Matemática comercial (página 2)

LECCIÓN 26 NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Si usted vive donde los inviernos son bastante fríos probablemente conoce lo que quiere decir temperaturas bajo cero.

Números que expresan cantidades menores que cero son expresados como números negativos. Números que expresan cantidades mayores que cero son expresadas como números positivos.

Si usted en este momento está imaginando como puede ser posible que exista algo menos que cero, déjeme decirle algo. Supongamos que usted tiene Q100.00 en la bolsa. Como número positivo podemos escribirlo como +100 porque usted puede gastarse esa cantidad, son suyos

Supongamos ahora que usted efectivamente se gasta los Q100.00,. +100 se convierte en 0 porque se quedaría sin nada y ya no los tiene.

Por otro lado, si usted tiene Q100 pero se gasta Q125.00 significa que usted debe más de lo que tiene. Esto es usted tiene ahora -25 (Menos Q25.00)

Con este sencillo ejemplo usted se puede dar cuenta que si es posible tener cantidades menores que 0.

Hasta ahora hemos trabajado ampliamente con números positivos pero si se dio cuenta a ninguno de ellos le añadimos el signo +. Ese signo únicamente se agrega en casos especiales; cuando usted vea un número sin ningún signo tómelo como positivo. Los números negativos por el contrario siempre llevan el signo de menos -.

La Línea Numérica

Esta es una línea recta que muestra la posición de los números teniendo como centro el 0. Los números negativos están a la izquierda del cero; los números positivos a la derecha. Entre más lejos esta de la izquierda, más pequeño es el número, por el otro lado, entre más lejos está de la derecha más grande es el número. Ambos lados continúan así hasta el infinito.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

EJERCICIO:

A b c d e

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Vea detenidamente esta línea y escriba la cantidad que está debajo de cada letra.

1. -4
2. –2
3. +2
4. +4

SUMA DE NÚMEROS CUANDO TIENEN EL MISMO SIGNO

Usted ya ha sumado números positivos y negativos desde hace tiempo sin haberse dado cuenta.

Por ejemplo si usted ha obtenido crédito de una tienda por un televisor digamos, usted ha ido agregando números positivos, esto es quetzales positivos a su cuenta de quetzales negativos con el fin de pagar su deuda.

Hay tres posibilidades cuando usted suma números positivos y negativos:

1. Puede sumar dos cantidades positivas.
2. Dos cantidades negativas
3. Una cantidad positiva y otra negativa.

En esta sección aprenderemos los primeros dos casos.

Utilice una línea numérica para hacer más clara la situación.

Un piloto debía hacer dos viajes en un solo día. Primero voló 80 millas hacia el norte; después voló 120 millas hacia el norte otra vez. ¿Dónde estaba al finalizar el día?

-300 -200 -100 0 +100 +200 +300

El piloto voló hacia el norte en ambos viajes, sume +80 + ( +120 ) = +200

No se preocupe por esos paréntesis entre los que está el +120, los pusimos allí con el objeto de diferenciar las dos cantidades.

Sobre los dos signos de suma (+) uno indica que está sumando y el otro indica que el número 120 es positivo.

A partir de ahora y para siempre acostumbrese a encontrar numeros "firmados", es decir que llevan signo antes.

AQUÍ COMIENZAN IMAGINARIAMENTE LOS NÚMEROS PARA AMBOS LADOS.

Volviendo al ejemplo:

¿Que pasa si usted inicia en 0 y aumenta 80 unidades, luego otras 120? Ud. obtiene 200.

Como puede ver, si suma dos cantidades positivas obtendrá un resultado positivo; Siempre.

Ejemplo 2

Un nadador está de pie al lado de la orilla del mar. En la orilla del mar el nivel es de 0 pies sobre el nivel del mar.

El nadador hizo un clavado en el agua del mar y bajó 30 pies. Cuando estaba a 30 pies decidió bajar otros 25 más. ¿Qué tan lejos llegó?

Respuesta: Sume -30 + -25 = -55

¡Pruebe usted!

1. La Sra. Márquez vendió dos pares de zapatos en su tienda de zapatos esta mañana. Una de las ventas fue por Q12.00 y la otra por Q26. ¿Cuánto dinero recibió la Sra. Márquez en la mañana?

Sume +12 + (+26) = ________+38

Ejercicio 47

1) +1 + (+7)

2) -5 + -4

3) – 2/3 + (-12/3)

4) 5 + +45

5) -32 + (-23)

6) 65 + 72

7) +7 + 0

Respuestas:

1. +8
2. –9
3. –14/3
4. +50
5. –55
6. 137
7. +7

SUMA CUANDO LOS SIGNOS SON DISTINTOS

Ha leído usted en la Biblia aquello de que Dios creo todo el mundo de la nada. Cuesta imaginar eso verdad? Pues usted también puede crear de la nada con la matemática.

Vea los siguientes ejemplos con mucho cuidado y verá que podemos hacer cosas con cantidades menores que el 0.

1) ¿Qué tan lejos está -5 del cero?

Respuesta: Está a 5 unidades.

2) ¿Qué tan lejos está +12 del 0?

Respuesta: Está a 12 unidades.

Para poder sumar números con signos positivos y negativos es necesario conocer que tan lejos están de cero. Piense en esto como si estuviera tomando un viaje. Si alguien le pregunta que tan lejos fue no importa a que lugar, la pregunta es a que distancia; no importa si fue al norte o al sur, el viaje tenia cierto número de kilómetros.

Ejemplo:

Víctor tenía en su cuenta de banco Q296.00 y emitió un cheque por Q49.00 ¿Qué saldo tenía después?

En la línea numérica esto se vería así:

Primer balance

0 +247 +296

Segundo balance.

La primera flecha lo trae hasta el 296 que corresponde a la primera cantidad que había en el balance. Después retrocede 49 hasta +247 lo que significa un retroceso en la cuenta.

Para no tener que dibujar una línea numérica cada vez que tenga que efectuar este tipo de operaciones solamente pregúntese en su interior que tan lejos se encuentran los números desde 0. Reste esas cantidades y agregue el signo de la cantidad mayor.

Pruebe usted:

Zulema compró un televisor blanco y negro por Q150.00. Cuando lo trajo a casa descubrió que su padre le había comprado uno de colores.

Entonces tuvo que vender el TV blanco y negro que ella había comprado. Lo vendió a una amiga por Q65.00 ¿Qué tanto dinero perdió?

Respuesta Sume -150 + (+65)

Muévase imaginariamente en la línea numérica 150 unidades a la izquierda del 0 (corresponde a lo que ella gastó primero) Llega al -150, ahora regresemos 65 unidades a la derecha.

Llegamos a -85. Ella perdió 85 quetzales.

-150 -85 0

+65 unidades de regreso

Otra forma que talvez le parezca más fácil es la de restar 150 – 65 = 85 y utilizar el signo del número mayor que es negativo. Respuesta -85

EJERCICIO 48

1) -10 + (+3)

2) +1.7 + -0.9

3) 25 + (-2)

1. (-1.2) + (+1.2)
2. (-99) + (33)
3. (+6) + (-6)
4. 0 + (-19)

Respuestas:

1. -7
2. 0.8
3. 23
4. 0
5. –66
6. 0
7. -19

IMPORTANTE:

No se preocupe cuando un número no tiene signo, tómelo como positivo.

RESTA

 ¿Recuerda como sumar 5 + -2?

Qué tan lejos está +5 de 0? 5 unidades.

Que tan lejos está –2 de 0? 2 unidades.

5 – 2 = 3 Respuesta -3

0 +3 +5

Regrese dos unidades

Ahora fíjese cuidadosamente en esta otra forma de restar números con signos diferentes.

+5 + (-2)

Paso 1

Cambie la operación de esta forma:

Intercambie los dos signos que tiene a la derecha, cambie la operación de esta forma:

+5 – (+2)

Ahora efectué la resta de manera normal:

Respuesta: +3

Ahora usted tiene una forma mucho más fácil y menos complicada de efectuar estas operaciones.

Ejemplo:

En la mañana la temperatura estaba a 18 grados bajo cero. Al medio día la temperatura estaba a 3 grados bajo cero. ¿Cuánto subió la temperatura?

Antes de iniciar esta operación recuerde que mientras más lejos está el número del 0 a la izquierda más pequeño es y que mientras más lejos está a la derecha del 0 más grande es.

OPERACIÓN

-3 – (-18)

Cambie el procedimiento a suma:

-3 + (-18)

Cambie el signo de la segunda cifra

-3 + (+18)

Sume

-3 + (+18) = +15

Respuesta:

La temperatura subió 15 grados.

PRUEBE USTED:

La temperatura estaba a 10 grados bajo cero en la mañana, Para la siguiente hora bajó 6 grados más. ¿A cuanto quedó la temperatura?

-10 – (+6)

Cambie

-10 + (-6) = _______________________.-16

Si tiene que restar fracciones o decimales utilice la misma regla.

EJERCICIO 49

1) -10 – (+3)

2) -3 – (-8)

3) +9 – (+6)

1. +16 – (-11)
2. 8 2/3 – 18
3. 6 – (-17)
4. 0 – (-2)
5. 8 – (-8)
6. +0.13 – (-0.13)
7. –12 – (-12)
8. 5 – (+5)
9. 0 – (+7)

Respuestas:

1. -13
2. +5
3. +3
4. +27
5. –9 1/3
6. 23
7. +2
8. 16.
9. +0.26
10. 0
11. 0
12. -7

IMPORTANTE:

Es posible que en algunos casos usted tenga que sumar más de dos cifras a la vez, lo que puede hacer es sumar los números positivos y negativos por separado y luego efectuar la operación que se le pide.

Otra forma es la de operar las primeras dos cifras y luego moverse a la siguiente. Haga lo que sea más fácil para usted.

MULTIPLICACIÓN

Un comerciante le dice a su amigo: "Los negocios andan tan mal que estoy perdiendo Q300 diariamente. En esta situación voy a deber Q9000 para fin de mes" Dios quiera que usted nunca se vea en esta situación. Perder y deber son ambas ideas negativas.

La perdida de Q300 diarios por un mes pueden ser escritas matemáticamente así:

(pérdida) ( días por mes) (deuda acumulada en el mes)

-300 x 30 = -9000

Hay una simple regla para recordar que clase de respuesta obtendrá usted cuando multiplique números positivos y negativos o alguna combinación de estos.

Si usted multiplica dos números con el mismo signo, la respuesta siempre será positiva. Si usted multiplica dos números con signos distintos la respuesta será negativa. Siempre.

Ejemplo:

Un comerciante exitoso gana Q300 por día. ¿Cuánto ganará en un mes?

(+300) + (+30) = +9000

¿Recuerda la primera operación?

(-300) x (+30) = -9000

Porque los signos eran diferentes la operación tiene un resultado negativo.

PRUEBE USTED:

(-2) X (-12) = ____+24______

Signos iguales respuesta positiva.

(-4) x (+10) __________________

-40

EN ESTE EJERCICIO USAREMOS EL ASTERISCO * COMO SIGNO DE MULTIPLICACIÓN.

Ejercicio 50:

1. (-4) * (-6)
2. (+5) * (+7)
3. 0 * (-3)
4. (-2) * (+22)
5. (+8) * 0
6. (+9) * (-6)
7. –7/8 * (-4/3)
8. 2.3 * (-4.5)
9. –1/2 * 2
10. –0.8 * (5)

RESPUESTAS

1. +24
2. +35
3. 0
4. –44
5. 0
6. –54
7. +1 1/6
8. –10.35
9. –1
10. –4

DIVISION

Las reglas para dividir números positivos y negativos son exactamente las mismas que para multiplicar.

Cuando divida dos números con signos iguales la respuesta es siempre positiva. Si divide con signos distintos la respuesta es negativa.

Divida (-63) ÷ (-9) = +7

Los signos son iguales por lo tanto la respuesta es positiva.

Divida (+63) ÷ (+9) = +7

Los signos son iguales por lo tanto la respuesta sigue siendo positiva.

Divida (-63) ÷ (+7) = -9

Los signos son distintos por lo tanto la respuesta es negativa.

Divida (+63) ÷ (-9) = -7

Los signos son distintos por lo tanto la respuesta sigue siendo negativa.

EJERCICIO 51

En este ejercicio usaremos la barra / para el signo de dividir.

1. (-72) / (-9)
2. (-35) / (+5)
3. (+56) / (-7)
4. (+45) / (+9)
5. 32 / (-4)
6. –81 / 9
7. – 2 1/3 / (-8)
8. 4.8 / (0.6)
9. 3 ¼ / (-1/4)
10. (-0.2) / (-5)

Respuestas:

1. +8
2. –7
3. –8
4. +5
5. –8
6. –9
7. 7/24
8. –8
9. –13
10. 0.04

Recuerde que si no hay signo el número se toma como positivo.

LECCIÓN 27 SECUENCIAS

COMPARANDO DECIMALES

Hasta ahora usted ha aprendido a utilizar la línea numérica para colocar números positivos y negativos. Ahora usted sabe que -57 es menor mucho menor que -4 porque el -57 se encuentra mucho más lejos del 0 que el -4 yendo hacia la izquierda.

Si se le da cierta cantidad de números, usted puede ponerlos en el orden en que aparecen en la línea numérica. Los números que están en cierto orden se dice que están en secuencia.

Usted puede usar la secuencia de los números o la Línea Numérica para determinar inmediatamente si un número es mayor o menor que otro. Cuando usted hace esto lo que en realidad está haciendo es comparando.

Si usted le agrega un 0 a la derecha de un 3 obtiene 30. ¿Porqué? Bueno sencillamente usted multiplicó 3 x 10 porque al agregar un 0 a la derecha del 3 lo que hizo fue mover el 3 del lugar de las unidades al lugar de las decenas.

De todas formas, si usted primero le pone un punto decimal y luego agrega el 0 usted obtiene 3.0 en lugar de 30; el 3 no se mueve de lugar y no importa que tantos ceros le agregue el valor del 3 permanecerá sin cambio alguno.

Significa esto que usted puede quitar cuantos ceros quiera después del punto decimal y el valor continúa siendo el mismo. O puede también agregarle más ceros sin que cambie el valor de todas formas.

EJEMPLO:

Vea estos números, todos tienen el mismo valor:

5.4 5.400 5.4000 5.400000

¿Qué número es mayor 0.07 ó 0.00984?

Agreguemos algunos ceros a 0.07 para determinar su valor comparado con la otra cantidad.

0.07000 son siete mil cien milésimas.

0.00984 son novecientas ochenta y cuatro cien milésimas.

Ahora podemos estar seguros que 0.07 es mayor que 0.00984 y no de otra forma como pudimos haber pensado al inicio.

Pruebe usted:

¿Cuál número es mayor?

0.32, 0.3 ó 0.032

Agregando ceros necesarios puede darse cuenta que 0.320 es mayor que las otras dos cantidades.

EJERCICIO 52

Circule el número que es mayor de los tres.

1) 0.256 0.3 0.03

2) 0.070 0.007 0.7

3) 0.0025 0.505 0.0505

4) 0.375 0.0375 0.00375

5) 0.125 0.1025 0.025 0.0125

Respuestas:

1. 0.3
2. 0.7
3. 0.505
4. 0.375
5. 0.125

COMPARANDO FRACCIONES

Una manera bien fácil de comparar fracciones es asegurarse que tengan el mismo denominador. Si tienen diferente denominador simplifíquelas para que tengan el mismo denominados y luego compare los numeradores para ver cual es mayor o menor.

EJEMPLO:

¿Cuál fracción es mayor?

6/16 ó 13/16

Fácilmente porque tienen el mismo denominador usted puede ver que 13/16 es mayor de las dos fracciones.

¿Cuál fracción es mayor?

3/18 5/6 2/9

Simplifique las fracciones para que tengan un mismo denominador.

Use el 18 como denominador porque 6 y 9 dividen exactamente al 18.

3/18 Esta se queda así porque es la que usamos de referencia

5/6 x 3/3 = 15/18

Porqué 3/3; porque estamos multiplicando el 5 (numerador) y el 6 (denominador).

2/9 x 2/2 = 4/18

Ahora ya sabe porqué 2/2.

Las nuevas fracciones serían:

3/18 15/18 4/18

En secuencia ordenada:

3/18 4/18 15/18

El orden correcto de las fracciones al inicio debe ser:

3/18 2/9 5/16

PRUEBE USTED:

5/32 ES MAYOR O MENOR QUE 3/16

Si utilizó el denominador común de 32 verá que la fracción 3/16 es mayor que 5/32

EJERCICIO 52

Ponga estas fracciones en orden de mayor a menor:

1) 2/15 1/30 5/32

2) 2/9 2/3 5/6 5/18

Respuestas:

1) 1/30 2/15 5/12

2) 2/9 5/18 2/3 5/6

COMPARANDO Y ORDENANDO INFORMACIÓN.

La practica de comparar y ordenar fracciones y decimales le ayudará a solucionar cierta clase de problemas.

Ejemplo:

Dora está haciendo una caja de herramientas y quiere poner los agujeros de las copas de la llave de copas en orden de tamaño desde el más pequeño al más grande. Los tamaños de las copas son:

7/16 5/8 ¾ y ½.

¿En que orden deben de estar?

Respuesta: 7/16 ½ 5/8 3/4

LECCIÓN 28 EXPONENTES

¿QUÉ SON EXPONENTES?

En matemáticas, seguido tenemos que lidiar con multiplicaciones como esta: 2 x 2 x 2 = que es igual a 8 (2 x 2 = 4) y (4 x 2 = 8)

O también 10 x 10 x 10 x 10 = 10, 000

Para escribir rápidamente este tipo de multiplicaciones, podemos utilizar exponentes como una manera abreviada.

En el ejemplo: 2 x 2 x 2 el número dos ha sido usado tres veces por lo tanto se podría utilizar la siguiente expresión con exponente: 2³.

El 2 se llama base y el ³ se llama exponente.

Para leer números de esta naturaleza usted debe decir: "Dos a la tercera".

Otro ejemplo:

10 x 10 x 10 x 10

= 10

Siempre se escribe el exponente arriba de la base, un poquito.

IMPORTANTE:

Muchas personas se confunden multiplicando la base por el exponente: Ej. 10 x 4 = 40 lo cual es erróneo. Recuerde que 10 elevado a la cuarta potencia en realidad significa multiplicar 10 x 10 x 10 x 10 (4 veces) .

SIMPLIFICANDO EXPONENTES

Para simplificar un número con un exponente usted debe encontrar la respuesta de la multiplicación.

Ejemplo:

10² = 10 x 10 = 100

10³ = 10 x 10 x 10 = 1000

Algunas veces la base es un número negativo

(-2)³

En estos casos usted tiene que seguir las reglas de multiplicar números positivos ó negativos.

-2 x -2 x -2 = -8

Pero la regla dice que si usted multiplica números con signos iguales obtiene resultados positivos. ¿Qué está equivocado aquí, el libro o la regla?

Multiplique –2 x -2 = +4, estos dos números multiplicados dan positivo, luego multiplique +4 x –2 = -8, signos distintos dan resultado negativo. Recuerde que el exponente lo que le dice a usted es cuantas veces hay que multiplicar la base por ella misma.

Cuando el exponente es 1 simplemente copie la base. Ej. 3 x 1 = 3

Otras veces el exponente es 0, cuando el exponente es 0 cualquier cantidad equivale a 1.

EJERCICIO 53

Simplifique:

1. 6²
2. –4³
3. +7³
4. 10 elevado a la quinta
5. –2 elevado a la cuarta
6. –10²
7. –4²
8. 0.3³
9. +2 elevado a la sexta
10. ½ ²

Respuestas:

1. 36
2. –64
3. 343
4. 100, 000
5. 16
6. 100
7. –16
8. 0.027
9. 64
10. ¼

RAIZ CUADRADA

Imagine un momento que usted es albañil (mis respetos si de veras lo es) y que necesita instalar azulejos para un baño.

Cada azulejo es cuadrado.

Ahora imagine los cuadros que se forman con la combinación o unión de varios azulejos.

 Si usted tiene un cuadro con dos azulejos por lado usted tiene 2 x 2 azulejos en el cuadro.

Matemáticamente podemos decir que usted tiene 2² azulejos.

Si usted tiene un cuadro con tres azulejos por lado usted tiene 3 x 3 azulejos en el cuadro.

Si tuviera un cuadro de cuatro azulejos por lado tendría 4 x 4 azulejos en el cuadro, o sea 4² azulejos. ¿Va agarrando el hilo?

Esto fue descubierto hace miles de años, para saber cuantos azulejos tiene en un cuadrado usted multiplica el número de su lado por si mismo. Cuando usted multiplica un número por si mismo usted está elevando ese número al cuadrado. Usted lo está cuadrando.

Cuando usted multiplica un número por si mismo los está cuadrando y por lo tanto puede utilizar el exponente ² para escribir la cantidad al cuadrado.

Ejemplo: 5 x 5 = 25

Toda esta operación puede ser escrita simplemente así: 5².

Otro ejemplo:

4 x 4 = 16

O de la forma más fácil 4²

Esto quiere decir que si usted tiene 4 azulejos por cada lado en realidad allí hay 16 azulejos en total. Si se le dice que hay 4 azulejos por lado, o que hay 4² azulejos usted puede rápidamente deducir que hay no solo 4 u 8 sino que 16 azulejos. Este procedimiento se llama encontrar la Raíz Cuadrada. La raíz cuadrada de 16 es 4 porque 4 x 4 = 16.

La raíz cuadrada se representa 4².

En lugar de escribir "Raíz Cuadrada" cada vez se utiliza el signo que usted ve abajo de este párrafo.

Este signo se llama Signo Radical. De esta forma

quiere decir "Raíz cuadrada de 25" = 5

CUADRADO:

El resultado de multiplicar un número por si mismo. Un cuadrado puede ser escrito con exponente ²

RAIZ CUADRADA

El número positivo que cuando multiplicado por si mismo da como resultado el número original. Ej. La Raíz Cuadrada de 49 es 7 porque 7 x 7 = 49.

49 = 7

SIGNO RADICAL

Signo utilizado para "raíz cuadrada de "

EJEMPLO:

¿Cuál es el cuadrado de 5?

Es 25 ó 5²

¿Cuál es el cuadrado de -5²?

Es 25 porque -5 x -5 = 25

¿Cuál es la raíz cuadrada de 36?

Es 6 porque 6 x 6 = 36

EJERCICIO 54

Encuentre los cuadrados o la raíz cuadrada de las siguientes cantidades.

1. 17²
2. 300²

   Raíz cuadrada de:

3. 4²
4. 25
5. 196
6. 100

Respuestas:

1. 289
2. 90, 000
3. 16
4. 5
5. 13
6. 10

NUMERACIÓN CIENTÍFICA

El grosor de la hoja de papel en que está escrito este manual podría ser de 0.00185 milésimas de pulgada de grosor. La distancia del sol al planeta Urano es casi 1, 785, 000, 000 millas.

Para hacer más fácil la escritura de estos números con tantos dígitos se ha creado un sistema llamado Notación Científica. Utiliza números de 1 para arriba pero menores que 10 con un exponente. Es más fácil obtener la idea del ejemplo siguiente.

Ponga atención que el primer número en la notación científica es un número decimal con un digito antes del punto decimal. Esto es así siempre en la notación científica.

El dígito antes del signo decimal puede ser cualquier número de 1 a 9. El número siguiente siempre es un 10 con un exponente. Vea al 36, 000 in la columna izquierda, luego vea su correspondiente notación científica.

Si usted mueve el punto decimal cuatro lugares a la derecha usted obtiene 36, 000 porque usted ha multiplicado 3.6 por 10, 000. el exponente del 10 es el número de lugares que usted debe mover el punto decimal para obtener el número original otra vez. El exponente puede ser positivo o negativo.

Fíjese bien ahora:

Si se fijó bien en la clave. El primer número en la notación científica es siempre 3.6 cada vez, pero ahora los exponentes de 10 son negativos.

Esto significa que usted debe mover el punto decimal a la izquierda para obtener el número original. Igual que antes, el exponente le dice a usted que tantos lugares tiene que mover el punto decimal.

Vea detenidamente a la cantidad 0.0036 en su notación científica tiene un exponente de -3 lo que significa que debe usted mover el punto decimal tres lugares a la izquierda. Debe agregar dos ceros porque solo tiene un digito que es el 3.

AHORA PRUEBE USTED:

Escriba 748, 000 en notación científica:

1) Escriba el número con un punto decimal después del primer dígito de la izquierda que no sea 0. Borre los ceros y escriba x 10 al final.

7.48 x 10

1. Cuente el número de lugares que tiene que mover el punto decimal para obtener el número original otra vez. En este caso por ejemplo, son 5 lugares decimales a la derecha. Por lo tanto el exponente es un 5 positivo. Escriba ese número como el exponente de 10.

7.48 x 10 5

Escriba

0.0000483 en notación científica:

1. 4.83 x 10

2. Re escriba el número con un punto decimal después del primer digito a la izquierda que no es 0. Borre el resto de ceros innecesarios. Luego escriba x 10.

   4.83 x 10 -5

3. Cuente el número de lugares que necesita mover el punto decimal para poner la cantidad como estaba antes. Necesita cinco lugares, por lo tanto el exponente es –5.
4. Cheque para ver si la operación estuvo correcta. Mueva el punto decimal cinco lugares a la izquierda y tiene que aparecer la cantidad inicial.

NUMERACIÓN CIENTÍFICA:

Un sistema para escribir números o muy grandes o muy pequeños. En Notación Científica el número original es escrito como decimal multiplicado por 10 con un exponente equivalente a la cantidad de lugares decimales que tiene que moverse el punto decimal bien sea a la derecha (positivo) o a la izquierda (negativo).

EJERCICIO 55

Escriba los siguientes números en Notación Científica:

1. 7, 460, 000
2. 0.00342
3. 9, 000, 000
4. 0.00092

   Simplifique estas cantidades que están en notación científica:

5. 365
6. 8.15 x 10
7. 4.78 x 10³
8. 3.22 x 10
9. 1.473 x 10
10. 9.302 x 10

Respuestas:

1. 7.46 x 10
2. 3.42 x 10³
3. 9.0 x 10
4. 9.2 x 10
5. 3.65 x 10²
6. 815, 000
7. 0.00478
8. 32, 200
9. 0.1473
10. 9, 302, 000

LECCIÓN 29 MEDIDAS STÁNDAR

Usted probablemente tiene un buen entendimiento sobre el tamaño o la cantidad de una libra, una taza, un pie. Pero cuando usted va al mercado y ve una bolsa de jabón que pesa 32 onzas o una botella de cloro que contiene un cuarto de galón puede no ser obvio que se comprenda exactamente si lo que se va a comprar es bueno o suficiente.

En esta lección aprenderemos algunas medidas que son un tanto desconocidas para nosotros.

CONVIRTIENDO UNIDADES

Antes que comience a operar con medidas es conveniente practicar la conversión de unidades. Usted necesitará hacer esto seguido cuando opere medidas de la misma clase, definitivamente no se puede convertir una libra a un metro pero si saber cuantas libras hay en un quintal por ejemplo.

PRIMER REGLA:

Cuando cambie de una unidad grande a una pequeña multiplique. Usted tiene más pulgadas de alto que pies o metros.

SEGUNDA REGLA:

Cuando cambie de una unidad pequeña a una grande divida. Usted tiene menos libras que onzas en su peso.

EJEMPLO

Se supone que usted ya sabe que hay 12 pulgadas en un pie.

* Dos estantes han sido colocados de lado a lado. Uno tiene 3 pies de ancho y el otro tiene 32 pulgadas. En pulgadas, ¿Cuál es el espacio total que ocupan?

Primer paso:

Cambie 3 pies a pulgadas, hay 12 pulgadas en un pie entonces multiplique por 12.

3 x 12 = 36

Ahora sume 32 + 36 = 68

Respuesta: Los dos estantes ocupan 68 pulgadas de espacio.

Si la pregunta hubiera sido saber cuantos pies ocupan ambos entonces debió dividir 36 ÷ 12 para obtener la cantidad de pies, luego sumar.

SUMA

Cada una de dos ventanas mide 3 pies y 9 pulgadas de ancho. Si van a ser colocadas de lado en la misma pared, ¿Qué ancho tiene que tener la pared?

Respuesta:

Sume 3 pies y 9 pulgadas y 3 pies y 9 pulgadas.

Primer sume los pies: 3 + 3 = 6

Ahora sume las pulgadas: 9 + 9 = 18

Convierta estas pulgadas a pies:

18 ÷ 12 : 1.5 pies. ( 1 pie y 6 pulgadas)

Recuerde que .5 es la mitad del pie en total

Sume todo:

Respuesta: Se necesita al menos una pared de 7 pies y 6 pulgadas.

RESTA

A una pieza de metal de 4 yardas, 2 pies y 3 pulgadas de largo le fue cortada una parte de 2 yardas, 2 pies, 5 pulgadas. ¿Cuánto quedó de la primera pieza?

Respuesta:

4 yd. 2 p. 3p.

– 2yd 2p 5p

Primero reste las unidades pequeñas. Si tiene que prestar como en los números enteros puede hacerlo pero teniendo en mente que al prestar usted lo hace 12 pulgadas o pies en total.

Paso 1:

Reste 5 pulgadas de 3 pulgadas. No se puede así que hay que prestar 12 pulgadas (un pie) a la siguiente columna. Ahora tiene 15 pulgadas menos 5 quedan 10 pulgadas. Escriba 10 pulgadas. (No valla a poner 0 y llevar 1!)

Paso 2:

Ahora solo le queda un pie por lo que no le puede quitar dos a uno, hay que volver a prestar. A la columna de las yardas préstele una yarda (3 pies)

Ahora tiene 4 pies, resta dos, escriba dos.

Paso 3:

A tres yardas reste 2 y le queda 1.

Respuesta:

1 yarda, 2 pies y 10 pulgadas quedaron de la pieza original.

MULTIPLICANDO:

Para multiplicar hay que cambiar las unidades pequeñas a grandes. RECUERDE QUE LA CLAVE EN ESTA Y CUALQUIER OTRA OPERACIÓN ES SABER CADA MEDIDA DE MANERA EXACTA. APRENDASE LA TABLA QUE ESTÁ AL INICIO DE ESTA LECCION DE MEMORIA.

Ejemplo:

Un agujero en la cubierta de un barco viejo era exactamente a tres planchas, cada plancha tenía 4 pies y 9 pulgadas de largo. ¿Cuál es el largo total del hoyo?

Multiplique 4 pies 9 pulgadas por 3.

Paso 1.

Multiplique 4 x 3 = 12 pies.

Paso 2

Multiplique 9 x 3 = 27 pulgadas.

Paso 3

Divida 27 ÷ 12 para reducir a pies.

27 ÷ 12 = 2 pies 3 pulgadas.

Respuesta:

El tamaño del agujero es de 14 pies y 3 pulgadas.

DIVISION:

Ahora que ya vio como se hace la suma, resta y multiplicación de unidades dividir sencillamente ya no es un problema, recuerde que la clave es utilizar la lógica y saber de memoria las medidas.

En un periodo de tres días una enfermería utilizo 13 galones, 3 cuartos y un vaso de leche. ¿Cuál es el promedio utilizado por día?

Escriba el problema:

4gal. 2qt.

3 13gal. 3qt 1va

  Paso 1

Divida como con cualquier otro número. Cuando le sobre unidades cambie esas unidades en unidades pequeñas.

13 ÷ 3 = 4 sobra 1 galón.

Convierta un galón en cuartos. Cada galón tiene 4 cuartos más los tres que hay tiene ahora 7qt.

7 ÷ 3 = 2, sobra un cuarto.

Cada cuarto contiene 4 vasos por lo tanto ahora tiene 5 vasos.

5 ÷ 3 = 1.6

4gal. 2qt. 1.6

3 13gal. 3qt 1va

 Respuesta:

Se utilizó por día: 4gal. 2qt. 1.6 vasos de leche.

Para comprobar si está correcto puede multiplicar por 3 y deberá obtener la primer cantidad.

Este procedimiento es fácil pero debe tener cuidado con los cambios de medidas. Memorice la tabla.

LECCIÓN 30 MEDIDAS MÉTRICAS

 Mucha gente ha usado o escuchado acerca de las cámaras de 35 milímetros. Los Juegos Olímpicos tiene cientos de juegos divididos en metros. La mayoría de los conos de hilo para costureras tiene medidas en metros, centímetros y milímetros. Los alimentos enlatados traen su tabla de contenidos en centímetros. Para carros japoneses o europeos se necesitan llaves con medidas métricas; por si esto no lo convence todos los trabajos científicos vienen con medidas métricas. Las tres unidades métricas básicas son el Metro, el Gramo y el Litro.

Otras unidades tienen su base en estos tres.

CONVIRTIENDO UNIDADES METRICAS

La siguiente tabla muestra otras unidades, pero todas están basadas en el Sistema Métrico. Cada unidad en la tabla es 10 veces más que la que está al lado derecho.

El Sistema Métrico utiliza prefijos especiales para especificar como una unidad está relacionada a la otra.

Kilo siempre significa mil, centi- siempre significa cien, etc.

Si usted quiere multiplicar o dividir un decimal por 10, 100 o 1000 usted simplemente mueve el punto decimal a la derecha o izquierda. El sistema métrico es bastante fácil y fue planeado de esta forma.

La mayoría de países en el ámbito mundial utilizan el Sistema Métrico como medida estándar. Por razones culturales los Estados Unidos de Norte América aun no han firmado el tratado internacional de medidas y pesos.

Ejemplo:

Una pieza que es de 3 metros de largo. ¿Cuántos centímetros tiene?

Sabemos que cada metro tiene cien centímetros por lo tanto multiplique

3 x 100 = 300.

Otro:

Una bolsa de harina pesa 11, 000 gramos, ¿cuál es su peso en kilogramos?

Sabemos que cada kilo significa 1000

Divida 11,000 ÷ 1000 = 11

LECCIÓN 31 UNIDADES DE TIEMPO

 Si usted usa una guía de Tv, ve un horario de clases, un horario de buses, o tiene una cita al doctor usted está utilizando medidas de tiempo.

He aquí las unidades estándar de tiempo:

1. ¿Cuántos minutos habló en total?

   Cambie las horas a minutos y sume al resto para averiguar.

   (3 x 60 = 180) + 25 = 205 minutos hablados.

2. Esteban estuvo 3 horas y 25 minutos comunicándose por teléfono. La compañía de teléfono cobra por minuto.

   El segundo turno se tardó 1 hora y 55 minutos para hacer el mismo trabajo.

   ¿Cuál es la diferencia?

   La manera más fácil es cambiar todo a minutos y hacer la resta.

   El primer turno se tardo 195 minutos.

   El segundo turno hizo 115 minutos.

   Reste:

   195

   – 115

   _________

   80 minutos.

   Convierta 80 minutos en horas

   Respuesta:

   El segundo turno hizo 1 hora y 20 minutos menos

   O El primer turno hizo 1 hora y 20 minutos de más.

3. La producción en cierta maquila varia de día en día. El primer turno tardó 3 horas y 15 minutos para ensamblar los productos.
4. Una pareja de jubilados hizo tres viajes por el caribe en 7 semanas y 2 días. ¿Cuánto duró cada viaje?

3 7sem. 2días

Ya se acordó que hay que hacer?

7 ÷ 3 = 2 sobra 1 semana.

1 semana = 7 días + 2 días adicionales. = 9 días.

9 ÷ 3 = 3

Respuesta:

Cada viaje duró 2 semanas y 3 días.

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO

Si maneja a 50 kilómetros por hora por dos horas seguidas usted recorrería 100 kilómetros. Para encontrar esta distancia usted multiplica su velocidad de movimiento (50 kms x hora) por el tiempo transcurrido (2 horas)

Usted puede utilizar estas palabras para recordarse que hacer cuando tenga que resolver este tipo de problemas.

Distancia = Velocidad x tiempo.

Esto se llama fórmula.

Si quiere escribir esta fórmula de una manera abreviada hágalo así:

D = V x T

Una formula se utiliza en matemáticas para mostrar la manera de resolver un problema siguiendo una regla que siempre es verdadera.

La formula que acaba de aprender se llama La formula de la distancia.

Ejemplo:

El primer viaje alrededor del mundo en avión y sin escalas se hizo en 45 horas a una velocidad de 525 millas por hora.

¿Qué distancia se recorrió?

1. Escriba la formula d = v * t
2. Reemplace las formulas con la información.
3. Distancia = 525 x 45
4. Multiplique:

Respuesta: 23, 625 millas recorridas.

Problemas de Interés

Cuando usted presta dinero por lo regular el banco o el prestamista le cobra un porcentaje del total. La cantidad que usted presta se llama Capital ( c ), el tiempo que se le da para pagar se llama tiempo ( t ). El interés es la cantidad de dinero que usted debe pagar adicionalmente por haber usado el capital. (i) .

I = Interés

C = Capital

T = tiempo

P = porcentaje de interés

La formula que representa todo es:

I = ctp

Ejemplo:

Un hombre obtiene un préstamo personal de Q2,000 por 3 años al 9% de interés.

¿Cuál es el total de interés cobrado?

I = ____________________

C = 2000

T = 3 años

P = 9%

Reemplace las letras con las cantidades:

2000 x 3 x 0.9 = 540

El interés total es de Q540.00

LECCIÓN 32

MEDIDAS LINEARES, CUADRADAS Y CÚBICAS.

Encontrando el perímetro

Usted nunca iría a la ferretería a comprar una puerta sin saber el tamaño que necesita. Usted necesita saber que tan grande es un terreno antes de planificar una casa.

Todos estos ejemplos envuelven medidas de distancia, que tan largo, que tan corto etc. Este tipo de medidas usa medidas lineares, cuadradas y cúbicas que se expresan en pies, pulgadas, metros, kilómetros etc.

EJEMPLO:

Mario necesita encontrar la distancia alrededor de una ventana que está en su cocina para hacerle un nuevo marco. Las medidas de la ventana están en el siguiente diagrama:

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Sume 2.5 + 2.5 + 3 + 3 = 11 pies.

Pruebe usted:

Una hoja tamaño carta tiene 11 pulgadas sobre cada lado largo y 8 ½ sobre los lados cortos. ¿Cuál es el tamaño de su perímetro?

Respuesta

11 + 11 + 8 ½ + 8 ½ = 39 pulgadas.

MEDIDAS CUADRADAS O DE AREA

¿Qué proporción de una pared se puede pintar con un galón de pintura?

¿Cuánto cemento necesita para cubrir un cuarto de una casa?

La cantidad de superficie es llamada área. Las unidades de medida linear de la sección anterior no responden a esta pregunta, en la sección anterior vimos la distancia alrededor. Ahora queremos encontrar la cantidad de área cubierta.

Usted utiliza pisos (azulejos) para cubrir la superficie interna de una casa, cuando usted entra se ve como una tabla para jugar ajedrez. Si los pisos son cuadrados y tienen cuatro esquinas, usted puede pensar en esas como unidades para decir que tanta superficie está cubierta.

Si cada lado de un piso fuera de un pie de ancho el área que cada azulejo cubriría se llama un Pie cuadrado. De esa forma podemos comprender lo que una pulgada cuadrada, un metro cuadrado o un pie cuadrado significan.

DEFINICIÓN

Área: La cantidad de superficie que un objeto tiene o cubre. El área es medida en unidades cuadradas.

EJEMPLO:

Un cuarto tiene 10 pies de ancho por 30 pies de largo. ¿Cuál es el área que cubre?

1. Imagine que cada pie a lo ancho equivale a un cuadrito. En total habrían 10 cuadritos de un pie a lo ancho.
2. Imagine que a lo largo también hay 30 cuadritos de un pie cada uno.
3. Multiplique la cantidad de cuadritos a lo largo y ancho para encontrar el total de cuadritos que debería haber.
4. 10 x 30 = 300
5. Respuesta: 300 pies cuadrados.

De este ejemplo se puede usted dar cuenta que para encontrar el área de una superficie se necesita multiplicar el ancho por el largo. Definitivamente ambas medidas ancho y largo necesitan estar en la misma unidad métrica.

Formula:

Área = Largo x Ancho

A = L x A

Pruebe Usted:

Una pared tiene 10 pies de alto por 40 de largo. ¿Qué área tiene?

A = L x A

Área = Largo por Ancho

Área = 40 x 10 = 400 pies cuadrados.

MEDIDAS CUBICAS

Si usted ha visto las bodegas de las grandes fábricas se habrá fijado que se construyen así de grandes pensando en la cantidad de espacio que el producto va a tomar. Por ejemplo si allí se van a guardar cajas de jugos enlatados se necesita saber cuanto espacio ocupa cada caja no solo en la superficie sino en los lados, y el volumen.

VOLUMEN:

La cantidad de espacio que un objeto ocupa en una forma tridimensional.

Una caja vista desde tres lados se ve como esta más o menos:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Cada lado de esta caja es de 10 pulgadas de largo. Cada lado tiene 10 pulgadas cuadradas. El volumen o espacio que toma esta caja es de 10 pulgadas cúbicas.

EJEMPLO:

Otra caja tiene 10 pulgadas de largo, 5 pulgadas de ancho y 6 pulgadas de profundidad. ¿Cuál es el volumen de esta caja en pulgadas cúbicas?

1) Encuentre el área de la caja multiplicando lo ancho por lo largo como lo hizo anteriormente, esto es 10 x 5 = 50.

1. Multiplique el resultado por la profundidad. 50 x 6 = 300
2. Respuesta: 300 pulgadas cúbicas.

Formula para encontrar medidas cúbicas:

Volumen = Ancho x Largo x profundidad

Pruebe Usted:

Un furgón tiene 40 pies de largo, 8 pies de ancho y 10 de alto. ¿Cuántos pies cúbicos le caben?

Respuesta:

40 x 8 x 10 =

 LA ESCUELA EN SU CASA

EJERCICIO FINAL

PARA CADA PREGUNTA ESCOJA LA RESPUESTA CORRECTA. ENVIE SUS RESPUESTAS JUNTAMENTE CON LOS PROCEDMIENTOS.

1. a) 0 b) 2 c) 4

2. Susana puede tomar hasta 12 días libres por enfermedad durante el año en su trabajo. En marzo utilizó ¼ del total. En junio estuvo 2 días en un viaje corto de fin de semana. Luego se enfermó y estuvo 5 días ausente. ¿Cuántos días tiene disponibles para ausencias por enfermedad?

   a) 64.6 b) 62.4 c) 64.2

3. Un lanzador de jabalina lanza 2.5 metros menos que su record normal en una competición. Después en otra competición lanza la jabalina 65.6 metros, esto es 1.4 metros más que su record normal. ¿Cuántos metros había lanzado la jabalina la primer vez?

   a) 20% b) 25% c) 35%

4. ¿Qué porcentaje de 180 es 45?

   a) 540 b) 450 c) 360

5. Una colección de 900 canicas. 60% de ellas son azules. ¿Cuál es la cantidad?

   a) 50 b) 42 c) 21

6. De 120 candidatos 120 el 70% pasó el examen. De los candidatos que pasaron el 25% lo hizo con honores. ¿Cuántos pasaron con honores?

   a) 285 b) 273 c) 265

7. Un tendero suma el 30% de su costo a cada artículo en su tienda. El impuesto municipal de ventas es del 5%. ¿Cuánto se pagará por un artículo que cuesta Q200?

   a) 20 b) 30 c) 66

8. Shirley comienza su viaje con 30 libras de presión en sus llantas. Cuando llega a Tegucigalpa la presión ha subido a 36 libras. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

   a) 2 ½ b) 5 c) 8

   77a Después de un torneo de ajedrez los 10 miembros del equipo fueron al muelle a remar. El costo fue como sigue:

   Canoas Q2.00 por hora

   Lancha Q2.50 por hora

   Moto Acuática Q5.00 por hora

9. El 100% de una pieza de algodón se encoge con la primer lavada. Si la pieza se redujo de 40 a 38 pulgadas. ¿Cuál es el porcentaje de disminución?

   a) 12.50 b) 17.50 c) 24.00

10. Los dos capitanes rentaron una lancha, cinco miembros del equipo tomaron cada uno una canoa. Los otros una Moto Acuática entre todos. ¿Cuál es el costo total?

    a) 8.75 b) 9.50 c) 11.25

    DISTANCIA EN KILOMETROS ENTRE CIUDADES CENTROAMERICANAS.

    De	A:	Guatemala	Puerto Barrios	San Salvador	Tegucigalpa	Managua
    Guatemala			1037	674	440		672
    Puerto Barrios		1037		963	840		629
    San Salvador		674	963		287		335
    Tegucigalpa		440	840	287			244
    Managua		672	628	335	244
    San José		795	1748	917	920		1159
    David		1398	1949	996	1164		1321
    León		699	695	266	259		170
    San Pedro Sula		789	1804	1067	1029		1273

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Instrucciones, para encontrar una distancia busque en la columna vertical de la derecha el nombre de la ciudad de donde quiere salir o buscar y en la fila superior el nombre de la ciudad a donde quiere llegar o encontrar la distancia. Siga ambos nombres hasta donde forman una especie de L y donde converge esa es la distancia.

    Ejemplo: Distancia de David a Tegucigalpa: 1164 kms.

11. Si hubieran rentado los vehículos en la ultima hora su precio se habría reducido en un 50% excepto las Motos Acuáticas. ¿Cuál habría sido el costo entonces?

    a) 2 b) 234 c) 244

12. ¿Cuánto más cerca está de Guatemala de San Salvador, que de Guatemala a Managua?

    a) 440 b) 1180 c) 1280

13. Martín manejó de Puerto Barrios a Tegucigalpa y de Tegucigalpa a Guatemala. ¿Cuántos kilómetros manejó?

    a) Puerto Barrios b) San Pedro Sula c) David

    Un avión cayó en las montañas. Los investigadores descubrieron el altímetro de esta forma:

     Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

14. ¿Cuál de las ciudades en la tabla es la más lejana de San Salvador?

    a) 3500 b) 5300 c) 5400

15. ¿Cuál era la lectura?

     Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

    a) 535000 b) 546000 c) 550550

    

16. Estos son diales de un medidor de gas. ¿Cuál es la lectura en pies cúbicos?

    a) 20 b) 24 c) 25

17. ¿Cuántos años vive un gorila?

    a) gorila b) rino c) tigre

18. Tres de estos animales viven más de 20 años. ¿Cuál de los tres vive más?

    a) 6 b) 7 c) 8

19. ¿Cuántos años más vive un león que un tigre?

    a) 656 b) 831 c) 871

20. Encuentre el promedio de estos números. 730, 950, 875, 632, 968.

    a) 8000 b) 8315 c) 8345

21. Encuentre el promedio de estos números. 6000, 7800, 10, 750, 8830.

    a) 4:5 b) 4:9 c) 5:4

22. La velocidad del León es de 50 kms. por hora. La velocidad de la Cebra es de 40 Km. por hora, ¿Cuál es la proporción de la velocidad de la Cebra al León?

    a) 1/8 b) 1/4 c) ½

23. Si dos monedas son lanzadas al aire, ¿Cuál es la probabilidad que caigan cara las dos?

    a) 949 b) 1169 c) 1369

24. La entrada de un hotel tenía 37 ladrillos cuadrados en cada lado. ¿Cuántos ladrillos había en total?

    a) 24.5 x 10 b) 2.45 x 10

    c) 2.45 x 10

25. A una velocidad promedio de 24, 500 millas por hora tomaría 10 horas para llegar a la luna. ¿Cuál es la distancia en millas a la luna?

    a) 428 b) 420 c) 412

26. El plano del piso de una casa muestra que es 35 pies 8 pulgadas de largo. ¿Cuántas pulgadas de largo tiene la casa?

    a) 2004 b) 2040 c) 2400

27. El carro de carbón mineral acarrea 3000 pies cúbicos de carbón. De este carro se llenó otro que es 10 x 12 x 8 pies cúbicos. ¿Cuánto carbón quedó en el primer carro?
28. ¿Cuantas cajas de 2 x 3 x 1 pies cúbicos caben en una carro 20 x 30 x 10?

a) 1000 b) 3000 c) 8000

Aroldo David Noriega