8 S),(N,T),(N,Y),(N,Z)}.Obsérveseque hay 15 pares –15 elementos– en A x B. Pues bien, la multiplicación del cardinal de A por el cardinal de B es el cardinal del conjunto producto cartesiano A x B. En nuestro caso, 3 x 5 = 15.
Así que, para pensar en la multi- plicación de dos números, debemos imaginarnos que hay dos conjuntos; que uno de ellos posee tantos ele- mentos como lo indica uno de los números; que el otro posee tantos elementos como lo indica el otro nú- mero a multiplicar; que se construye el conjunto producto cartesiano de los dos conjuntos dados; y que se cuentan los elementos –pares de números– de este nuevo conjunto. El resultado ?nal de este conteo es el producto de los dos números iniciales.
LA MULTIPLICACIóN DE DOS NúMEROS NATURALES REPRESENTA, PUES, EL CARDINAL DEL CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS, EN EL SUPUESTO DE QUE UNO DE LOS DOS NúMEROS REPRESENTA INICIALMENTE EL CARDI- NAL DE UN CONJUNTO, Y EL OTRO, EL DEL OTRO CONJUNTO.
Lo que va hasta aquí es la respuesta matemáticaformalalapreguntadequé eslamultiplicación.Sinembargo,al(la) lector(a)debeestarlesonandopordentro B1 B2 B3 B1 U B2 U
loquesiempresehadicho:quelamulti- plicación de números naturales es una suma reiterada. Y, aparentemente, la presentación formal anterior no cuadra con esta última versión. Es importante que aclaremos esta dualidad.
Pensarlamultiplicacióndenúmeros naturales como una suma reiterada nos lleva también a su representación en el terreno de los conjuntos. Así, 3 x 5, en- tendido como “3 veces 5”, signi?ca que tenemosunconjuntoB1compuestopor 5 elementos (por ejemplo, bolígrafos), que se va a unir con otros dos conjun- tos similares, B2 y B3, también con 5 lápices cada uno: B1 U B2 U B3 (U es el símbolo de la unión de conjuntos). Lógicamente, este conjunto posee 5 B3 =
+ 5 + 5 = 15 elementos. [Obsérvese que no puede hablarse de un mismo conjunto B “repetido” tres veces, es decir, del conjunto B U B U B, ya que este conjunto tendría sólo 5 elementos. En efecto, recuérdese que para poder “sumar”loscardinalesdecadaconjunto esprecisoquelosconjuntosqueseunen sean disjuntos, es decir, que no posean ningún elemento común].
Este resultado –15 elementos– es el mismo que el obtenido anteriormente, cuando pensamos en la multiplicación como el cardinal del conjunto producto cartesiano de A x B. La diferencia no está, pues, en el resultado, sino en el signi?cado de cada conjunto A y B, y de sus respectivos cardinales.
9 Porque, ¿quién es el conjunto A cuando hablamos de “3 veces 5”? ¿Y cómo asociamos el 3 al conjunto A? Indudablemente, no podemos pensar en que A tiene 3 elementos similares a los de B1; es decir, A no es un conjunto de 3 lápices. A es un conjunto cuyos 3 elementos son, precisamente, los tres conjuntos B: A = {B1, B2, B3}. El cardinal de A es 3, ciertamente, pero la natura- leza del conjunto A es diferente de la naturaleza de los B.
Otracaracterísticaenlaquedi?eren ambos enfoques de la multiplicación es larelativaalsigni?cadodelaspropieda- des de esta operación. Así, por ejemplo con la conmutatividad, decimos que es igual 3 x 5 que 5 x 3. En el enfoque de la multiplicación como cardinal del conjunto producto cartesiano, esto signi?ca que el cardinal de A x B es el mismo que el de B x A, lo cual es cierto: siempre hay 15 parejas, aun cuando en el segundo caso el orden para nombrar a cada pareja sería ahora el inverso: (mujer, hombre).
En cambio, en el enfoque de la multiplicación como “suma reiterada”, 3 x 5 signi?ca “3 veces 5”, y 5 x 3, “5 veces3”.Enamboscasossetendrán15 elementos. Pero en el primero signi?ca quehayunconjuntoformadopor3con- juntos de 5 lápices cada uno; mientras queenelsegundo,quehayunconjunto formado por 5 conjuntos de 3 lápices cada uno. El 3 y el 5 tienen, en cada caso, un papel totalmente diferente. En el primero, 3 opera como un simple numerador,mientrasqueelnumerador 5 va acompañado del denominador “lápices”; en el segundo, los papeles se cambian.
LO IMPORTANTE ES PERCIBIR LAS DIFERENCIAS PRESENTES ENTRE AMBOS ENFOQUES DEL CONCEPTO DE MULTIPLICACIóN DE NúMEROS ENTEROS,ASí COMO LO QUE TIENEN EN COMúN, QUE ES LA COINCIDENCIA DEL RESULTADO DE LA OPERACIóN.DIGAMOS QUE EL PRIMER ENFOQUE –PRODUCTOCARTESIANO–ESMATEMáTICAMENTE MáS FORMAL Y QUE EL SEGUNDO –SUMA REITE- RADA– ES PEDAGóGICAMENTE MáS APTO PARA INICIAR LA ANDADURA DESDE LOS PREDIOS DE LA ADICIóN.
LA MULTIPLICACIóN ES, PUES, UNA OPERACIóN ARITMéTICA CUYO RESULTADO –EL PRODUCTO DE DOSNúMEROS–PUEDEINTERPRETARSECOMOEL RESULTADODEUNA SUMAREITERADA–AUNQUENO ES LO MISMO NI PUEDE REDUCIRSE SIMPLEMEN- TE A ELLO– O COMO EL CARDINAL DE UN CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO DE OTROS DOS CONJUNTOS (CASTRO,RICO,CASTRO,1988;MAZA,1991).
Como vemos, la consideración for- mal de la multiplicación de números naturales requiere de ciertas puntuali- zacionesteóricasquedebemosconocer y comprender. Pero esta presentación formalnoes,afortunadamente,laúnica respuestaalapreguntaacercadequées estaoperación.Porquelamultiplicación tambiénpuedeservistacomounmode- lo de situaciones de la vida diaria, o de situacioneslúdicas,odeotrasáreasdel saber.Enestesentido,lamultiplicación seconvierteenunaherramientaquenos permite interpretar matemáticamente las situaciones que se presentan en nuestra vida.
¿Y cuáles, o de qué naturaleza, son estas situaciones para las que la mul- tiplicación puede presentarse como modelo? Fundamentalmente, cuatro:
1. Situaciones de reiterar una cantidad dada. 2. Situaciones de hallar el valor de algún atributo (me- dida, peso, costo…) en varias unidades, conociendo el de una unidad. 3.Situacionesde obtener una canti- dad que sea un cier- to número de veces mayor que otra. Y como caso particu- lar, reducir unidades de orden superior a unidades de orden inferior.
10 4. Situaciones de averiguar el número de pare- jas diferentes que se pueden formar con los elementos de dos conjuntos, tomando uno de cada uno en cada pareja.
Estas situaciones suelen venir ca- racterizadas–enlainterpretaciónverbal que de ellas hace el sujeto– por verbos tales como reiterar, duplicar, triplicar, …, hacerlo tantas veces mayor, y los propios de cada situación particular. Además, y como puede observarse, las situaciones 2 y 3 son casos particulares de la primera, y las tres responden a la perspectiva de la multiplicación como sumareiterada.Porsuparte,lasituación 4 es un re?ejo directo de la considera- ción conceptual de la multiplicación como cardinal del conjunto producto cartesiano de dos conjuntos.
EN RESUMEN,HAY DOS FORMAS DE CONSIDERAR LA MULTIPLICACIóN:COMO UN MODELO DE SITUA- CIONES DE LA VIDA DIARIA Y COMO UN OBJETO DE ESTUDIO FORMAL DENTRO DE LA MATEMáTICA.
No hay contradicción entre ambas formas de considerar la multiplicación, sinomásbiencomplementariedad.Pero síconvieneresaltarqueenelprocesode adquisición del concepto, de los proce- dimientos y de las destrezas propias de la operación, es preferible entrar por la vía del modelo de situaciones –y parti- cularmenteporlasquehacenreferencia a la perspectiva de suma reiterada– y considerar el estudio formal –con su lenguaje especí?co– como una meta a alcanzar posteriormente.
PODEMOS PRECISAR AHORA LOS TéRMINOS PROPIOS Y FORMALES PARA LAS CANTIDADES QUE INTERVIENEN EN LA OPERACIóN DE MULTIPLICA- CIóN DE NúMEROS NATURALES:
• MULTIPLICANDO:CANTIDAD QUE SE MULTIPLICA O SE SUMA REITERADAMENTE. • MULTIPLICADOR: CANTIDAD QUE INDICA EL NúMERO DE VECES QUE SE REITERA EL MULTI- PLICANDO. • FACTOR: INDISTINTAMENTE, CADA UNA DE LAS CANTIDADES QUE SE MULTIPLICAN. • PRODUCTO:RESULTADO DE EFECTUAR LA MULTIPLI- CACIóN,BIEN EN EL CASO DE LA SUMA REITERADA, O EN EL DEL CARDINAL DEL CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.
OBSERVEMOS QUE LOS DOS PRIMEROS TéRMI- NOS DE ESTA NOMENCLATURA RESPONDEN MáS DIRECTAMENTE A LA PERSPECTIVA DE LA MULTIPLI- CACIóN COMO SUMA REITERADA,MIENTRAS QUE EL PRODUCTO SE RE?ERE SIEMPRE AL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIóN. 2. Las tablas de multiplicar La resolución de las situaciones en las que la multiplicación opera como modelo pasa –como en los casos de la adición y de la sustracción– por el manejo de las operaciones en el terre- no abstracto de los numeradores sin denominadores, es decir, de los puros números. Las tablas de multiplicar muestran precisamente la forma con- creta y básica en que se presentan los productos entre los diez primeros números signi?cativos.
¿Cómoconstruiresastablas?Según se ha dicho anteriormente, el enfoque de la multiplicación como suma rei- terada resulta pedagógicamente más apto como vía para entender y obtener el producto de dos números naturales. Justamente, sumar repetidamente una misma cantidad (multiplicando) es la forma de ir construyendo progresiva- mente cada tabla de multiplicar.
De esta forma puede obtenerse la siguiente tabla de doble entrada en la que:
• las cabeceras de las filas y las columnas representan los factores (en NEGRITA) • el número en cada casilla interior expresa el producto de los dos factores que encabezan la ?la y la columna co- rrespondientes a esa casilla.
11 • cada ?la, o cada columna, repre- sentalatablademultiplicardelnúmero que la encabeza.
Pudiera pensarse que el “trabajo” con las tablas de multiplicar se reduce a construirlas –por la vía de las sumas rei- teradas–yaaprenderlasdememoria.Sin embargo,noesasí.Comovamosaver,es muchomás–ymássigni?cativo–loquese puede“hacer”conellasyapartirdeellas (en lo que sigue leeremos las tablas de multiplicar horizontalmente, por ?las).
Previamente, vamos a introducir dos conceptos aritméticos, el de doble de un número y el de mitad de un nú- mero. Para ello, partimos de la adición de números y, en particular, del cálculo mentalcorrespondientealasumadeun dígitoconsigomismo[VerCuaderno3]. Sobre esta base, pensar en el doble de un número como una suma signi?ca que el número en cuestión se disocia de acuerdo a las diversas unidades del sistema numérico decimal que lo com- ponen.Yqueluegosebuscaeldobledel dígito correspondiente a cada unidad.
Así, por ejemplo, calcular el doble de 241 se procesaría de este modo: “El doble de 200 es 400; el de 40, 80; y el de 1, 2. El doble de 241 es 482”. Y si se trata del doble de 957: “El doble de 900 es 1.800; el de 50 es 100 (con lo que llegamos a 1.900); y el de 7 es 14. El doble de 957 es 1.914”. Como se ve, procedemos de izquierda a derecha.
El cálculo de la mitad de un número par se desarrollaría sobre la base de una previa ejercitación con los dobles de nú- meros.Así,lamitadde1.624seprocesa- ría de este modo: “La mitad de 1.000 es 500;lade600es300(llevamos800);lade 20es10(llevamos810);ylade4es2.La mitad de 1.624 es 812”. Análogamente, para la mitad de 718: “La mitad de 700 es 350; la de 10 es 5 (llevamos 355); y la de 8 es 4. La mitad de 718 es 359”. OBTENGA MENTALMENTE EL DOBLE DE LOS SIGUIENTES NúMEROS: 57 109 376 1.050 3.984 7.896 13.408 299 Y LA MITAD DE LOS SIGUIENTES NúMEROS: 612 98 394 1.084 2.136 5.348 7.390 10.972 PROPóNGASE OTROS EJERCICIOS SIMILARES Apartirdeestaejercitaciónpodemos asomarnos de nuevo a la anterior tabla de doble entrada y dedicarnos a un am- plio proceso de observación (y de paso responderemos a un par de ejercicios propuestos al inicio del Cuaderno…).
ESTASSONLASTAREASDEOBSERVACIóNQUE LE PROPONEMOS AHORA. POR FAVOR, VAYA A LA TABLA, EFECTúE LOS ANáLISIS QUE SE INDICAN,SAQUE SUS CONCLUSIONES Y,POS- TERIORMENTE,REGRESE Y SIGA LEYENDO:
1.OBSERVE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 1 2. OBSERVE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 10 3.COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 2 CON LA DEL 1 4. COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 4 CON LA DEL 2 5. COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 8 CON LA DEL 4 6. COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 5 CON LA DEL 10 7. COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3 CON LAS DEL 1 Y DEL 2 8. COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 9 CON LAS DEL 10 Y DEL 1 9.COMPARE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 6 CON LA DEL 3
PARADA OBLIGATORIA
12 Como resultado de este proceso de observación podemos llegar a las siguientes conclusiones:
1. Multiplicar por 1 es dejar intacto el otro factor. Así, 1 x 938 = 938.
2. Multiplicar por 10 signi?ca agre- gar un 0 al otro factor. Así, 10 x 507 = 5.070.
3. Los productos de la tabla del 2 son el doble de los correspondientes de la tabla del 1. Por consiguiente, mul- tiplicar por 2 signi?ca obtener el doble del otro factor. Así, 2 x 79 es el doble de 79: El doble de 70 es 140; y el de 9 es 18 (llevamos 158). De donde: 2 x 79 = 158. [Lo que queremos indicar con este ejemplo es que, una vez captada la tabla del 2 como la que “obtiene el doble de”, ya es posible multiplicar inmediatamente cualquier número por 2. Es decir, percibimos que la tabla del 2 no termina en 2 x 10]
4.Losproductosdelatabladel4son el doble de los correspondientes de la tabladel2.Porconsiguiente,multiplicar por4signi?caobtenerdosvecesconse- cutivas el doble a partir del otro factor. Así, 4 x 79 pasa por obtener el doble de 79 –que es 158– y obtener ahora el dobledeesteúltimonúmero,conloque se llega a 316. Valen los comentarios ?nales del caso anterior. 5.Losproductosdelatabladel8son el doble de los correspondientes de la tabladel4.Porconsiguiente,multiplicar por8signi?caobtenertresvecesconse- cutivas el doble a partir del otro factor. Así, 8 x 79 pasa por obtener el doble de 79 –que es 158–, el doble de 158 –que es 316–, y el doble de este último número, que es 632. También valen los comentarios ?nales del caso 3.
6.Losproductosdelatabladel5son la mitad de los correspondientes de la tabla del 10. Por consiguiente, multipli- car por 5 equivale a agregar un 0 al otro factor y luego obtener la mitad de este último número. Así, 5 x 79 equivale a la mitad de 790: La mitad de 700 es 350; y la de 90 es 45 (llevamos 395). De donde:5×79=395.Siguenvaliendolos comentarios ?nales del caso 3.
7.Losproductosdelatabladel3son la suma de los correspondientes de la tabla del 2 y del 1. Por consiguiente, multiplicar por 3 signi?ca obtener el doble del otro factor (multiplicarlo por 2)e,inmediatamente,sumarleelmismo factor (multiplicado por 1). Así, 3 x 79 equivale a obtener el doble de 79 –que es158–ysumar79a158,conloquese llegaa237.Dedonde:3 x 79 = 237.Va- len los comentarios ?nales del caso 3.
8.Losproductosdelatabladel9son ladiferenciadeloscorrespondientesde latabladel10ydel1.Porconsiguiente, multiplicar por 9 equivale a agregar un 0 al otro factor y luego restarle el mismo factor. Así, 9 x 79 equivale a restar 79 de 790; es decir, restarle 80 (llevamos 710) y agregarle 1. De donde: 9 x 79 = 711. También valen los comentarios ?nales del caso 3.
9. Finalmente, los productos de la tabla del 6 son el doble de los co- rrespondientes de la tabla del 3. Pero también son la suma de los corres- pondientes de la tabla del 4 y del 2. O la suma de los correspondientes de la tabla del 5 y del 1… Saque sus propias conclusiones…
Como puede verse, esta “lectura” de las tablas de multiplicar nos permite manejarlas de una forma diferente: en lugar de aprendernos de memoria los productos –cosa que también tenemos quehacer–vemoscadatabladesdeuna perspectiva integral, es decir, desde el punto de vista de lo que hace con cual- quier factor.
Obsérvese también que todos los productos de todas las tablas se ob- tienen mediante operaciones muy simples: agregar un 0, hallar el doble, hallarlamitad,sumaryrestarnúmeros. La tabla menos “penetrable” es la del 7 –aunque puede verse como la suma de la del 5 y del 2, o la diferencia de la
13 del 8 y del 1…–, pero al disponer de los productos de las demás tablas, de una vez quedan incluidos los productos de la tabla del 7.
EFECTúE MENTALMENTE LOS SIGUIENTES PRODUCTOS, TOMANDO COMO REFERENCIA LA PERSPECTIVA MOSTRADA ANTERIORMENTE: 2 X 367 8 X 135 5 X 147 4 X 75 8 X 350 3 X 95 5 X 613 9 X 17 2 X 835 3 X 225 5 X 380 9 X 67 3 X 150 6 X 75 5X 130 9 X 250 6 X 125 2 X 555 3. El desarrollo de destrezas para multiplicar El enfoque con el que acabamos de estudiar las tablas de multiplicar ya nos ha puesto en el camino del de- sarrollo de destrezas para multiplicar, más allá del mero uso memorístico de los productos presentados en dichas tablas. Con el ?n de fundamentar y ampliar este campo de destrezas va- mos a analizar las propiedades de la multiplicación, tan sabidas como tan poco utilizadas:
1. Conmutativa: El orden en que se consideran dos factores no modi?ca su producto. Por ejemplo, multiplicar 7 por 5 ó multiplicar 5 por 7 produce el mismo resultado. 2. Asociativa: Si hay más de dos factores, el orden progresivo en que “entran” en la multiplicación es indife- rente:elresultadosiempreeselmismo. Por ejemplo, si hay que multiplicar 5, 7 y 2, puede hacerse en cualquier orden: 5 por 7 y luego por 2, ó 7 por 2 y luego por 5, ó 2 por 5 y luego por 7 (mejor de esta última manera, ¿no?), etc. 3. Disociativa (es decir, la misma propiedad asociativa, pero al revés): Algunos factores pueden descompo- nerse en partes o factores menores, siempre que su “asociación multipli- cativa” equivalga al factor inicial. Por ejemplo, si hay que multiplicar 18 por 35, se facilita la operación si 18 se di- socia (mentalmente, en la práctica) en 9 x 2, y 35 en 5 x 7, lo que permite un reacomodo en la multiplicación: 18 x 35 = 9 x 2 x 5 x 7 = (9 x 7) x (2 x 5) = 63 x 10 = 630.
4. Existencia de un elemento neutro:Esdecir,el1;cuandomultiplica a una cantidad, ésta no varía.
5. Existencia de un elemento reductor: Es decir, el 0; cuando multi- plicaaunnúmero,elproductoes0.Ala vista de estas dos últimas propiedades se puede romper la falsa creencia de que multiplicar dos números naturales siempre produce un resultado mayor que ambos factores… 6. Distributiva con respecto a la suma y a la resta: Cuando uno de los factores es una suma indicada, el otro factor puede multiplicar a cada uno de los sumandos, o bien a la suma de los mismos. Análogamente, cuando uno de los factores es una resta indicada, el otro factorpuedemultiplicaralminuendoyal sustraendo, o bien a la diferencia de los mismos.Entérminossimbólicos(lasletras simbolizan cualquier número natural): A X (B + C) = A X B + A X C A X (B – C) = A X B – A X C
Lo destacable de esta propiedad es que nos permite mayor libertad a la hora de efectuar las multiplicaciones. Por ejemplo:
23 X 4 = (20 + 3) X 4 = 20 X 4 + 3 X 4 = 80 + 12 = 92 99 X 7 = (100 – 1) X 7 = 100 X 7 – 1 X 7 = 700 – 7 = 693 Si 493 x 25 = 12.325, entonces 497 x 25 = (493 + 4) x 25 = 12.325 + 100 = 12.425
También es muy importante la lec- tura de esta propiedad de derecha a izquierda:
A X B + A X C = A X (B + C);A X B – A X C = A X (B – C)
situación que se reconoce como la ope- ración de “sacar factor común” y que
14 supone la habilidad de “disociar” un número en sus posibles factores. Así, por ejemplo (lo que sigue se resuelve mentalmente; aquí sólo indicamos los pasos que se dan):
48 – 15 = 3 X 16 – 3 X 5 = 3 X (16 – 5) = 3 X 11 = 33
56 + 144 = 8 X (7 + 18) = 8 X 25 = 200
Comopuedeapreciarse,éstaesotra forma de ver los números y de operar con ellos, cuya principal característica es que convierte una operación de suma o resta en una multiplicación; transformación cualitativa que puede resultar de mucho interés en algunos casos.
Como un detalle complementario podemos apreciar cómo la “forma de operar” de las tablas del 4 y del 8 se apoya en la propiedad disociativa (4 = 2 x 2 y 8 = 2 x 2 x 2), mientras que la de las tablas del 3 y del 9 lo hace en la propiedad distributiva (3 = 2 + 1 y 9 = 10 – 1).
De lo anterior tiene que quedarnos algo bien claro: las propiedades de la multiplicaciónnosonsimplementepara aprenderlas –porque forman parte de lo que hay que saber–, sino sobre todo para utilizarlas. Porque las propiedades están ahí para facilitarnos la operación de la multiplicación, para darnos mayor libertad a la hora de multiplicar.
Deestaformaentramosdenuevoen los predios del cálculo mental (y de la estimación, como veremos más tarde), que es simplemente el cálculo que se hace utilizando las propiedades de la multiplicación.
ATENCIóN: TODO LO QUE SE VA A DECIR AHORA NO ES SóLO PARA ENTENDERLO. ES, SOBRE TODO, PARA PRACTICARLO. PERO NO UN PAR DE VE- CES, Y YA. LA EJERCITACIóN FRECUENTE Y ABUNDANTE ES REQUISITO INDISPENSABLE PARA DESARROLLAR DESTREZAS DE CáLCULO MENTAL.Y ESTO ES MUY IMPORTANTE, PORQUE SI NO LAS PO- SEEMOS NO PODREMOS CONSTRUIRLAS CON NUESTROS ALUMNOS.
Para resolver ejercicios de multi- plicación por la vía del cálculo mental contamos no sólo con las propiedades de la multiplicación ya mostradas, sino también con las de las operaciones previas, suma y resta. Todo esto nos da un agregado de maneras diferentes de proceder (una matemática que genere diversidad…) cuyo inicio siempre es el mismo: observar los factores en juego. Veamos algunas situaciones en par- ticular (en lo que sigue, se mostrarán de nuevo los cálculos escritos como una orientación del proceso mental, pero tales cálculos no se escriben en la práctica).
1. Disociación multiplicativa en un factor o en ambos, seguida de conmuta- tividad y asociatividad entre los nuevos factores:
36 X 5 = (18 X 2) X 5 = 18 X (2 X 5) = 18 X 10 = 180
12 X 45 = (6 X 2) X (5 X 9) = (6 X 9) X (2 X 5) = 54 X 10 = 540
24 X 75 = (6 X 2 X 2) X (3 X 5 X 5) = (6 X 3) X (2 X 5) X (2 X 5) = 18 X 10 X 10 = 1.800
72 X 15 = (36 X 2) X (5 X 3) = (36 X 3) X (2 X 5) = 108 X 10 = 1.080
16 X 41 = 2 X 2 X 2 X 2 X 41 = 2 X 2 X 2 X 82 = 2 X 2 X 164 = 2 X 328 = 656
53 X 12 = 53 X 2 X 2 X 3 = 106 X 2 X 3 = 212 X 3 = 636
Si46x54=2.484,entonces92x54= 2 x 46 x 54 = 2 x 2.484 = 4.968.
15 2. Disociación aditiva o sustractiva en un factor y aplicación de la distribu- tividad por medio del otro factor:
82 X 5 = (80 + 2) X 5 = 80 X 5 + 2 X 5 = 400 + 10 = 410
156 X 9 = 156 X (10 – 1) = 156 X 10 – 156 X 1 = 1.560 – 100 – 50 – 6 = 1.404
7 X 73 = 7 X (70 + 3) = 7 X 70 + 7 X 3 = 490 + 21 = 511
180 X 15 = 180 X (10 + 5) = 180 X 10 + 180 X 5 = 1.800 + 900 = 2700
37 X 11 = 37 X (10 + 1) = 37 X 10 + 37 X 1 = 370 +37 = 407
53 X 12 = 53 X (10 + 2) = 53 X 10 + 53 X 2 = 530 + 100 + 6 = 636
99 X 48 = (100 – 1) X 48 = 100 X 48 – 1 X 48 = 4.800 – 48 = 4.752
110 X 13 = (100 + 10) X 13 = 100 X 13 + 10 X 13 = 1.300 + 130 = 1.430
62 X 52 = (60 + 2) X 52 = 60 X 52 + 2 X 52 = 60 X (50 + 2) + 2 X (50 + 2) = 60 X 50 + 60 X 2 + 2 X 50 + 2 X 2 = 3.000 + 120 + 100 + 4 = 3.224
Como puede apreciarse, es posible seguir diversos caminos para llegar al mismo resultado: 16 X 25 = 4 X 2 X 2 X 5 X 5 = 4 X 10 X 10 = 400
16 X 25 = 16 X (20 + 5) = 16 X 2 X 10 + 16 X 5 = 32 X 10 + 160/2 = 320 + 80 = 400
16 X 25 = (10 + 6) X 25 = 10 X 25 + 3 X 2 X 25 = 250 + 3 X 50 = 250 + 150 = 400
16 X 25 = 2 X 2 X 2 X 2 X 25 = 2 X 2 X 2 X 50 = 2 X 2 X 100 = 2 X 200 = 400
16 X 25 = (20 – 4) X 25 = 20 X 25 – 4 X 25 = 10 X 2 X 25 – 2 X 2 X 25 = 10 X 50 – 2 X 50 = 500 – 100 = 400
EFECTúEMENTALMENTELASSIGUIENTESMULTI- PLICACIONES.RESUELVA CADA UNA POR TODAS LAS VíAS QUE SE LE OCURRAN.LUEGO AGREGUE OTROS EJERCICIOS POR SU CUENTA: 23 X 9 3 X 97 81 X 16 36 X 125 3 X 15 8 X 125 5 X 36 4 X 85 11 X 29 15 X 15 12 X 75 15 X 24 51 X 99 27 X 15 1.100 X 17 101 X 95 28 X 25 48 X 11 24 X 150 6 X 55 7 X 43 19 X 31
91 X 15 63 X 12 125 X 18
4. La multiplicación en el sistema decimal de numeración Hasta ahora se han resuelto los ejer- ciciosdemultiplicaciónsobrelabasedel conocimientodelastablasdemultiplicar y de la utilización de las propiedades de laoperación.Peronotodaslasmultiplica- cionespuedenrealizarseconsolturapor esta vía. Basta con tener grandes canti- dadescomofactores.Enestecaso–y,en general,encualquierotro–,procedemos basándonos en las tablas de multiplicar y en las potencialidades del sistema de numeracióndecimal.Ydistinguimosdos casos: el de ambos factores enteros, y el de al menos un factor decimal.
Multiplicación de dos factores enteros Supongamos que se trata de multi- plicar 427 x 38. Ya sabemos que esto signi?camultiplicar(400+20+7)x(30 + 8) y que por consiguiente, mediante una extensión de la propiedad distri- butiva, tendríamos que vernos con la multiplicacióndecentenaspordecenas (400 x 30), de decenas por decenas (20 x 30), y de unidades por centenas (8 x 400), por decenas (8 x 20 y 7 x 30) y por unidades (7 x 8).
Para clarificar esta complejidad vamos a trabajar con la multiplicación de las diversas unidades del sistema de numeración decimal. Así, por ejemplo, ¿qué signi?ca 10 x 100? Puede enten- dersecomo“10veces100”ó“10cente- nas”.Ysabemosqueambasexpresiones equivalena1unidaddemil.Siguiendo estaformaderazonarpodemoselaborar una tabla como la siguiente:
16 Estatablapuedeprolongarsetodolo quesedesee,peronohacefaltamostrar todos los casos posibles. Lo importante es entender cómo y por qué funciona la multiplicacióndelasdiversasunidades del sistema de numeración decimal, y saber aplicar este conocimiento. Así, volviendo al ejemplo anterior, 400 x 30 = 4 centenas x 3 decenas = (4 x 3) x 100 decenas=12unidadesdemil=12.000. Análogamente,20 x 30=2decenasx3 decenas=(2×3)x10decenas=6cente- nas = 600. Y así en los demás casos. Unavezcaptadoelfuncionamientode lamultiplicacióndelasdiversasunidades –y la razón de este funcionamiento– po- demos “descubrir” la regla habitual para estoscasos:“Elproductodedosfactores quesonmúltiplosde10(esdecir,queaca- banenunoovariosceros)esotromúltiplo de10quetienealaderechatantosceros comolasumadeloscerosquepresentan a la derecha ambos factores”. Así, 200 x 400=(8con4ceros)=80.000;300 x 50 =(15con3ceros)=15.000;20×370.000 = (74 con 5 ceros) = 7.400.000; etc. MULTIPLICACIóN 10 X 100 100 X 100 1.000 X 100 10 X 1 10 X 10 10.000 X 10 INTERPRETACIóN 10 CENTENAS 100 CENTENAS 1.000 CENTENAS 10 UNIDADES 10 DECENAS 10.000 DECENAS RESULTADO 1 UNIDAD DE MIL 1 DECENA DE MIL 1 CENTENA DE MIL 1 DECENA 1 CENTENA 1 CENTENA DE MIL PRODUCTO 10 X 100 = 1.000 100 X 100 = 10.000 1.000 X 100 = 100.000 10 X 1 = 10 10 X 10 = 100 10.000 X 10 = 100.000 Apartirdeaquípodemosplantearla multiplicación de dos factores enteros, gradualmente, hasta llegar al formato que se utiliza habitualmente: 4 2 7 4 2 7 4 2 7 X 3 8 X 3 8 X 3 8 UNIDADES DECENAS 3 4 1 6 3 4 1 6 1 2 8 1 0 1 2 8 1 1 6 2 2 6 1 6 2 2 6 5 6 1 6 0 3 2 0 0 2 1 0 6 0 0 1 2 0 0 0 1 6 2 2 6
Obsérvese que el primer formato presenta progresivamente todos los productos parciales desglosados (8 x 7, 8 x 20, 8 x 400, 30 x 7, 30 x 20, 30 x 400). El segundo formato se reduce a dos productos parciales (8 x 427 y 30 x 427) expresados ambos en unidades, razón por la que aparece el sumando 12.810. El tercer formato –que es el ha- bitual– respeta las unidades en que se expresa cada sumando: 3.416 unidades y1.281decenas(resultadode3decenas x 427 unidades). Esto explica el progre- sivo desplazamiento de los sumandos hacia la izquierda y la desaparición de los ceros ?nales. Veamos los siguientes ejemplos: 1 6 5 4 X 3 5 9 7 0 5 X 3 0 4 UNIDADES CENTENAS 1 4 8 8 6 8 2 7 0 4 9 6 2 UNIDADES DECENAS CENTENAS 2 8 2 0 2 1 1 5 2 1 4 3 2 0 5 9 3 7 8 6
Si volvemos a los tres formatos de la multiplicación 427 x 38 podemos observar que el primero evita el pro- blema de la llevada, situación que no se presenta en los dos últimos. ¿Cómo enfrentar este problema tan frecuente en ejercicios de multiplicación, ya que la mayor parte de los productos que aparecen en las tablas de multiplicar tienen dos dígitos y, por consiguiente, obligan a “llevar”?
La cuestión básica consiste en entender lo que ocurre: aquí vuelve a entrar en juego el propio ser del sistema decimal, ya que su esencia consiste precisamente en que al llegar a tener 10 unidades de un orden, estas se convierten en 1 unidad del orden inmediatamente superior. Los errores de los niños –y de algunos adultos– con la llevada al multiplicar, suelen ser producto de un aprendizaje mecánico,
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