Métodos para determinar la acumulación de tolerancias en un ensamble (página 2)

Fig. 2.8-1: análisis de la Tolerancia (Drake, 1999).

Los tres tipos de análisis de la tolerancia son la sensibilidad, la variación, y la contribución del análisis. Análisis de sensibilidad es el estudio de cómo los diseñadores pueden medir de forma cualitativa o cuantitativamente, la variación en la producción de un modelo (Numérico o de otro tipo). El Análisis de Variación pone de manifiesto la variación total en la dimensión crítica, debido a todas las variaciones admisibles en todas las características que contribuyen.

La Contribución del análisis da el coeficiente de variación en la dimensión crítica debido al total rango de variación o diferencia en todas las características que contribuyen.

Análisis de sensibilidad

Análisis de sensibilidad ayuda a tomar decisiones acerca de cómo ajustar o asignar tolerancias individuales con el fin de lograr la variación aceptable en la dimensión crítica. El análisis de sensibilidad calcula la derivada parcial de la ecuación del ensamble, con respecto a cada variable como.

En este caso, y las derivadas parciales

Como un aumento en da resultados en igual decremento en una cantidad igual a ÃY. Las otras derivadas parciales son todas + 1, porque aumenta en en un incremento equivalente en ÃY. Para la mayoría de dos y tres dimensiones, el montaje de la ecuación no es lineal. Análisis de Variación

El Análisis de variación permite al diseñador garantizar que la variación crítica es aceptable para un correcto funcionamiento del ensamble, dada la característica de cada tolerancia especificada. El principal motivo para los problemas de tolerancia identificados hasta la fase de construcción es el fracaso de llevar a cabo un análisis de varianza (Milberg 2006).

Donde

Es el valor de la tolerancia bilateral

Análisis de Contribución

El análisis de contribución es el porciento de las contribuciones de cada función a la variación general de variación en la dimensión crítica. La contribución de la variación es una característica de una función de derivadas parciales con respecto a esa variable y función de la magnitud de la tolerancia (Soderberg et al. 1999, Gerth 1997, y la de Parkinson y Chase 1991).

El análisis de contribución proporciona información útil para tomar decisiones acerca de cómo ajustar o volver a asignar cada función de las tolerancias con el fin de lograr la variación aceptable en la dimensión crítica.

Tolerancia de pila o Tolerancia Stackup

La Tolerancia Stackup es el medio de análisis y predicción de la variación independientemente de la característica que existe sobre el papel o sobre las partes que ya se han producido. La tolerancia Stackup es una herramienta para la toma de decisiones, obtener información que ayuda a la hora de responder a una o más preguntas sobre un determinado diseño.

La información es numérica y el resultado de la tolerancia de pila es generalmente una distancia mínima o máxima y, normalmente, sólo uno de estos límites son de interés. Tolerancia Stackup proporciona respuestas a las siguientes preguntas (Fischer 2004) ": ¿Estas dos superficies de contacto en el peor de los casos? En caso afirmativo, ¿cuánto van a interferir? ¿Por qué hay interferencia entre las superficies?

¿La tolerancia o la parte del proceso de montaje permiten la injerencia? Los ensambles se componen de partes variables y las variantes adicionales son posibles, como parte del proceso de montaje.

Es importante comprender los siguientes factores que regulan las dimensiones y tolerancias que se incluirán en una tolerancia de pila.

La geometría de las piezas y conjuntos que contribuyan a la distancia que se estudian.

Las piezas y conjuntos de geometría desempeñan un papel importante en determinar qué función afecta a la distancia de estudio.

El apareamiento de las partes en condiciones de montaje, el grado de contacto de superficies, el ángulo de las interfaces, y la función a realizar de las partes entre sí. El dimensionamiento y tolerancias utilizadas por parte de montaje y los dibujos son también importante en la determinación de las dimensiones y tolerancias que deben incluirse en la cadena de dimensiones y tolerancias. Esto añadirá menos variación a cadena de dimensiones y tolerancias, a causa del esfuerzo por parte del diseñador a visualizar y reducir al mínimo la acumulación de la tolerancia a una característica importante.

El proceso de montaje también desempeña un papel importante en el que las dimensiones y tolerancias se incluyen en las dimensiones y tolerancias de la cadena. El entendimiento si las partes serán ensambladas a mano, o si se reunieron en una línea de montaje o si se ha montado usando una maquina automatizada es importante. El proceso de montaje puede añadir o eliminar muchas variaciones en varias maneras.

La dirección de la tolerancia de pila es siempre a lo largo de una línea recta. Una vez que el diseñador elige la dirección, todas las dimensiones y tolerancias que afectan a la distancia objeto de estudio son incluidos en el análisis de la tolerancia de pila. Los diseñadores pueden necesitar el uso de la trigonometría.

Las dimensiones y tolerancias perpendiculares a la dirección de la tolerancia acumulación no tienen ningún efecto en el análisis y no se incluyen en la cadena de dimensiones y tolerancias (Fischer 2004).

Acumulación de tolerancias

La acumulación de la tolerancia, es la diferencia entre dos dimensiones características de una parte sobre la base de la tolerancia de la gama intermedia de dichas dimensiones. Aplicar las dimensiones y tolerancias en las características de una parte puede tener un enorme efecto en la parte terminada.

VARIACION EN LAS POSICIONES DE ENSAMBLAJE.

Son tres las fuentes principales que deben ser tenidas en cuenta en la variación de las posiciones de ensamble. [Chase, 1999]:

1º.- Las variaciones debidas a las tolerancias dimensionales (longitudinales y angulares).

2º.- Las variaciones debidas a las tolerancias geométricas (posición, redondez, planicidad…).

3º.- Las variaciones cinemáticas (pequeños desplazamientos en los acoplamientos de las piezas).

En el siguiente ejemplo (figura 1), vemos cómo las variaciones de la forma y dimensiones del cilindro y la ranura, son consecuencias de la rugosidad y posición de las superficies, y por lo tanto del proceso de fabricación. La variación cinemática es consecuencia de ajustarse a las variaciones dimensionales y geométricas en la unión o acoplamiento de las piezas.

Fig. 1- Acoplamiento teórico y real de dos piezas.

La distancia U1 en el acoplamiento del cilindro con la ranura es función de las dimensiones de A, R y

?. La pregunta clave es ¿Cuál es la tolerancia de Y?, sabiendo que depende de las tolerancias y distribuciones estadísticas de A, R y ?. En este ejemplo concreto, el problema se puede resolver analíticamente y por medio de una hoja de cálculo, pero no en los casos generales de mecanismos en 3D. En este último caso, nos tenemos que apoyar en la geometría de los modelos en 3D del CAD o en la esquelitización de sus modelos.

La descripción del problema general de análisis de tolerancias de los conjuntos y mecanismos aun es más compleja ya que además de estudiar las tolerancias dimensionales y el aspecto superficial, del ejemplo anterior, influyen el orden de montaje y las tolerancias geométricas. Para ilustrar el análisis de tolerancias en general, tomaremos el siguiente ejemplo. Suponemos un conjunto formado únicamente por dos piezas. Podemos hacerlo de dos formas: poniendo en contacto primero las caras horizontales y luego las verticales, o al revés. Si ambas piezas fuesen perfectas (fig. 2), el resultado sería el mismo.

Fig. 3.- Piezas con tolerancias teóricas. Piezas reales.

Si realizamos el estudio teniendo en cuenta las tolerancias teóricas. Podemos comprobar como influye el orden de montaje. Si ponemos en contacto primero las caras verticales y luego las horizontales, obtenemos el resultado de la derecha (fig. 4); si ponemos primero las horizontales y luego las verticales, obtenemos el resultado de la izquierda.

Si además estudiamos la influencia real de las superficies, los puntos de apoyo de la superficie horizontal pueden ser distintos, en función de su aspecto superficial, obteniendo distintas posiciones de las piezas (fig. 5).

De los ejemplos anteriores deducimos que en el análisis de tolerancias influyen tanto las tolerancias individuales de cada pieza, como la secuencia y métodos de montaje de cada pieza en el conjunto. Para resolver el problema debemos actuar sobre aquellas tolerancias que realmente influyen en las mediciones finales, y sobre los procesos de montaje.

Estimación de la acumulación de tolerancias en los ensambles.

Los conceptos teóricos aplicados a las cadenas de cotas unidimensionales y bidimensionales son aplicables también a los ensamblajes tridimensionales, convirtiéndose el planteamiento del problema en un cálculo matricial de vectores de cota, en el espacio.

La estimación de las tolerancias acumuladas ?U o ?V pueden ser calculada por suma de los productos de la tolerancia sensitiva y la variación de los componentes del método DLM (Direct Linearization Method).

Donde:

??U??es el vector de las variaciones del ensamblaje en el lazo cerrado.

??V??es el vector de variaciones de los requisitos prefijados en el ensamblaje.

?dX??es el vector de pequeñas variaciones en las direcciones de los componentes.

es la variación característica que sufre la dimensión Ui ó Vi del ensamble al variar la dimensión del componente Xj un valor ?Xj.

La estimación de la tolerancia se puede realizar de tres modos:

• 1. Por el método del peor de los casos.

Suponiendo que la tolerancia del ensamblaje es igual a la suma de las tolerancias que intervienen en lo condición de ensamblaje

Por lo tanto,

Por medio de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

La ley de propagación de la varianza nos dice que sí y = f(x),

donde Ui es cada una de la desviaciones típicas de los componentes y Uy es la desviación típica del ensamblaje.

En esta hipótesis se desprecia la influencia de la covarianza, para lo cual se debe cumplir que las variables xi sean independientes.

Aplicando esta teoría a nuestro caso podemos escribir:

?Xj es la variación del componente Xj, que en la mayoría de los casos es desconocida, por lo que suponemos que es simétrica e igual a ?3??(desviación típica), que corresponde al valor de la tolerancia.

• 2. De forma aleatoria, por simulación del método de Monte Carlo.

El método Monte Carlo estima la variación dimensional en un ensamblaje, debido a las variaciones dimensionales y geométricas de los distintos componentes del ensamblaje.

Conocida o estimada la distribución de las variables de entrada, podemos estimar la variable de salida (en el ensamblaje), de forma estadística y la distribución que sigue, siempre y cuando se conozca la función de ensamblaje.

En la figura 6, se muestra conceptualmente este método:

La simulación consiste en seleccionar valores aleatorios para las dimensiones de entrada independientes, de sus respectivas distribuciones probabilísticas, y calcular las dimensiones resultantes de la función ensamblaje. El proceso se realiza de forma iterativa si la función es implícita.

Si la función vectorial de ensamblaje es explícita además de utilizar el método de Monte Carlo, se puede utilizar el método de DLM (Direct Linearization Method), que utiliza las matrices algebraicas y restricciones cinemáticas, para estimar la variación de las variables cinemáticas o de ensamblaje y predecir el número de piezas rechazadas.

Si se utiliza el método Monte Carlo, estimamos la media, la desviación típica y coeficiente de curtosis, pudiendo compararse las características del ensamblaje a las de una muestra.

Los ensamblajes rechazados por estar fuera de los límites, pueden ser contados durante la simulación en las salidas del método de Monte Carlo, pudiendo estimar los rechazos. La distribución más utilizada es la normal o de Gauss, cuando no se conoce su distribución.

El número requerido para el muestreo es función de la exactitud en la variable de salida. [Gao, 1995] Realizó un estudio de siete mecanismos en 2D, uno en 3D, incluyendo en dos de ellos control de tolerancias geométricas, además de las dimensionales.

Comparó el método Monte Carlo con el método DLM, obteniendo los siguientes resultados:

– El método DLM es preciso estimando la variación del ensamblaje. Es también preciso en predecir los rechazos de ensamblajes, en la mayoría de los casos, excepto cuando el número de restricciones cinemáticas no lineales es alto.

– El tamaño de la muestra tiene gran influencia en predecir los ensamblajes rechazados en el método Monte Carlo, pero el efecto es pequeño en la simulación de las variaciones del ensamblaje, para tamaño de muestreo mayor de 1.000 simulaciones.

– Las restricciones no lineales en los ensamblajes, pueden causar un cambio significativo en el resultado de las dimensiones cinemáticas del ensamblaje y en la simetría de la distribución.

– Para muestreo superior a 30.000, es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir la variación del ensamblaje.

– Para muestreo superior a 10.000 es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir los ensamblajes rechazados. Por debajo de este muestreo la predicción de rechazos da peor resultado

– Para muestreo de 100.000 o superior los resultados son razonablemente precisos.

Posteriormente [Cvetko, 1998] comprueba la influencia del tamaño de la muestra en la simulación por el método Monte Carlo, comparando el error cometido en un ensamblaje entre muestras de 1.000 y 10.000 ensamblajes, con intervalo de confianza de ??(68%). Comprobando que:

– Las medias y las variaciones son suficientemente próximas.

– Los momentos de tercer y cuarto orden (simetría y curtosis), pueden no ser próximos.

Métodos de dimensionado

Dimensionado de Cadena.

Dimensionado de cadena es el método del comienzo de la siguiente característica al final de la última. Parece bastante simple, pero algunos pueden no darse cuenta de que esto da la mayor cantidad de variación. La ilustración siguiente muestra una simple parte de Giró, utilizando este método. La muestra se basa en parte para tener una distancia media de 3500 "entre las superficies A y B. Sumando los límites de tolerancia de las tres dimensiones intermedias, se verá que la diferencia es de + / – .015". Esto haría que la distancia máxima entre A y B a ser 3.515". Esto puede no parecer mucho, pero puede ser suficiente para afectar el desempeño total del diseño.

Línea de base Dimensionado

Línea de base Dimensionado da un mejor resultado que dimensionado de cadena. Al utilizar este método se crea menos diferencia entre las características ya que la verdadera diferencia es la tolerancia de las dos características finales. Esta vez utilizando la línea de base dimensiones, la diferencia es de + / – .010 porque sólo se le va a añadir el margen de tolerancia de la dimensión que afecta a la A y la B, de la tolerancia. Esto hará que la distancia máxima entre A y B sea de 3.510". Esto es mejor que antes, pero podemos hacerlo mejor.

Dimensionado Directo.

El dimensiado directo le dará un mejor control de las dimensiones de acabado de la pieza y las características que desea controlar. En esta parte hemos estado preocupados acerca de la verdadera distancia entre A y B, así que por qué no sólo controlar esa dimensión. Al añadir la adición de una dimensión entre A y B que cortar la diferencia a + / -. 005 ", esto nos daría una distancia máxima de 3.505". No estoy diciendo que no debería utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores. Cada método tiene su lugar y usted debe considerar lo que diferencia puede aceptar cuando su dimensionamiento partes. Cada método tiene su lugar y usted debe considerar la diferencia que puede aceptar en su dimensionamiento.

Usos y aplicaciones

La correcta interpretación de la acumulación de tolerancias permite al diseñador tener un mejor funcionamiento en su diseño ya que se toman en cuenta el ensamble dé cada pieza así como también la función a realizar. Aquí se presentan algunos puntos importantes en donde interviene la acumulación de las tolerancias:

1.- Permite la determinación máxima de la variación posible entre dos funciones en una sola parte o más comúnmente entre los componentes de un ensamble.

2.- Permite al diseñador del producto o proceso optimizar el margen de tolerancia de las partes y ensambles en un nuevo diseño para equilibrar la precisión y el costo actual de capacidad del proceso. 3.- Determina las tolerancias admisibles, parte necesaria para satisfacer las condiciones de montaje final.

4.- Determina si el rendimiento de las tolerancias especificadas es aceptable entre los componentes montados.

5.- Determina el efecto de modificar un valor de tolerancia en función del ensamble. 6.- Explora las alternativas de diseño utilizando diferentes partes o características para satisfacer los requisitos del ensamble.

Conclusión

En resumen se puede decir que el manejo de tolerancias en un ensamble no con 2 si no con varias piezas no es tan sencillo ya que conlleva toda una metodología para analizarlas desde métodos de suma de tolerancias directamente hasta métodos más complicados como derivadas parciales de ecuaciones, pero que permiten una mayor exactitud y precisión en el diseño.

En el presente trabajo se pudo observar que la correcta interpretación de las tolerancias permite que el diseño tenga un mejor desempeño en la labor que se va a realizar así como también un aumento en la durabilidad y como consecuencia una disminución en el mantenimiento; otro aspecto analizado hace referencia al tipo de ensamble en las piezas que juega un papel muy importante debido a la imposibilidad de asignar una misma tolerancia a piezas que se ensamblaran manualmente, a otras que se ensamblaran con maquinaria automatizada; por último es de vital importancia resaltar el cuidado de la marcación del orden de ensamblamiento de las piezas, ya que estas pueden estar bien colocadas en un lado pero del otro no, hasta llegar a haber interferencias entre las piezas ensambladas.

Referencias y bibliografía de Internet

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Acharjee, Tapas, LOS LIMITES DE LA INVESTIGACION DE ACUMULACION Y SU IMPACTO EN LA FIABILIDAD DEL SITIO DE INSTALACION DEL EMPLEO, Universidad de Cincinnati, (2007). Asesor Cynthia CY Tsao, extraído (04/05/09)

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THE SOLIDWORKS GEEK, Acumulación de tolerancias ( Sep. 3, 2008 ), Por El Geek SW, |Categoría: Diseño de Normas, extraído (04/05/09) http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.theswgeek.com/2008/09/03/standards-wednesday-tolerance-accumulation/&ei=KN39Se7ZCpGktAPDof3MAQ&sa=X&oi=translate&resnum=1&ct=result&prev=/search%3Fq%3Daccumulation%2Bof%2Btolerances%26hl%3Des%26lr%3D%26safe%3Dactive%26sa%3DG

Autor:

Eber Eleazar Arciniega Delgado

Ing. Pedro Zambrano Bojórquez

Instituto tecnológico de Chihuahua

México

04 de mayo de 2009