Multiplicación (página 3)

17 7 0 5 X 3 0 4 0

privado de signi?cado, y denotan que no se comprende el funcionamiento del sistema decimal.

Lo peor del caso –como en la suma– es que habitualmente se inten- ta corregirlos sobre el propio formato escrito en que se propone la multi- plicación, sin percatarse de que los errores cometidos al utilizar los forma- tos numéricos –que son abstractos–, sólo pueden corregirse retornando al terreno de lo concreto, que es donde se puede alcanzar el signi?cado de la operación. ¿Cuál puede ser este terreno concreto en el que se respete la esencia del sistema decimal? Puede ser, nuevamente, el de los billetes de denominación decimal (1, 10, 100, 1.000, etc.). Tomemos, por ejemplo, la multiplicación 8 x 427, que podemos interpretar como “8 veces 427” (8 sería el multiplicador y 427 el multi- plicando). 400 20 + + 7 = 8 X 4 = 32 BILLETES DE 100 = 8 X 2 = 16 BILLETES DE 10

= 8 X 7 = 56 BILLETES DE 1 Si entendemos que 427 está com- puesto por 4 centenas (4 billetes de 100), 2 decenas (2 billetes de 10) y 7 unidades(7billetesde1),“8veces427” signi?cará:

8montonesde4billetesde100,esdecir, 8 x 4 = 32 billetes de 100 8 montones de 2 billetes de 10, es decir, 8 x 2 = 16 billetes de 10 8 montones de 7 billetes de 1, es decir, 8 x 7 = 56 billetes de 1

El conocido proceso de “ir al ban- co” para cambiar billetes produce los siguientes resultados graduales: 50 billetes de 1 se convierten en 5 de 10; nos quedan 6 billetes de 1 y tenemos 5 billetesmásde10,conloqueelnúmero deéstosllegaa21.Llevados20deestos billetes al banco, se convierten en 2 de 100; nos queda 1 de 10 y tenemos 2 bi- lletes más de 100, con lo que el número de éstos llega a 34. Finalmente, estos últimos se convierten en 3 billetes de 1.000, al cambio de 30 de 100, y 4 so- brantes de 100. Al ?nal del proceso de cambios tenemos: 3 billetes de 1.000, 4 de100,1de10y6de1.Lacomposición de estas partes nos lleva al producto, 3.416.

De aquí se puede pasar ahora al formato escrito, en el que se pueden indicar las unidades que “se llevan” sobre los correspondientes dígitos del multiplicando;escrituraqueirádesapa- reciendo poco a poco, a medida que el aprendiz esté en capacidad de retener mental y momentáneamente cada “llevada” para agregarla al producto correspondiente.

18 Este recurso a lo concreto –bille- tes– debe acompañar al ejercicio de la multiplicación, sobre todo cuando el multiplicadorconstadeunsolodígito.Y debe quedar ahí, disponible, para dotar designi?cadoadichoejerciciocadavez queelaprendizexperimentedi?cultades o cometa errores en su realización. Multiplicación con uno o dos factores decimales Supongamos ahora que se trata de multiplicar42,7×0,38.Yasabemosque esto signi?ca multiplicar (40 + 2 + 0,7) x (0,3 + 0,08) y que por consiguiente, medianteunaextensióndelapropiedad distributiva, tendríamos que vernos con la multiplicación de decenas por décimas(40×0,3)yporcentésimas(40 x 0,08), de unidades por décimas (2 x 0,3) y por centésimas (2 x 0,08), y de décimas por décimas (0,7 x 0,3) y por centésimas (0,7 x 0,08).

Para clari?car esta complejidad tene- mosquetrabajarahoraconlamultiplica- ción de las diversas unidades –enteras y decimales– del sistema de numeración decimal. Así, por ejemplo, ¿qué signi?ca 0,1 x 100? Puede entenderse como “la décima parte de 100” ó “100 décimas”. Y ya sabemos que ambas expresiones equivalen a 1 decena. Análogamente, 0,01 x 0,1 puede entenderse como “la centésima parte de una décima”, o “la décima parte de una centésima”, expre- sionesambasqueequivalena1milésima. Siguiendoestaformaderazonarpodemos elaborar una tabla como la siguiente: Esta tabla puede prolongarse tam- bién todo lo que se desee, pero no hace falta mostrar todos los casos posibles. Lo importante –al igual que antes– es entender cómo y por qué funciona la multiplicacióndelasdiversasunidades del sistema de numeración decimal, y saber aplicar este conocimiento. Así, volviendo al ejemplo anterior, 40 x 0,3 = 4 decenas x 3 décimas = (4 x 3) decenas de décimas ó (4 x 3) x 10 décimas = 12 unidades. También, 0,7 x 0,3 = 7 décimas x 3 décimas = (7 x 3) décimas partes de una décima ó (7 x 3) x 0,1 x 0,1 = 21 centésimas = 0,21. Análogamente, 0,7 x 0,08 = 7 décimas x 8 centésimas = (7 x 8) décimas partes de una centésima ó (7 x 8) x 0,1 x 0,01 = 56 milésimas = 0,056. 100 X 0,01 = 1

0,001 X 100 = 0,1

0,1 X 0,1 = 0,01 0,01 X 0,01 = 0,0001 PRODUCTO

0,1 X 10 = 1

1.000 X 0,1 = 100 MULTIPLICACIóN

0,1 X 10

1.000 X 0,1 100 X 0,01

0,001 X 100

0,1 X 0,1 0,01 X 0,01 INTERPRETACIóN

DéCIMA PARTE DE 1 DECENA ó 10 DéCIMAS DéCIMA PARTE DE 1 UNIDAD DE MIL RESULTADO

1 UNIDAD

1 CENTENA ó 1.000 DéCIMAS CENTéSIMA PARTE DE 1 CENTENA 1 UNIDAD ó 100 CENTéSIMAS MILéSIMA PARTE DE 1 CENTENA 1 DéCIMA ó 100 MILéSIMAS DéCIMA PARTE DE 1 DéCIMA 1 CENTéSIMA CENTéSIMA PARTE DE UNA CENTéSIMA 1 DIEZMILéSIMA De una forma similar a la que pro- poníamos antes, podemos “descubrir” ahoralareglahabitualparaestoscasos: “Elproductodedosnúmerosdecimales esotronúmerodecimalquetienetantas cifras decimales como el total de cifras decimales que poseen entre ambos factores”. Así,

4 X 0,03 = (4 X 3 CON 2 DECIMALES) = (12 CON 2 DECIMALES) = 0,12 0,5 X 0,04 = (5 X 4 CON 3 DECIMALES) = (20 CON 3 DECIMALES) = 0,020 = 0,02 0,9 X 0,005 = (9 X 5 CON 4 CIFRAS DECIMALES) = (45 CON 4 CIFRAS DECIMALES) = 0,0045 0,007 X 80 = (7 X 80 CON 3 DECIMALES) = (560 CON 3 DECIMALES) = 0,560 = 0,56

19 0,02 X 60 = (2 X 60 CON 2 DECIMALES) = (120 CON 2 DECIMALES) = 1,20 = 1,2 2.000 X 0,0005 = (2.000 X 5 CON 4 DE- CIMALES) = (10.000 CON 4 DECIMALES) = 1,0000 = 1

A partir de aquí podemos efectuar la multiplicación de dos factores –de los que al menos uno de ellos posee decimales– de la misma forma que la de dos factores enteros, cuidando de separar correctamente al ?nal las cifras decimales: 42,7 x 0,38 = (427 x 38) x 0,1 x 0,01 = 16.226 x 0,001 = 16,226. Ydelmismomodo,utilizandodosejem- plosanteriores:16,54×3,59=59,3786; 7,05 x 0,304 = 2,14320 = 2,1432.

Detodasformas,convieneejercitarse enelusodelasdiversasunidadesdelsis- temadenumeracióndecimalcomofacto- res.Conel?ndedesarrollarestadestreza, se propone escribir el elemento ausente de cada ?la de la siguiente tabla: FACTOR 1 157 ? 0,000175 4,37 183 ? 100 ? 0,001 0,0345 100 FACTOR 2 ? 143,28 ? 0,00001 ? 1.000 0,076 0,1 ? 10 ? PRODUCTO 1,57 14,328 0,0175 ? 18.300 92,03 ? 101 1,69 ? 2,38 5. Estimar el producto de una multiplicación Ya sabemos que esto signi?ca dar el resultado aproximado de la multiplica- ción. Decisión que se justi?ca porque a veces no es necesario el valor exacto de la operación, sino que resulta su?- ciente una aproximación adecuada a nuestros intereses o a la naturaleza del problema.

LOS DOS SALONES DE PRIMER GRADO DE LA ESCUELA TIENEN 41 Y 37 ALUMNOS, RESPECTI- VAMENTE.TODAS LAS SEMANAS SE LE FACILITA A CADA ALUMNO UNA PáGINA FOTOCOPIADA CON EJERCICIOS DE MATEMáTICA.COMO EL CURSO SE DESARROLLA EN 29 SEMANAS LECTIVAS,SE DESEA SABER SI ALCANZARá PARA TODO EL AñO CON 5 RESMAS DE PAPEL DE FOTOCOPIA.

UNASALIDASERíALADEOBTENERELTOTALDEALUM- NOS (41 + 37 = 78) Y COMPARAR CON 2.500 (5 X 500) EL PRODUCTO DE 78 X 29.ESA PRáCTICA ES NECESARIA SI, POR EJEMPLO, QUIERO SABER CON EXACTITUD EL NúMERO DE HOJAS FALTANTES O SOBRANTES.PEROPARARESPONDERALAPREGUNTA FORMULADA,PUEDO PENSAR DE OTRA MANERA.

EN PRIMER LUGAR, REDONDEO POR ENCIMA EL NúMERODEALUMNOSYDESEMANASYLOSLLEVO A 80Y A 30,RESPECTIVAMENTE.AHORA EFECTúO LA MULTIPLICACIóN DE ESTOS DOS FACTORES,80 X 30 = 2.400.CONCLUSIóN:Sí NOS ALCANZA CON LAS 5 RESMAS. Veamosquécompetenciasseponen de mani?esto al estimar el valor de una multiplicación. En primer lugar, se pro- duce un análisis inicial de la situación, análisis que lleva a la conclusión de la pertinenciadelusodelaestimación.Ya dentrodelproceso,se“leen”lascantida- des y se toma en cuenta su valor global, lo que permite redondearlas sin mayor riesgo. A partir de este redondeo se facilita la aplicación del cálculo mental. Comosepuedeapreciar,todoesganan- cia a la hora de estimar.

Conel?ndefacilitarnoslastareasde estimación en el caso de la multiplica- ción, presentamos algunas estrategias recomendadasporlaexperienciadelos buenos estimadores:

1.Redondearelvalordelosfactores, bienseaporexcesoopordefecto,según lo recomiende la situación.

20 2. Compensar entre sí los valores de los factores. Estrategia que suele complementar a la anterior. Obsérvese la siguiente multiplicación: 123 x 78. La sugerenciaaquíesladelredondeoycom- pensación:llevarlamultiplicacióna120x 80=9.600(dehecho,123×78=9.594). Análogamente,lamultiplicación0,096x 3,12 puede estimarse por 0,1 x 3 = 0,3 (de hecho, 0,096 x 3,12 = 0,29952).

3.Afinarelprocesodeestimación.Con el ?n de mejorar las destrezas de estima- ción, es conveniente plantearse diversas alternativas y luego comparar el resulta- do de cada una de ellas con el producto exacto. Así, por ejemplo, si se trata de la multiplicación 13.475 x 894, podemos plantearlaaproximación13.000×1.000, cuyo producto es 13.000.000. También podríamos proponer 13.500 x 900, cuyo productoes12.150.000.Obien,13.400x 900=12.060.000.Laprimeraestimación eslamássencilladecalcular,peroproba- blementelamenosaproximada.Encam- biolatercera–queprocedeporredondeo ycompensaciónentrelosfactores–parece ser la más cercana. De hecho, 13.475 x 894 = 12.046.650.

13.475 x 894

13.500 x 1.000 13.400 x 900

Debequedarclaroqueloquesebus- ca con la estimación es tener una idea inicialaproximadadelvalordelproducto de los factores, por la vía del redondeo y delusodelasdestrezasdelcálculomen- tal. Es decir, obtener desde el comienzo unvalorrazonableparaelproducto,antes de–yaveces,enlugarde–procederasu cálculo por el algoritmo escrito.

ESTIME MENTALMENTE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES.HáGALO DE TODAS LAS FORMAS QUE SE LE OCURRAN Y EVALúE LA APROXIMACIóN DE CADA RESUL- TADO.DEDUZCA QUé TIPO DE REDONDEO Y COMPENSACIóN RESULTA MáS PRECISO EN CADA CASO Y POR QUé. 18 X 22 105 X 85 0,039 X 1.020 4.837 X 115 0,089 X 1,035 92 X 28,76 78,36 X 0,19 7,24 X 0,9 138 X 55 61,8 X 0,93 3.874 X 0,094 19 X 0,047

INVENTE UNA SERIE DE EJERCICIOS SIMILARES A LOS ANTERIORES Y RESUéL- VALOS.

6. Tengo ante mí una situación de multiplicación; y ahora, ¿qué hago? 1. Observo la situación y decido si necesitounresultadoexactoomebasta con una aproximación. En el segundo caso procedo por la vía de la estima- ción… y listo.

2. Si necesito un resultado exacto, leo los factores y estimo el valor de su producto,paratenerdesdeelcomienzo una idea razonable y aproximada del resultado.

3. Decido la vía que voy a utilizar pararealizarlamultiplicación:elcálculo mental o el algoritmo escrito habitual.

4. Efectúo la multiplicación por esa vía y llego al producto.

5. Reviso el resultado obtenido. Para validar la exactitud del produc- to, puedo seguir una vía distinta a la utilizada, o servirme de la calculadora. Además, aprovecho para revisar la estimación inicial y buscar la forma de a?narla.

21 Este proceso puede seguirse tanto si se trata de un ejercicio directo de multi- plicación o de estimación –con lo cual el paso 1 queda decidido–, como si se trata deunasituaciónproblemaqueimpliquela multiplicación como modelo adecuado.

LO QUE Sí CONVIENE DESTACAR ES QUE,ESCRITOS LOS FACTORES, HORIZONTAL O VERTICALMENTE, ESTE “ESPACIO” DEL EJERCICIO ESCRITO NO ES NE- CESARIAMENTE EL ESPACIO EN EL QUE SE REALIZA EFECTIVAMENTE LA MULTIPLICACIóN. LA OPERACIóN PUEDE REALIZARSE CON TODA LIBERTAD POR CUALQUIERA DE LAS VíAS PROPUESTAS,Y ALGUNAS DE ELLAS NO NECESITAN RECURSOS PARA ESCRIBIR, SINO UNA MENTE ACTIVA. EL “ESPACIO” DEL EJER- CICIO ESCRITO ES SIMPLEMENTE EL ESPACIO EN EL QUE SE LEEN LOS FACTORES Y EN EL QUE LUEGO SE ESCRIBE EL PRODUCTO.

7. La resolución de problemas de multiplicación Los “problemas de multiplicar” pue- den adoptar la forma de situaciones de lavidadiariaenlasquelamultiplicación a?ora sin di?cultad como la operación matemática que sirve de modelo opor- tuno.Otrasveces,puedenpresentarun carácter lúdico, o referirse a regulari- dades o características que presentan algunos números y series de números. Vamos a plantear algunos de estos ti- pos de problemas. Lo que sugerimos a nuestros lectores es que, una vez leído elenunciadodecadasituación,intenten resolver el problema por cuenta propia, antes de revisar la vía de solución que se presenta posteriormente.

A) EL PRODUCTO DE CINCO NúMEROS NATU- RALES CONSECUTIVOS ES 2.520.¿CUáL ES LA DIFERENCIA ENTRE EL MAYOR Y EL MENOR DE ESTOS NúMEROS?

B) DESPUéS DE LA GRADUACIóN, TODOS LOS ESTUDIANTES INTERCAMBIARON FOTOS ENTRE Sí DE TAL FORMA QUE CADA ESTU- DIANTE SE QUEDó CON UNA FOTO DE CADA UNO DE SUS COMPAñEROS.SI EN TOTAL SE INTERCAMBIARON 870 FOTOS, ¿CUáNTOS ESTUDIANTES SE GRADUARON?

C) LA EDAD DE JUAN ES EL DOBLE DE LA QUE PEDRO TENíA CUANDO JUAN TENíA LA EDAD QUE PEDRO TIENE AHORA. ¿CUáNTOS AñOS TIENE CADA UNO DE ELLOS SI LA SUMA DE SUS EDADES ES 49?

D) HAY DOS NúMEROS TALES QUE EL TRI- PLEDELMAYORESIGUALACUATROVECES EL MENOR. SI LA DIFERENCIA DE AMBOS NúMEROS ES 8,¿CUáL ES EL MAYOR?

E) NIEVES Y JULIA GANARON LA MISMA CANTIDAD POR SU TRABAJO, PERO NIEVES TRABAJóDOSDíASMáSQUEJULIA. ADEMáS, JULIA GANó 20.000 PESOS DIARIOS Y NIEVES, 15.000.¿CUáNTOS DíAS TRABAJó CADA UNA DE ELLAS? F) COMPLETE LAS CASILLAS DEL SIGUIENTE CUADRO:

G) LA MULTIPLICACIóN 267 X 3 = 2.321 ESTá ERRADA. PERO A PARTIR DE ELLA ES POSIBLE LLEGAR A UNA MULTIPLICACIóN CO- RRECTA SABIENDO QUE LOS TRES NúMEROS DE ESTA úLTIMA SE OBTIENEN DE LA PRIMERA HACIENDO CADA DíGITO UNA UNIDAD MAYOR O MENOR QUE EL DíGITO CORRESPONDIENTE DE LA MULTIPLICACIóN DADA (POR EJEMPLO, DONDE APARECE UN 7 PUEDE ESTAR UN 6 ó UN 8, ETC.). ¿CUáLES SON LOS NúMEROS DE LA MULTIPLICACIóN CORRECTA?

H) DOS TRENES SA- LEN AL MISMO TIEM- PO DE DOS CIUDA- DES DIFERENTES, EN SENTIDOS OPUESTOS. UNO SE MUEVE A 95 KM/H Y EL OTRO A 120 KM/H (VELOCIDADES PROMEDIO). SI SE CRUZAN A LAS 3 HORAS DE HABER SALIDO,¿CUáLESLADISTANCIAENTREAMBAS CIUDADES?

22 I) AL MULTIPLICAR TODOS LOS ENTEROS DEL 1 AL 30, ¿EN CUáNTOS CEROS TERMINA EL PRODUCTO?

J) HALLAR EL SIGUIENTE TéRMINO DE LA SUCESIóN: 9, 18, 15, 30, 27, 54, 51, 102,___

K) EN EL MERCADO MAYORISTA SE VENDE EL AZúCAR EN EMPAQUES DE 9, 6 Y 2 KG, Y LA HARINA, EN EMPAQUES DE 15, 8 Y 7 KG.EL PRECIO DEL AZúCAR ES EL DOBLE DEL DE LA HARINA. LA SEñORA SANDRA COMPRA CINCO DE LOS SEIS EMPAQUES DISPONIBLES Y PAGA IGUAL POR LA HARINA QUE POR EL AZúCAR. ¿QUé EMPAQUE DE CUáL DE LOS DOS PRODUCTOS NO HA COMPRADO?

L) EN EL SALóN DE CLASE DE RUTH HAY 4 ?LAS DE PUPITRES Y EN CADA ?LA HAY 7 PUPITRES. ¿CUáNTOS AñOS TIENE LA MAES- TRA DE RUTH?

M) SI A = 191 X (1 + 2 + 3 + … + 192) Y B = 192 X (1 + 2 + 3 + … + 191), ¿CUáL DE LOS DOS PRODUCTOS,A O B, ES MAYOR?

N) SI A, B, C, D, E REPRESENTAN 5 DíGITOS DIFERENTES ENTRE Sí Y DISTINTOS DE CERO, HALLAR SU VALOR PARA QUE SE VERI?QUE: A B C D E X 4 E D C BA O) UN VENDEDOR MAYORISTA VISITA TRES ESTABLECIMIENTOS. CON LAS VENTAS EN EL PRIMERO, DUPLICA EL DINERO QUE TRAE Y, DESPUéS, GASTA 30.000 PESOS. EN EL SEGUNDO, TRIPLICA EL DINERO QUE TRAíA AL ENTRAR Y GASTA 54.000 PESOS.Y EN EL TERCERO,CUADRUPLICA EL DINERO QUE TRAíA AL ENTRAR Y GASTA 72.000 PESOS.ENTONCES COMPRUEBAQUELEQUEDAN48.000PESOS. ¿CUáNTO DINERO TENíA ANTES DE ENTRAR AL PRIMER ESTABLECIMIENTO?

P) LOS SIGNOS * ESCONDEN DIVERSOS DíGITOS EN LA SIGUIENTE MULTIPLICACIóN. DESCúBRALOS: * 2 * * * 6 9 * * * 7

7 VAMOS,PUES,A REPORTAR ALGUNAS VíAS DE SO- LUCIóN PARA PODER CONTRASTARLAS CON LAS QUE HEMOS PODIDO OBTENER ENTRE TODOS.

A) SI SE TRATA DE CINCO NúMEROS CONSECUTI- VOS,LA DIFERENCIA ENTRE EL MAYOR Y EL MENOR ES, SENCILLAMENTE, 4: NO HACE FALTA OBTENER TALES NúMEROS.PERO SI NOS PICA LA CURIOSIDAD, PODEMOSPROCEDERPORENSAYOYAJUSTE. ASí, SI ENSAYAMOS CON 5,6,7,8 Y 9,SU PRODUCTO ES 15.120, MUY POR ENCIMA DEL PROPUESTO. DEBEMOS“REBAJAR” LOS FACTORES.Y POR ESTA VíA LLEGAMOS A3,4,5,6Y 7,CUYO PRODUCTO ES 2.520.LA DIFERENCIA 7 – 3 ES IGUAL A 4. B)LASITUACIóNNOSDICEQUECADAESTUDIANTE DEBE REPARTIR TANTAS FOTOS SUYAS COMO ESTU- DIANTES HAY,MENOS 1 (YA QUE NO SE DA UNA FOTO A Sí MISMO).Y ESTE REPARTO LO DEBE HA- CER CADA UNO DE ELLOS.POR CONSIGUIENTE,870 ES EL PRODUCTO DE DOS NúMEROS SEGUIDOS:EL NúMERODELOSQUEREPARTEN,PORELNúMERO DE FOTOS REPARTIDAS POR CADA UNO. LA VíA DEL ENSAYO Y AJUSTE NOS LLEVA A PRECISAR QUE LOS NúMEROS SON 30 Y 29 (NOS HA PODIDO AYUDAR EL HECHO DE QUE 30 X 30 = 900…). SE GRADUARON 30 ESTUDIANTES.

C) SIN ENREDARNOS CON EL ENUNCIADO,PERCI- BIMOS QUE JUAN ES MAYOR QUE PEDRO. HAY CUATRO EDADES –CUATRO NúMEROS ENTE- ROS– EN DANZA:DOS DE JUAN (ANTES Y AHORA) Y DOS DE PEDRO (TAMBIéN ANTES Y AHORA).LA

23 EDAD ACTUAL DE JUAN ES EL DOBLE DE LA EDAD DE PEDRO ANTES, DE DONDE SE SIGUE QUE LA DE JUAN ES UN NúMERO PAR.LAS DOS EDADES ACTUALES SUMAN 49; POR CONSIGUIENTE, LA EDAD ACTUAL DE PEDRO ES UN NúMERO IMPAR. FINALMENTE,LA EDAD DE JUAN ANTES ES IGUAL A LA DE PEDRO AHORA. PODEMOS SUPONER QUE JUAN TIENE AHORA 30 AñOS: PEDRO TIENE 19 (49 – 30) Y ANTES TENíA 15 (30 :2).PERO EN ESE“ANTES”(HACE 4 AñOS) JUAN TENíA 26 (30 – 4) Y DEBERíA HABER TENIDO 19, SEGúN EL ENUNCIADO. POR CONSIGUIENTE, NO HEMOS DADO CON LA RES- PUESTA. PARECE SER QUE LA DIFERENCIA ENTRE LAS DOS EDADES ACTUALES ES GRANDE, POR LO QUE PROCEDEMOS A DISMINUIRLA.

SUPONGAMOS ENTONCES QUE LA EDAD ACTUAL DE JUAN ES 28 AñOS: PEDRO TIENE 21 (49 – 28) Y ANTES TENíA 14 (28 : 2). ESE “ANTES” OCURRIó HACE 7 AñOS (21 – 14) Y EN ESE MOMENTO LA EDAD DE JUAN ERA 21 AñOS (28 – 7). ESTA Sí ES LA RESPUESTA: JUAN TIENE 28 AñOS Y PEDRO,21.

D)VEAMOS UNA VíA DE RESOLVER EL PROBLEMA. SI EL NúMERO MAYOR (M) ES 8 UNIDADES MAYOR QUE EL NúMERO MENOR (M),EL TRIPLE DE M EQUIVALDRá AL TRIPLE DE M MáS 24. PERO EL HECHO DE QUE TAMBIéN SEA IGUAL AL CUáDRUPLO DE M –EL CUáDRUPLO DE UN NúMERO EQUIVALE AL TRIPLE DEL NúMERO MáS EL PROPIO NúMERO– NOS HACE VER QUE M ES 24.GRá?CAMENTE,EL TRIPLE DE M: M + 8 M + 8 M + 8

EQUIVALE A: M M M 8+8+8 QUE, A SU VEZ, SEGúN EL ENUNCIADO, EQUIVALE AL CUáDRUPLO DE M: M M M M Y, POR CORRESPONDENCIA ENTRE AMBOS GRá?- COS,M = 24.DE DONDE,M = 24 + 8 = 32.

OTRA VíA PUEDE SER LA DEL ENSAYO Y AJUSTE. INICIALMENTE, SE PUEDE PENSAR QUE LOS Nú- MEROS ANDAN CERCA DE 40 (M) Y 30 (M),YA QUE EL TRIPLE DE 40 COINCIDE CON EL CUáDRU- PLO DE 30.COMO LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS ES 8, PODEMOS SUPONER M = 40 Y M = 32. EL TRIPLE DE 40 ES 120 Y EL CUáDRUPLO DE 32 ES 128:NO SE DA LA IGUALDAD.SI SUPONEMOS M = 41 Y M = 33, LOS VALORES RESPECTIVOS SON 123 Y 132.LA DIFERENCIA –QUE ANTES ERA 8 (128 – 120) – AHORA ES 9 (132 – 123), POR LO QUE SE DEDUCE QUE LOS NúMEROS M Y M DEBEN SER MENORES.ADEMáS, AL PASAR M DE 40 A 41 –UNA UNIDAD– LAS DIFERENCIAS LO HICIERON DE 8 A 9 –TAMBIéN UNA UNIDAD–, DE DONDE SE DESPRENDE QUE HAY QUE “BA- JAR” 8 UNIDADES A M DESDE 40: M = 32 Y M = 24. E)LADIFERENCIAENTRELOSDOSSALARIOSDIARIOS ES DE 5.000 PESOS (20.000 – 15.000). PARA CUBRIRLADIFERENCIAACUMULADAENLOSDíASQUE TRABAJó JULIA, NIEVES HA TENIDO QUE TRABAJAR DOS DíAS MáS, EN LOS QUE HA GANADO 30.000 PESOS(15.000X2).DEDONDESEDESPRENDE QUE JULIA TRABAJó 6 DíAS (30.000 : 5.000) Y NIEVES,8.EFECTIVAMENTE,AMBASLLEGANAGANAR 120.000 PESOS (6 X 20.000 Y 8 X 15.000). F)LAVíADESOLUCIóNESLADELENSAYOYAJUSTE. PUEDESERVIRNOSDEGUíAINICIALLA2ªCOLUMNA NUMéRICA, PUES LA PRESENCIA DEL FACTOR 3 Y DEL PRODUCTO 6 NOS DEJA LOS FACTORES 1 Y 2 COMO POSIBILIDADES PARA LA 1ª Y 3ª CASILLAS DE ESA MISMA COLUMNA. LAS VíAS DE ENSAYO PUEDEN SER DIVERSAS Y DEBEN LLEVAR AL SI- GUIENTE RESULTADO:

G) EL PUNTO INICIAL PARA LA RESOLUCIóN DE ESTE PROBLEMA PUEDE SER LA OBSERVACIóN DE LAS CIFRAS DE LAS UNIDADES DE LOS TRES NúMEROS:

24 7, 3 Y 1. COMO LOS VALORES VERDADEROS SON UNA UNIDAD MAYOR O MENOR, LAS OCHO ALTER- NATIVAS CORRESPONDIENTES PARA LAS CIFRAS DE LAS UNIDADES SON:

COMO SE VE,SóLO HAY DOS TERNAS FAVORABLES PARA LAS CIFRAS DE LAS UNIDADES: 8, 4, 2 (8 X 4 = 32) Y 6,2,2 (6 X 2 = 12).ESTA SEGUNDA COLOCA EL 2 COMO MULTIPLICADOR, SITUACIóN QUENOESACEPTABLE,YAQUEELMULTIPLICANDO TIENE TRES CIFRAS Y LA DE LAS CENTENAS PODRíA SER A LO SUMO 3,POR LO QUE LA MULTIPLICACIóN POR 2 NUNCA PODRíA DARNOS UN PRODUCTO DE 4 CIFRAS.

DE MODO QUE LA CIFRA DE LAS UNIDADES DEL MULTIPLICANDO ES 8, LA DEL PRODUCTO ES 2, Y EL MULTIPLICADOR ES 4. ESTE úLTIMO DATO NOS LLEVA A PRECISAR QUE LA CIFRA DE LAS CENTENAS DEL MULTIPLICANDO ES 3 (NO PUEDE SER 1, LA OTRA ALTERNATIVA POSIBLE, PUES EN ESTE CASO EL PRODUCTO SóLO TENDRíA 3 CIFRAS Y NO 4).Y ?NALMENTE,QUE LA DE LAS DECENAS ES 5 (Y NO 7,LA OTRA ALTERNATIVA POSIBLE).LA MULTIPLICA- CIóN“CORRECTA”ES:358 X 4 = 1432.

H)LADISTANCIAENTREAMBASCIUDADESSERáLA SUMADELASDISTANCIASRECORRIDASPORAMBOS TRENES HASTA EL MOMENTO DE CRUZARSE. EL PRIMER TREN RECORRE 95 KM/H X 3 H = 285 KM.Y EL SEGUNDO,120 KM/H X 3 H = 360 KM. LA DISTANCIA ENTRE AMBAS CIUDADES ES,PUES, 285 KM + 360 KM = 645 KM.

OTRA FORMA DE PLANTEAR LA SOLUCIóN ES AVERIGUAR LA DISTANCIA “CONSTRUIDA” EN CADA HORA DE APROXIMACIóN DE LOS DOS TRENES Y MULTIPLICAR ESA DISTANCIA POR LAS TRES HORAS DE RECORRIDO HASTA CRUZARSE. ASí, DISTANCIA = (95 KM + 120 KM) X 3 = 215 KM X 3 = 645 KM.

I) AQUí LA OBSERVACIóN FUNDAMENTAL SE RE- ?ERE A LA FORMA DE “PRODUCIR” UN CERO A LA DERECHA DE UN PRODUCTO DE DOS FACTORES. VEáMOSLO EN LA SIGUIENTE TABLA:

COMOSEVE,ELPRODUCTODELOS30PRIMEROS ENTEROS POSITIVOS ACABA EN 7 CEROS. J) EL PATRóN DE FORMACIóN ES:“EL DOBLE DEL ANTERIOR / EL NúMERO ANTERIOR MENOS 3”.ASí QUE EL úLTIMO TéRMINO ES 99.

K) SI LA SEñORA SANDRA COMPRARA LOS TRES ENVASES DE AZúCAR –DE 9,6 Y 2 KG– PAGARíA EL EQUIVALENTE A 18, 12 Y 4 KG DE HARINA, RESPECTIVAMENTE. EN TOTAL, EL EQUIVALENTE A 34 KG DE HARINA. PERO SI SE LLEVA LOS TRES ENVASES DE ESTE úLTIMO PRODUCTO –DE 15, 8 Y 7 KG– PAGARíA POR UN TOTAL DE 30 KG DE HARINA.PARA QUE EL COSTO DE AMBOS PRODUC- TOS SEA IGUAL, DEBEMOS ELIMINAR EL ENVASE DE 2 KG DE AZúCAR –QUE CUESTA COMO 4 DE HARINA–. DE ESTA FORMA ESTARíA PAGANDO EN AMBOS PRODUCTOS EL EQUIVALENTE A 30 KG DE HARINA.

L) PUES…,NO PODEMOS SABERLO PORQUE NO POSEEMOS DATOS AL RESPECTO. DESDE LUEGO, NO TIENE POR QUé SER 28 AñOS (4 X 7),NI 11 (4 + 7),NI 47…

25 M) PODEMOS CALCULAR EL VALOR DE CADA UNA DE LAS SUMAS ENTRE PARéNTESIS. ASí, PARA SUMAR 1 + 2 + 3 + … + 190 + 191 + 192 PODEMOSPENSARDEESTAMANERA:FORMEMOS TODAS LAS PAREJAS“EQUIDISTANTES”POSIBLES,ES DECIR,1+192,2+191,3+190,…,HASTALAS DEL MEDIO:94 + 99,95 + 98,Y 96 + 97.EN CADAUNADEESTAS96PAREJAS,ELRESULTADODE LA SUMA ES 193.ASí QUE:1 + 2 + … + 190 + 192 = 96 X 193 = 18.528.A PARTIR DE AQUí, 1 + 2 + 3 + … + 190 + 191 = 18.528 – 192 = 18.336. DE ESTA FORMA TENEMOS:

A = 191 X (1 + 2 + … + 191 + 192) = 191 X 18.528 = 3.538.848

B = 192 X (1 + 2 + … + 190 + 191) = 192 X 18.336 = 3.520.512

DE MODO QUE A ES MAYOR QUE B. N) ESTE ES UN EJERCICIO EN EL QUE HAY QUE MANEJAR CON SOLTURA LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 4.OBSERVANDO EL ENUNCIADO: A B C D E X 4 E D C BA

PERCIBIMOS QUE A –POR SER LA 1ª CIFRA DEL MULTIPLICANDO,DEIZQUIERDAADERECHA–DEBE SER MENOR QUE 3 PARA QUE NO HAYA 6 CIFRAS EN EL PRODUCTO. PERO A NO PUEDE SER 1 YA QUE –AL NIVEL DE LAS UNIDADES– 4 X E DEBE SER PAR. POR CONSIGUIENTE A = 2. ESTO DEJA PARAE–COMO1ªCIFRADELPRODUCTOY5ªCIFRA DEL MULTIPLICANDO– EL DíGITO 8 COMO úNICO VALOR POSIBLE.HASTA AHORA TENEMOS:

2 B C D 8 X 4 8 D C B 2

COMO LA MULTIPLICACIóN 4 X B NO ORIGINA “LLEVADA”,B DEBE SER IGUAL A 1.PERO SI B = 1 COMO 4ª CIFRA DEL PRODUCTO,D DEBE TOMAR EL VALOR DE 2 ó DE 7, PARA QUE CON LAS 3 UNIDADES DE LLEVADA DE 4 X 8 PRESENTE UN 1 EN LA 4ª CIFRA DEL PRODUCTO. AHORA BIEN, COMO D NO PUEDE SER 2, D = 7. FINALMEN- TE, C TOMA EL VALOR DE 9. LA MULTIPLICACIóN DESCUBIERTA ES:

2 1 9 7 8 X 4 8 7 9 1 2 O) PODEMOS REPRESENTAR EN LA SIGUIENTE TABLA LA INFORMACIóN APORTADA POR EL ENUN- CIADO:

26 AHORA BUSCAMOS SU CONSTRUCCIóN TOTAL PROCEDIENDO DESDE EL úLTIMO DATO (LO QUE LE QUEDA AL SALIR DE LA 3ª TIENDA) HACIA ARRIBA. DESCRIBIMOS EL PROCESO DE LA 3ª ?LA DE DA- TOS:SI SUMAMOS LO QUE LE QUEDA CON LO QUE GASTA (48.000 + 72.000),TENEMOS 120.000 PESOS.ESTACANTIDADREPRESENTAELCUáDRUPLO DE LO QUE TRAíA,30.000 PESOS (120.000 :4), QUE ERA LO QUE LE QUEDABA AL SALIR DE LA 2ª TIENDA.AHORA SE REPITE EL PROCESO EN LA 2ª ?LA,Y LUEGO EN LA 1ª.EL RESULTADO ?NAL ES:

P) COMO PUEDE OBSERVARSE,LA CIFRA DE LAS UNIDADES DEL MULTIPLICANDO PODRíA SER 3 U 8,PARA QUE LA MULTIPLICACIóN POR EL 2 DE LAS DECENAS TERMINE EN 6.PERO NO PUEDE SER 8, PORQUE EL PRODUCTO TERMINA EN 7 (IMPAR). POR LO TANTO,EL MULTIPLICANDO TERMINA EN 3. AHORA BIEN,EL MULTIPLICADOR DEBE TERMINAR A SU VEZ EN 9, úNICA POSIBILIDAD PARA QUE EL PRODUCTO ACABE EN 7. EL RESULTADO HASTA AHORA ES: * 3 2 9 * * 7 * 6 9 * 7 AHORA ES CUESTIóN DE PROCEDER POR ENSAYO Y AJUSTE CON LA CIFRA DESCONOCIDA DEL MUL- TIPLICANDO, SABIENDO QUE DEBE SER < 4, EN RAZóN DEL NúMERO DE CIFRAS DEL PRODUCTO Y DE LA“LLEVADA”QUE APORTA SU MULTIPLICACIóN POR 9.FINALMENTE SE LLEGA A:

3 3 2 9 2 9 7 6 6 9 5 7

¿PUEDE USTED ELABORAR UNOS EJERCICIOS SI- MILARES A éSTE? No podemos terminar esta parte dedicadaalosproblemasdemultiplica- ción sin reiterar la re?exión que, sobre la forma en que los hemos abordado y resuelto, hicimos en los dos Cuadernos anteriores. He aquí algunas conclusio- nes, que seguramente compartimos todos:

1.Elmétodoqueaparececomomás utilizado y e?ciente sigue siendo el del tanteo razonado. Como decíamos, es un método científico excelente, que nos acostumbra a formular hipótesis razonables–ajustadasalascondiciones de la situación– y a veri?carlas en la práctica. Todo esto re?eja un proceso permanente de toma de decisiones, así como de control sobre la propia actividad.

2. La valoración del método de tanteo razonado no debe excluir la consideración y práctica de otros mé- todos a la hora de resolver problemas. Por ejemplo, algunos de los proble- mas que acaban de trabajarse podían haberse planteado y resuelto por la vía algebraica, es decir, utilizando incógnitas y ecuaciones, aunque en algunos casos – como en el problema o)– resulte más engorroso (puede ha- cer la prueba…).

3. Volviendo a las formas en que hemos trabajado los problemas ante-

27 riores, nunca insistiremos demasiado acerca del valor de la observación: observar el enunciado de la situación, las condiciones que afectan a las varia- bles o a los datos numéricos, los casos posibles,lashipótesisqueformulamos, los resultados parciales que vamos obteniendo…

4.Otropuntoadestacareslapresen- cia de ciertas herramientas auxiliares que facilitan la consideración de los datos del problema o de los que se van obteniendo durante su resolución: nos referimos al uso de tablas, gráficas, etc. Por otro lado, resulta muy destacable la observacióndelosresultadospresentes enlastablasdemultiplicar,observación quesueleobviarsecuandoseaprenden y manejan simplemente para obtener un producto.

8. La multiplicación en el aula El esquema que hemos seguido hasta aquí en la presentación matemá- tica del tema de la multiplicación nos sugiere la “ruta” de contenidos que –en el orden que se propone, pero gradual- mente–podríaseguirseenelaula(OJO: ésta no es una prescripción didáctica relativa al cómo desarrollar la enseñan- za, sino tan sólo la ruta ordenada de los contenidos que pueden tratarse en el aula, con el ?n de adquirir las compe- tencias propias del tema): • Ejercitación en dobles y mitades de números a partir de la suma. • Ejercicios de sumas reiteradas. Construcción de las tablas de multipli- car. Descubrimiento del signi?cado de cada tabla. • Inicio de la ejercitación en el cál- culo mental, de la memorización de las tablas y de la resolución de problemas multiplicativos. Esta triple actividad debe mantenerse permanentemente. • Multiplicación con materiales concretos y paso a la multiplicación en formato escrito (multiplicador de un solo dígito). Resolución progresiva del problema de la “llevada”. • Comprensión de los productos de las diversas unidades del sistema de numeración decimal. Ejercitación al respecto. •Multiplicaciónconfactoresenteros de más de un dígito. Multiplicación de cantidades decimales. Se sugiere pro- ceder en la forma propuesta en el punto 6:lecturadelosfactores,estimacióndel producto, decisión de la vía a seguir, obtención y revisión del producto, a?- nación de la estimación inicial.

En general, no debe insistirse en la resolución de multiplicaciones en su formato escrito, y mucho menos si se trata de factores de muchas cifras enteras o decimales. Para este tipo de multiplicacionescontamosconlacalcu- ladora, que es el recurso que utilizamos en la vida diaria para estos casos. No es preciso “torturar” a los niños con esos ejercicios escritos. Lo que sí debe hacerseconellosesestimarelproducto, así como precisar el número de cifras enterasydecimalesquetendrá.Recuér- dese que la calculadora puede sustituir al ejercicio escrito en la obtención del producto, pero nunca al cálculo mental y a la estimación en el desarrollo de las destrezas que estas dos alternativas pueden generar en los alumnos.

9. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…

12. ESTOY MI- RANDO EL RELOJ Y VEO QUE LA AGUJA HORARIA Y EL MINUTERO NO COINCIDEN. SIN EMBARGO OBSERVO QUE LA AGUJA HORARIA VA A TARDAR EL DOBLE QUE EL MINUTERO EN LLEGAR AL 6. ¿QUé HORA ES EN ESTE MOMENTO?

13.SIMEDASUNANARAN- JA,TENDRé EL DOBLE DE LAS TUYAS.PERO SI TE DOY UNA DE LAS MíAS, TENDREMOS EL MISMO NúMERO DE NARANJAS.¿CUáNTAS TENGO YO?

28 14.ENUNCON- JUNTO DE VACAS Y DE POLLOS EL NúMERO DE PATAS ES 14 UNIDADES MA- YOR QUE EL DE CABEZAS, QUE ES 6.¿CUáNTAS VACAS HAY?

15. COMPLETE LAS CASILLAS DEL SIGUIENTE CUADRO: 16. SI UNA NIñA LLEGA A LA ADOLESCENCIA A LOS 11 AñOS,¿CON CUáNTOS AñOS LLEGARáN 5 NIñAS?

17. UNA SEñORA TIENE 33 AñOS Y SU HIJO, 7. ¿DENTRO DE CUáNTOS AñOS SERá LA EDAD DE LA MAMá TRES VECES LA DE SU HIJO?

18.HALLARELTéRMINOQUEFALTAENLASERIE: 3,9,__,45,93,189 19.HALLAR UN NúMERO DE CUATRO DíGI- TOS MENORES QUE 5 TALES QUE,CONSIDE- RADOS DE IZQUIERDA A DERECHA,EL 4º ES EL DOBLE DEL 1º,EL 2º ES 3 UNIDADES MENOR QUE EL 3º,Y LA SUMA DEL 1º Y DEL 4º ES EL DOBLE DEL 3º.

20. EN UN AñO UN CARNICERO VENDE 145 KG DE CARNE A UN PANADERO A UN COSTO DE 4.300 PESOS/KG.EN EL MISMO PERíODO,EL PANADERO LE VENDE AL CARNICERO 406 KG DE PAN A UN PRECIO DE 1.500 PESOS/KG. ¿QUIéN DE LOS DOS ES DEUDOR DEL OTRO?

21.ENTREBILLETESDE1.000YDE2.000 PESOS, CARLOS TIENE 10 BILLETES. LE FALTAN 4.000 PESOS PARA COMPRAR UN PANTALóN. SI EL NúMERO DE BILLETES DE 1.000 FUERA EL DE 2.000 Y VICEVERSA, TENDRíA EL DINERO EXACTO PARA LA COM- PRA.¿CUáNTO DINERO TIENE?

22. COLOQUE LAS CIFRAS 2,4,7 Y 9 –UNA EN CADA CUADRITO– DE TAL FORMA QUE EL PRO- DUCTO: X SEA EL MAYOR POSIBLE. 23. EN LA COOPERATIVA NECESITAN UN TRACTOR PARA TRABAJAR EN LA GRANJA. LES HAN OFRECIDO DOS ALTERNATIVAS: A) 300.000PESOSPORELALQUILER+5.000 PESOS POR CADA HORA DE TRABAJO; B) 250.000PESOSPORELALQUILER+6.000 PESOS POR CADA HORA DE TRABAJO. SI EL TIEMPO DE TRABAJO SE ESTIMA EN ALGO MáS DE 50 HORAS,¿QUé OPCIóN RESULTA MáS BARATA?

24. LOS SIGNOS * ESCONDEN DIVERSOS DíGITOS EN LA SIGUIENTE MULTIPLICACIóN. DESCúBRALOS: * * * 5 * 7 * 3 0 * * * * 7 * * * * *

* 3 25. UN DISTRIBUIDOR DE CARROS DE JU- GUETE DEBE REPARTIR SU MERCANCíA EN 7 JUGUETERíAS. EN LA PRIMERA, DEJA LA MITAD DE LOS CARROS QUE TRAE,MáS 1 CARRO.EN LA SEGUNDA,DEJA LA MITAD DE LOS CARROS QUE LE QUEDAN, MáS 1 CA- RRO.REPITE LA MISMA OPERACIóN EN LAS CINCO JUGUETERíAS RESTANTES Y, AL ?NAL, SE QUEDA CON UN SOLO CARRO.¿CUáNTOS TENíA AL COMIENZO?

29 30. K,E Y D REPRESENTAN A TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. G Y B SON OTRA PAREJA DE ENTEROS CONSECUTIVOS, DIFERENTES DE LOS ANTERIORES.SE VERI?CA QUE E X G B = K E D.¿CUáL ES EL VALOR DE CADA LETRA?

31. EN ESTE MOMENTO, LA EDAD DE MARCOS TRIPLICA A LA DE ROSAURA, PERO DENTRO DE 14 AñOS SóLO SERá EL DOBLE. ¿CUáNTOS AñOS TIENE ROSAURA ACTUALMENTE?

32. COLOQUE OPORTUNAMENTE LOS SIGNOS +,–,X ENTRE LOS DíGITOS 2 9 6 7 PARA QUE SE OBTENGA 17 COMO RESULTADO DE LAS OPERACIONES INDICADAS.

33. ACABAMOS DE ENVIAR UN PAQUETE POR MEDIO DE UNA AGENCIA.LA AGENCIA COBRA 5.000 PESOS POR LOS PRIMEROS 5 KG;POR CADA UNO DE LOS SIGUIENTES 5 KG, LA MITAD DEL COSTO POR KG DE LOS 5 ANTERIORES; Y ASí SUCESIVAMENTE. SI HEMOS PAGADO 8.000 PESOS, ¿CUáNTO PESA EL PAQUETE?

34. UN VENDEDOR TIENE SEIS CESTAS,UNAS CON HUEVOS DE GALLINA Y OTRAS CON HUEVOS DE CODORNIZ. LOS NúMEROS DE HUEVOS EN CADA CESTA SON: 6, 29, 12, 23, 5, 14. EL VENDEDOR CONSIDERA:“SI VENDO ESTA CESTA, ME QUEDARíA EL DOBLE DE HUEVOS DE GALLINA QUE DE CODORNIZ”. ¿A QUé CESTA SE RE?ERE? ¿QUé CESTAS QUEDARíAN CON- TENIENDO HUEVOS DE CODORNIZ? 26. COMPLETE LAS CASILLAS DEL SIGUIENTE CUADRO:

27. SI UN NIñO HA CRECIDO 40 CM DURANTE LOS DOS PRIMEROS AñOS, ¿CUáNTO CRECERá DURANTE LOS 8 AñOS SIGUIENTES?

28. JULIáN PESA EL DOBLE DE SU ESPOSA, éSTA EL DOBLE DE SU HIJA,Y LOS TRES JUNTOS, 154 KG.¿CUáNTO PESA LA NIñA?

29.ENUNASELECCIONES,UN CANDIDATO GANADOR TRIPLI- Có EN VOTOS A SU OPONENTE, Y JUNTOS SACARON 116.000 VOTOS. ¿CUáNTOS OBTUVO EL CANDIDATO GANADOR? 35. SIN EFECTUAR LA MULTIPLICACIóN, ¿CUáNTAS CIFRAS ENTERAS Y CUáNTOS DE- CIMALES TIENE EL PRODUCTO DE 417,201 X 2,56?

Referencias bibliográ?cas

– Castro, E., Rico, L., Castro, E. (1988). Números y operaciones. Fun- damentos para una aritmética escolar. Madrid: Síntesis. – Maza G., C. (1991). Enseñanza de la multiplicación y la división. Madrid: Síntesis.

30 Respuestas de los ejercicios propuestos

1. Habrá que ver. Desde luego no serán 42 2. 36 3. 23 años 4. 7 hombres 5. Factores: 415 y 382 6. 5 sacos de 15 kgy7de10kg7.Los5números8.4.900 pesos 9. 5.900 pesos 10. 527 (5 x 2 = 7) 11. 1ª ?la: 3, 0, 1; 2ª ?la: 2, 6, 4; 3ª ?la: 2, 3, 4 12. Las 5 en punto 13. 7 naranjas 14. 4 vacas 15. 1ª ?la: 6, 5, 4; 2ª ?la: 5, 4, 2; 3ª ?la: 9, 1, 1 16. A los 11 años 17. Dentro de 6 años 18. 21 19. 2.034 20. El panadero debe 14.500 pesos 21. 13.000 pesos 22. 92 x 74 23. La opción A 24. Multiplicando: 117; multiplicador: 319 25. 382 26. Una posible respuesta es: 1ª ?la: 3, 2, 3; 2ª ?la: 4, 1, 4; 3ª ?la: 1, 5, 2 27.No hay datos para saberlo; no tiene por qué ser 160 cm (4 x 40 cm) 28. 22 kg 29. 87.000 votos 30. 3 x 78 = 234 31. 14 años 32.2 x 9 + 6 – 7 = 17 33. 12 kg 34. A la de 29 huevos. Las cestas de 6 y 14 huevos 35. 4 cifras enteras y 5 decimales Post data: He aquí un texto ?nal, como para re?exionar acerca de la lógica de la multiplicación dentro de la lógica de la vida…

El turista se plantó frente al tarantín. En él, junto al indígena, había una pila de sillas elaboradas artesanalmente. –¿Cuánto cuesta esta silla? –preguntó, mientras señalaba la primera de la pila. –10 pesos. –¿Cuánto cuestan todas? –200 pesos. –Pero, ¿cómo 200, si sólo hay 10 sillas? –La primera la hago por gusto y cuesta 10 pesos. Las demás las hago por dinero.

[Escena y diálogo de la película franco–mexicana “¿No oyes ladrar los perros?”]