Investigación operativa, modelo de Markov

¿Qué es?

Se conoce como modelo de Markov o cadena de Markov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. Podemos decir que esta técnica posee numerosas aplicaciones en los negocios, entre ellas el análisis de participación de mercados, pronósticos de deudas incobrables o también para determinar si una máquina se descompondrá en el futuro.

• Nomenclatura

• Suposiciones Del Modelo De Markov

Las suposiciones del Modelo del Markov son las siguientes:

• a) La suma de las filas de la matriz d3e transición puede ser igual a uno y su forma general está presentado por:

• b) Cada elemento de la matriz de transición debe ser no negativo y su forma general está presentado por:

Según Render las suposiciones del Modelo del Markov son las siguientes:

• a) Existe un número limitado o finito de estados posibles.

• b) La probabilidad de que los estados cambien permanece igual a lo largo del tiempo.

• c) Se puede predecir cualquier estado futuro a partir del estado anterior y de la matriz de probabilidades se transición.

• d) El tamaño y constitución del sistema (por ejemplo, el número total de fabricantes y clientes) no cambian durante el análisis. (Render, 2006)

El modelo de Markov tiene la propiedad de que las probabilidades que describen las formas en que el proceso evolucionara en el futuro dependen solo del estado actual en que se encuentra el proceso y, por lo tanto, son independientes de los eventos que ocurrieron en el pasado. Muchos procesos se ajustan a esta descripción, por lo que las cadenas de Markov constituyen una clase de modelo probabilístico de gran importancia.

Los procesos estocásticos son de interés para describir el comportamiento de un sistema en operación durante algunos periodos.

¿Para qué se utiliza?

Una de las principales utilidades que tiene el modelo de Markov es establecer las posibilidades de cualquier evento futuro conociendo los eventos pasados. Esto puede y afecta las decisiones que podríamos tomar basándonos en la incertidumbre que provocan poseer varios eventos futuros y todos tienen su grado de probabilidad de que sucedan.

Otro de los factores que altera la toma de decisiones es cuando estos posibles eventos futuros se ven alterados con el paso del tiempo, para evitar este acontecimiento existe este modelo el cual tiene la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionara en el futuro solo dependerán del estado actual en que se encuentra el proceso y por lo tanto son independientes de los eventos ocurridos en el pasado.

Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Márkov se utilizan para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades del personal y para analizar el reemplazo de equipo. 

¿QUÉ TIPO ES?

El Modelo de Markov es un tipo de modelo probabilístico que se usa para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.

Cadenas de Markov

Las cadenas de Markov son unas herramientas para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.

Una cadena de Markov, por lo tanto, representa un sistema de cambiar su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el sistema (decisión).

• Matriz de Transición

Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo es útil pensar la sucesión de ensayos como experimentos efectuados en cierto sistema físico, cada resultado dejando a este sistema en cierto estado.

• Diagrama de transición

El diagrama de transición de estados (DTE) de una cadena de Markov es un grafo dirigido cuyos nodos son los estados de la cadena de Markov y cuyos arcos se etiquetan con la probabilidad de transición entre los estados que unen. Si dicha probabilidad es nula, no se pone arco.

• Propiedades:

• a)  La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1.

• b)  La matriz de transición debe ser cuadrada.

• c)  Las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1

• Clasificación de Estados en una Cadena de Markov

Es evidente que las probabilidades de transición asociadas a los estados juegan un papel importante en el estudio de las cadenas de Markov. Para describir con más detalle las propiedades de una cadena de Markov es necesario presentar algunos conceptos y definiciones que se refieren a estos estados.

En general:

• a) Cualquier estado se comunica consigo mismo porque

• b) Si el estado i se comunica con el estado j, entonces el estado j se comunica con el estado i.

• c) Si el estado i se comunica con el estado j y el estado j se comunica con el estado k, entonces el estado i se comunica con el estado k.

Un conjunto de estados S en una cadena de Markov cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S.

• Un estado i es absorbente si pii=1

• Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j.

• Un estado es recurrente si no es transitorio.

• Un estado i es periódico con periodo k>1 si k es el menor número tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiplo de k.

• Si un estado recurrente no es periódico es aperiódico.

• Si todos los estados de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre sí, la cadena es ergódica.

• Cadenas Irreducibles

Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):

• Cadenas Positivo-Recurrentes

Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes.

Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

• Cadenas Regulares

Una cadena de Markov se dice regular  (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:

Dónde:

• W = Una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena.

En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.

• Cadena de Markov de Tiempo Continuo

Esta suposición es adecuada para muchos problemas, pero existen ciertos casos (como en algunos modelos de líneas de espera) en los que se requiere un parámetro ( llamado "t") de tiempo continuo, debido a que la evolución del proceso se observa de manera continua a través del tiempo.

• Propiedades a Largo Plazo de las Cadenas de Markov

• Probabilidades de estado estable

Las se llaman probabilidades de estado estable de la cadena de Markov. El término probabilidad de estado estable significa que la probabilidad de encontrar el proceso en cierto estado, digamos j, después de un número grande de transiciones tiende al valor j, y es independiente de la distribución de probabilidad inicial definida para los estados. Es importante observar que la probabilidad de estado estable no significa que el proceso se establezca en un estado. Por el contrario, el proceso continúa haciendo transiciones de un estado a otro y en cualquier paso n la probabilidad de transición del estado i al estado j es todavía Pij.

• Interpretación intuitiva de las probabilidades de estado estable.

• La probabilidad de que una transición determinada deje el estado j es igual a la probabilidad de que una transición determinada entre al estado j.

• La probabilidad de que una transición determinada deje el estado

• La probabilidad de que una transición determinada entre al estado

• En el estado estable el flujo de probabilidad hacia cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale de cada estado es decir son las probabilidades de equilibrio.

• Tiempos de Primera Pasada

Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso de ir al estado i al estado j por primera vez. Este lapso se llama tiempo de primera pasada.

Cuando j=i, este tiempo de primera pasada es justo el número de transiciones hasta que el proceso regrese al estado inicial i. En este caso el tiempo de primera pasada se llama tiempo de recurrencia para el estado i.

• Estados Absorbentes

El estado k se llama estado absorbente si de manera que una vez la cadena llega al estado de k permanece ahí para siempre.

Si k es un estado absorbente y el comienzo en el estado i, la probabilidad de llegar en algún momento a k se llama probabilidad de absorción al estado k, dado que el sistema comenzó en el estado i.

Si se tienen dos o más estados absorbentes en una cadena de Markov y es evidente que el proceso será absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrar estas probabilidades de absorción. Dichas probabilidades pueden obtenerse con solo resolver un sistema de ecuaciones lineales que considera todas las posibilidades para la primera transición y después dada la primera transición, considera la probabilidad condicional de absorción al estado k.

Teoremas de Markov

Teorema 1.- Si T es una matriz de probabilidades regular, entonces hay un único vector de probabilidades t tal que tT = t. Además, para cualquier vector de probabilidades p, el vector de probabilidades pT^n se acerca más a t al crecer n. El vector fijo t se llama la distribución estacionaria de la cadena de Markov cuya matriz de transición es T. Además, al ir creciendo n, cada renglón de T^n tiende al vector fijo t.

Teorema 2.- (Ecuaciones de Chapman- Kolmogorov)

Teorema 3.- Para determinar si un estado es persistente (recurrente) o no (transitorio), se verifican las siguientes relaciones:

Teorema 4.- Sea i un estado persistente (recurrente), entonces:

Teorema 5.- Supongamos que i ? j, es decir están intercomunicados; dentro de cada clase de equivalencia todos los estados son del mismo tipo, entonces:

Teorema 6.- (Teorema de descomposición de las Cadenas de Markov) El espacio de estados S de una cadena de Markov X, tiene la siguiente partición única:

Así, o la cadena siempre toma valores en el conjunto de estados transitorios o acaba en un conjunto cerrado persistente de estados donde permanecerá por siempre.

Teorema 7.- Si es finito, todos los estados no pueden ser transitorios, siendo todos los estados persistentes no nulos.

Teorema 8.-

Teorema 9.-

Teorema 10.-

Supongamos que tenemos una cadena finita. Veamos el procedimiento que vamos a seguir para calcular la matriz límite de una cadena de Markov:

1. Identificar los conjuntos cerrados e irreducibles, es decir, las distintas clases de estados persistentes.

2. Los restantes son los transitorios.

3. Estudiar la periodicidad de cada clase cerrada por separado.

Teorema 11.- Dada una cadena de Markov irreducible, consideramos el sistema:

Todos los estados serían recurrentes no nulos si y sólo si existe solución única de este sistema.

Teorema 12.- Si el sistema del teorema 10 no tuviese solución tenemos en siguiente teorema:

Aplicaciones del modelo de Markov

El modelo de Markov se aplica en el área de finanzas y economía en problemas como:

• Calificación de bonos

• Predicción del precio de acciones

• Negociación de activos derivados

• Predicción de quiebras

• Análisis del riesgo en la concesión de créditos

• Detección de oportunidades de arbitraje en los mercados financieros

• Estudio y predicción de índices económicos

• Instrumentos financieros infravalorados o sobrevalorados

• Cobertura de posiciones

• Optimización de carteras, etc.

Por ello el modelo Markoviano aplicado a estas áreas es una gran herramienta muy potente para el análisis de mercados financieros, con proyecciones al futuro.

En el área del personal de la empresa el método Markoviano nos ayuda a saber cuál es la probabilidad de que una persona según su edad ocupe un determinado puesto de trabajo.

El método de las cadenas de Markov consiste en emplear la información probabilística en el análisis de tendencias con el fin de predecir sus resultados.

Tienen diversas aplicaciones en los negocios, la sociología, las ciencias físicas y la biología. Por ejemplo en los negocios, las cadenas de Markov son útiles para el análisis de los datos referentes a la satisfacción de un cliente con un producto y para el efecto de la publicidad del producto, así como predecir qué sector del mercado el producto dominara finalmente.

• EJERCICIOS RESUELTOS

• 1. EJERCICIO

La Empresa de compra y venta de automóviles "Carlos Larrea" después de haber recogido datos durante varios años. Desea saber ¿Qué marca de vehículo preferirán este año? Sus clientes más frecuentes, tomando en cuenta la siguiente tabla.

PASO 1:

Después de analizar el ejercicio se procede a realizar la matriz de transición, pasando los valores dela tabla de la siguiente manera.

DONDE:

• P = Representa probabilidad

• C1 = Cliente uno

• C2 = Cliente dos

• F = Ford

• Ch = Chevrolet

Es decir que la matriz de transición quiere decir lo siguiente:

• Pc1F= 0,3 (La probabilidad de que el cliente uno compré un vehículo de marca Ford es del 0,3)

• Pc2F= 0,6(La probabilidad de que el cliente dos compré un vehículo de marca Ford es del 0,6)

• Pc1CH= 0,7 (La probabilidad de que el cliente uno compré un vehículo de marca Chevrolet es del 0,7)

• Pc2CH= 0,4 (La probabilidad de que el cliente dos compré un vehículo de marca Chevrolet es del 0,4)

PASO 2:

Después de haber analizado la matriz de transición el siguiente paso es realizar el diagrama de transición.

Como hay dos clientes y dos marcas de vehículos se traza dos círculos.

El diagrama de transición es una representación gráfica de la matriz de transición, es decir lo escrito pasa a ser representado en forma gráfica.

PASO 3:

Por ultimo después de realizar el diagrama de transición se realiza las probabilidades de estado de sistema.

Para una matriz de transición de 2×2 se plantean las siguientes ecuaciones:

ECUACIONES

Remplazamos las ecuaciones con los valores de la matriz de transición y los valores que no se conoce se deben despejar la ecuación.

Luego podemos escoger cualquiera de las 2 primeras ecuaciones para reemplazar lo que recién se despejo de la ecuación 3, en este caso escogeremos la ecuación número 1.

RESPUESTA

La probabilidad de que el cliente uno adquiera un vehículo de marca FORD es del 50% al igual que el cliente numero dos tiene una probabilidad del 50% de adquirir un vehículo de marca CHEVROLET.

Ejercicio

La empresa jurídica "ROMERO S.A" emplea tres tipos de abogados: subalternos, superiores y socios durante cierto año 10% de los subalternos ascienden a superiores y aun 10% se les pide que abandonen la empresa.

Durante un año cualquiera 5% de los superiores asciende a socios y un 13% se les pide su renuncia. Los abogados subalternos deben ascender a superiores antes de ser socios. Los abogados que no se desempeñan adecuadamente jamás descienden de su categoría, permanecen en su nivel o se les pide que renuncien.

• a) Cuál es la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a socio.

• b) Cuál es la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a renunciar.

• c) Cuál es la probabilidad de que un superior se convierta en socio.

• d) Cuál es la probabilidad de que un superior renuncie.

PASO 1:

Según la teoría primero identificamos la matriz Absorbente y no absorbente.

PASO 2:

Luego de haber identificado la matriz absorbente y no absorbente se procede a restar la matriz de identidad con la matriz no absorbente de la siguiente manera.

PASO 3:

Luego se procede a calcular la matriz inversa de la matriz fundamental.

PASO 4:

Para obtener la repuesta multiplicamos la Inversa de la Matriz Fundamental con los datos de la matriz principal (Matriz absorbente).

RESPUESTA:

• La probabilidad de que un abogado subalterno llegue a ser socio es del 14%.

• La probabilidad de que un abogado subalterno llegue a renunciar es del 86%.

• La probabilidad de que un superior llegue a ser socio es del 28%.

• La probabilidad de que un superior llegue a renunciar es del 72%.

• 2. EJERCICIO

En Ecuador existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son Claro, CNT y Movistar (estados).Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para Claro 0.4 para CNT 0.25 y para Movistar 0.35. (Estado inicial). Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de Claro tiene una probabilidad de permanecer en Claro de 0.60, de pasar a CNT 0.2 y de pasarse a Movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de CNT tiene una probabilidad de mantenerse en CNT del 0.5 de que esta persona se cambie a Claro 0.3 y que se pase a Movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de Movistar la probabilidad que permanezca en Movistar es de 0.4 de que se cambie a Claro de 0.3 y a CNT de 0.3.

• Hallar la probabilidad de que un usuario se permanezca en la misma operadora.

PASO 1:

Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.

PASO 2:

Se procede a realizar el diagrama de transición.

PASO 3:

La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1

Po= (0.4 + 0.25 + 0.35) = 1

PASO 4:

Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y así sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.

RESPUESTA:

• La probabilidad de que un usuario permanezca en la operadora Claro es de 43%

• La probabilidad de que un usuario se permanezca en la operadora CNT es de 32%

• La probabilidad de que un usuario se permanezca en la operadora Movistar es de 25%

• 3. EJERCICIO

Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi Cola y Big cola cuando una persona ha comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi Cola y un 10% de que compre Big Cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% Big cola; si en la actualidad consuma Big Cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre Coca Cola y 205 Pepsi Cola.

En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi y Big cola tienen los siguientes porcentajes de participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%)

• Elaborar la matriz de transición

• Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5

PASO 1:

Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.

PASO 2:

Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y así sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.

Nota: Estos ejercicios se pueden realizar en Excel utilizando la función de multiplicar matrices.

PASO 3:

Luego se procede a calcular las siguientes ecuaciones.

Entonces

Despejo X en (7)

RESPUESTA:

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo Coca Cola es del 20%.

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo Pepsi es del 28%.

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo Big Cola es del 52%.

• 4. EJERCICIO

Almacenes Mary Carmen, Charleston y Patrick han investigado la fidelidad de sus clientes y han encontrado los siguientes datos:

• Mary Carmen

• Charleston

• Patrick

Hallar el estado estable (L)

Según los resultados se pudo observar que el almacén que tiene mayor porcentaje de fidelidad de sus clientes es el Almacén Patrick con un 51.6%, seguido del Almacén Charleston con un 28.2% y finalmente el Almacén Mary Carmen con un 20%.

6. EJERCICIO

La empresa PRODELTA S.A. ha decidido lanzar al mercado un nuevo producto pero requiere conocer cuál será el monto porcentual en utilidades para el siguiente mes, debido a que necesita realizar inversiones acorde a las ganancias posibles. Determinando que si las ventas de este mes son altas la probabilidad de aumentar la utilidad para el siguiente mes es de 85%, si las ventas de este mes fueren bajas, la probabilidad de que la utilidad aumente para el siguiente mes es de 55%, es una cadena de Markov donde los estados posibles son los siguientes

Para la resolución del presente ejercicio vamos a seguir los siguientes pasos.

PASO 1

Estado 0 = Las ventas del producto aumentan

Estado 1 = las ventas del producto disminuyen

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Interpretación:

En la Empresa Prodelta S.A. en el lanzamiento del producto tiene la probabilidad de obtener una utilidad positiva de 79% y una pérdida de 21% en caso de que en el mes presente se obtenga utilidad, en caso contrario si la empresa tuviere una utilidad negativa el producto tiene la posibilidad de dar utilidad para el mes posterior de 71% y una probabilidad de tener perdida de 29%.

7. EJERCICIO

Teorema 1

Ejemplo

Dado la siguiente matriz regular, encontrar el vector fijo por el teorema para matrices regulares

Solución:

PASO 1:

PASO 2: Igualamos a cero:

PASO 3: Hacemos reducción por renglones obtenemos, sucesivamente:

PASO 4: Comprobación

8. EJERCICIO

El problema del jardinero tiene un total de 8 políticas estacionarias, como se muestra en la siguiente tabla y con respecto a esa información calcule cuánto es el ingreso que produce la política 2.

PASO 1:

PASO 2: Los cálculos de las probabilidades estacionarias se llevan a cabo con las ecuaciones

PASO 3:

SOLUCIÓN: La política 2 produce el mayor ingreso anual esperado. La política de largo plazo óptima requiere aplicar fertilizante sin importar el estado del sistema.

9. EJERCICIO

Teorema 8

10. EJERCICIO

Teorema 10

Sea P una cadena de Markov donde

Se observa que,

Calculamos R (matriz potencia):

De Acuerdo a lo anterior reemplazamos en la matriz potencial y esta nos quedaría así:

Entonces formamos la matriz F:

La matriz límite es de la forma,

Como resultado tenemos que:

Ejercicios propuestos

• 1. EJERCICIO

Un agente comercial de la empresa Plasticaucho realiza su trabajo en tres ciudades, Quito, Guayaquil y Cuenca. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad el día siguiente, si no tiene trabajo. Después de estar trabajando un día en Cuenca, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es de 0.4, la de tener que viajar a Guayaquil es de 0.4 y la de tener que ir a Quito es de 0.2. Si el viajante duerme un día en Guayaquil, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a Cuenca, mientras que irá a Quito con una probabilidad de 0.2. Por último, si el agente comercial trabaja todo el día en Quito, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad de 0.1, irá a Guayaquil con una probabilidad de 0.3 y a Cuenca con una probabilidad de 0.6.

• a) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

• b) Si hoy el viajante está en Cuenca, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en Cuenca al cabo de cuatro días?

RESPUESTAS

• El porcentaje de que el agente esté en Quito es 18.18 %, en Guayaquil= 31.82 % y en Cuenca= 50 %.

• La probabilidad de que esté en Cuenca y tenga que quedarse ahí al cabo de 4 días es aproximadamente es de 0.5008

• 2. EJERCICIO

En Quero hay tres supermercados (S. ROSITA, S. Loren"s y S. CACHITO), existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S. ROSITA, 1/3 al S. LOREN"S y un 5/12 al S. CACHITO de un total de 10 000 personas. Cada mes el S. ROSITA retiene al 90 % de sus clientes y pierde el 10 % que se va al S. LOREN"S. Se averiguó que el S. LOREN"S sólo retiene el 5 % y pierde el 85 % que va al S. ROSITA y el resto se va al S. CACHITO, el S. CACHITO retiene sólo el 40 %, pierde el 50 % que va al S. ROSITA y el 10 % va al S. LOREN"S.

• a) Establecer la matriz de Transición.

• b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?

RESPUESTA

• El mercado S. ROSITA después de dos meses tendrá una clientela del 81.55 %, el S. LOREN"S tendrá el 9.58 % y el S. CACHITO el 8.83 % del total de clientes.

• 3. EJERCICIO

La empresa DELTEX Industrial fabrica cobijas para las que hay 3 proveedores a internacionales de materia prima de polipropileno, nylon y poliéster. La empresa elabora el producto con cada una de las materias primas después de un proceso de producción.

Suponiendo que una cobija es elaborado con polipropileno, realizar una cadena Markov para determinar una probabilidad de que se fabrique con el producto de Nylon en los próximos dos procesos de producción.

RESPUESTA:

La probabilidad que se fabrique el producto con Nylon es del 0.62%

• 4. EJERCICIO

La Constructora Alvarado Ortiz ha ganado un contrato para construir una carretera que vaya desde Pelileo a Baños. Esta carretera ayudará a estudiar los efectos de la explosión volcánica de 1949. La compañía ha determinado que el polvo volcánico obstruirá los filtros de las máquinas con mucha rapidez y provocará que los camiones dejen de funcionar. Los filtros se revisan todos los días y se clasifican como recién limpiados, parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias anteriores han demostrado que un filtro que se acaba de limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de permanecer limpio, una probabilidad de 0.8 de quedar parcialmente obstruido y una probabilidad de 0.1 de quedar totalmente obstruido. Un filtro que ya está parcialmente obstruido tiene una probabilidad de 0.5 de permanecer en el mismo estado y una probabilidad de 0.5 de quedar totalmente obstruido. Para poder utilizar un camión que tiene un filtro totalmente obstruido éste se debe limpiar primero.

• a) Elabore una matriz de transición para este problema.

• b) Si un camión deja de operar, esto le cuesta a la compañía $100 por el tiempo perdido y $20 para limpiar el filtro. ¿Cuánto le costará a la compañía seguir una política de no limpiar filtros sino hasta que se detengan los camiones?

RESPUESTA

Le costará a la compañía $30.852 seguir la política de no limpiar filtros sino hasta que se detengan los camiones.

• 5. EJERCICIO

El ascensor del Consejo Provincial de Tungurahua con planta baja y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten de la planta baja se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en la planta baja. Se pide:

• Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.

• Dibujar el grafo asociado.

• ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos?

RESPUESTA

La probabilidad de que se encuentre en la planta baja es 0.47, en el piso 1 es de 0.2352 y en el piso 2 es de 0.2941.

• 6. EJERCICIO

Los consumidores de café de las cafeterías de la ciudad de Ambato usan tres marcas SI CAFÉ, CAFÉ PRES 2, BUEN DÍA. En marzo del 2013 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron:

• a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿Cuál será la distribución del mercado de café en las cafeterías de la ciudad de Ambato en el mes de junio?

• b) A la larga, ¿Cómo se distribuirán los clientes de café?

RESPUESTA

A la larga, la distribución del mercado será: la marca SÍ CAFÉ tendrá el 23.8 % del mercado, CAFÉ PRES 2 tendrá el 47.61 % y CAFÉ BUEN DÍA tendrá el 28.57 %.

• 7. EJERCICIO