Acumulación de tolerancias (página 2)

Proporcionar a los diseñadores medios de calcular tolerancias de una pieza.

Los ingenieros de ayuda para comparan ofertas de diseño.

Los diseñadores de ayuda que producen dibujos completos.

• Las preocupaciones con los stackups de la tolerancia.

Un factor de seguridad se incluye a menudo en diseños debido a:

• Temperatura operacional de las piezas o del ensamble.

• Desgaste.

• Desviación de componentes después del ensamble.

• La posibilidad o la probabilidad de que las piezas estén levemente fuera de especificación (solamente de inspección pasajera).

• La sensibilidad o la importancia de la acumulación (sucede si las condiciones del diseño no se cumplen).

Notación y convenciones

La acumulación de tolerancias es un problema que se presenta debido a la inhabilidad de producir piezas exactamente de la medida nominal. Así hay la posibilidad que el ensamble de tales piezas que deben funcionar recíprocamente no lo hagan como estaba previsto. Esto se puede juzgar generalmente por unos o más criterios del ensamble, digamos A1, A2….

Refiriéndose a un criterio del ensamble, decimos que A, se puede ver en función de las dimensiones de la pieza X1. . ., Xn, es decir:

A = f (X1. . ., Xn).

Aquí n puede ser el número de las piezas implicadas en el ensamble, pero también puede ser más grande que ésta, a saber que algunas piezas contribuyen con más de una dimensión al criterio A. del ensamble.

Idealmente las dimensiones de la pieza deben ser iguales a sus valores nominales respectivos v1…, vn. Conociendo que es inevitable la variación de la dimensión nominal, se permite que la dimensión Xi de la pieza varíe sobre un intervalo alrededor de vi. Típicamente uno especifica un intervalo simétrico alrededor del valor nominal, es decir, Ii = [vI-Ti, vi+ Ti]. Sin embargo, los intervalos asimétricos de la tolerancia ocurren, y en la forma más extrema se convierten en los intervalos unilaterales de la tolerancia, Ii = [vi-Ti, vi] o Ii = [vi, vi + Ti]. Por lo general, uno especificaría un intervalo de tolerancia Ii = [ci, di] con ci = vi = di

Al ocuparse de un intervalo simétrico o unilateral de la tolerancia, Ti se le denomina valor de la tolerancia. Para el intervalo bilateral más general de la tolerancia, Ii = [ci, di], uno tendría dos tolerancias, a saber T1i =vi ci y T2i = di – vi. Aunque ocurren los intervalos asimétricos de la tolerancia en la práctica, generalmente no se discuten mucho en la literatura. Nos centraremos así nuestra revisión en el caso simétrico.

A veces uno también encuentra la gama de la tolerancia del término que refiere a integral del intervalo de la tolerancia, es decir, T? i = di – ci. Cuando la lectura de la literatura o usar cualquier clase del análisis uno de la tolerancia debe siempre estar claro en el uso de la tolerancia del término.

La función f que demuestra cómo A se relaciona con X1. . ., Xn se asume para ser liso, es decir, para las perturbaciones pequeñas Xi-vi de XI del vi nominal que asumimos esa f (X1. . ., Xn) es aproximadamente linear en esas perturbaciones, es decir:

A = f (X1. . . , Xn) Ëo f (v1. . . , vn) + a1 (X1 – v1) +. . . an( Xn – vn)

Donde ai = af (v1… vn)/a vi. Aquí uno trataría generalmente el vA = f (v1… vn) como la dimensión nominal deseada de la ensamble.

A menudo f (X1. . ., Xn) es naturalmente linear, a saber:

A = f (X1. . ., Xn) = a0 + a1X1 +. . . + anXn

Con los coeficientes sabidos a1. . . .an La dimensión nominal correspondiente al ensamble es entonces:

vA = a0 + a1v1 +. . . + anvn.

Observe que podemos emparejar esta representación linear con la aproximación anterior identificando:

a0 = f (v1… vn) –a1v1-…-anvn

En la forma más simple los coeficientes de ai son todos igual a uno, es decir:

A = X1 +. . . Xn,

O es toda la forma ai = ±1. Esto ocurre naturalmente en las cadenas de la trayectoria de la tolerancia, donde las dimensiones se miden positivamente en una dirección y negativamente en la dirección opuesta. En ese caso tendríamos:

A = ±X1. . . ± Xn

Asumiremos de ahora en adelante que A está de la forma:

A = a0 + a1X1 +. . . + an Xn

Con los coeficientes sabidos a0, a1. . . .an Para el tratamiento del análisis de la tolerancia que usa aproximaciones cuadráticas a f referimos a Cox (1986). Aunque este acercamiento es refinado y se apropia para una curvatura más fuerte sobre las gamas de la variación del XI, también es más complejo y no rutinario. También no ha entrado lejos en cambios malos serviciales. Esta parte de la teoría no será cubierta aquí.

Observamos aquí que no todas las funciones f son naturalmente lisas:

f (X1, X2) =

Se puede ver como la distancia de un centro del agujero del origen nominal (0, 0). Esta función no tiene derivados en (0, 0), su gráfico en 3 parecer del espacio un cono con su extremidad hacia arriba en (0, 0, 0). No puede haber plano de la tangente en la extremidad de ese cono y así de ninguna dimerización. Aunque hemos encontrado estas clases de problemas para aparecer en la práctica al realizar análisis de la tolerancia en el contexto de emparejar de centro del agujero y también en análisis de la tolerancia de la bisagra (Altschul y Scholz, 1994) se parece haber poco reconocimiento en la literatura de tales situaciones.

Déjenos de vuelta otra vez a nuestra asunción de un criterio linear del ensamble. El punto entero de los análisis de una acumulación de tolerancia es descubrir en qué medida la dimensión A del ensamble diferenciará del vA del valor nominal mientras que el XI se restringe para variar sobre Ii. Este análisis delantero se puede entonces dar vuelta alrededor para solucionar el problema dual. Para ese problema especificamos la cantidad de variación que se puede tolerar para A y la tarea es la de especificar las tolerancias de la dimensión de la pieza, Ti, de modo que la tolerancia deseada del ensamble para A sea conocido.

Aunque esto es un papel de revisión, está lejos de completo, como debe estar claro de las observaciones antedichas. Sin embargo, se parece ser la revisión más comprensiva del tema que estamos enterados de. Sigue habiendo muchas preguntas abiertas.

El apilado aritmético de la tolerancia (a lo peor)

Este tipo de análisis asume que todas las dimensiones de la parte XI están limitadas a Ii. Uno entonces analiza qué gama de la variación se puede inducir en A variando todas las piezas n de dimensiones X1,. . ., Xn independientemente (en el sentido no estadístico) sobre los intervalos respectivos de la tolerancia. Claramente, el valor más grande de:

Tomando el valor más grande (más pequeño) de XI â,¬ Ii = [ci, di] siempre que ai > 0 (ai < 0). Por ejemplo, si a1 < 0, entonces el término a1 (X1 – v1) se convierte en el positivo más grande cuando tomamos X1 < v1 y así en el ci más bajo de la punto final de Ii. Así el valor posible máximo de A es:

En la manera similar una obtiene el valor mínimo de A como:

Si los intervalos de la tolerancia Ii son simétricos alrededor del vi nominal, es decir,

Encontramos:

Y:

Donde:

1)

Para n grande esto puede dar lugar a los requisitos excesivamente apretados de la tolerancia de la parte, que no son a menudo económicos. Ésta es la característica que detrae principal de esta forma de análisis de la acumulación de la tolerancia. Resulta del acercamiento excesivamente conservador de la acumulación de las desviaciones lo peor del nominal para todas las piezas. En realidad, tal acumulación negativa debe ser extremadamente rara y ocurre generalmente cuando se observa deliberadamente. La asunción que todas las piezas satisfacen sus requisitos respectivos de la tolerancia, Xi â,¬ Ii, no debe ser descuidada. Sin esto no hay garantía del 100% en el ensamble. En efecto esta asunción requiere una inspección de todas las piezas, típicamente a través de indicadores simples en el chequeo. Esta forma de inspección es mucho más simple que lo requerida para tolerancia estadística. Para el último las medidas XI ellos mismos requieren, por lo menos una pieza para las muestras, para demostrar estabilidad de proceso. Las muestras de las medidas de la parte son más fácilmente favorables a la extrapolación y a la inferencia sobre el comportamiento de la población entera. Para las muestras de los datos del pasa/no pasa esto sería mucho más difícil. Puede haber una compensación del costo aquí, a saber que por calibración se comprueba el 100% de la pieza contra el muestreo de la parte (menos de 100%) con medir costos es más barato.

Otro más para el esquema tolerancia aritmético es que los ensambles subyacentes son muy mínimas.

Toleración estadístico (método de RSS)

La sección anterior empleó una forma de tolerancia que apilaba que los protectores contra todas las contingencias permitidas de la variación de la acumulación de tolerancias de la pieza de la peor manera posible. Fue precisado que éste puede suceder solamente cuando está hecha deliberadamente, es decir, eligiendo las peores piezas posibles para un ensamble. Si uno fuera a elegir partes en una manera al azar, un ensamble a lo peor sería extremadamente inverosímil. Típicamente las desviaciones de la pieza nominal tenderían a hacer un promedio hacia fuera hasta cierto punto y la acumulación de la tolerancia no debe ser tan extrema como retratada bajo tolerancia aritmética que acumula el esquema. La toleración estadística explota este tipo de cancelación de la variación en una manera sistemática.

Primero si se asume que una distribución normal que describe la variación de la pieza, después relajando esto a otras distribuciones invalidando al teorema de límite central (CLT), y nosotros finalmente tratamos la aplicación la determinación del riesgo de no ensamblaje.

Toleración estadístico con la variación normal

Los ensambles estándares siguientes se hace a menudo al introducir el método de toleración estadístico. Éstos no se deben aceptar necesariamente en el valor de cara.

5.1- Aleatoriedad:

Más bien que si se asume que el XI puede bajar dondequiera en el intervalo Ii de la tolerancia, incluso al punto que alguien malintencionadamente y deliberadamente selecciona las piezas para el ensamble de peor manera, nosotros asumimos aquí que el XI varía aleatoriamente según algunas distribuciones con las densidades fi (x), i = 1. . . , n, y funciones de distribución acumulativas

La idea es que la mayor parte de las ocurrencias de XI bajarán dentro de Ii, es decir, la mayor parte del área bajo densidad fi (x) baja entre las puntos finales de Ii. Pues una salida de peor tolerancia nosotros aceptamos cierta fracción pequeña de las dimensiones de la parte que bajarán fuera de Ii. Esto nos libera de tener que examinar cada dimensión de la parte para saber si hay conformidad con el intervalo Ii. De la tolerancia. Instantáneamente nosotros preguntamos/asumimos que los procesos que producen las dimensiones de la pieza son estables (en control estadístico) y que estas dimensiones de la parte bajan sobre todo dentro de los límites de tolerancia. Esto es comprobada muestreando solamente cierta parte de las piezas y midiendo el XI' S.

5.2- Independencia:

La asunción de la independencia es probablemente la piedra de la esquina más esencial de toleración estadística. Permite una cierta cancelación de la variación del nominal.

Tratando el XI como variables al azar, también exigimos que estas variables al azar sean independientes. Esto significa áspero que la desviación XI – vi no tiene nada que ver con Xj – vj para i ? J. Particularmente, las desviaciones no serán predominante positivo o predominante negativa. Bajo independencia esperamos conseguir un bolso mezclado de desviaciones negativas y positivas que esencialmente permite una cierta cancelación de la variación. La aleatoriedad solamente no garantiza tal cancelación, especialmente no cuando toda la variación al azar de la demostración de la dimensión de la parte en la misma dirección. Este último fenómeno es exactamente lo que se prepone la asunción de la independencia excluir.

La asunción de la independencia es típicamente razonable cuando las dimensiones de la parte pertenecen a diversa fabricación/procesos de trabajo a máquina. Sin embargo, las situaciones pueden presentarse donde está cuestionable esta asunción. Por ejemplo, varios similares/las mismas piezas se podrían utilizar en la mismo ensamble. La extensión termal también tiende a afectar diversas piezas semejantemente.

5.3- Distribución:

Sería agradable tener datos sobre la variación de la dimensión de la pieza, pero ése está careciendo típicamente en la etapa del diseño. Por esa razón uno asume a menudo que el fi es una densidad normal o Gaussiana sobre el intervalo Ii. Desde entonces qué este último es un intervalo finito y la densidad Gaussiana se extiende sobre la línea verdadera del conjunto R = (-8, 8), uno necesita pulsar un compromiso. Consiste en preguntar que el área bajo densidad fi sobre el intervalo Ii debe representar la mayor parte del área total bajo fi, es decir:

• Cuadro 1: Intervalo excesivo de la tolerancia de la distribución normal

(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf)

De hecho, la mayoría de las ofertas piden

Esta probabilidad que mira algo impar (Ëo 1) resulta de elegir el fi para ser una densidad Gaussiana con µi malo = _i en el centro del intervalo de la tolerancia y con _i de la desviación de estándar = Ti/3, es decir:

Es la densidad normal estándar. Tenemos así:

Y:

Donde:

Es la función de distribución acumulativa normal estándar. Así la probabilidad que mira impar .9973 es el resultado de tres asunciones, a saber i) una densidad Gaussiana fi, ii) vi = µi, es decir, el proceso de la dimensión de la pieza se centra en el valor nominal, e iii) Ti = 3si. Las primeras dos asunciones hacen posible que el factor simple y redondo 3 en 3si produce la probabilidad .9973. Esto es una opción extensamente aceptada aunque otras son posibles. Por ejemplo, Mansoor (1963) aparece preferir el factor 3.09 dando por resultado una probabilidad de .999 para la conformidad de la tolerancia de la dimensión de la parte.

Una razón que se avanza a menudo para si se asume que una distribución normal es que las desviaciones del nominal son a menudo el resultado de muchos contribuidores aditivos que sean al azar en naturaleza, y cada uno de efecto relativamente pequeño. El teorema de límite central entonces se utiliza para demandar normalidad para la suma de muchos tales contribuidores. Se asume que la persona que produce la pieza apuntará para la dimensión nominal de la parte, pero por varias razones habrá las desviaciones del nominal que acumulan a una desviación total del nominal, que entonces se demanda para ser normal. Así los valores XI se aproximaran típicamente con más frecuencia alrededor del vi nominal y menos darán lugar a los valores lejanos. Esta vista de la distribución de XI representa una piedra de la esquina importante en el método de toleración estadístico.

Bajo asunciones antedichas podemos tratar el criterio del ensamble.

Como variable al azar, de hecho como variable al azar Gaussiana con medio:

Con variables:

La primera ecuación indica que el µA malo de A coincide con el vA del valor nominal de A. Esto resulta de la dependencia linear de A de las dimensiones de la pieza XI y del hecho de que las medas de todas las dimensiones de la parte coinciden con sus valores nominales respectivos. La fórmula antedicha para la variación se puede reescribir como sigue:

Si llamamos conseguimos el RSS-fórmula bien conocido para acumulación estadística de la tolerancia:

Aquí RSS refiere a la raíz/ suma/ operación cuadrada que tiene que ser realizada para calcular Puesto que A es Gaussiana, podemos contar en 99.73% de todos los valores A del criterio del ensamble para caernos dentro de su vA nominal, o solamente .27% de todas las asambleas fallarán.

¿Qué hemos ganado por el precio de tolerar una fracción pequeña de las faltas del ensamble? La respuesta llega a ser otra vez la más transparente cuando todas las contribuciones de la tolerancia de la parte |ai| Ti es igual, es decir, |ai| Ti = T. Entonces tenemos:

Toleración estadístico que usa la asunción de CLT

Una suposición usada generalmente en la sección anterior es el de una distribución Gaussiana para todas las dimensiones de la parte XI. Esta sección se ha desafiado a menudo, basado en parte en los datos de la parte que contradicen la normalidad, basado en parte en las cambios malos que dan lugar a una mezcla total de las distribuciones normales, es decir, manchadas hacia fuera, y pasado pero basado no lo más menos posible en la experiencia que la tarifa del polvillo radiactivo del ensamble era más alta que predicha por toleración estadístico. Aquí relajaremos que la suposición de la normalidad no prohíbe las distribuciones más generales para las variaciones de la pieza XI. Sin embargo, insistiremos que el µi malo XI del alambique coincide con el vi nominal. Relajando este último constreñimiento será discutido en secciones subsecuentes.

Para relajar la suposición de la normalidad para las dimensiones de la pieza XI que invalidamos al teorema de límite central de la teoría de las probabilidades (CLT). De hecho, ahora utilizaremos las suposiciones siguientes:

1. El XI, i = 1. . . , n, es estadístico independiente.

2. La densidad fi que gobierna la distribución de XI tiene µi = vi y si de la desviación estándar.

3. Las contribuciones de la variabilidad de todos los términos en la combinación lineal A llegan a ser insignificantes para n, es decir,

Debajo de estos tres condiciones 1 el Lindeberg-Feller CLT indica que es lineal:

Combinación:

Tiene una distribución aproximadamente normal con medio:

Y con variables:

La suposición 3 elimina las situaciones donde una pequeña cantidad de términos en la combinación lineal tienen tanta variación que hundan totalmente la variación de los términos restantes. Si estos pocos términos dominantes tienen distribuciones anormales, puede esperar apenas que la combinación linear tenga una distribución aproximadamente normal. A pesar de las suposiciones distribucionales reflejadas para las dimensiones de la pieza tenemos que el criterio A de la asamblea está distribuido otra vez aproximadamente normalmente y su µA coincide con el vA deseado del valor nominal. De la normalidad aproximada de A podemos contar en cerca de 99.73% de todos los criterios de la asamblea para caernos dentro [vA- 3sA, vA + 3sA].

Éste casi es el mismo resultado que antes, a excepción de un punto de "menor" importancia. En la sección anterior habíamos supuesto una relación particular entre el si de la dimensión de la pieza y el Ti de la tolerancia, a saber estipulamos ese Ti = 3si. Esto fue motivada principalmente por el hecho que bajo asunción de la normalidad casi todas las (99.73%) dimensiones de la parte bajarían dentro de ±3si del vi = µi nominales. Sin la suposición de la normalidad para las piezas no hay tal aseguramiento de la probabilidad para tales escalas de ±3si. Sin embargo, la desigualdad del Campo-Meidell (enciclopedia de las ciencias estadísticas, vol. I, 1982), estados que para las densidades simétricas y única fi con la variación finita tenemos.

Aquí la simetría significa ese fi (vi + y) = fi (vi- y) para toda y, y así µi = vi. significa fi (vi +y) = fi (vi +ypara todo 0 =|y| =|y?|, es decir, la densidad se cae mientras que nos movemos lejos de su centro, o por lo menos no aumenta. Aunque esto cubre una familia ancha de distribuciones razonables, el número .9506 no lleva con él el mismo grado de la certeza que 0.9973.

Todavía no tenemos así un acoplamiento natural entre el si de la desviación de estándar y el Ti de la tolerancia de la dimensión de la pieza. Si la distribución de XI tiene una gama finita, entonces una podría comparar esa gama finita con la gama de la tolerancia del ±Ti alrededor de vi. Esto es qué se ha hecho comúnmente. En el caso de un fi Gaussiana esto no era posible (debido a la gama infinita) y eso fue resuelta optando por gama de ±3si = ±Ti. Emparejando la escala finita de una distribución con la escala de la tolerancia [vi – Ti, vi + Ti] obtenemos el acoplamiento entre el si y el Ti, y así en última instancia el acoplamiento entre TA y el Ti. Puesto que la extensión 2Ti de una tal distribución finita de la gama se puede manipular por un cambio simple de la escala que también afecte la desviación de estándar de la distribución por el mismo factor que nos sigue que el si y el Ti será proporcional el uno al otro, es decir, puede estipular eso:

Donde está un factor c que es específico al tipo de distribución. La opción de ligar esta proporcionalidad de nuevo a 3si facilita la comparación con la distribución normal, para la cual tendríamos c = cN = 1.

El asumir que el tipo de distribución (pero no necesariamente de su localización y escala) es igual para todas las dimensiones de la parte conseguimos:

Esto conduce a la tolerancia que acumula las fórmulas con las cuales esencialmente convenga (2), salvo que se ha agregado un factor de la inflación, c. Si el tipo de la distribución también cambia de parte a la parte (esperanzadamente con la buena justificación), es decir, tenemos diversos factores c1… cn, necesitamos utilizar la tolerancia más complicada siguiente que apila fórmula:

3)

Donde c = (c1… cn). En la tabla que 1 nosotros da algunos factores que se han considerado en la literatura, vea a Gilson (1951), Mansoor (1963), Fortini (1967), Kirschling (1988), Bjørke (1989), y Henzold (1995).

• Las distribuciones correspondientes ilustradas en la figura 2:

(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf)

(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf)

Distribuciones y factores del intervalo de la tolerancia en la figura 2

Para una derivación de estos factores vea el apéndice A. Para la densidad beta los parámetros a > 0 y b > 0 son los parámetros generalmente de la forma, a en la densidad trapezoidal indica el punto de desempate del plano a la parte inclinada de la densidad, y p y f caracterizan la densidad del histograma (véase la densidad pasada en el cuadro 2), a saber la barra media de las cubiertas de esa densidad el vi ± f Ti de la porción central del intervalo de la tolerancia y su área abarca el 100p% de la densidad total.

Algunos factores tienen poca justificación y motivación explícitas y se presentan sin referencia apropiada. Por ejemplo, el factor c = 1.6 de Gilson (1951) deriva de su fórmula empírico crucial (2) por los cuales sea introducido "sin entrar profundamente un análisis matemático. . ." Evans (1975) se parece dar la bienvenida a tal carencia del detalle matemático diciendo: No se deriva "ningunos de los resultados, en el sentido especializado de esta palabra, de modo que sean legibles por virtualmente cualquier persona que estaría interesado en el problema toleración."

Bender (1962) da el factor 1.5 basado principalmente en el hecho de que los operadores de la producción generalmente le darán 2/3 de la extensión verdadera (gama de ±3s bajo distribución normal) cuando están preguntados qué límites de tolerancia pueden llevar a cabo y "gente del control de calidad reconoce que esta extensión de 2/3 total incluye el cerca de 95% de los pedazos." Para compensar estas tolerancias optimista indicadas, el doblador sugiere el factor 3/2 = 1.5.

Evaluación del riesgo estadístico de la acumulación de tolerancias

En esta sección discutimos el riesgo de la asamblea, es decir, la ocasión que un criterio A de la asamblea no satisfará su requisito. Como en la sección anterior se asume que todas las dimensiones de la parte XI tienen distribuciones simétricas centradas en sus nominales, es decir, con µi = vi de los medios, y las variaciones respectivamente. El requisito para el ensamble se asume para ser | A -vA| = K0, donde está un cierto número K0 predeterminado basado en consideraciones del diseño. Entonces estamos interesados en la determinación de P (|A-vA| > K0). Según el CLT podemos tratar (A-vA) /sA = (A-µA) /sA como variable al azar normal aproximadamente estándar. Así el riesgo del ensamble es:

Cuando el requisito K0 es igual a:

Entonces el riesgo de la falla en el ensamble:

Cuando invocamos el CLT tratamos a menudo las aproximaciones que resultan como si él es exacto. Sin embargo, debe ser tenido presente de que en realidad ocupamos de aproximaciones (aunque las típicamente buenas) y que llega a ser algo limitada la exactitud cuando hacemos tales cálculos que implican las colas extremas de las distribuciones normales. Por ejemplo, una aproximación normal puede sugerir una probabilidad de 0.9973, pero en realidad que la probabilidad pueda ser solamente 0.98. Al hacer las correcciones para tales probabilidades extremas de la cola, se parecería que una parte a menudo los pelos dado que estas probabilidades son solamente aproximadas de todos modos. Sin embargo, lo que la probabilidad correcta pudo ser, si la aproximación sugiere una degradación en el nivel del aseguramiento de la tolerancia y si hacemos un ajuste basado en la misma aproximación, él se parecería que hemos tenido cierto efecto. El único problema es que la medida contraria puede no ser bastante (encajone) a) o puede ser más que necesitado (caso) b). Si en cualquiera de estas situaciones no hubiéramos hecho nada, después seríamos mucho peores apagado en caso de que a) o estamos contando en optimismo a ultranza en caso de que b).

Cambios negativos

Hemos hecho hasta ahora la suposición excesivamente simple la parte dimensiona XI debe estar centrada respecto a los nominales de vi. Esto en la práctica es difícil de alcanzar y a menudo no económico. Tales cambios del medio pueden ocasionalmente ser absolutamente deliberadas (apuntando para la condición máxima del material, porque una prefiere reiniciar la operación y seguido de esto empezar con el desecho), en otras ocasiones es causada por desgaste de la herramienta, y a menudo uno no puede hacer un promedio hacia fuera del proceso de fabricación de la pieza exactamente en el centro nominal de vi, tan difícil como uno puede intentar. Una cambio de la distribución de el XI lejos de los centros nominales respectivos causará una cambio, también en el criterio A. del ensamble. Esto alternadamente aumentará el riesgo del no ensamble, puesto que cambiará de posición la curva normal más hacia un final del requisito del diseño en el ensamble [-K0, K0].

Algunos autores, como, Bender (1962) y Gilson (1951), han respondido a este problema introduciendo los factores de la inflación, c, como les discutieron en la sección anterior, solamente mantener una distribución para XI que sigue siendo simétrica alrededor de vi. En efecto, esto negocia un efecto perjudicial, a saber el cambio negativo, contra otro si se asume que una variación más alta, pero todavía obligando a XI al intervalo de la tolerancia Ii = [vi – Ti, vi + Ti]. El remedio (factor c de la inflación) que explica una variación más alta dentro de Ii, como efecto secundario, también será beneficioso para ocuparse de los cambios negativos, puesto que causa un ajuste de tolerancias en dicha parte de un diseño más conservador. Tal diseño entonces naturalmente también compensará algunas cantidades de cambio perjudicial. Greenwood and Chase (1987) refiere a este tratamiento del problema negativo del cambio como usar una "banda-Ayuda", puesto que esta práctica no es específica al problema de un cambio negativo.

Un cambio negativo representa una cantidad persistente de cambio y es así absolutamente esencial en su efecto, mientras que una variación inflada expresa la variación que cambia de sección en sección, y permite así la corrección del error. En defensa de este último acercamiento uno debe mencionar que a veces uno reacciona a los medios excéntricos "recientes" en el proceso de fabricación. Eso producirá desde entonces probablemente otro medio excéntrico, el esta información "reciente" apenas agregará a la variabilidad total del proceso, es decir, los cambios del medio entonces se transforman de hecho físicamente en variabilidad. Si esto es una buena estrategia, es cuestionable. Un cambio producirá típicamente partes rechazadas solamente en un lado del intervalo de la tolerancia, mientras que la variabilidad creciente debido al "cambio reciente" dará lugar a rechazos en ambos.

Ahora discutiremos algunas maneras de tratar explícitamente los cambios negativos de ?i = µi – vi. Aunque tenemos en cuenta la posibilidad de cambios perjudiciales mantendremos la idea de un intervalo de la tolerancia, es decir, la dimensión XI de la pieza del ith todavía será obligada al intervalo Ii. De la tolerancia. Si la distribución de XI se asume para ser normal, después su gama de ±3si caída inmóvil dentro de Ii, (figura 3). Esto significa que el si tiene que conseguir un rango más pequeño como |?i| consigue el rango más grande. Para los intervalos fijos de la tolerancia esto significa que cambios negativos más grandes son posibles solamente con una variación más ajustada. Exagerando esto significa que la distribución de XI está cambiada de posición para vi -Ti o vi +Ti, sin variación. Este último panorama es apenas realista2, pero vale el observar puesto que conduce de nuevo a una toleración peor.

En la práctica no es tan fácil ajustar la variación de un proceso de producción de la pieza. Es más práctico ensanchar el intervalo Ii de la tolerancia de la dimensión de la pieza o aumentar el Ti. La acumulación de tolerancia para un mejor análisis se realiza entonces en términos de Ti creciente. El efecto, desde un punto de vista del método del análisis, es igual. Con Ti creciente el si sin cambios parecerá reducido referente a Ti.

Es solamente una cuestión de quién paga el precio. Los cambios negativos no se saben típicamente a prioridad y, según lo precisado anteriormente, en el caso extremo son poco realistas y nos conducen a la derecha de nuevo a peor tolerancia. Para evitar esto, la cantidad de los cambios perjudiciales se toman en cuenta con un rango del límite de tolerancia.

Tales límites tomados en cuenta para el error en la fabricación se deben llegar en la consulta con los representantes apropiados de la producción. Que la discusión siguiente es útil referente a |?i| como ?i de la fracción de Ti, es decir, |?i| = ?i Ti con 0 = ?i = 1. Los límites comprendía a |?i ahora equivalente se expresa como los límites en ?i, a saber ?i = ?0i o:

|?i| = ?oiTi

• Cuadro 3: Distribuciones normales cambiadas de puesto sobre intervalo de la tolerancia

(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf)

Generalmente es más razonable indicar los límites comprendiendo |?i| en proporcionalidad a Ti. Una razón de esto es que el Ti captura hasta cierto punto la variabilidad de la dimensión de la pieza del proceso, uno está inclinado a asumir de la misma forma. La variabilidad es hasta cierto punto también responsable de la variación del µi negativo, es decir, que hay una cierta proporcionalidad entre los dos fenómenos de la variación. También, una vez que tales límites negativos de los cambios se expresen en términos de tal proporcionalidad a Ti, uno está entonces más dispuesto a asumir un límite común para estos factores de la proporcionalidad, a saber ?01 =. . . = ?0n = ?0. Teniendo un límite común ?0 para todas las dimensiones de la parte XI no es necesario, sino simplifica grandemente la exposición y la práctica del ajuste según cambios perjudiciales.

Podemos ahora ver la dimensión XI de la pieza como la suma de dos (o tres) contribuciones:

Donde está el µi alrededor del cual la pieza individual del ith dimensional y el ?i es la cantidad por la cual XI se desvía del µi cada vez que la parte producida. El término ?i de la variación asume variar según una cierta distribución con el medio cero y la variación Podemos pensar en los dos términos en ?i + ?i como la desviación total de XI del vi nominal. A saber, el µi diferencia de vi por el ?i negativo en el cambio de una manera persistente entonces cada dimensión de la parte tendrá su propio ?i de la desviación del µi. Sin embargo, esta última desviación será diferente a partir de una realización de la dimensión XI de la siguiente. Por lo tanto el ensamble que resulta experimentará diversas desviaciones de esa dimensión de la parte, cada vez que hacen un nuevo ensamble. Sin embargo, el ?i de la contribución será igual de ensamble a ensamble.

La representación antedicha entonces conduce a una representación correspondiente para el criterio del ensamble:

Donde:

Aquí el µA es el medio de A, vA es el ensamble nominal, ?A es son los cambios negativos en el ensamble, y ?A captura la variación de A de ensamble a ensamble, teniendo el medio cero y variación:

Acumulación aritmética de cambios negativos

La variación de A alrededor del montaje vA nominal es el compuesto de dos contribuciones, sabiendo que un ensamble mal realizado es ?A = µA – vA y la variación del ensamble, que es la suma de contribuciones al azar de n y así favorable a acumulación estadística de la tolerancia.

La cantidad por la cual el µA puede diferenciar de vA puede ser limitada como sigue:

(5)

Donde la última suma recuerda acumular el peor caso de la tolerancia aritmética. De hecho, es exactamente lo qué está sucediendo aquí con los cambios negativos, en donde asumimos que todos estos cambios entran en la dirección más desfavorable. La desigualdad adentro (5) de hecho puede ser una igualdad proporcionada para todo ai ?i tiene la misma muestra.

El CLT se puede invocar otra vez para tratar el ?A como aproximación normal con el medio cero y variación de modo asi poder esperar un 99.73% de ?A de las variaciones del ensamble y así bajen dentro de ±3s?A de cero. Así 99.73% de toda el ensamble de dimensiones A dentro de la caída:

µA ±3s?A

Puesto que (5) limita la cantidad por la cual el µA puede diferenciar de vA, nosotros podemos juntar este aditamento (en la peor manera) con el límite anterior de 99.73% intervalos para A y puede demandar que por lo menos bajarán 99.73% de toda el ensamble de dimensiones A dentro:

(6)

Debido al peor caso de adición en los cambios negativos, generalmente se da por bueno con menos de .27% de los criterios del ensamble A que bajan fuera del intervalo (6). Ese porcentaje está correcto cuando el cambio por medio que el ensamble es cero. Pues el µA del medio ensamble cambia de puesto a la derecha o a la izquierda de vA, sólo una de las colas de la distribución normal contribuirá perceptiblemente al ensamble fuera de la tarifa de tolerancia. Esa tarifa debe de ser la mitad de justa de .27% o .135%, o levemente arriba. Las densidades normales cambiadas de puesto y escaladas en la figura 3 ilustran ese punto también.

No hemos descompuesto en factores hasta ahora nuestra estimación anterior que si debe disminuir como |?i| aumenta, para mantener el requisito XI ? Ii. Si asumimos una distribución normal para XI, ésta significa que requerimos que el ±3si se extienda alrededor de µi todavía esté contenido dentro de Ii. Al mismo tiempo esto significa que la tarifa del polvillo radiactivo se contraerá a partir de la .27% (para cero alteraciones) a .135% como el cambio negativo es más grande, puesto que solamente una cola de la distribución contribuirá. Puesto que con cero alteraciones una permite .27% polvillo radiactivo, uno habría podido permitir un aumento en si de modo que el solo polvillo radiactivo de la cola fuera otra vez .27%. No entraremos en esta complicación y en lugar de otro, permaneceremos con nuestra interpretación original, a saber requerimos que el índice Cpk de la capacidad satisface:

Si se asume que la cantidad más alta de variabilidad dentro de estas precipitaciones, es decir, Cpk = 1, tenemos:

3si = (1 – ?i) Ti (7)

Debido a nuestra identificación inicial de 3si = Ti (sin alteraciones) esta ecuación se pueden interpretar de dos maneras. Que las cuales serian si necesita ser reducido por el factor (1-?i), o el Ti necesita ser aumentado en el factor 1 (1-?i) para acomodar un cambio de ± ?i Ti. donde cualquier ecuación de la manera (7) se observa, entonces tenemos:

Con esta representación de 3s?A por lo menos 99.73% de todas las dimensiones A del ensamble bajará dentro:

(8)

Según lo precisado anteriormente, esta proporción de la conformidad es generalmente más alta, es decir 99.865%.

En la fórmula (8) el ith cambia de puesto ?i la fracción aparece en dos lugares, primero en la suma (que aumenta ?i) y bajo raíz (disminuye en ?i). No es así obvio que el ?i de aumento siempre hacia materias peores. Entonces:

Seguido de este aumento ?i ensanchará el intervalo (8). Si todas las fracciones de ?j el cambio es limitado por el ?0, podemos limitar así la variación del criterio A del ensamble a:

Por lo menos (mejorado a 99.865%) el aseguramiento 99.73% de contener A.

Resumiendo a:

Es una combinación cargada (con los pesos ?0 y 1 – ?0) de acumulación aritmética y estadístico de la tolerancia del Ti de las tolerancias de la pieza. Como tales él se pueden ver como un acercamiento unificado, según lo sugerido por Greenwood and Chase (1987), desde ?0 = 0 en tolerancia estadística puro y ?0 = 1 en tolerancing aritmético puro.

Comparando los dos componentes de esta combinación cargada se ve fácilmente (ajustando ambos lados y observando que todos los términos |ai| Ti no es negativo) eso

Donde está generalmente perceptiblemente más grande el lado izquierdo que la derecha. Esta desigualdad, que pone en contraste la diferencia entre acumulación aritmética y RSS acumulado, es una ilustración simple del teorema de Pitágoras. Pensando en una caja rectangular en n-espacio, con los lados |ai|Ti, i = 1. . . , ?. Para partir de una esquina de esta caja a la esquina diametralmente opuesta podemos proceder cualquiera yendo a lo largo de los bordes, atravesando una distancia 1 |ai| Ti, o ir directamente en la diagonal que conecta las esquinas diametralmente opuestas. En el último caso atravesamos la distancia mucho más corta de según Pitágoras. La conexión de Pitágoras también fue referida por Harry y a Stewart (1988), aunque en forma algo diversa, a saber en el contexto de explicar la variación de una suma de variables al azar independientes.

Mientras ?0 > 0, es decir, una cierta alteración, encontramos que este tipo de acumulación Ti de las tolerancias esté en orden ?. Esto se ve lo más claramente posible cuando |ai|Ti = T y |ai| = 1 para todo el I. Entonces:

En orden n, aunque es reducido por el factor ?0. Así el aumento posible previamente conocido en la tarifa de la conformidad, a saber 99.73% ? 99.865%, es típicamente más que compensó por el crecimiento de la orden n en la acumulación de la tolerancia cuando las cambios del medio están presentes.

Este incremento en el ensamble se podría convertir de nuevo a 99.73% poniendo el factor 2.782/3 = .927 delante de la raíz cuadrada en el fórmula (9). El valor 2.782 representa los 99.73% puntos de la distribución normal estándar. Si, debido una alteración permitida, tenemos que preocuparnos solamente cerca de una distribución normal que excede los límites de la acumulación de tolerancias, entonces podemos reducir nuestro factor acostumbrado 3 en 3s?A a 2.782. A un grado pequeño. La acumulación de tolerancias que resulta del intervalo entonces será:

Hemos asumido hasta ahora que la variación de los términos ?i es normal, con el medio cero y la variación Esta estimación de la normalidad se puede relajar como antes si se asume que una distribución simétrica sobre un intervalo finito, Ji, centrado en cero. Este intervalo finito, después de centrarlo en µi, inmóvil dentro del intervalo Ii. De la tolerancia. Así Ji será más pequeño de Ii. Esta reducción en variabilidad es las contrapartes de reducir si en el modelo normal, como |?i| incrementa. Véase la figura 4 para las versiones cambiadas de puesto de la distribución de la figura 2 con la reducción de acompañamiento en variabilidad. Alternativamente, podríamos en lugar de otro ensanchar los intervalos de la tolerancia Ii mientras que guardar la extensión de las distribuciones fijó.

Si Ii tiene la mitad de Ti y si su cambio perjudicial es |?i|, entonces el intervalo reducido Ji sería:

La distribución fi, describiendo la distribución del ?i sobre el intervalo Ji, tiene variación y como antes de que tengamos la siguiente relación:

Donde un factor c que depende del tipo de la distribución, vea la tabla 1.

Usando la formula (6) y:

La fórmula (8) cambia simplemente a:

Es decir, hay una penalidad adicional con el factor C de la inflación. Si los intervalos de la tolerancia de la dimensión de la pieza implican diversas distribuciones, entonces una puede acomodar esto en una manera similar como adentro (3).

Cuadro 4: Distribuciones y factores cambiados de puesto del intervalo de la tolerancia

(http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf)

Aquí no está claramente si ?i aumento el intervalo (11) o no. derivando como anteriormente:

Si y solo si:

Éste generalmente será el caso mientras c no sea demasiado grande de 1 y mientras

(1 – ?j)2no sea la contribución opresora a:

Si ?i ?0 entonces:

Aquí el lado correcto derecho está bien cercano a uno, a menos que j sea mucho más grande que el efecto combinado por i ? J. Esta situación no se presenta generalmente.

Como ejemplo donde c es demasiado grande considere n = 2, (1 – ?1)|a1|T1 = (1 – ?2)|a2|T2, y f1 = f2 = uniforme. Entonces c = = 1.732 de la tabla 1 y:

El caso anterior de derivación es negativo, significa que el intervalo (11) es más ancho cuando no hay alteraciones. Este comportamiento extraño no llega a n = 3 distribuciones uniformes. También, debe ser precisado que para n = 2 y variación uniforme de la dimensión de la parte CLT todavía no proporciona una buena aproximación a la distribución de A, que en ese caso es triangular.

En la mayoría de los casos encontraremos que los derivados antedichos no son negativos y que la anchura máxima del intervalo conforme a ?i = ?0 está alcanzada de hecho en ?i = ?0 para i = 1. . . , n. Entonces tendríamos que baja A teniendo:

Por lo menos con 99.73% (o 99.865%) asegurando. Este último porcentaje se deriva otra vez de CLT aplicado a ?A. Aprovechando el 99.865% podríamos introducir otra vez el factor 0.927 de la reducción adentro (12)

Con un menos del 99.73% de aseguramiento.

Conclusión

Dando a conocer los temas tratados con anterioridad, es así, como se debe de encontrar sus aplicaciones y llevar un control de la calidad en múltiples aéreas de trabajo.

La acumulación de tolerancias es de suma importancia para la elaboración, fabricación, diseño, etc. Por que por medio de esta se tiene la seguridad de que el proceso de producción está bien diseñado y así no tener que llegar al re maquinado o a la eliminación de nuestras piezas producidas, como también a la devolución de las mismas. La información presentada anteriormente sirve de herramienta para corregir o evitar imperfecciones presentadas en el diseño. Aplicándolas correctamente es como se evitara dicha aparición de alteraciones e imperfecciones.

Referencias

http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf

http://www.worldcat.org/wcpa/oclc/39870910

http://books.google.com.mx/books?id=qLh9gGOUI5IC&pg=PA366&dq=acumulacion+tolerancias

http://bibliotheka.org/?/ver/10927

Autor:

Ramón Antonio Porras Aguirre

Catedrático: Ing. Pedro Zambrano Borjoquez

Instituto Tecnológico de Chihuahua