Introducción al cálculo aplicando la definición de límites y derivadas en las funciones reales

RESUMEN

El cálculo, son todas aquellas operaciones en su mayoría matemáticas que nos permite llegar a una solución partiendo solamente de algunos datos; por ende tiene muchas herramientas fundamentales que permite la resolución del mismo. Límites y derivadas son ejes fundamentales para lograr una introducción al cálculo, temas que brindan un conocimiento profundo de las funciones con sus respectivos gráficos; siendo así, la derivación es indispensable porque con ello podemos llegar a tener resultados efectivos en las aplicaciones, una de ellas la variación de velocidades en una trayectoria circular. Los límites de una función son los puntos críticos que se nos presentan al obtener cocientes por ceros que prácticamente forman parte de elementos indefinidos. Cuyos puntos se las demuestran con teorías planteadas como: el teorema del sándwich; reconociendo los diferentes casos de límites se nos hace más fácil el problema. Las funciones reales son todas aquellas relaciones entre conjuntos de valores tales que uno depende de otro, de esta manera permite también enlazar en el análisis de los límites y derivadas que son temas exclusivamente de este trabajo.

El cálculo es una ciencia inventada por Newton entre los años 1670 con el término fluxiones y fue publicada en 1678 con el nombre (PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica).

INTRODUCCIÓN

Con todas las metas planteadas para mi porvenir, siendo uno de los temas muy necesarios para obtener la profesión a la cual aspiro, me ha llevado a elegir este tema; sin olvidar que también ayudaría a los estudiantes del último año de bachillerato en cuanto a esta materia, para poder entender con facilidad en los primeros pasos de la universidad. Una de las razones también ha sido el amor que tengo por los números, a pesar de tener muchos vacíos, deseo seguir aprendiendo sobre muchos temas novedosos. De esta manera presento esta investigación resumida de algunas fuentes diferentes.

Dentro del marco investigativo para la introducción al cálculo con límites, teoremas de límites y derivadas, trataremos lo posible por comprender como se gráfica una función real, demostración de límite, la derivación de funciones reales y sus aplicaciones. En el marco teórico tratamos los conceptos generales que se mencionan en los objetivos; general y específicos, ya que hay muchos términos importantes para lograr una debida comprensión. Prácticamente muchos conceptos no son amplios pero juegan un papel importante para comprender qué es una derivación; limites…

Después de cada concepto presentamos un ejemplo de aplicación, de esta manera demostramos la importancia de especificar el interés de la investigación. En dicha especificación mostramos adjunto algunas imágenes necesarias como es el caso de las gráficas de las funciones reales, tipo de funciones, etc. En el capítulo II se menciona específicamente sobre los temas necesarios para comprender sobre límites en distintas funciones que se pueden encontrar que justamente se encuentra en el capítulo posterior. En el capítulo V presentamos ejercicios resueltos de algunos casos de derivación, de esta manera finalizando con las aplicaciones de las derivadas dentro del cálculo.

¿CÓMO APLICAMOS LA DEFINICIÓN DE LÍMITES Y DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES?

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN:

· MÉTODO CUANTITATIVO

o MÉTODO DESCRIPTIVO

· MÉTODO CIENTÍFICO

o MÉTODO INDUCTIVO

OBJETIVO GENERAL

APLICAR LA DEFINICION DE LÍMITES Y DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

· COMPRENDER COMO SE GRAFICA UNA FUNCION REAL.

· INTERPRETAR LOS TEOREMAS DE LOS LÍMITES Y DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES.

· ANALIZAR TEOREMAS DE LOS LÍMITES (TEOREMA DEL SANDWICH…)

· CONOCER LAS FÓRMULAS BÁSICAS PARA LA DERIVACIÓN.

HIPÓTESIS

El tema educativo de tercer año de bachillerato, demanda en todos los estudiantes con preferencia en las asignaturas como: matemática y física, nutran de una comprensión básica sobre el cálculo, para relacionarse con algunos conceptos importantes; siendo necesario desarrollar una destreza en funciones reales principalmente. Tomando en cuenta la importancia de comprender sobre todo los términos básicos para desarrollar un adelanto importante en los estudiantes en la introducción al cálculo.

La visión de todos los estudiantes de 3er año de BGU debe ser lo suficientemente claro para poder seguir un mismo patrón en los temas de preferencia. La elección de todos los temas puede variar de acuerdo a su preferencia y este trabajo está orientado a ser de gran apoyo en la toma de decisiones de algunos estudiantes según sea su afinidad con los números .En las asignaturas preferidas, naturalmente y sin esperar, nace el deseo investigativo y aún más cuando es acorde a la carrera escogida por seguir.

El poder dominar los requisitos básicos para afiliarse en el tema amplio que es el cálculo, brindaría muchos beneficios a los estudiantes, tales como: graficar una función real, conocer los limites en las funciones reales, proceso de derivación de una función… los cuales permitirán la facilidad de llegar al cálculo diferencial e integral que son propósitos en los primeros periodos de la universidad.

MARCO REFERENCIAL

CAPÍTULO I

1.0 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL:

Una función real contiene a todos los elementos tanto del dominio como del codominio dentro de los números reales (R). Por ejemplo, "el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje" Podemos representar de la siguiente manera:

f(x)= X+ n esta representación es muy sencilla.

El valor de x puede ser todos los elementos del conjunto (R) y de la misma manera n también; por lo tanto, el resultado que se obtenga al remplazar a x por una cantidad será y que depende y así podemos entender que y depende de x.

2.0 TIPOS DE FUNCIONES REALES.- tenemos muchos tipos de funciones reales, por lo tanto, es indispensable lograr entender todos los conceptos.

3.0 FUNCIONES POLINOMIALES.-

· 3.1 FUNCIONES LINEALES.- representamos: f(x)= mx+b donde, para cada valor de x hay un solo valor correspondiente f(x) y (m es la pendiente, b la abscisa).

· 3.2 FUNCIONES CONSTANTES.- f(x)= k es un solo valor correspondiente para todos los valores de x siendo así, k la constante; en la gráfica se muestra una línea perpendicular al eje de las yy paralelas al eje de las x.

· 3.3 FUNCIONES CUADRÁTICAS.- se conoce también como funciones de segundo grado, que es de la forma f(x)= ax+bx+c donde, a,b, y c son números reales. Remplazando los valores, la gráfica es una parábola.

· 3.4 FUNCIONES POLINÓMICAS.- f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales.

en este ejemplo se puede apreciar la gráfica de y=x3-6×2-9x

FUNCIONES ESPECIALES

· 3.5 FUNCIONES DE VALORES ABSOLUTOS.- las funciones se las representa como: f(x)=IxI. De esta manera, si remplazamos con valores a x, la gráfica será un parábola en forma de V.

3.6 FUNCIONES DE RAÍCES CUADRADAS.–

es de la forma f(x) = √x donde el dominio de las funciones son los valores de x cumpliendo con la condición de que el radicando sea positivo. El rango es mayor o igual a cero (≥) y la gráfica es una curva.

· 3.7 FUNCIONES RACIONALES.-

son funciones de la forma "f(x) = p(x)/q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)?0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota"

FUNCIONES TRASCENDENTALES

· 3.8 FUNCIONES EXPONENCIALES.- "Es una función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a?1 .cuyo dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva

ascendente si a>1 y descendente

si o< a < 1 "

· 3.9 FUNCIONES LOGARÍTMICAS.- "Es una función inversa a la función exponencial".

f(x) = logax, donde a>0 y a?1. La grafica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial

· 3.10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.-"Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triángulo."

o los principales son:

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

Recuperado de http://matematicas-funcionesreales.blogspot.com/p/clases-de-funciones.html

4.0 LÍMITE.- "E l lím ite d e la fu n c ió n f( x) e n e l p u n to x0 , e s e l v a lo r a l q u e s e a c e rc a n la s im á ge ne s (la s y) c u a nd o lo s o rig in a le s ( la s x) s e a c e rc an a l v a lo r x0 ." R e c u p e r a d o d e h t t p : / / w w w .v it u t o r . c o m / f u n / 3 /a _ 1 . h tm l

V am os a e s tu d ia r e l lím ite d e la fu n c ió n f(x) = x 2 e n e l p u n to x 0 = 2 .

P o dem os a c e rca ro s po r la d e re ch a ta n to p o r la izq u ie rd a

S e p ue de a na liza r d e e s ta m a ne ra c om o en e l c a s o d e l te o rem a d e l s á nd wic h , q u e n o s p e rm ite v e r e l a c e rc am ie n to a l v a lo r re q u e rid o tan to p o r la d e re c h a c om o p o r la izq u ie rd a .

Entonces, podemos definir en este ejercicio que f ( x) t ie n e c o m o l í m it e e l n ú me r o L , c u a n d o x t ie n d e a x0 , s i f ij a d o u n n úm e r o r e a l p o s it iv o e , m a y o r qu e c e ro , e x is t e u n n u m e r o p o s it iv o d d e p e n d ie n t e d e e , t a l qu e , p a r a t o do s l o s v a l o r e s de x d is t in t o s de x0 qu e c u m p l e n l a c on d ic ió n | x – x0 | < d , s e c u m p l e qu e | f ( x) – L | < e .

Hay una definición de límite.- Límite de una función es la variación de valores obtenidos como resultado cuando se aproxima a un valor establecido.

5.0 TEOREMA.- teorema es un sistema desarrollado con fin de afirmar o proponer algo.

5.1 EL TEOREMA DEL EMPAREDADO por ejemplo, es un mecanismo de demostración muy utilizado y se expresa como: si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

6.0 CÁLCULO.- Se puede decir cálculo a todas aquellas operaciones (en su mayoría matemática) que tiene un fin común. Este sistema puede ser simple y muy complejo, dependiendo del grado de dificultad que se nos presente obtener un resultado partiendo de algunos datos conocidos.

Tenemos cálculo geométrico (que se remplaza en muchas incógnitas, cantidades conocidas) y aritmético cuando en su totalidad se trata de números.

"Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad."

Recuperado de http://definicion.de/calculo/

"De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir". ahora por el mismo hecho de contar con muchas formas de numeración, se puede interpretar de muchas maneras.

6.1 GEOMÉTRICO.- también se entiende como un sistema complejo de resolver ecuaciones. Por lo tanto, podemos encontrar diferentes métodos de resolución tales como; método de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss que permite resolver un sistema lineal de ecuaciones. .

6.2 ARITMÉTICO.- ayuda en técnicas de números muy complejos y con secuencia.

CAPÍTULO II

VARIABLE

1.0 VARIABLE: se conoce como variable a la cantidad al que se le puede dictar independientemente, al analizar, obteniendo un ilimitado de valores.

Podemos decir que x, es mi variable y puedo remplazarle por un valor conocido; en este caso puedo decir que vale 2 o 3… de esta manera infinitamente. Entonces representaremos x= IR

1.1 REPRESENTACIÓN DE UNA VARIABLE: Usualmente se toma en cuenta por las últimas letras del alfabeto castellano, las cuales pueden ser (x, y ó z). en este punto dependiendo de las cantidades de variable que se nos presenten en un problema matemático.

Cuando tenemos dos o más variables, el primero es x al cual podemos dar un valor conocido entonces y dependerá del valor de x. algebraicamente, no tendremos a lo mejor ninguna de las dos o más variables, para ello hay algunos métodos conocidos que más adelante detallaremos.

1.2 INTERVALO DE UNA VARIABLE: En todo el sistema de números representados en el plano cartesiano, solamente nos fijamos en una porción.

Cuando es un intervalo abierto. (a , b) o ]a, b[

Cuando es un intervalo cerrado. [a, b]

Puede variar como decir: cerrado un extremo pero abierto el otro o viceversa. En un gráfico con intervalos se puede apreciar:

x<<b>b>aes decir; en un intervalo cerrado solo puedo tener valores desde a hasta b, pero no puedo pasar de ese intervalo

1.3 Variable independiente: Tomamos en cuenta, las variables sean: x, y. las cuales son denominadas de la siguiente manera. "variable independiente" a x. a esta variable (x) comprendemos que puede poseer diferentes valores, los mismos que se designa.

X=2 o x=-4…

1.4 VARIABLE DEPENDIENTE: Al comprender una variable independiente, es lo inverso a ello, puesto que al designar un valor a nuestra variable independiente la obtendremos. Podemos denominarlos "variable dependiente" (y). En el ejemplo anterior sea la función f(x)= x+ 5

Formando nuestra tabla de valores seria:

Si trasladamos estos valores al plano cartesiano podremos ver la gráfica.

2.0 Variación continua: dicen que una variable es continua cuando tenemos dos puntos entre A y B, es decir que dentro de ese segmento varían los valores. Entonces puede ser que A < X < B. decimos

CAPÍTULO III

CONSTANTES

1.0 CONSTANTE: cuando obtenemos una cantidad fija durante todo el proceso de análisis, se denomina "constante". Constante por ejemplo, es una constante, puede ser una constante k en movimientos circularorios.

1.1 CONSTANTES NUMÉRICAS O ABSOLUTAS.- podemos decir que son cantidades que mantienen los mismos valores en todos los problemas. Puede ser (5,2, …)

1.2 CONSTANTES ARBITRARIAS O PARÁMETROS: son todas aquellas que principalmente se puede remplazar por un valor. A estas constantes se las puede representar generalmente con las primeras letras del alfabeto. (a y b).

Podemos representar en la recta numérica, de la siguiente forma:

Donde a y b son constantes arbitrarias. El 5 es una constante numérica o absoluta.

2.0 FUNCIÓN: función es una "correspondencia" del primer conjunto de valores para el segundo que específicamente dependerá de ello.

Si presentamos en una tabla: esta ecuación f(x)= x+3 obtendremos.

Comprendemos que para cada valor de x hay un solo valor de y.

2.1 NOTACIÓN DE FUNCIONES.- a una función podemos representar de varias formas:

f(x), nos permite designar una función de x, se lee: f de x. cuando tenemos varias funciones y queremos distinguir, simplemente nos permite cambiar la letra inicial f´(x) o F(x)…

Cada símbolo tiene la misma funcionalidad, es decir, en cada proceso un mismo símbolo representa toda su funcionalidad que esta tiene y la ley de dependencia.

Por ejemplo: si tenemos f(x)=x2+2x-4, si es la función de y sería; f(y)=y2+2y-4, si es en función de (a+b) sería: f((a+b))=(a+b) 2+2(a+b) –4de esta forma sucesivamente.

2.2 DIVISIÓN DE UNA FUNCIÓN POR CERO (0).- debemos tomar en cuenta que no es posible dividir por cero, cociente por cero es excluida. Puesto que cociente de a/b=x, a=bx; si b=0 x no existe porque no podemos dividir por 0. Esta presentación queda como indefinida.

Algunas representaciones carecen de sentido por esta razón. no es posible división por cero. Ejemplo: casos de dividir inadvertidamente por cero. En este ejemplo suponen que: a=b

Entonces dicen también que debería ser lo mismo decir que ab=a2

Restando b2 mi ecuación sería ab-b2=a2-b2

Esta expresión prácticamente no altera: b(a-b)=(a+b)(a-b) Dividen por (a-b) b=a+b

Pero decían que a=b !

Si seguimos el proceso sería a=2b

Como respuesta obtienen 1=2

El error está en dividir por (a-b) que prácticamente es cero.

2.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL: para graficar una función real simplemente conocemos la ecuación, el tipo de función y procedemos con reconocer la variable dependiente y la variable independiente. Sea la ecuación y=x2

Si la gráfica es continua, es decir, si los valore de x aumenta, los valores de y aumenta continuamente. Podemos decir que la variable siempre es parábola.

El nombre a estas gráficas las llamamos "gráfica de la función x2". Con fin a esto, si hacemos una tabla de valores sería:

CAPÍTULO IV LÍMITES

1.0 LÍMITE DE UNA VARIABLE

Se refiere a una tendencia de una función cuando las medidas de las mismas se acerquen a un valor, en este caso infinito o cero. podemos concluir entonces que v es una variable y z la función, es decir, z de v; z(v). cuando z también presenta como v se define como límite de z=a cuando v se aproxima a l. en ecuación tenemos:

Se leerá siempre como: límite de z cuando v tiende a l es a.

1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN real: para una función real los límites se puede diferenciar mediante sus valores en las gráficas. tales que la imagen anterior ilustra el concepto.

1.2 DEMOSTRACIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL

Con el ejemplo anterior podemos decir que; z(v)=a cuando a=2 entonces el límite de z también se aproxima a ese valor. de esta manera:

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