Problema 7.3 Para el sistema mostrado ¿qué error podemos esperar para una entrada de 15u(t) (Gp:) 1/s (Gp:) 5/(s+1) (Gp:) 2 (Gp:) s+3
Problema 7.12 Para el sistema encuentre Kp , Kv, y Ka Encuentre el error en estado estacionario para entrada de 50u(t), 50tu(t), y 50t2u(t) Diga de que tipo es el sistema
Problema 7.14 Diga que tipo de sistema es este
Problema 7.43 Dado el sistema mostrado haga lo siguiente: Derive la expresión para el error, E(s) = R(s) – C(s), en términos de R(s) y D(s) Derive el error en estado estacionario e(inf), si R(s) y D(s) son funciones de salto unitario Derermine los atributos de G1(s), G2(s) y H(s) necesarios para que el error en estado estacionario llegue a cero (Gp:) G1(s) (Gp:) G2(s) (Gp:) H(s)
Problema 7.44 Dado el siguiente sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario Debido al parametro a. Asuma que hay una entrada de salto unitario. Grafique la Sensitividad como función del parametro a. (Gp:) (s+a)
Problema 7.45 Para el sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario para cambios En K1, y en K2 , cuando K1=100 y K2=0.1. Asuma que las entradas de salto son en la entrada Y en el distrurbio. (Gp:) K1 (Gp:) s+1
Reglas para Root locus Condición angular : hay root locus si los ángulos G(s)H(s) = 180 mas o menos n360 Condición de magnitud: |KG(s)H(s)| = 1 Note que 1 + KG(s)H(s) = 0 se puede escribir de la forma KG(s)H(s) = -1 + j0 = 1ángulo -180+-k360 para valores de k = 1,2,3………… Root locus comienza en los polos y termina en los ceros X ? 0 Root locus existe a la izquierda de un numero impar de polos y ceros Root locus es simétrico con respecto al eje real Regla # 1 Regla # 2 Regla # 3 Regla # 4 Regla # 5 Las asíntotas señalan a los ceros en infinito todas las asíntotas se intersecan en un punto ,sa y ese punto se encuentra e el eje real na = número de polos – número de ceros na = numero de asíntotas o ceros en el infinito
Regla # 6 Para hallar el intercepto con el eje imaginario usamos R-H y hacemos que el sistema sea oscilatorio creando una fila de ceros y buscando la frecuencia de oscilación La frecuencia de oscilación es el intercepto con el eje imaginario. Regla # 7 Puntos de ruptura- Es donde el root locus abandona el eje real A) Pto Ruptura de salida K es máximo con respecto a S
B) Pto. Ruptura de Entrada K es mínimo con respecto a S
C) Pto Ruptura de bifurcación K es un punto de inflexión
Regla # 8 Ángulo de salidad o ángulo de entrada. En el eje el ángulo de salida o entrada de los puntos de ruptura va a ser igual a 1800 #de polos en el punto de ruptura. Fuera del eje se usa la condición angular.
Ejemplos de clase Puntos de ruptura analíticamente:
Root locus es un procedimiento gráfico usado para determinar los polos de un sistema de lazo cerrado. Gráficamente, el locus es el conjunto de pasos en el plano trazado por los polos de lazo cerrado mientras se varía la ganancia (K) desde cero hasta infinito. En términos matemáticos dada una función KG(s) donde K es la ganancia del root locus y la función de transferencia para lazo cerrado es: El root locus esta dado por las raíces de 1 +KG(s) = 0 mientras K varía desde cera hasta el infinito. Mientras los valores de K cambian, las soluciones para la ecuación cambian La ecuación característica de un sistema está basada en la función de transferencia que sirve de modelo para el sistema. Ella contiene la información necesaria para determinar la respuesta de un sistema dinámico. Solo hay una ecuación característica para un sistema dado La ganancia del root locus, típicametne llamada K, es la ganancia del sistema de lazo cerrado. Mientras determinamos el root locus, variamos la ganancia desde cero hasta el infinito. Notamos que las variaciones correspondientes en los polos de lazo cerrado determinan el root locus. Mientras la ganancia se mueve desde cero hasta el infinito, los polos se mueven desde los forward loop polos hasta los forward loop ceros o el infinito.
El criterio angular se usa para determinar los ángulos de salida para las partes del root locus que se encuantran cerca de los polos de lazo abierto y para saber los ángulos de llegada para las partesd de l root locus que se encuentran cerca de los ceros de lazo abierto. Cuando este criterio es utilizado juntamente con el criterio de magnitud, se puede determinar si un punto en el plano complejo es o no es parte del root locus El criterio angular está definido como < KG(s) = -180
Note que se puede usar +180 en vez de -180. El uso de -180 es solo una convención. Como +180 y -180 son el mismo ángulo, cualquiera produce el mismo resultado. El criterio angular es el resultado directo de la definición de root locus; es otra forma para expresar los requisitos del locus. El root locus está definido como el conjunto de raíces que satisfacen la ecuación característica 1 + KG(s) = 0 o equivalentemente KG(s) = -1 Tomando la fase de cada lado de la ecuación resulta en criterio angular. El criterio de magnitud se usa para determinar las localizaciones de un conjunto de raíces en el plano complejo para un valor de K dado. Matemáticamente, el criterio de magnitud es |KG(s)| = 1
El criterio de magnitud es un resultado directo de la definición de root locus; es otra forma para expresar los requisitos del locus. El root locus se define como el conjunto de raíces que satisfacen la ecuación característica 1 + KG(s) = 0 o equivalentemente, KG(s) = -1
Tomando la magnitud de cada lado de la ecuación obtenermos el criterio de magnitud
El ángulo de salida es el ángulo al cual en el cual el locus sale de un polo en el plano complejo. EL ángulo de llegada es el ángulo en el cual el locus llega a un cero en el plano complejo.
Por convención, ambos tipos de ángulos se miden relativamente a un rayo que comienza en el origen y se extiende hacia la derecha a través del eje real del plano complejo.
Ambos, ángulo de salida y entrada se encuentran usando el criterio ángular Los puntos de corte ocurren en el locus donde dos o más loci convergen o divergen. Los puntos de corte suelen ocurrir en el eje real pero pueden aparecer en cualquier sitio del plano complejo.
El loci que se acerca/diverge desde un punto de corte lo hace a ángulos que se encuentran colocados equitativamente con respecto al punto de corte. Los ángulos a los cuales ellos llegan/salen son una función del número de loci que se acerga/diverge del punto de corte. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un método para determinar si un sistema es on o es estable basado en los coeficientes de la ecuación característica del sistema. El particularmente de ayda para los sistemas de un orden mayor (grande) porque no requiere que las expresiones del polinomio sean factorizadas.
La función de transferencia define las relaciones entre las entradas y salidas de un sistema. La función de transferencia es típicamente escrita en el dominio de la frecuencia, en vez del dominio del tiempo. La transformada de LaPlace se usa para representar el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia.
Si x(t) es la entrada a un sistema y y(t) es la salida del sistema, y la transformada LaPlace de la entrada es X(s) y la transformada de LaPlace de la salida es Y(s), entonces la función de transferencia entre la entrada y la salida es Y(s)/X(s)
Comenzamos con los polos y ceros del "forward loop". Como el locus representa el paso de las raíces (específicamente de los polos de lazo cerrado) mientras la ganancia se varía, comenzamos con la configuración en la cual la ganancia del sistema de lazo cerrado es igual a cero. Cada locus comienza en el polo de lazo forward y termina en forward loop cero. Si el sistema tiene más polos que ceros, entonces algunos de los loci terminan en ceros localizado infinitamente lejos de los polos. Varias root loci tienen paso en el eje real. La parte del eje real que tiene la porción del locus es determiado utilizano la siguiente regla:
Si un número impar de polos y ceros existe en un punto que descansa a la derecha del punto en el cual se descansa en el eje real, entonces es punto corresponde al locus. Las asíntotas indican a donde los polos van a ir mientras la ganancia se acerca a infinito. Para sistemas con más polos que ceros, el número de asíntotas es igual al número de polos menos el número de ceros. En algunos sistemas no hay asíntotas; cuando el número de polos es igual al número de ceros en cada locus, se termina en un cero en vez de asintóticamente en el infinito.
Notar que es posible dibujar un root locus para sistemas con más ceros que polos, pero esos sistemas no representan sistemas físicos. En estos casos uno puede pensar que algunos de los polos estan colocados en el infinito.
Los puntos de corte existen donde dos o más loci se unen y luego divergen. A pesar de que los encontramos frecuentemente en el eje real, ellos pueden ocurrir en cualquier otro sitio del plano complejo.
Cada punto de corte es un punto donde una doble raíz existe para algún valor de K. Matemáticamente, dado la ecuación de root locus 1 + KG(s) = 0 donde la función de transferencia G(s) consiste de un numerador, A(s), y un denominador B(s), entonces los puntos de ruptura se pueden determinar de las raíces de: Si K es real y positivo en un valor de s que satisface la ecuación, entonces el punto es uno de ruptura.
Siempre habrá un número par de loci alrededor de cualquier punto de ruptura; para cada locus que entra el locus, deberá haber uno que sale. El criterio angular determina cuál es la dirección del movimiento de las raíces mientras se cambia la ganancia desde cero hasta el infinito
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