Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90 % de que siga comprándola a la vez siguiente. Si una persona toma Pepsi, hay un 80% de que repita la vez siguiente.
a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de ahora?
b) Si una persona actualmente es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora?
c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?
RESPUESTA
Hay una probabilidad del 34% de que pasadas dos compras consuma Coca Cola.
Hay una probabilidad del 78.1 % de que pasadas tres compras consuma Coca Cola.
Hay una probabilidad del 64.38 % de que pasadas tres compras un comprador consuma Coca Cola.
8. EJERCICIO
Una tienda de departamentos regional y grande, MITULA S.A, tiene un plan de crédito en sus tiendas. Cada mes se clasifican esas cuentas en cuatro categorías: saldadas, con saldo insoluto, con saldo vencido y como cuenta perdida. Las cuentas saldadas son las que no tienen saldo a pagar en el mes; las cuentas con saldo insoluto son las que no adeudan saldos en el mes anterior, pero les han cargado compras realizadas en el mes; las cuentas vencidas son las que tienen un saldo que ha permanecido sin pagarse durante más de un mes, pero menos de tres. Por último, las cuentas pérdidas son las que tienen un saldo con más de tres meses de vencido y que no se espera poder cobrar.
De los registros de la tienda, se ha determinado que el 60% de las cuentas con saldo insoluto se pagan al siguiente mes, 30% permanece en la misma categoría y 10% se convierte en saldo vencido. También se ha determinado que el 40% de las cuentas vencidas se convierten en saldos insolutos, 30% se pagan, 20% permanecen vencidas y 10% se cancelan como cuentas perdidas. Una vez que una cuenta llega a la categoría de perdida, se cancela. De manera similar, una vez que una cuenta pasa a la categoría de saldada, ese dinero ya no es parte de las cuentas por cobrar.
a) Escriba la matriz de transición para este problema.
b) Si en la actualidad existen $100.000 de las cuentas por cobrar en la categoría de saldadas, $50.000 en la categoría de saldo insoluto, $20.000 en la categoría de saldos vencidos y $5.000 en la categoría de cuentas perdidas, ¿qué cantidad habrá en cada categoría al mes siguiente? ¿Y al mes después de éste?
RESPUESTA
Se pueden resumir los resultados:
9. EJERCICIO
Una maestra de matemáticas, no queriendo parecer predecible, decide asignar las tareas basándose en probabilidades. El primer día de clases, dibuja este diagrama en el pizarrón para decir a los estudiantes, si en la próxima clase les espera una asignación completa (C), una asignación parcial (P) o sin asignación (N).
Construir y etiquetar la matriz de transición correspondiente al diagrama.
a) Si los estudiantes tienen hoy una asignación completa, ¿cuál es la probabilidad de que tengan una asignación completa de nuevo la próxima clase?
b) Si hoy no tienen asignación, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan una asignación de nuevo la próxima clase?
c) Hoy es miércoles y los estudiantes tienen una asignación parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que no tengan tareas el viernes?
d) La matriz A es la matriz de transición para un día. Encontrar la matriz de transición para dos días (por ejemplo, si hoy es lunes, ¿cuáles son las oportunidades de cada clase de asignación el día miércoles?).
e) Encontrar la matriz de transición para tres días.
f) Si no se tienen tareas este viernes, ¿cuál es la probabilidad de que no se tengan tareas el próximo viernes? (considerar sólo cinco días de escuela a la semana). Dar respuesta exacta para dos decimales.
RESPUESTAS
Los resultados son:
x = 0.4888839
y = 0.33330357
z = 0.180804
10. EJERCICIO
En la industria de la cerveza lidera, tres marcas comparten aproximadamente el 75 % de todas las ventas; la Pilsener, Club Verde y Budweiser. Estas tres marcas compiten de forma intensa por los clientes de la cerveza ligera. En tiempos recientes, la Pilsener hizo que una agencia externa llevara a cabo un estudio sobre la forma en que los clientes estaban reaccionando a los anuncios. Los resultados del estudio mostraron que después de tres meses, el 50 % de los clientes de la Pilsener seguían prefiriendo la Pilsener, el 30 % preferían la Club Verde y el 20 % preferían la Budweiser. De los clientes de la Club, el 60 % seguían prefiriendo la Club Verde, el 30 % preferían la Pilsener y el 10 % preferían la Budweiser. De los clientes de la Budweiser, 40 % seguían prefiriendo su marca, 30 % preferían la Pilsener y el 30 % preferían la Club.
a) Elabore la Matriz de Transición para este problema de cambios de marca.
b) Determine el porcentaje de estado estacionario de los clientes que prefieren cada tipo de cerveza.
RESPUESTA
En el largo plazo, el 37.5 % preferirán Pilsener, el 42.857 % Club Verde y el 19.64 % Budweiser.
11. EJERCICIO
Una vez terminado el censo realizado en el cantón salitre se determinó que existen 10,000 habitantes, de los cuales 5000 personas no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes?
| 0 | 1 | 2 |
0 | 0.93 | 0.05 | 0.02 |
1 | 0.10 | 0.80 | 0.10 |
2 | 0.05 | 0.10 | 0.85 |
RESPUESTA:
Después de un mes habrá:
No Fuman = 5025,
Fuman uno o menos de un paquete diarios = 2500,
Fuman más de un paquete diario = 2475
12. EJERCICIO
La tienda "BROTHERGAMES" dedicada a la renta de Videojuegos tiene tres locales en la ciudad de Ambato. Un videojuego puede ser rentado en cualquiera de los tres locales y regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios que muestran que los Videojuegos son rentados en un local y devueltos de acuerdo con las probabilidades dadas por:
Suponga que el 20% de los videos son rentados inicialmente en el local 1, el 50% en el local 2 y el 30% en el local 3. Encuentre los porcentajes que puede esperarse sean devueltos en cada local, después de:
a) Una renta
b) Dos rentas
RESPUESTA
13. EJERCICIO
Para que Juanito Pérez pueda ingresar a trabajar en la empresa Konami S.A deberá pasar la prueba que consiste hacer un peinado de zona en 3 ciudades A, B y C, para evitar perder el tiempo entre el desplazamiento de ciudad en ciudad decide hacer el peinado de zona por día. Después de un día de trabajo en la ciudad C, la probabilidad de tener que trabajar en la misma ciudad al día siguiente es de 0.4, la de tener que viajar a B es de 0.4 y la de tener que ir a la ciudad A es de 0.2. Si el viajero duerme un día en B, con probabilidad de un 20%, tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajara a C, mientras que irá a la ciudad A con probabilidad de 0.2 por último si el aspirante a vendedor trabaja todo un día en A permanecerá en esa ciudad al mismo siguiente con una probabilidad del 0.1, irá a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6.
a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días?
b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las 3 ciudades?
RESPUESTA
La matriz de solución P es la siguiente para el orden A,B,C
14. EJERCICIO
El valor de una acción fluctúa día con día. Cuando la bolsa de valores se encuentra estable, un incremento en un día tiende a anteceder una baja el día siguiente, y una baja por lo regular es seguida por un alza. Podemos modelar estos cambios en el valor mediante un proceso de Markov con dos estados, el primer estado consistente en que el valor se incrementa un día dado, el segundo estado definido por la baja. (la posibilidad de que el valor permanezca sin cambio se ignora) suponga que la matriz de transición es la siguiente:
Si el valor de la acción bajó hoy, calcule la probabilidad de que se incremente 3 días después a partir de ahora.
RESPUESTA:
El valor de la acción en 3 días se incrementara en un 0.36%
15. EJERCICIO
Se analizó en la ciudad de Ambato el número de estudiantes que se cambió de una escuela a otra durante su periodo lectivo. En promedio, Escuela La Salle, fue capaz de retener 65% de sus estudiantes inscripto originalmente. Sin embargo, 20% de los estudiantes que al princip9i se inscribieron en ella se fueron a la escuela Pensionado La Merced y 15% a la escuela Juan Montalvo. de esta dos La Merced : 90% de sus estudiantes se quedaron hasta terminar totalmente el año lectivo el rector de la escuela La Salle estima que la mitad de los estudiante que abandona la escuela Pensionado La Merced entran a la escuela La Salle y la otra mitad a la escuela Juan Montalvo. Esta última pudo retener el 80% de sus estudiantes después que se inscribieron. Por otra parte, 10% de los estudiantes originalmente se cambiaron al Pensionado La Merced y el otro 10% se inscribió en la Salle.
Actualmente, La Salle tiene 40% del mercado. Pensionado La Merced, tiene 35% de mercado. La participación de mercado restante (25%) consiste en estudiantes que asisten a la escuela Juan Montalvo.
Al rector de la escuela La Salle de gustaría determinar la participación de mercado que tendrá la escuela el próximo año. La matriz de transición está dada por:
16. EJERCICIO
La UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO administra exámenes de competencia cada semestre. Estos exámenes permiten a los estudiantes extender la clase de introducción a la computación que se imparte en la Universidad. Los resultados de los exámenes pueden clasificarse en uno de los siguientes cuatro estados:
Estado 1: aprobación de todos los exámenes de cómputo y exención del curso
Estado 2: no se aprueba todos los exámenes de cómputo en el tercer intento y se requiere tomar el curso
Estado 3: reprobar los exámenes de cómputo en el primer intento
Estado 4: reprobar los exámenes de cómputo en el segundo intento
El coordinador de los exámenes del curso ha notado la siguiente matriz de probabilidades de transición:
1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0.8 | 0 | 0.1 | 0.1 |
0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.2 |
RESPUESTA
(231; 19)
Como puede observarse, la matriz consta de dos números. El número de estudiantes que exentará es de 231. El número de alumnos que finalmente tendrán que tomar el curso es de 19.
17. EJERCICIO
El departamento de marketing de INDUSTRIAS CATEDRAL S.A ha realizado un estudio de mercado en el año 2013 donde se estima que el 10% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 45% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1.000 individuos, 200 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses?
A continuación se muestra la siguiente matriz de transición:
RESPUESTA
El primer mes comprarán C=540 personas y no comprarán N=460 personas.
El segundo mes comprarán C=693 personas y no comprarán N= 307 personas.
18. EJERCICIO
Los sectores económicos del Ecuador se pueden dividir en 3 clases: Primario, Secundario y Terciario. Actualmente el 30% de las empresas pertenecen al sector Primario, el 40% al sector Secundario, y el 30% pertenecen al sector Terciario. La matriz de transición de un año al siguiente es:
Donde:
S.P= Sector Primario
S.S= Sector Secundario
S.T= Sector Terciario
Preguntas: Encuentre los porcentajes de los tres tipos Sectores Económicos: a) para el año próximo, b) dentro de 2 años.
RESPUESTA
19. EJERCICIO
La empresa "Creaciones Loren´s" produce dos tipos de buzos, buzos de talla S y buzos de talla M. El gerente de la empresa se ha dado cuenta que cada seis meses, los buzos de talla S permanece en bodega un 40%, 10% se vende a $20 c/u, 30% no han salido defectuosos (es decir se mantienen en la talla S) y 20% han salido defectuosos (es decir se acercan a la Talla M). Los buzos de talla M un 50% se han vendido en $50, 20% en $30 y 30% no han salido defectuosos.
ESTADOS:
BS: Buzos de talla Small
BM: Buzos de talla Medium
B: Permanecen en Bodega
V: Vendidos
BS | BM | B | V | |
BS | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
BM | 0 | 0,3 | 0 | 0,7 |
B | 0 | 0 | 1 | 0 |
V | 0 | 0 | 0 | 1 |
a) ¿Cuantos se mantiene en la talla S (sin defectos)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los buzos permanezcan en bodega antes de ser vendidos?
RESPUESTA
1.423 buzos no saldrán defectuosos
57% de probabilidad de que los buzos permanezcan en bodega antes de ser vendidos
20. EJERCICIO
Una estudiante está preocupada por su auto, pues no le gustan las abolladuras. En la escuela puede estacionarlo en la calle en un espacio, en dos espacios o en el estacionamiento.
El estacionamiento le cuesta $5, pero no lo abollarán. Si lo abollan y lo lleva a reparar, se queda sin auto 1 día y el costo asciende a $50 por la reparación y el transporte en taxi. También puede manejar su auto abollado, pero piensa que la pérdida del valor y su orgullo equivalen a un costo de $9 por día de escuela. Desea determinar la política óptima para estacionarse y repararlo o no si lo abollan a fin de minimizar su costo promedio esperado (a largo plazo) por día de escuela.
RESPUESTA:
Los estados posibles del automóvil son abollado y no abollado.
Cuando el automóvil no este abollado, estacionarlo en un espacio en la calle. Cuando este abollado, llevarlo a reparación.
Bibliografía
FREDERICK S. HILLER, GERALD J. LIEBERMAN, Introducción a la Investigación Operativa, 9na edición, Mc Graw Hill.
GIL ALUJA J.; (1967); El Estudio Dinámico De La Elección De Inversiones; Técnica Contable; Pág. 41-50 y 66.
HERNÁNDEZ, B; (2000); Bolsa y estadística bursátil; España; Editorial-Díaz De Santos S.A; Pág. 29.
JOHNSON David B, MOWRY Thomas A. Matemáticas finitas: aplicaciones prácticas. Año 2000. Editorial Thomson. pág. 340
LÓPEZ E.; Departamento De Dirección Y Economía De La Empresa; España; Campus de vegazana; Pág. 355 – 356
RENDER BARRY, STAIR RALPH, HANNA MICHAEL, (2006). Métodos Cuantitativos para los Negocios; México Novena Edición, Pearson.
Autor:
Ludovico Sforza
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