Tema: Compuertas lógicas (página 2)

Compuerta OR-EX o XOR

Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

Estas serían básicamente las compuertas más sencillas.

Compuertas Lógicas Combinadas

Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa…

Compuerta NAND

Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND.

Compuerta NOR

El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.

Compuerta NOR-EX

Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.

Buffer's

En realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.

Álgebra Booleana y circuitos electrónicos

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimasUn hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

A OR BA AND B…………………..Primer paso para aplicar el teorema de DeMorganA' AND B'…………………Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')'………………Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')' = A' NAND B'…..Definición de OR utilizando NAND

Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

Circuitos Combinacionales

Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente.

Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.

En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos.

Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.

Circuitos Secuenciales

Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.

Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación

En ésta lección hemos dado una repasada muy básica a los elementos que forman la base de los modernos sistemas de cómputo, en la sección dedicada al diseño electrónico estudiaremos a profundidad los conceptos aquí presentados, pero para aquellos que están más interesados en el aspecto programático podemos decir que con los elementos vistos en ésta lección es posible implementar máquinas de estado, sin embargo la moraleja de ésta lección es muy importante: cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez implementar directamente en hardware. Ésto sugiere que la lógica booleana es la base computacional en los modernos sistemas de cómputo actuales. Cualquier programa que Usted escriba, independientemente del lenguaje que utilice, sea éste de alto ó bajo nivel, se puede especificar como una secuencia de ecuaciones booleanas.

Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible implementar cualquier función de hardware directamente en software, en la actualidad ésta es la función principal del lenguaje ensamblador y otros con capacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el C++. Las consecuencias de éste fenómeno apenas se están explotando, se infiere la existencia de un futuro muy prometedor para el profesional de la programación, especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embedded systems), los microcontroladores y los profesionales dedicados a la Programación Orientada a Objetos. Para tener éxito en éstos campos de la investigación es fundamental comprender las funciones booleanas y la manera de implementarlas en software. Aún y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importante conocer las funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesan expresiones booleanas, como es el caso de los enunciados if-then ó los bucles while.

Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana

Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:

TEOREMA 1 Ley DistributivaA (B+C) = AB+AC

TEOREMA 2

A+A = A

AA = A

TEOREMA 3

Redundancia

A+AB = A

A (A+B) = A

TEOREMA 4

0+A = A

Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra

1A = A

Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1

1+A = 1

0A = 0

Lógica y matemáticas

Desde un punto de vista realista, la lógica es una disciplina teórica y filosófica, separada de las matemáticas. El objetivo de la lógica es el estudio de las propiedades y relaciones lógicas entre los objetos lógicos (proposiciones, modelos, entidades.). Como todas estas propiedades son independientes de los sistemas usados para su estudio, se concluye que la lógica filosófica es una ciencia teórica. La incompatibilidad, verdad, falsedad, o equivalencia son denominadas como propiedades o relaciones básicas.

También existen otra serie de propiedades y relaciones derivadas, que se dividen en tres grandes grupos: teoría de modelos (estudia las relaciones básicas fundamentales entre los enunciados de una teoría), teoría de pruebas (estudio matemático de la derivación) y teoría de la recursión que estudia la computabilidad de las derivaciones jugando un papel esencial dentro de la lógica formal.

¿Qué es la lógica matemática?

Por lógica matemática pueden entenderse tres opciones distintas:

1.- Lógica matemática como lógica matematizada, es decir, que usa métodos y herramientas matemáticas.

2.- Lógica matemática como la parte matemática dentro de la lógica. En este sentido, es más una lógica de las matemáticas, es decir, el estudio de las relaciones, propiedades de teorías, pruebas y conceptos matemáticos

3.- Lógica matemática como la lógica de las matemáticas, es decir como la parte que estudia y analiza los diferentes razonamientos y argumentaciones que se dan dentro de las matemáticas. Es en este sentido una rama más de las matemáticas.

Normalmente, en el primer sentido explicado, se produce una fuerte confusión entre la lógica y las matemáticas, debido a que en lógica formal se usa un método matemático que hace difícil discernir entre ciencia (lógica) y método (matemáticas). También, hay que saber distinguir entre los sistemas lógicos formales que son entidades matemáticas complejas y las teorías lógicas. El objetivo de los sistemas lógicos formales es construir una correspondencia entre propiedades lógicas y matemáticas. La lógica matemática en el primer sentido contempla las tres acepciones en conjunto.

Ahondando en las diferencias entre lógica y matemática.

La identidad de los objetos matemáticos están completamente determinadas por las propiedades de las que se le pueden predicar en el lenguaje puramente teórico y por su aplicabilidad según la lógica del mismo. Si la lógica fuera matemática, dos objetos lógicos serían lógicamente equivalentes, sin embargo, estas propiedades lógicas no están completamente determinadas por la herramienta formal con la que las estudiamos.

Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos.

Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los símbolos Estas operaciones están definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:

• 1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que

• 2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que

• 3. Cada una de las operaciones es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que

• 4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones Estos elementos se representan habitualmente con los símbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que

para cualquier elemento x del conjunto B.

• 5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se representa con el símbolo x'. El elemento x' cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones

Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que la describió en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento.

Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X. P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unión y la intersección de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad, cualquier álgebra de Boole se puede representar como un álgebra de conjuntos (véase Teoría de conjuntos).

Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del álgebra de Boole es también verdadera si se intercambian las operaciones y los elementos neutros 1 y 0 en la proposición. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de Morgan, que dicen que

Los elementos que forman el conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o redes eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una colección de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas.

En esta álgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposición es simplemente la negación de la proposición.

Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmación 'la bola es azul', y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas azules. P es el conjunto verdad de la proposición p.

El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas, especialmente en la informática y en la electrónica. A continuación se expone un ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo).

En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más complejas darán lugar a circuitos más complicados.

Conclusión

• Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.

• Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

• Las compuertas lógicas son los dispositivos electrónicos más sencillos que existen, pero al mismo tiempo son los más utilizados en la actualidad.

Enviado por:

Dervy Arturo Wilson Escobar

Autor:

Jose Manuel Claudio Hernández

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Sede Retalhuleu

Ingeniería en sistemas

Primer ciclo

Lógica

Ing. Sergio Pineda

Fecha: 04-04-2009