= plazo

De la fórmula anterior, se pueden despejar las variables que se requieran conocer. Ejemplo de ello, para el capital prestado será necesario despejar de la fórmula de interés

Ejemplo a partir de los siguientes datos

Determine el interés que genera un capital de $125,550.50 en tres meses con una tasa nominal del 7.8%

I= Pin I = P*i*n

I= Pin I= $125,550.50*0.078*(1/4)

I= $2,448.23

ó

I= Pin I= $125,550.50*0.078*(90/360)

I= $2,448.23

Nota: n = puede ser transformada en segundos, minutos, horas, días, semanas, meses, años

Importante: La fórmula puede ser manipulada por nosotros, siguiendo un orden lógico y congruente, esto es, meses de 30.41 días, años de 360 ó 365 días, horas, minutos, segundos, etc.

Ahora P:

P = I / in P=$2,448.23475 / (0.078*(1/4)

P= $125,550.50

P = I / in P=$2,448.23475 / (0.078*(90/360)

P= $125,550.50

Ahora i:

i = I / Pn i=$2,448.23475 / (125,550.50*(1/4)

i=$2,448.23475 / (31,387.625)

i= 0.078 *100 = 7.8%

i=I/Pn P=$2,448.23475/(125,550.50*(90/360)

i= 7.8%

Ahora n:

n= I / Pi n=$2,448.23475 / ($125,550.50*0.078)

n=$2,448.23475 / (9792.939)

n= 0.25 ó ¼ ó 3 meses

Cómo calcular el monto (valor futuro)

Lo que veremos a continuación será cómo determinar cuánto pagaremos o recibiremos en total al término de un período de tiempo determinado. A este total final lo llamaremos de ahora en adelante monto y lo identificaremos con la letra (S) para el manejo y sustitución en las fórmulas correspondientes.

Sabemos que con frecuencia se requiere calcular el monto (S) de un préstamo (inversión), por lo que es conveniente contar con una fórmula.

Sabemos que el monto es la suma del principal más el dividendo o interés generado, entonces:

S = P + I

Utilizando la fórmula del interés simple, tenemos que

S = P + Pin

Factor izando tenemos la siguiente Fórmula:

S=P (1+in)

Se divide entre los días que conforman el interés ordinario (anual), este último lo podemos manejar con base en 360 o 365 días. Incluso en meses (12 = 1 año)

NOTA IMPORTANTE:

Es común que las operaciones comerciales y financieras estén determinadas por fechas y no en meses o años. Para el cálculo del interés, en estos casos se requiere determinar el número de días que lo conforman. Identificado los días (t), se pueden utilizar dos formas diferentes de expresar el plazo.

Ejemplo

Para adquirir una mercancía, cierto comerciante acuerda con el fabricante pagar de contado el 50%, y el resto a un mes y medio después. Cuando debe pagar para liquidar el saldo, si el interés que le cobran es del 25% anual y el importe de la mercancía es de $32,500.00

Podemos calcular primero el interés y sumarlo al principal. Sin embargo es preferible utilizar la fórmula directa del monto, por lo que queda de la siguiente forma:

S=P (1+in) = $16,250.00(1+(0.25*(1.5/12)))

S= $16,250.00 (1+ (0.25*0.125))

S= $16,250.00 (1+0.03125)

S= $16,250.00 (1.03125)

S=$16,757.8125

Valor presente

a) Cuando queremos liquidar la deuda antes de la fecha acordada:

¿Qué sucedería si pasados 4 meses después de adquirida la maquinaria a crédito el incremento en las ventas nos da la capacidad de pagar el equipo anticipadamente?

¿Cuánto tendríamos que pagar por el equipo?

Para resolver la pregunta anterior debemos aplicar una nueva fórmula para determinar el Valor Presente de nuestra deuda.

b) Cuando no podemos pagar en la fecha acordada

Ahora demos al problema inicial un giro inesperado, planteando que pasaría si las ventas no resultan como lo esperado y a pesar de tener mayor capacidad de producción las ventas caen drásticamente advirtiendo no poder pagar el equipo en el plazo acordado.

La flexibilidad de las matemáticas financieras para adaptarse a situaciones cambiantes en el ámbito comercial nos permite hacer proyecciones y trazar los escenarios posibles para hacerles frente si se llegaran a presentar. Por lo que, en este caso le mostraremos al proveedor, —dadas las circunstancias planteadas—, como renegociar la deuda para que las partes pierdan lo menos posible, esto es, que ambos obtengan el beneficio mutuo que el esquema matemático propuesto, pudiera generarles. Así, con este nuevo escenario nos lleva a plantear un modelo matemático que permita satisfacer este requerimiento entre las partes, por lo que ahora abordaremos el tema de:

Ecuaciones de valores equivalentes con interés simple:

Para renegociar una deuda tenemos que aplicar una fórmula que calcule en cuántos pagos vamos a distribuir la deuda original y cuánto pagaremos bajo este nuevo esquema de pago. Nuevamente tomamos el referente de Pastor (1999) para considerar los siguientes pasos en la renegociación.

• 1. Determinar una fecha a la cual podamos comparar las operaciones a realizar la cual llamaremos fecha focal.

• 2. Calcular el valor de la deuda a esa fecha con la fórmula del Valor Esquema

Original.

• 3. Calcular con base a esa fecha focal las opciones de pago al proveedor.

• 4. Por último determinar cuánto es el monto de cada pago renegociado a través de la fórmula del Valor Nuevo Esquema.

INTERÉS COMPUESTO

Conceptos básicos y ejercicios: Recuerda que la metodología para el cálculo del interés compuesto es similar al interés simple. En todo momento se trabajará con la expresión (1+i), (1+i*n)………….Lo que hace diferente este tema, es desde luego la capitalización de las tasas y el incremento de "P" en "n" tiempo con "i" tasa. Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual (0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teoría, tomamos la fórmula del monto del interés simple, quedando de la siguiente manera:

S = P (1+ in) =150,000(1+0.00833*1)

S=150,000(1.00833) = $151,249.50

Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidad a otro mes y con la misma tasa. Desde luego, sin retirar el interés, de lo contrario caemos en el interés simple y de lo que trata este tema es del interés compuesto.

Entonces tenemos que:

S = P (1+ in) =151,249.50 (1+0.0833*1)

S=151,249.50*(1.00833)*1= $152,509.408

El inversionista, nuevamente desea invertir otro mes y con la misma tasa, el importe de su capital. (Se continúa con el mismo procedimiento anterior.)

Se imagina que una persona quiera estar calculando 100, 200 o 300 meses Es por ello que el interés compuesto, viene a proporcionar una forma simple de poder capitalizar cada uno de los meses en que se desea estar invirtiendo.

Es por ello, que tomando la formula de interés simple, integramos las capitalizaciones. Esto es, el interés ganado en una inversión se integra al capital, denominando a esto, la capitalización, y al período en que el interés puede convertirse en capital se le llama período de capitalización.

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

El Valor Futuro no es otra cosa, que el valor que tendrá una inversión en un tiempo posterior (del presente al futuro).

VFinv = VPinv (1+i)n

Donde:

VPinv: Valor actual de la inversión

n: número de años de la inversión

i: tasa de interés anual expresada en tanto por uno

VFinv: Valor futuro de la inversión

Aumenta, a medida que aumenta la tasa y el tiempo.

Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%:

VFinv = 150,000 (1.078)3 = $187,908.98

Con capitalización mensual

VFinv=150,000 (1 + i/12)n VFinv=150,000(1+0.078/12)36

VFinv=150,000(1.0065)36 VFinv=150,000(1.262688)= $189,403.20

El Valor Presente es el valor que tendrá una inversión futura en el presente, o sea hoy. (Del futuro al presente).

Tasas de rendimiento y descuento

Conceptos Básicos

Tasa de Interés

Se refiere a la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito.

Otras definiciones

Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce.

Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos fanciado.

La Tasa De Rendimiento

Se refiere a la tasa que el inversionista espera obtener de sus inversiones, claro está, antes de la carga tributaria.

Para la determinación de la tasa de rendimiento que ofrecen los instrumentos de inversión, Se puede decir que:

"La tasa de rendimiento debiera exceder a la tasa de mercado en proyectos de riesgo"

Además debiera considerarse entre otras cosas:

• La tasa real

• La inflación acumulada en el lapso de tiempo de la inversión

• El grado de riesgo

La Tasa de Rendimiento (como función lineal), viene dada por la ecuación:

Esta pudiera ser una fórmula para determinar una tasa de rendimiento acorde a la inversión.

Finalmente puede consumarse con estos dos conceptos que:

La tasa de rendimiento es el premio que se espera recibir, mientras que la tasa de descuento se refiere a un índice de rendimiento utilizado para descontar flujos futuros de efectivo a su valor actual (presente).

Caso de Cetes

Cetes: Los cetes son instrumentos emitidos por el Gobierno Federal (México) con un valor nominal de 10 pesos y cotizados a descuento. Los cetes pagan una tasa de rendimiento que equivale a la diferencia entre el valor nominal y el precio a descuento.

Cuando adquieres un cete le estás prestando dinero al Gobierno para que pueda pagar sus compromisos, y a cambio te llevas una ganancia o interés, según indica la Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV).

El Cete se puede calcular de dos maneras:

• 1. A partir de su tasa de rendimiento:

Ejercicio

Un inversionista adquiere Cetes con un rendimiento anual del 14.7%. La colocación está fechada el 31 de Marzo del 2006 y la fecha de vencimiento es el 28 de abril del mismo año (28 días por madurar el valor nominal de 10.000).

Recordemos que los Cetes se adquieren a descuento en los mercados primario y secundario.

Se solicita calcular el valor de adquisición

• a) Calcular el principal a través de irt

• b) calcular el precio a partir de id

• c) calcular el precio a partir del teorema 3

Solución

Tasas de interés

Conceptos básicos

Tasa Nominal

Es la tasa pasiva sin capitalizar.

Tasa Efectiva

Es la que resulta de capitalizar la tasa nominal, la cual depende de los períodos de capitalización (diario, semanal, mensual, semestral o anual).

Ejercicio

A continuación se presenta en la siguiente tabla un ejercicio de forma comparada. La tabla muestra la variación en las tasas nominales y efectivas para distintos períodos de capitalización; uno con capitalización anual (12 meses en 1 año) y otro con capitalización semestral (2 semestres en 1 año):

Ejercicios

• 1. Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal mensual del 12%.

• 2. Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal semestral del 36%.

En este caso sustituyendo en la Ecuación 1 se tiene que:

Tasa Real

Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad financiera. Es decir, es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se reciben operaciones financieras.

La tasa real está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, como puede apreciarse en la ecuación:

Donde

TR = Tasa real

TE = Tasa efectiva

TI = Tasa inflacionaria

Ejercicio

Calcule la Tasa Real de las siguientes tasas efectivas. Considere una Inflación anual del 3.5% para todos los casos.

De esta forma se obtienen las tasas reales para cada una de las tasas efectivas.

Tasas Equivalentes

Se refiere a aquellas tasas de interés con períodos distintos de capitalización, que a largo plazo generan el mismo rendimiento.

La tasa de interés es equivalente a su tasa efectiva asociada, porque ambas generan similares ganancias.

En la práctica financiera y comercial, con frecuencia se hace necesario calcular la tasa equivalente, a partir de períodos de capitalización diferentes.

Ejemplo

Veamos un caso donde se cuenta con dos bancos el Banco de la Ilusión (A), que ofrece el 14.2% anual capitalizable mensualmente y el Banco de las Transas (B) que ofrece el 15.0% anual capitalizable trimestralmente. El problema que se está presentando es que los clientes del banco de la Ilusión le están cancelando sus cuentas, para irse con el de las Transas. Pudiera ser traición, pero no. Para averiguar lo que sucede, se realiza lo siguiente:

Para resolver este problema, se sugiere utilizar el procedimiento de las tasas efectivas. Es por ello, que calculamos la tasa efectiva del "Banco de las Transas" que es nuestra competencia directa.

Para ello, podemos utilizar las siguientes ecuaciones:

Entonces como el primer Banco ofrece una tasa del 14.2% capitalizable mensualmente, ahora debemos encontrar la tasa que capitalizable mensualmente, rinde la tasa efectiva del 15.865% cuya capitalización es trimestral. Con ello se daría respuesta a la pregunta: ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente, debe pagar el Banco A, que le permita igualar los rendimientos del Banco B?

Ahora nos damos a la tarea de encontrar la tasa requerida, o sea, la tasa nominal que capitalizable mensualmente, sea equivalente a la tasa efectiva del 15.865%, ésta última, correspondiente a la tasa anual del 15% capitalizable trimestralmente que ofrece el Banco B.

Para ello empleamos la Ecuación del Monto Compuesto:

Si la unidad esta sumando, pasa restando y queda la siguiente expresión:

Ahora hay que sugerirle al Banco de la Ilusión que ofrezca una tasa anual capitalizable mensualmente de por lo menos 14.82% (redondeada), que es equivalente a la tasa nominal del 15% capitalizable trimestralmente, y equivalente a su tasa efectiva del 15.865%

Otra alternativa que se presenta en este libro para identificar las tasas equivalentes, a partir de las tasas nominales que ofrecen los bancos que se comparan en este ejemplo es:

• a) Igualar los rendimientos de ambas tasas en el plazo más reciente en el que puedan coincidir.

• b) No se requiere calcular tasa efectiva

• c) Ubicar las capitalizaciones que ofrecen los bancos (Es común que sea a 28 días, mensual, trimestral).

Determinando las tasas

i1= tasa nominal para el primer banco (en este ejemplo es igual a i/12)

i2= tasa nominal del segundo banco (en este ejemplo es igual a 15/4 = 3.75%)

Ahora con las tasas ya establecidas, se debe satisfacer la siguiente ecuación:

Nuevamente tenemos una tasa equivalente del 14.816%.

Si con todo esto, los clientes siguen cancelando sus cuentas, entonces deberán preocuparse los funcionarios del Banco y replantear su estrategia para cuidar a sus clientes.

Valor presente y descuento compuesto

En esta sección del libro se estudia el valor presente compuesto, su descuento e inflación.

En la primera unidad, se analizaron problemas de valor presente en supuestos casos de corto plazo y que están basados en el interés simple.

Ahora en esta unidad se estudian problemas donde la fecha de pago del adeudo es mayor, y para este caso se utiliza la fórmula de valor presente empleando interés compuesto.

De la siguiente ecuación:

Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa "x" y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro.

A continuación se resuelve un problema de aplicación:

Un empresario obtuvo un préstamo de Nacional Financiera a una tasa de interés muy baja. Ocho meses antes de la fecha en que debe pagar dicha cantidad, consigue un contrato que le da utilidades suficientes para pagar esa cantidad los $248,000.00 que le prestaron. Considerando que el préstamo se acordó a tasas muy bajas, el empresario decide invertir el dinero necesario y que le permita pagar la deuda contraída, para ello busca un banco que le ofrece el mayor rendimiento, 14% anual capitalizable mensualmente. La pregunta es: ¿Cuánto debe invertir hoy (ocho meses antes) a la tasa del 14%, de tal manera que pueda pagar los $248,000.00 en la fecha de vencimiento de su deuda?

Se utiliza la siguiente ecuación:

El empresario debe invertir hoy a la tasa del 14%, la cantidad de $226,022.89, para que a los 8 meses pueda pagar los $248,000.00 que le prestó Nacional Financiera.

En resumen, podemos decir que, a la diferencia entre el valor del monto que se requiere para saldar una deuda y su valor actual neto o presente, le denominaremos Descuento Compuesto.

Inflación

Inflación

Se refiere a la variable que explica el cambio del valor del peso, en el tiempo. Es decir, en períodos de inflación alta, nos pasa a perjudicar nuestro bolsillo y caso contrario cuando la inflación es baja no se resiente tanto, aunque también afecta pero en otros porcentajes.

Tasa de Inflación

Constituye una medida para evaluar el valor de la moneda en determinado período.

Usando las siguientes interpretaciones:

Podemos resolver un problema:

¿En cuánto tiempo se podría reducir el poder adquisitivo de la moneda a la mitad, si la tasa de inflación anual promedio es del 15%?

Esto en lenguaje coloquial es: en que tiempo lo que hoy vale X pesos costará 2X pesos.

Algo así como 4.959 años (casi cinco), el poder adquisitivo de la moneda será como de la mitad, o sea, 1 peso valdrá 50 centavos, desde luego si la inflación promedio fuera del 15% anual.

Anualidades

Anualidad o Renta

Se refiere al pago periódico que se realiza en un lapso de tiempo, considerando una tasa de interés y una capitalización en cuyo caso se fija al inicio de la firma del convenio. Son una serie de flujos normalmente de un mismo monto y períodos iguales. Pueden ser abonos o pagos y no necesariamente deben ser de periodicidad anual, sino mensual, quincenal, bimestral etc.

Intervalo de Pago o Intervalo de Abono

Se refiere al tiempo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, según sea el caso que se desee calcular.

Tiempo del Contrato o Convenio

Se refiere al plazo de la anualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer y último de los pagos o abonos.

Se pueden encontrar diversas clasificaciones de anualidades, pero en este texto se centran en la siguiente clasificación:

• Ordinarias o Vencidas

• Anticipadas

• Diferidas

• Generales

Ordinarias

Son aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en la actividad financiera y comercial. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas.

Las características de éste tipo de anualidades son:

• Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo de pago.

• Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.

• Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago.

• El plazo inicia con la firma del convenio.

Variables que se utilizan en este apartado:

• VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)

• VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)

• A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)

• m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización. Ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12)

• i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i)

• n: Tiempo

Procedimiento

Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:

• a) Su Valor Futuro o Monto de una serie de pagos:

• b) Tiempo "n" en el Valor Futuro:

Para calcular el tiempo "n", de la fórmula del Valor futuro (planteada anteriormente) podemos obtener una expresión que nos permita determinar n.

• c) Tiempo "-n" en Valor Presente Neto :

Para calcular el tiempo "-n", de la fórmula del Valor Presente Neto (planteada anteriormente) obtenemos:

• d) Para calcular la tasa de interés "i":

• En el Valor Futuro o Monto:

Del Monto:

Anticipadas

Son aquellas anualidades que son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, toda vez que los pagos se hacen por anticipado, salvo que el deudor (en caso de alguna compra a plazos) desee liquidar por adelantado sus pagos. Ahora bien, en el caso de una cuenta de depósitos (pudiera ser un fideicomiso), estos se hacen a inicio del convenio y así sucesivamente hasta el final del convenio. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas.

Las características de este tipo de anualidades son

• El plazo inicia con la firma del convenio.

• Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago.

• Los pagos o abonos se realizan al inicio de cada intervalo de pago.

• Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.

Variables que se utilizan en este apartado

• VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)

• VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)

• A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)

• m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12)

• i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i)

• n: Tiempo

Procedimiento

Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:

• a) Su Monto:

Al igual que en las anualidades ordinarias, cuando las tasas de interés cambian en el lapso del tiempo, se buscará el VF de la anualidad de la siguiente forma:

Seleccionamos la que utilizaremos (en este caso se toma el Valor Futuro) y obtenemos luego de realizar despejes obtenemos:

• b) Tiempo "-n" en Valor Presente Neto de una Anualidad Anticipada:

Para calcular el tiempo "-n", de la fórmula del Valor Presente Neto (planteada anteriormente) obtenemos:

• c) Para calcular la tasa de interés "i":

• En el Valor Futuro o Monto:

Para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VF/Rp.

• En el Valor Presente Neto:

Y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VPN/Rp.

Anualidades diferidas

Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en años, semestres, etc. 

La duración de una anualidad diferida es el tiempo que transcurre entre el comienzo del intervalo de aplazamiento y el final del plazo de la anualidad diferida, es decir, comprende dos partes. La primera o preliminar se compone del tiempo comprendido entre el momento actual y el comienzo del plazo de la anualidad (intervalo de aplazamiento t) y la segunda por el plazo de la anualidad n. Las anualidades diferidas pueden ser vencidas o anticipadas, dependiendo del momento en que tiene lugar el pago. 

El monto de una anualidad diferida, bien sea vencida o anticipada, se calcula con los mismos procedimientos que los de las anualidades vencidas o anticipadas (mismas tasas de interés, plazo, renta, etc.), ya que durante el intervalo de aplazamiento no se gana interés alguno, puesto que no se entrega ningún pago durante el mismo.

Una vez transcurrido el intervalo de aplazamiento, la anualidad diferida no se distingue de cualquier otra anualidad (vencida o anticipada) cuyo plazo ha comenzado; es decir, las fórmulas para anualidades diferidas serán las mismas que se emplearon para calcular anualidades. Vencidas y anticipadas, debiéndose observar exclusivamente si el primer pago se efectúa al final o al inicio del plazo de la anualidad diferida.

A continuación se presentan las fórmulas de los montos de anualidades diferidas:

Ejercicios

Ejemplo para cálculo del monto:

Hoy que es 27 de Febrero del 2009, un empleado de gobierno se propone ahorrar a partir del siguiente año, el bono que le otorgan por honestidad y buen servicio (es solo un ejemplo) que le entregan en la segunda quincena de cada mes, mismo que asciende a $580.00 La cuenta de ahorro le ofrece el 15% nominal capitalizable mensualmente.

La pregunta ahora es: ¿Cuánto logrará acumular este singular personaje al 1º de enero del 2011?

Veamos este caso de manera muy particular para poder entender la naturaleza de la anualidad diferida. En el ejemplo se señala que el 27 de febrero del 2009, el empleado toma la decisión de ahorrar a partir del siguiente año. Lo anterior refiere que empezará a depositar a partir del año 2010.

Ahora bien, el bono que recibe, es en la segunda quincena de cada mes, lo cual permite suponer que a final del mes de enero del 2010 se realizará el primer depósito y así sucesivamente.

Finalmente la pregunta que se busca responder sobre cuanto tendrá acumulado al 1º de enero del 2011, nos permite suponer que realizará 12 depósitos (n=12). Visualicemos la siguiente línea de tiempo:

La solución es:

De la fórmula del monto tenemos que:

Con los mismos datos, ahora comprobamos el valor de la anualidad:

Con los mismos datos, ahora comprobamos el tiempo:

Ejercicio de valor presente de una anualidad diferida

Ejercicio:

Con los siguientes datos calcule el VPN de una anualidad diferida:

Se adeudan $100,000.00 los cuales deben ser liquidados en 12 pagos mensuales iguales, el primero d ellos 6 meses después de la firma del convenio. Se pacta una tasa del 1.5 mensual

De la fórmula del valor presente:

Con los datos del ejercicio anterior, comprobar el tiempo (–n)

Para calcular el tiempo "-n" en valor presente neto tenemos que:

De esta forma queda comprobado el resultado.

Para calcular la tasa de interés "i" en monto compuesto de anualidad diferida

Con los mismos datos, ahora comprobaremos la tasa promedio mensual obtenida:

Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del monto de una anualidad diferida)

La tasa promedio que obtuvo fue de 0.0125 o 1.25% mensual

Ahora desarrollamos el tema del valor presente de la anualidad diferida:

De la fórmula:

Ejemplo para calcular el valor presente:

La agencia Automotriz "El Carrito Veloz" tiene en oferta un convertible que arranca el suspiro de más de una bella dama. El precio de contado de este modesto auto que tiene una serpiente al frente es de $850,000.00 o un atractivo plan de financiamiento del 40% de enganche y el resto en 15 modestas mensualidades iguales con una tasa promedio mensual del 1.5%. Además ofrece que el primer pago se haga al vencimiento del tercer mes, una vez que se haya dado el enganche y desde luego, haber recibido este veloz cobra.

La pregunta es: ¿Qué cantidad debe pagar mensualmente por esta preciosidad de cobra?

Entonces del precio de contado de $850,000.00 el 40% de enganche son: $340,000.00, la diferencia que se adeuda es de $510,000.00.

La solución es:

Este es el importe de las modestas mensualidades

Para calcular la tasa de interés "i" en valor presente de una anualidad diferida (Con los datos anteriores)

De la formula

Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor presente de una anualidad diferida)

Comprobación:

TASA 0.0150

La tasa promedio que obtuvo fue de 0.015 o 15% mensual.

Anualidades generales

Las anualidades ordinarias y anticipadas son aquellas en que el periodo de interés coincide con el periodo de pago. En el caso de las anualidades generales los periodos de pago no coinciden con los periodos de interés, tales como una serie de pagos trimestrales con una tasa efectiva semestral.

Para realizar un análisis financiero confiable es necesario aplicar todas las herramientas necesarias y correctas en cada caso

Una anualidad general puede ser reducida a una anualidad simple, si hacemos que los periodos de tiempo y los periodos de interés coincidan, hay dos formas como se puede realizar:

• 1. La primera forma consiste en calcular pagos equivalentes, que deben hacerse en concordancia con los periodos de interés. Consiste en encontrar el valor de los pagos que, hechos al final de cada periodo de interés, sean equivalentes al pago único que se hace al final de un periodo de pago.

• 2. La segunda forma consiste en modificar la tasa, haciendo uso del concepto de tasas equivalentes, para hacer que coincidan los periodos de interés y de pago.

Para resolver un problema de anualidad general es necesario modificarlo de tal manera que los periodos de pago y los periodos de capitalización coincidan. Es decir, es necesario modificar la anualidad general en una anualidad simple equivalente. Existen, básicamente, dos formas de convertir anualidades generales en anualidades simples:

• 1. Se reemplazan los pagos originales por pagos equivalentes que coincidan con las fechas de capitalización de intereses.

• 2. Se cambia la tasa de interés dada por una tasa equivalente en la cual el nuevo periodo de capitalización coincida con el periodo de pago.

Para calcular el monto o valor futuro de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:Su monto:

Como se dijo anteriormente es posible que la tasa de interés cambien en el lapso del periodo, ante ello debemos realizar cálculos parciales utilizando tasas equivalentes para: VF1, VF2, VFn, conforme cambien las tasas, de acuerdo a la siguiente notación:     

La anualidad o renta periódica

Su valor presente

Para calcular la tasa de interés "i equivalente"

En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores de tasas que van de 1.5% a 9.5% (0.015 a 0.095)

Ejercicios

Resolvamos un ejercicio de Anualidad general:

Consideramos el caso de una persona que vende calzado por catálogo y considerando sus ventas es acreedora a un incentivo bimestral de $250.00. A partir de estén premio decide apertura una cuenta de ahorro la cual le ofrece una tasa de interés del 1.5% capitalizable mensualmente, con la salvedad que debe incrementar el saldo de la misma, con una cantidad similar al de apertura y con la frecuencia en que recibirá su incentivo. Además no podrá retirar de su saldo vigente, cantidad alguna al menos durante el primer año.

Si dicha persona sigue al pie de la letra las instrucciones, ahora la pregunta es: ¿Cuánto acumulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años siguiendo este esquema de ahorro?

Utilizamos la fórmula del monto de un conjunto de abonos (cuotas uniformes):

Posterior a ello, considerar los siguientes aspectos:

• a. En primer término debemos identificar la tasa equivalente a la tasa capitalizable que ofrece la cuenta de ahorros. Si tenemos una tasa mensual de 1.5% mensual con capitalización igual, entonces debemos calcular una tasa bimestral que sea equivalente.

• b. Determinar el número de depósitos que se realizarán en tres años.

• c. Trazar una línea de tiempo para visualizar la frecuencia de los depósitos

Solución:

• a. Para determinar la tasa equivalente, tomamos la expresión

• b. Si son seis bimestres por año, entonces en tres años son 18 bimestres (6*3), lo que es igual a 18 abonos o depósitos iguales en la cuenta de inversión o ahorro. Cada depósito se multiplica por su factor de acumulación y se eleva a la potencia según el tiempo acumulado, siendo al final del último depósito, el que no acumulará interés alguno, ya que no devenga ningún interés. Si vemos la siguiente expresión, el primer depósito no acumula interés, hasta que se realiza el siguiente depósito que acumula un bimestre de intereses devengados y el segundo depósito ahora no genera interés alguno y así sucesivamente.

• c. La línea de tiempo

Este es el monto que acumulara la vendedora de calzado. Al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro aquí descrito.

Si fuera el mismo caso, pero ahora el esquema cambia, los depósitos se realizaran al inicio de cada periodo. Entonces debemos asumir que tiene un comportamiento de anualidad anticipada:

La línea de tiempo se representa de la siguiente forma:

La solución es:

De la formula del monto de una anualidad anticipada general sabemos que:

Este es el monto que acumulara la vendedora de calzado, al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro con depósitos anticipados.

Cuando se tiene que tomar una decisión ante diferentes escenarios.

Ejercicio:

Supongamos que para cubrir el importe del seguro de su flamante Mercedes, una ejecutiva de importante empresa refresquera, se encuentra ante la siguiente disyuntiva:

• a. Pagar por adelantado el seguro de su auto, esto es, de contado debe cubrir la cantidad de $17,430.00

• b. Tomar la opción de liquidarlo en pagos vencidos semestrales o trimestrales, asumiendo un gravamen financiero del 2.5% mensual para el primer esquema y del 1.15% mensual para el otro esquema.

La pregunta es: ¿Cuándo debe pagar esta bella ejecutiva, en cada uno de los escenarios planteados?

La solución es:

De la formula del monto de una anualidad anticipada sabemos que:

Esta es la expresión de inicio.

Para el desarrollo del ejercicio primero tenemos que convertir las tasas de referencia, en sus tasas equivalentes de acuerdo al periodo de capitalización:

Resumen:

Si la ejecutiva invierte los $17,430.00 los primeros tres meses y luego a los 6 meses considerando una tasa intermedia del 1.5% mensual.

Que le convendría a la ejecutiva: ¿Pagar de contado?, ¿invertirlo los primeros 3 o 6 meses?

Ejemplo:

Finalizaremos el tema con la comprobación de la tasa. Para ellos se utilizaran los mismos datos.

De la opción b: con el esquema de pagos semestrales el importe de cada pago es de $9,359.59 y un valor neto de $17,430.00que representa el importe del seguro, la pregunta es ahora: ¿Qué tasa mensual le fue cargada en su adeudo?

Amortizaciones

Son reducciones en el valor de los activos o pasivos para reflejar en el sistema de contabilidad cambios en el precio del mercado u otras reducciones de valor.

Con las amortizaciones, los costes de hacer una inversión se dividen entre todos los años de uso de esa inversión.

La amortización lineal es el método mas popular y al mismo tiempo el método mas simple. Con este, se reduce el valor de un activo por el mismo importe cada año.

Ejercicio.

Supongamos los siguientes datos:

Se adeudan $250,000.00, los cuales serán liquidados en 10 pagos iguales vencidos, considerando una tasa nominal del 12%.

De la formula

Dónde:

NPV = Valor presente de la deuda.

Rp = El pago periódico.

i = La tasa de interés.

m = La capitalización.

-n = El tiempo o número de pagos.

Entonces:

Se diseña una tabla de amortización:

También puede ser representado de la siguiente forma

Ahora supongamos que el arreglo entre deudor y acreedor cambia términos. El acreedor decide que deben ser pagados iguales de $45,000.00 por lo que ahora la pregunta es:

¿Cuántos pagos se deben hacer? Y ¿Cuál es el importe del último pago, cuya diferencia seria saldo final previo a liquidar el adeudo?

Sus valores son:

Para conocer el valor del sexto pago se tiene:

El resultado sería: Cinco pagos de $45,000.00 y un pago de $33,539.36

Ejercicio

Una empresa adquiere una camioneta de reparto por un valor de $180,000.00 y acuerda con el distribuidor pagar en seis abonos manuales iguales, el primero de ellos con vencimiento un mes después de la firma del convenio de compraventa. Cuál es el importe de cada uno de los pagos si la tasa de interés que cobra el distribuidor es del 2% mensual. (24% nominal).

Primer Paso: Sabemos que el monto de los pagos se determina empleando la fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria, entonces tenemos que:

Ahora se desea conocer el importe de saldo insoluto al finalizar el mes m. Se aplica la siguiente formula:

Resolvemos con los datos del ejercicio anterior lo siguiente:

Cuál es el saldo insoluto al finalizar el cuarto mes, de una deuda por $180,000.00 la cual venía siendo liquidada con pagos parciales de $32,134.65

Se puede notar que, el saldo de $62,391.36 que muestra la tabla de amortización al final del cuarto mes, coincide con el resultado de la formula.

Fondo de amortizaciones

Como se mencionó anteriormente que las amortizaciones son utilizadas en el ambiente de las finanzas y el comercio, debido a que en las actividades financieras es común que las empresas y personas busquen un financiamiento o crédito, ya sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Volviendo al tema de fondo de amortizaciones, se puede decir que este es lo contrario a las amortizaciones, ya que estaríamos hablando de una obligación a corto plazo, donde se empezaría ahorrando desde un cierto tiempo hasta obtener el importe esperado, con sus respectivos rendimientos.

El procedimiento para emplearlo es el siguiente:

Para calcular el monto que se desea obtener en el tiempo "n" a una tasa "i" es necesario conocer el importe de los depósitos o abonos periódicos, por lo que debemos utilizar la fórmula del monto de la anualidad ordinaria si los depósitos los hacemos al final de mes:

Su monto:

Recordemos que la expresión i/m la utilizamos para el caso en que se tenga que calcular la tasa que habrá de capitalizarse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal (anual) del 12% y su capitalización es mensual, entonces se debe tomar (12/12).

Ejercicio

Supongamos los siguientes datos:

La empresa AGSSA tendrá que realizar un pago por $527,500.00 el día 31 de diciembre del 2011 por concepto de liquidación de pasivos contraídos previamente, y será en una sola exhibición. Tal monto ya incluye el cargo financiero que acordaron por el financiamiento de las mercancías.

Para ello la empresa toma la decisión de establecer un fondo de ahorro mensual a finales del mes de Marzo del 2010, a efecto de poder acumular la cantidad señalada.

De las opciones de tasa de rendimiento que le han ofrecido, destaca la del 9% nominal capitalizable mensualmente, por lo que ahora la pregunta pertinente es:

¿Qué cantidad debe depositar a fin de mes para acumular el monto deseado?

De la fórmula de la anualidad ordinaria tenemos que:

M = Monto deseado.

i = La tasa de interés nominal.

m = La capitalización.

n = El tiempo o número de depósitos.

A = El abono o depósito mensual.

Siendo este el importe de cada depósito.

Utilizando un simulador en Excel esta sería la solución al problema:

Ahora resolvamos el ejercicio considerando los mismos datos, sólo que los depósitos se hacen al principio de cada mes:

De la fórmula de la anualidad anticipada:

Este último seria el importe de cada depósito.

Utilizando el simulador en Excel se tendría la siguiente tabla:

Gradientes

Es una serie de pagos periódicos que tiene una ley de formación, que hace referencia a que los pagos puedan aumentar o disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en porcentaje. Es decir, es un conjunto de pagos o ahorros periódicos crecientes o decrecientes en forma constante. Se utiliza este sistema para dar facilidad de flujo de caja a las personas cuando el pago del crédito es muy alto frente a su capacidad. O se utiliza en aquellos ahorros que están en función de incrementos periódicos salariales o de ingreso.

La clasificación de este tipo de rentas periódicas variables es:

Anualidad ó Rentas periódica con gradiente aritmético: La cuota periódica varía en progresión aritmética (A+ ga ó Rp + Ga).

Anualidad ó Rentas periódica con gradiente geométrico: La cuota periódica varía en progresión geométrica (A* ga ó Rp * Gg).

Las características de este tipo de anualidades con gradientes aritméticos y geométricos son:

• Los pagos o abonos distintos se realizan al final de cada intervalo de pago (aunque puede ser anticipado o prepagable).

• Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad o renta periódica

• Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago

• El plazo inicia con la firma del convenio

Variables que se utilizan en este apartado:

• Mga ó VFga: Valor Futuro o Monto de una serie de cuotas con gradiente: aritmético o geométrico (de la suma de unos pagos o abonos)

• A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)

• VAga: Valor actual del conjunto de rentas periódicas

• i: Tasa de Interés nominal (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i)

• m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12)

• n: Tiempo

• Ga= Es el gradiente aritmético

• Gg= Es el gradiente geométrico

• Rp1= Anualidad o Renta periódica número 1

GRADIENTES ARITMETICOS

De manera particular el gradiente aritmético (Ga) o uniforme es una serie de cuotas periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada período. A esto se le llama gradiente aritmético.

La notación para la serie uniforme de cuotas:

• El gradiente (Ga) es una cantidad que aumenta o disminuye (puede ser positivo o negativo).

• Rp: es la cuota periódica 1.

• La representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.

• n: tiempo (número de cuotas periódicas)

Las fórmulas generalmente utilizadas para las anualidades con gradiente aritmético vencidos o pospagables son:

Ejemplo:

Cuando se desea conocer el monto de una serie de abonos o rentas vencidas que crecen ga = $500.00 entonces podemos señalar que las cuotas periódicas de una renta variable vencida con gradiente aritmético crecen $500.00 con respecto a la cuota anterior.

Como se visualiza en una línea de tiempo si fueran 10 cuotas

Supongamos el ejercicio anterior con los siguientes datos:

Se desea conocer el importe total de las 10 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmética a razón de Ga=500.00 con una tasa nominal del 20% capitalizable mensualmente.

Rp1 = $1000.00

Ga = $500.00

n = 10

i/m = .20/12 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)

De la forma tradicional del valor futuro de un monto compuesto se sabe que:

Con la fórmula del Monto de un conjunto de rentas variables vencidas con gradiente aritmético se resuelve con la siguiente fórmula:

El resultado coincide con el cálculo en Excel.

Ahora para calcular el valor actual del conjunto de rentas periódicas con gradiente aritmético

De la formula de valor presente

Utilizando la fórmula del Valor Actual presente del conjunto de rentas periódicas vencidas con gradiente aritmético A, tenemos que:

GRADIENTES GEOMETRICOS

La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada período. A esto se le llama gradiente geométrico.

La notación que utilizaremos:

• El gradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo).

• Rp1: es la cuota periódica 1.

• La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos.

• n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)

Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m).

Razones estándar

Las razones estándar se utilizan para determinar la relación de dependencia resultante de la comparación geométrica de los promedios de las cifras de dos o más cuentas de los estados financieros.

Clasificación de las razones estándar

Por su origen: Internas y Externas

Por su naturaleza: Los descritos anteriormente.

• Las razones estándar internas: Se obtienen con los datos acumulados de varios estados financieros, a distintas fechas y periodos de una misma empresa.

• Las razones estándar externas: Se obtiene con los datos acumulados de varios estados financieros a la misma fecha o periodo pero de distintas empresas.

• Las razones estándar estáticas: Corresponden a aquellas mediante las cuales las cifras son a estados financieros estáticos.

• Las razones estándar dinámicas: Son aquellas mediante las cuales las cifras son a estados financieros dinámicos.

• Las razones estándar estático – dinámico: corresponde a las cifras en donde el antecedente se obtiene de estados financieros estáticos y el consecuente se obtiene del promedio de cifras de estados financieros dinámicos

Partes: 1, 2, 3