2. Se usa la función fft con múltiplos de dos por ejemplo : 2, 4, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, etc.
3. La frecuencia de adquisición de datos debe ser por lo menos el doble de la frecuencia más alta en la señal.
4. Agregar ceros a la señal no afecta a la transformada de Fourier pero si da más resolución a la gráfica pero que pasa si agrego una señal que no sea de la forma sin(wt)+sin(wpt).
Apliquemos la transformada de Fourier a la onda en forma de sierra con f = 10 Hz
Fíjate que la frecuencia fundamental es el pico de mayor amplitud que es 10 Hz claro tiene sentido si nuestra función tiene una f = 10 Hz , los otros picos representan armónicos. Pero ¿qué son los armónicos?
3.2 Sonido
La señal de sierra puede ser la representación del sonido produce un violín. Si tocamos otros instrumentos musicales la forma de la onda sería diferente. Sin embargo el oído escucharía la frecuencia fundamental de 10 hz más los harmónicos como los dos instrumentos producen la misma frecuencia fundamental para la misma nota deberán escucharse casi igual y se dice tiene un "pitch" idéntico. Como la amplitud de los armónicos es diferente el sonido no es idéntico y se dice tienen diferente "timbre". A pesar que el piano solo puede reproducir 20% de las frecuencia el ser humano puede escuchar (4Khz a 20 Khz) puede producir más del 70% de la información los humanos pueden percibir ( 7 de 10 octavas ) en la vida real no podemos usar la transformada de Fourier eficientemente ya que en su dominio aparecen un montón de armónicos y frecuencia. En ese caso podemos implementar filtros digitales y análogos.
3.3 Serie de Fourier
Esta es la serie de Fourier. Resolvamos la solución para la función de tipo sierra.
sustituyendo el valor de bn en la ecuación (1)
como la funcion f(x) = x es impar el valor de los coeficientes ""an"" es igual a cero. "L" representa el periodo de la onda y ""A" es la amplitud. Ejemplo: Genera una función tipo sierra usando la ecuación (6). Amplitud = 5 y una frecuencia de 2 Hz y desarrolla los primeros 10 términos de la serie.
Fíjate que en matlab no podemos usar esta técnica por las siguientes razones
• no tenemos un espacio ilimitado de memo- ria para extender la serie hasta infinito
• las variables son discretas
• no conocemos la función f(x) represente nuestros datos
En la vida real solo trabajamos con datos numéricos. En ocasiones es imposible generar una interpolación y definir una función f(x). eso es la realidad.
3.4 Interpolación
La idea de este método es generar un polinomio de grado "n" para unir puntos en un patrón de datos. Por ventaja matlab hace esto automaticamente. Teclea "cftool" en el command window
• Para generara un polinomio de grado "n" necesitas por lo menos "n" puntos en el plano
• cftool es la interfaz visual facilita matlab para interpolación exponencial, Fourier, polinomio, lineal , etc
Para iniciar la interpolación debes exportar datos del workspace. Los siguientes datos son aleatorios y se usaran para definir un ejemplo:
(1,4) (4,7) (9,11) (10,2) (11,8) (15,3)
el primer digito corresponder a "x" y el segundo digito a "y" (x,y)
Insertamos los datos en el command window. un vector para los puntos en "x" y un vector para los puntos en "y"
x = [ 1 4 9 10 11 15 ];
y = [4 7 11 2 8 3 ];
cftool
Graficamos. Matlab cuenta con muchas formas de interpolar es este caso usaremos un polinomio de grado "5"
Linear model Poly5:
Goodness of fit: SSE: 2.153e-022 R-square: 1 Adjusted R-square: NaN RMSE: NaN
Ahora sabes interpolar datos. Continuamos con los usos y herramientas que ofrece Matlab
3.5 Transformada de Laplace
Usada la mayor parte del tiempo en resolver circuitos eléctricos. Por qué la usamos y su función ? Laplace permite extendernos del dominio del tiempo al dominio complejo "s". Otra manera definimos a la serie de Fourier es en su forma compleja por
La ecuación (7) puede expanderse en la transformada de Laplace, multiplicando la señal en el tiempo por un término exponencial
para localisar valores en el plano complejo se puede representar por letra s = s + iw y la ecuacion (9) se puede escribir en una forma mas compacta
tambien existe la transformada inversa de Laplace:
la ecuacion (11) es la forma formal de la transformada de laplace pero no la usaremos. ya existe unas tablas que facilitan ese trabajo.y lo mejor es que matlab puede sacar la transformada de laplace. a continuacion se menciona un ejemplo.
La tranformada de Laplace de la funcion
Matlab contiene comandos muy simples. estos son parte de un paquete "symbolic toolbox" para realizar los siguiente ejemplos necesitas tener instalado el paquete.
Encuentra la transformada inversa de Laplace
la salida del codigo anterior es
Resuelve la siguiente ecuación diferencial usando Laplace con las siguiente condiciones y(0)=2 y"(0)=2 y"(0)=0
el poder de Fourier radica su uso en electrónica y diseño de filtros digitales. Los dos tipos IIR ( infinite impulse response) y FIR ( finite impulse response ). El filtro FIR se aplica usando un proceso llamado convolucion (este término se asocia en este caso a proceso digital de señales) mientras el IIR es aplicado mediante Laplace y la transformada "z" eso es de esperarse. Recuerden un decaimiento exponencial de la forma e-t tiende a cero en forma de asíntota.
Resolvamos el circuito RCL anterior con la ayuda de Laplace y encontremos su step re- sponse (función de impulso ) y grafiquemos su resultado en Matlab.
La gráfica anterior muestra una señal de entrada de corriente directa
Resolvamos usando la ley conservación de la energía y dado que las condiciones iniciales del sistema son cero.
Aplicando la transformada inversa de Laplace a f(s) encontramos la step function en el dominio del tiempo
ahora tenemos que graficar f(t) y observar como el circuito se comporta en los primeros 6 segundos
Observamos el decaimiento exponencial. La forma de un oscilador
Aunque la forma más compacta representar la step fuction del circuito RCL anterior es por medio de la ecuación (14) el uso de variables complejas dificulta y hace casi imposible generar una gráfica la solución es separar las parte real e imaginaria de la variable "s". Los siguientes tips son útiles para saber en qué se puede aplicar Laplace
1. La transformada de Laplace solo es útil si se analizan funciones consisten de senos y exponenciales
2. Filtros análogos se diseñan usando la transformada de Laplace y recurisive filtros mediante la transformada "z"
4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ahora entremos a métodos para resolver dos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes
2. Sistema de nxn ecuaciones diferenciales de primer orden
Matlab cuenta con un paquete llamada "ODE toolbox" en su siglas en ingles (ordinary differ- ential equation) también cuenta con un paquete PDE ( partial differential equation ) en este texto solo se mencionare el ODE y en futuras ediciones se agregara el PDE. Para poder resolver una ecuación diferencial en Matlab primero debe crearse un M-file en otras palabras una función donde se introduce la ecuación diferencial a resolver y deberá ser invocada en el com- mand window insertando condiciones iniciales, valores de tiempo , etc. La ecuaciones de un oscilador con fricción se define por
myll + byl + ky = 0 (16)
La ecuación anterior es muy fácil de resolver a mano pero será un buen ejemplo para usar el ODE de Matlab.
haciendo la sustitución y"=y(2) y=y(1) una ecuación diferencial de segundo orden puede transformarse a una ecuación de 1er orden. Invoquemos la m-file anterior tecleando en el command window lo siguiente
Matlab regresa una matriz "y" de 2 columnas. Cada columna representa 1 de las 2 soluciones de la ecuacions diferencial. Recuerda la solución de estas ecuaciones diferenciales es una combinación línea de la forma:
y(t) = C1Y1 + C2Y2 (17)
La gráfica del código anterior con m =1 , b = .1 , k =1 y t de 0 a 40 segundos se muestra a continuación.
Si cambiamos el valor de "b","m" y "k" encontramos diferentes soluciones. Ahora editemos el m-file y sea el coeficiente de fricción b = 1
Al aumentar la fricción el decaimiento exponencial es mayor y la oscilación tiende a cero más rápido. Si hacemos aun mayor el valor de "b" no se observar oscilaciones en el sistema, sea b = 2 en el siguiente ejemplo :
4.1 Introducción mecánica clásica
La mecánica clásica ofrece un sin número de problemas de sistemas de ecuaciones diferenciales describiendo movimiento. El orden de la ecuación diferencial correspondiente al movimiento del sistema puede ser enorme. Aquí se tendrá en cuenta lo siguiente para ayudar a reducir lo más posible el número de ecuaciones
• Usar la energía cinética y potencial para resolver el movimiento
• No necesitas resolver para aceleraciones
• Necesitas resolver velocidades inerciales
La ecuación de Lagrange para sistemas conservativos
en donde q es la coordenada generalizada y los grados de libertad del sistema y "L" se define como el lagrangiano y es la resta de la energía cinética y potencial:
El método de Newton requiere que encuentres todas las fuerzas de los sistemas en 3 direcciones y reducir el problema. El método de Lagrange nos permite reducir el problema resolviendo el número de ecuaciones y usando algebra elemental.
• El lagrangiano requiere de saber posición y velocidad del sistema
Otra manera de interpretar el movimiento es mediante la mecánica de Hamilton la cual usa el momento y posición para poder resolver el sistema. La energía cinética debe estar en función del momento y no de la velocidad.
Recuerda que esta es la energía cinética en términos de física clásica y no relativista El hamiltoniano es entonces la transformación del lagrangiano y se define por la transformación de Legendre:
Para cada velocidad hay un momento generalizado
Así obtenemos las ecuaciones definen al hamiltoniano
Apliquemos las anteriores ecuaciones al péndulo doble
Encontremos el potencial y energía cinética del sistema
Reducimos términos para el potencial
Reducimos términos para la energía cinética
Usando ecuación (19)
resolviendo entonces para
Resolviendo ahora para la siguiente derivada parcial
Resolviendo para
La ecuación (35) y (36) son ecuaciones diferenciales de segundo orden. Podemos usar la transformación de Legendre y obtener el hamiltoniano. Así obtener un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden y resolver usando el ODE de Matlab.
no daré todo el proceso paso a paso como obtener el hamiltoniano porque estoy cansado de escribir en latex y el álgebra es tediosa nota : por falta de espacio se agrega C1 y C2 que tiene el siguiente valor
Después de obtener el lagrangiano y resolver el álgebra ya podemos usar el siguiente código y obtener la solución numérica: recuerden la computadora solo es una maquina realiza un proceso varias veces no puede obtener y generar ecuaciones por si sola.
El siguiente código genera la matriz de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden, ver ecuación (37)
Debemos salvar el código en formato m-file e invocar la función. El siguiente código se debe teclar en el command window sea m1 = 1 m2 = 1 l1 = 1 y l2 = 1 para el siguiente ejemplo (puedes variar las condiciones iniciales, masas y longitud del péndulo:)
Invocando el primer ODE que se encuentra en el código anterior
Invocando el segundo ODE que se encuentra en el código anterior
Invocando el tercer ODE que se encuentra en el código anterior invocando el segundo ODE que se encuentra en el código anterior
Referencias
[1] Buerger, David J., LATEX for scientists and engi- neers, (New York: McGraw-Hill, 1990).
http://www.wam.umd.edu/pe- tersd/246/matlabode2.html
http://www.math.montana.edu/umsfj- doc/dfieldtut.html
http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/
http://www.mathworks.com/
Autor:
Oscar Guerrero Miramontes
Ing. Física
México
| Página siguiente |