En este caso si hacemos esto para tener un sistema de segundo orden por lo cual podemos despreciar el término haciendo cancelación del cero en -4 y el polo en -4.01 para aproximar el sistema a un sistema de segundo orden
Estabilidad de sistemas lineales y estacionarios Un sistema es estable del tipo BIBO (bounden input bounded output) (entrada acotada salida acotada) si y solo si toda entrada acotada produce una salida acotada Si la salida es acotada solo para algunas entradas, entonces el sistema es marginalmente estable. Estos sistemas típicamente oscilan y su respuesta se sostiene a una amplitud constante sin decaer ni crecer. Un sistema asintoticamente estable si todas sus respuestas debidas a condiciones iniciales decaen asintoticamente a cero. Un sistema es inestable si alguna de sus respuestas crece sin cota
Prueba corta Hallar el rango de k que hace al sistema estable X K – 12/12pt
Supuesto problema de examen de Raúl Torres Dado que G(s) es un sistema de segundo orden sin ceros Según estas características el sistema sabemos que el sistema es tipo 1 Determine G(s) Identificar el sistema según la tabla que sabemos de memoria Para un sistema de lazo cerrado esto es un sistema Tipo 1 de la forma: Para retroalimentación unitaria (Gp:) G(s) (Gp:) R(s) (Gp:) C(s)
Nos dicen que TS = 2 segundos así que si ??n = 2, entonces p1 = 4 = 2 ??n Para este sistema la tabla nos dice que Así que kv = 10 así que K = 40 Continuación de supuesto problema
Error en régimen permanente Lazo abierto (Gp:) G(s)
Definimos: E(s) = R(s) – Y(s) E(s) es la señal de error Para un sistema estable tiene dos polos en el semiplano izquierdo 1 para R(s)=1/s v.f. Caso General Mediante el teorema del valor final si ambos límites existen, entonces El límite de e(t) para t ? infinito existe si y solo si todos los polos de E(s) están en el lado izquierdo del plano complejo con la posible excepción de un polo simple en cero. Ilustración sea solo si Re(-p1)< 0
Análisis en el dominio de la frecuencia (Gp:) G(s) (Gp:) H(s) (Gp:) R(s) (Gp:) C(s)
E(s) = R(s) – C(s) los polos del error son dados por la misma función característica que los polos del sistema Pero sabemos: En general donde N = “tipo del sistema” = #polos de G(s) en s = 0 Error en respuesta a un escalón Si N = 0 (sistema de tipo cero) (cero polos en s= 0) Para N = 0 y r(t) = u(t) (escalón) constante
Para Lazo Cerrado
Disturbio y Sensibilidad Sensibilidad – Caso se afecta al sistema a un cambio en parámetro Sistema de lazo abierto (Gp:) G(s) (Gp:) Y(s) (Gp:) R(s) (Gp:) D(s)
R(s) (Gp:) G(s) (Gp:) Y(s) (Gp:) D(s) (Gp:) Filtro
(Gp:) Sistema de lazo abierto (Gp:) Efecto del disturbio en la señal Y(s)
Para un disturbio en la entrada Para un disturbio a la salida G(s) D(s) Y(s) R(s) No hay notas aqui
Para Sistema de lazo cerrado Con Disturbios a la entrada (Gp:) G(s) (Gp:) H(s) (Gp:) R(s) (Gp:) C(s) (Gp:) D(s)
(Gp:) La ventaja es que el sistema de lazo cerrado filtra los ruidos a la entrada
(Gp:) G(s) (Gp:) H(s) (Gp:) R(s) (Gp:) C(s) (Gp:) D(s)
(Gp:) Para |G(s)H(s)| >> 1
(Gp:) Para |G(s)H(s)| >> 1
Examen será el 10 de abril de 2003 Disturbios a la salida
Sensibilidad Sensibilidad de la señal Y(s) a cambios en el parámetro a (Gp:) Foto transistor (Gp:) 0.9 (Gp:) 480nm (Gp:) ?
(Gp:) Que su control acepte cambios en la planta
(Gp:) G(s) (Gp:) R(s) (Gp:) Y(s)=G(s)R(s)
G(s)+?G(s) R(s) Y(s)+?Y Implica que los cambios en el parámetro se reflejan directamente a la salida.
Sistema de lazo cerrado (Gp:) G(s) (Gp:) H(s) (Gp:) R(s) (Gp:) C(s)
No entiendo esto
Deseamos determinar la estabilidad a partir de la función de transferencia del sistema Sea T(s) la función de tansferencia del sistema donde Sabemos que el sistema será asintóticamente estable si y solo si todas las raíces de D(s) son iguales a cero tienen parte real negativa (estan en el lado izquierdo del plano complejo Suponga que ri i= 1,2, ….. ,n son las n raices de D(s) =0, entonces D(s) = an(s-r1) (s-r2) ……(s-rn) D(s) = ansn – an(r1 + r2 +….rn)sn-1 + an(r1r2 + r2r3 +….r1r3+ )sn-2 +……+ (an(-1)n(r1r2rn) = 0 Las partes imaginarias se van a juste Todos los coeficientes dan positivo cuando todas las raices tienen parte real negativa
Dos condiciones necesarias para que todas las raices de D(s) tengan parte real negativa que todos los coeficientes de D(s) teengan el mismo signo que nincun coeficiente sea cero estas condiciones no son suficientes para garantizar estabilidad sin embargo la podemos usar como prueba preliminar ya que si alguna no se cumple inmediatamente podemos concluir que el sistema es inestable. pero si ambas se cumplen no podemos concluir nada con respecto a estabilidad Contra ejemplo q(s) satisface la prueba preliminar sin embargo q(s) = (s+2)(s2 – s +4) donde los polos tienen parte real positiva Los cambios de signo en la columna izquierda del arreglo R-H indican la cantida de raices con parte real positiva (en el lado derecho del plano complejo)
Criterio de Routh y Hurwitz Provee una condición necesaria y suficiente para evaluar la estabilidad de sistemas Lineales y estacionarios a partir de su polinomio característico. El método está basado en un arreglo de números formado a partir de los coeficientes del polinomio característico. Tres posibilidades: Caso1: No hay cambios de signo, No hay fila de ceros, El sistema es estable Caso2: Hay ceros en la primera columna pero la fila no es totalmente de ceros. Se sustituye el cero por un epsilon y se asume positivo. Luego se busca el limite cuando epsilon tiende a cero por la derecha y se ve que signo tiene epsilon Caso3: Fila de ceros. Se diferencia la ecuación auxiliar. La ecuación auxiliar es un factor de la ecuación característica
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