Controles INEL 4505 (página 5)

(Gp:) Para mantener el Tp constante el producto tiene que permanecer constante, asi que decimos que la parte imaginaria debe de permanecer constante

(Gp:) Para mantener el %OS constante hay que mantener la razón de tiene que permanecer constante (factor de amortiguamiento constante).

Para mantener Ts constante hay que mantener la parte real de los polos constante Aumento en la frecuencia de la respuesta Tiempo de crecimiento y tiempo de pico menores Se manteiene la envoltura exponencial (generada por la parte real) El tiempo de establecimiento se mantiene constante Aumenta el %OS El %OS se mantiene constante Tiempo de pico, de subida y de establecimiento varían. (menor tiempo a medida que los polos se alejan del origen) La frecuencia de la respuesta permanece igual Tiempo de crecimiento y tiempo de pico se mantienen constantes El tiempo de establecimiento aumenta Varía el %OS, (aumenta) A medida que los polos se alejan del eje imaginario, la respuesta se hace menos oscilatoria

(Gp:) s (Gp:) jwd

(Gp:) 0 (Gp:) s (Gp:) jwd

(Gp:) s (Gp:) jwd

Respuesta Sobre Amortiguada (Gp:) 0 (Gp:) s (Gp:) jwd

Respuesta Sub Amortiguada (Gp:) -4 (Gp:) 0 (Gp:) s (Gp:) jwd

Respuesta No Amortiguada (Gp:) 0 (Gp:) s (Gp:) jwd

Respuesta Críticamente Amortiguada (Gp:) -3 (Gp:) 0 (Gp:) s (Gp:) jwd

Sistemas de segundo orden Dos polos en el eje real negativo Respuesta Natural: dos exponenciales con constantes de tiempo iguales al recíproco de la ubicación de los polos Dos polos complejos Respuesta Natural: Una onda senosoidal envuelta en un exponencial cuya constante de tiempo corresponde al recíproco de la parte real de los polos Dos sobre el eje imaginario Respuesta Natural: Una onda senosoidal no amortiguada. La ausencia de parte real corresponde a una respuesta que no decrece Dos polos complejos Respuesta Natural: Un término exponencial y otro termino exponencial multiplicado por t. Gráfica de polos Características

Naturaleza: Sobre amortiguado Polos: S1,2= -3, -6 Ceros: no tiene Naturaleza: Sobre amortiguado Polos: s1,2= -10, -20 Cero: s = -7 Naturaleza: NO Amortiguado Polos: s1,2= j3, -j3 Ceros: s = -2 Naturaleza Sobre amortiguado Polos: s1,2= -10, -10 Ceros: s = -5 Problema 4.8 (Gp:) Naturaleza: Sub amortiguado Polos: s1,2= Ceros: no tiene

Aproximación de sistemas a segundo orden Los polos dominantes son los que se encuentran más cerca del origen. Si un sistemas tiene polos adicionales y estos se encuentran diez veces más lejos del origen que los polos dominantes, entonces se puede despreciar su efecto para así aproximar el sistema a uno de segundo orden. X 8 20 1.2 veinte es más de diez veces mayor que 1.2

20pts Problema del segundo examen Determine el por ciento de rebase para el siguiente sistema de lazo cerrado cuando se le alimenta un salto unitario a la entrada Queremos ver si podemos eliminar este polo Buscamos la ecuación característica para la aproximación de esta ecuación obtenemos que: El polo adicional está en s = -20 así que como es más de diez veces mayor, este sistema se puede aproximar a uno de segundo orden. Las gráficas son más o menos así (Gp:) percent overshoot (Gp:) 50% (Gp:) 2

Segunda prueba corta Dado un sistema de lazo abierto con un tiempo de establecimiento de un segundo y un por ciento de rebase desconocido, con un factor de amortiguamiento de 0.707 y con una entrada de salto unitario: a) determine la función de transferencia cuando ess = 0 Para un sistema de segundo orden 1pt

Problema 4.20 Para cada uno de los sistemas de segundo orden encuentre el valor del factor de amortiguamiento, tiempo de subida, tiempo de establecimiento, tiempo pico y por ciento de rebase.

Derivaciones Buscando ? con %OS Buscando ? con Ts y Tp Sacamos el logaritmo de la ecuación Cuadramos

Problema 4.23 Para los siguientes sistemas de segundo orden encuentre la localización del par de polos %OS = 12% y TS = 0.6 seg %OS = 17% y TP = 0.5 seg TP = 7 seg y TS = 3 seg Los polos están dados por (Gp:) Para el a) buscamos ? con la formula conocida dada por el %OS (Gp:) buscamos ?n con la formula conocida dada por TS

(Gp:) Para el b) buscamos ? con la formula conocida dada por el %OS (Gp:) buscamos ?n con la formula conocida dada por TP

(Gp:) Para el c) buscamos ? con la formula conocida dada por TP y TS (Gp:) buscamos ?n con la formula conocida dada por TP o por TS

Teorema del Valor Final Teorema: lim f(t) existe si y solo si todos los polos de F(s) tienen parte real negativa con la exepción de un polo simple en s = 0. Es decir, todos los polos estan en el lado izquierdo del plano complejo con la Posible exepción de un polo simple en s = 0. Ejemplo: Sea Note que: Sin embargo, Esta es una función de Naturaleza oscilatoria O sea NO CONVERGE A ningun valor. Otro ejemplo Determine f(t) y discuta si el Teorema del Valor final aplica o no. Si existe Entonces Sea Sin embargo, Otro ejemplo Sea El teorema no se puede aplicar aquí

Teorema del Valor Inicial Si f(t) no tiene descontinuidades infinitas en t=0 Entonces, lim f(t) cuando t tiende a cero por la Derecha es igual al lim F(s) cuando s tiende a Infinito La inversa de la transformada de Laplace mediante Expansión en fracciones parciales. El método de Expansión en fracciones parciales aplica únicamente A funciones racionales en “s” que sean estricatamente Propias. Si existe Entonces Ej: Es impropia dado que el grado del numerador es mayor que el del denominador.

Funciones estrictamente propias con polos reales y distintos

F(s) tiene polos reales y algunos están repetidos No se puede hacer esto Método de los residuos de Heavyside 0

Respuesta de sistemas con ceros La respuesta del sistema consta de dos partes: la derivada de la respuesta original y u escalamiento de la respuesta original dada por aC(s)

Si a es muy grande, la respuesta se puede aproximar al término aC(s)

Si a no es muy grande, la respuesta tendrá un término derivativo que contribuye a la respuesta

Para valores pequeños de a podemos esperar %OS más grandes

Para ceros en el semiplano derecho, la respuesta seguirá inicialmente al término derivativo en dirección opuesta al escalado por a, resultando en un pico negativo

Dado por el cero en el semiplano positivo Este sistema se denomina “non minimum-phase system Sistema superior con un cero No es muy pequeño comparado con los otros residuos Este término no se puede despreciar para aproximarlo a un sistema de segundo orden