Diferentes fallas y métodos de cálculo de tensiones en engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico (página 2)

Tabla 4. Valores del Factor de Lewis según el método de Faires

3. Finalmente se iguala la carga dinámica a la carga de desgaste y se despeja el ancho necesario. Fd = Fw.

Fw = Dp . b . Q . kg

Donde:

Dg – Diámetro primitivo del la rueda, cm.

Dp – Diámetro primitivo del piñón, cm.

b – ancho de los dientes , cm.

kg – Factor del material.

s – tensión admisible a contacto, en kg/cm2.

f – ángulo de presión.

Ep, Eg – módulo de elasticidad en kg/cm2 del piñón y la rueda respectivamente.

De los anchos de cara obtenidos por la ecuación de Lewis y por la ecuación del desgaste se toma el mayor.

5.4- Método de cálculo según Moya.

Según Moya, la condición de resistencia de una pareja de engranajes plásticos está dada por la siguiente expresión:

Donde:

[s] – Tensión admisible del material, según tabla 5 en MPa. F – Fuerza tangencial aplicada sobre el diente, en Newton. Cs – Factor de servicio, según tabla1.

Y – Factor de Lewis, según tabla 2. m – Módulo, en mm.

b – Ancho del diente, en mm. n – Factor de seguridad.

s – Tensión actuante en el pie del diente, en MPa.

Tabla 5- Valores de la tensión admisible, en MPa.

El factor de seguridad se puede tomar entre 1 y 1,7 según la experiencia de los autores. Los valores mayores se toman para las aplicaciones de mayor potencia y temperatura.

5.5- Método de cálculo según Carboplast.

Para obtener el ciclo de vida de un piñón fabricado en PROLON, se calcula el esfuerzo básico admisible en la raíz del diente empleando para ello una modificación de la fórmula de Lewis.

Después se fija el valor calculado en el eje vertical de la Figura 6, se lee su proyección en el eje

horizontal de acuerdo al módulo específico del piñón y se determina el ciclo de vida en función de los esfuerzos, los cuales pueden convertirse, de acuerdo a la velocidad, en tiempo de vida esperada.

Si el torque a transmitir es el factor que se conoce, entonces el esfuerzo admisible se calcula por la siguiente expresión:

Y si la potencia es el factor conocido, entonces se calculará por:

Donde:

S – Esfuerzo admisible en el diente en Kgf/cm2. T – Torque transmitido por el piñón en Kgf/cm2.

PD – Diámetro primitivo del piñón en mm

M – Módulo de la transmisión en mm

F – Ancho de la cara del diente en mm.

Y – Factor de forma del diente, según la figura 7.

C1 – Factor de corrección de operación, según figura 8

C2 – Factor de corrección de temperatura, según figura 9. HP – Potencia transmitida por el piñón en HP.

N – Velocidad del piñón en rpm.

La velocidad lineal usada para determinar C1 en la figura 8 se determina por la siguiente expresión:

Figura.6 – Máxima resistencia a la flexión vs. Ciclos de vida.

Figura 7 – Factor de forma del diente "Y" para varios perfiles del diente.

Figura 8 – Factor de corrección C1 por condiciones de operación.

Figura 9. Factor de corrección C2 por condiciones de temperatura.

5.6- Método de cálculo según DSM.

La firma DSM plantea los métodos de cálculo de resistencia en base a la sustitución de engranajes

Metálicos por engranajes plásticos de Nylatron- Nylon. Plantean que aunque el Nylon tiene una resistencia significativamente más baja que los metales, debido a que con su uso se puede reducir la fuerza de fricción y la de inercia y esto ligado a su valor de resiliencia entonces se puede hacer la sustitución directa, especialmente para engranajes construidos de metales no ferrosos, hierro fundido y aceros blandos.

Los métodos de evaluación de la utilización de engranajes plásticos son:

1- Método para el reemplazo de engranajes metálicos.

2- Método para equipamiento nuevo, diseñado cuando se conoce la potencia y el torque o se pueden estimar.

Ambos métodos fueron desarrollados usando datos de resistencia a la fatiga y la máxima resistencia a la flexión de los dientes de engranajes plásticos elaborados por DSM. (Ver figura 10). Estos valores deben ser corregidos de acuerdo a cuatro factores que tienen en cuenta lo siguiente:

• La resistencia del material y la presencia o ausencia de lubricación.

• La velocidad de la línea de paso.

• La vida de servicio requerida

• La temperatura ambiente bajo las condiciones de servicio.

Figura 10. Tensiones de flexión máximas en el diente en función de los ciclos de vida para engranajes de Nylon

Método 1: Reemplazo y existencia de engranajes metálicos.

Paso 1: Localizar el valor del factor de corrección por la aplicación y material elegido. Cs- Factor de corrección por tiempo de vida, según la figura 11.

Cv- Factor de corrección de velocidad, según la figura 12.

Cm- Factor de corrección para la resistencia del material, según la tabla 6

Ct- Factor de corrección por efecto de la temperatura.

Figura 11. Factor de corrección por tiempo de vida

Figura 12. Factor de corrección de velocidad.

Tabla 6. Factor de corrección por la resistencia del material.

Si, T = Temperatura ambiental, Ct = 1.

Si, Temperatura ambiental < T < 2000 F, entonces:

Donde:

a = 0.022 para Nylatron GSM, Nylatron NSM y MC Nylons.

a = 0.022 para Nylatron GS, Propileno Nylon 101.

a = 0.022 para Acetron GP Acetal

Paso 2: Calcular el torque máximo y potencia máxima para la transmisión por engranajes plásticos que va a servir como sustituta, para ello puede usarse la siguiente ecuación que no es más que la ecuación de Lewis.

Donde:

Tmáx- Torque máximo en ( lb ). Dp- Diámetro de paso ( pulg ).

f- Ancho de la rueda ( pulg ).

y- Factor de forma del diente. P- Diametral pitch.

n- Velocidad angular en ( rpm ). Hmáx- Potencia máxima en ( hp ).

6. Validación de los métodos a través de un ejemplo de cálculo de una transmisión por engranajes de plásticos sin corrección.

6.1 Datos de cálculo.

Con la intención de comparar los resultados del cálculo de tensión en la base del diente por las diferentes metodologías esbozadas anteriormente se procede a calcular, en una primera fase, las características geométricas de una transmisión de engranajes cilíndricos de dientes rectos, después

se comprueba si para ese caso específico se pueden emplear engranajes plásticos y si es afirmativo, entonces por último se calcula la tensión por cada metodología.

Como datos auxiliares e hipotéticos se asume una transmisión por engranajes con las siguientes características:

W = 5 Kw. ha* = 1 b=25,4mm

n1 = 890 rpm c =0.16

m = 4

ac = 20º

6.2- Cálculo geométrico.

a) Puede asumirse que la distancia entre centros es de 250 mm: Entonces:

y partiendo de ello llegar a:

b) Teniendo en cuenta este producto se selecciona m = 4 y se calculan zp y zc:

c) Cálculo del diámetro de paso:

dp1 = m.zp = 100

dp2 = m.zc = 400

d) Cálculo del diámetro básico:

do = dp.cosac

do1 = dp1.cos 20° = 93.97 do2 = dp2.cos 20° = 375.88 e) Altura del diente:

h = m.(2.ha * +c – ?y)

?y = xS – y

Sustituyendo: h = 8,64

f) Cálculo del diámetro interior:

di = dp – 2.m.(ha * +c – x)

di1 = dp1 – 2.m.(ha * +c – x) = 90.72 di2 = dp2 – 2.m.(ha * +c – x) = 390.72 g) Cálculo del diámetro exterior:

de = di + 2.h

de1 = di1 + 2.h = 108

de2 = di2 + 2.h = 408

6.3- Análisis de la posibilidad del uso de engranajes plásticos para la transmisión.

Una vez realizado el cálculo geométrico se comprueba si en la transmisión pueden emplearse engranajes plásticos.

I. Cálculo de la fuerza tangencial:

Sustituyendo valores en M2 :

M 2 = 214.64 Nm

Y por consiguiente:

Ft = 1073.03N

II. Comprobación de la posibilidad de utilización de engranajes de plástico en esta transmisión:

X = (D 2 · F · n)+ (115 · H · Z )

Donde:

D – Diámetro del engranaje, en pulgadas. F – Ancho del diente, en pulgadas.

n – Velocidad de la rueda, en rpm. H – Potencia trasmitida, en HP.

Z – Número de dientes de engranaje.

Si X es:

1 ó mayor – Se recomienda el uso del plásticos, específicamente de la firma Nylamid.

0,722 a 1 – El engranaje plástico funciona adecuadamente

0,445 a 0,721 – El engranaje tiene pocas propiedades para funcionar adecuadamente. Menos de 0,445 – No debe usarse el plástico para reemplazar el metal.

Partiendo de los datos iniciales y del cálculo geométrico: D = 3.94 pulg. H = 6.71 HP

F = 1 pulg. Z = 25 n = 890 rpm

Sustituyendo en la expresión anterior: X = 33107.25

Por lo tanto como el resultado es mucho mayor que la unidad se pueden utilizar engranajes de plástico en esta transmisión

6.4- Cálculo de tensiones según el método de Dvorak:

El método empleado por Dvorak para calcular las tensiones de flexión en la base del diente para engranajes plásticos tiene en cuenta el régimen de trabajo de la transmisión, la geometría del diente y las condiciones de servicio. Haciendo uso de la ecuación:

Cs se selecciona a través de la tabla 1 asumiendo que la transmisión trabaja de 8-10 h y que tiene un tipo de carga constante.

Cs = 1

Y se determina a través de la tabla 2: Y = 0.342

La velocidad en el polo puede calcularse a través de la siguiente ecuación:

Y a su vez P:

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Dvorak: S = 6883 lb/pulg2 = 47.45 MPa

6.5- Cálculo de tensiones Según el método de Kelley:

Kelley en su metodología para el cálculo de tensiones de flexión de engranajes plásticos tiene en cuenta solo la geometría, en forma y dimensiones, del diente y la carga a la cual está sometido. A través de la ecuación que a continuación se enuncia:

Se tiene que:

F = 1073.03 N = 241.23 lb

Y sustituyendo los valores ya obtenidos:

s = 4478.78 lb/pulg2 = 30.88 MPa

6.5- Cálculo de tensiones según el método de Faires:

En la metodología propuesta por Faires se considera que sólo la carga, teniendo en cuenta el efecto dinámico, y la forma del diente tienen influencia sobre la tensión en la base del diente.

Este método contempla los siguientes cálculos:

1. Primeramente se calcula la carga dinámica a través de la ecuación:

Se tiene que:

V = 301.97 m/min

Ft = 109.42 Kg

Entonces sustituyendo en 3.3: Fd = 291.01 Kg

2. Esta carga dinámica posteriormente se iguala a la carga actuante y se obtiene la ecuación:

Entonces se puede despejar S.

Teniendo en cuenta que Y = 0.58 por la tabla 4 y sustituyendo los valores en S: S = 493,67 Kg/cm2 = 48.41 MPa

6.7- Cálculo de tensiones según el método de Moya:

La condición de resistencia de una pareja de engranajes plásticos está dada por la ecuación siguiente y tiene en cuenta la geometría de la pieza, el régimen de trabajo y las condiciones de servicio:

Con los datos del problema, y tomando n=1,5 se obtiene:

s = 46,3217 Mpa

6.8- Método de cálculo según el método de Carboplast.

Para obtener el ciclo de vida de un piñón fabricado en PROLON, se calcula el esfuerzo básico admisible en la raíz del diente empleando para ello una modificación de la fórmula de Lewis.

Fijando el valor calculado en el eje vertical de la Figura.6, se lee su proyección en el eje horizontal de acuerdo al módulo especifico del piñón y se determina el ciclo de vida en función de los esfuerzos, los cuales pueden convertirse, de acuerdo a la velocidad, a tiempo de vida esperada. Se calcula PLV a través de la ecuación:

PLV = 4.6 m/s

Se tiene que: HP = 6.71 hp. F = 25.4 mm.

Y = 0.575, por la figura 7. C1 = 1.45, por la figura 8. C2 = 1.30, por la figura 9.

Por lo tanto sustituyendo en la ecuación:

S = 352.74 kgf/cm2

S = 34.59 Mpa

7. Cálculo de la Tensiones mediante el Método de los elementos finitos (MEF).

7.1 Consideraciones previas.

Antes de comenzar a resolver un problema mediante cualquier programa de Elementos Finitos conviene reflexionar sobre una serie de puntos.

¿Qué se pretende con el análisis?

Determinar tensiones, obtener distribuciones de temperatura, ver cómo evoluciona el sistema, calcular frecuencias y modos propios, etc. Esta pregunta determinará el tipo de análisis a realizar.

¿Cómo va a ser la geometría que se va a analizar?

Seguramente se conoce la geometría real del problema, pero a la hora de realizar su análisis se debe simplificar al máximo en función del objetivo del análisis, ya que la mayoría de los detalles son

superfluos y lo único que conllevan es un consumo excesivo de tiempo de cálculo y de espacio de

almacenamiento. Para ello se debe buscar posibles simetrías, antisimetrías, axisimetrías del problema, problemas de tensión o deformación planas, eliminación de detalles superfluos: radios de acuerdo, entallas, etc. Una vez estudiada la geometría se puede decidir el o los tipos de elementos a utilizar, las características de los mismos, así como las propiedades de él o los materiales (módulo de elasticidad, conductividad, etc.) a emplear.

¿Qué condiciones de contorno se impondrán sobre el sistema a estudiar?

Las condiciones de contorno, aunque conocidas, se debe estudiar si son o no importantes o influyentes en el tipo de análisis que se va a realizar (puede darse el caso, por ejemplo, de que el sistema esté sometido a un cambio brusco de temperatura, pero que se desee realizar un análisis

nodal para conocer sus frecuencias naturales, en cuyo caso el resultado es independiente de esta

condición). Una vez decididas las condiciones de contorno hay que estudiar la forma de aplicarlas, si representan las condiciones reales del problema, si existe equilibrio (en el caso de que sea un análisis estático), etc.. La imposición de condiciones de contorno apropiadas es una de las decisiones más complejas a la hora de realizar un análisis por elementos finitos.

¿Qué resultados se espera obtener?

Para poder saber si se ha realizado correctamente el análisis o si representa bien la realidad, se debe tener una idea de cómo va a responder. Por ejemplo, si se está analizando una tubería sometida a presión interior y los resultados indican que disminuye el radio entonces hay que darse cuenta de que se ha modelado mal el sistema, bien en la aplicación de las cargas, en el mallado, etc.

Una vez establecidos estos puntos se está en disposición de realizar el Análisis por Elementos

Finitos.

7.2- Cálculo de tensiones de flexión en el diente del piñón a través del MEF.

Tomando como guía la metodología del epígrafe anterior se calculan las tensiones que se generan en el diente del piñón.

7.2.1 – Modelo usado.

Para el cálculo se tiene en cuenta la transmisión por engranajes que a manera de ejemplo se viene analizando por los diferentes métodos, donde el piñón, que es el objetivo, tiene los siguientes parámetros:

Número de dientes: Z = 25

Módulo: m = 4

Ancho: b = 25.4mm ha* = 1

c =0.16

ac = 20º

Con estos datos y utilizando el Mechanical Desktop, por las facilidades que brinda para el diseño en

3D, se dibuja el piñón (figura 13 a). Como se puede observar, el piñón tiene una configuración simétrica y por tanto, para realizar el análisis a través Cosmos Design Star se puede utilizar la geometría de un diente (figura 13 b) con el objetivo de simplificar los cálculos.

Figura.13 a: Modelo del piñón que se está evaluando

Figura.13 b: Modelo de un diente del piñón

Una vez concebida la configuración que va a ser objeto de análisis, se exporta para el Cosmos

Design Star y se continúa con el procedimiento.

Se genera automáticamente la malla, y se introduce como material Nylon 6/10

7.2.2- Condiciones de contorno

Derivado de las condiciones de apoyo de la rueda se restringen los seis grados de libertad de movimiento en el área correspondiente al diámetro interior y producto del corte de una parte del

volumen de la pieza se restringen los dos de movimiento transversal en el área sobre los planos de corte. La fuerza tangencial actuante sobre el diente resulta ser de 1073 N, según el cálculo, y se coloca en la arista superior, perteneciente al diámetro exterior, teniendo en cuenta que a la entrada del engrane entre los dientes es cuando se produce el mayor momento flector en la base del diente.

7.2.3- Resultados del cálculo.

Una vez que todas las condiciones están dadas se pueden apreciar los resultados del comportamiento de las tensiones en todo el volumen del diente (figura 14) y en la figura 15 se hace un detalle de una zona de la base del diente (Detalle I), que según se observa es la más cargada.

El resultado de esta tensión, la máxima en la base del diente, es aproximadamente 48.17 MPa.

Figura 14. Resultado del cálculo de tensiones por el método de los elementos finitos a través del Cosmos Design Star

Figura 15: Detalle de la Zona I.

8- Comparación entre los resultados del MEF y los diferentes Métodos.

Con el objetivo de comparar los resultados se determina cuanto representa cada resultado obtenido en el epígrafe 3.6 con respecto al valor obtenido a través del MEF (Tabla 7):

Tabla 7: Resumen de resultados con respecto al MEF.

Conclusiones:

? La selección adecuada del material plástico para fabricar una pareja de engranajes es un aspecto decisivo y al cual el diseñador debe prestar cuidadosa atención

? Las fallas de los engranajes plásticos tienen un carácter muy similar a las de los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos hay que tener en cuenta aspectos tan importantes como la elevación de la temperatura y el ablandamiento y deformación del material. La falla esencial de los engranajes plásticos es la fractura de los dientes y por tanto los métodos existentes en la literatura están encaminados a prevenir dicha falla. Existen varios métodos reportados oficialmente para calcular engranajes plásticos, sin embargo todos ellos se basan en la ecuación original de Lewis para el cálculo a flexión.

? En los engranajes plásticos la geometría juega un papel fundamental, ya que se pueden hacer modificaciones que no siempre se pueden hacer en los engranajes metálicos.

? Existen diferentes métodos de cálculo para determinar las dimensiones de los engranajes plásticos en función de la solicitación de potencia, arrojando resultados diferentes en para cada método. Los métodos más precisos son el de Dvorak, el de Faires y el de Moya

? El uso de las correcciones del dentado podría alargar considerablemente la vida de los engranajes plásticos, esencialmente aumentando la resistencia a la flexión que es la falla fundamental.

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Autor:

Dr. Jorge Laureano Moya Rodríguez

Ing. Tito Roberto Vilchez Vilchez Dr. José Alberto Velázquez Pérez Dr. Rafael Mestizo Cerón