13 MÉTODO DE CHARLES S. WHITNEY
Este método consiste en suponer una distribución uniforme de los esfuerzos de compresión de intensidad 0.85 f’c actuando sobre un área rectangular limitada por los bordes de la sección y una recta paralela el eje neutro, localizada a una distancia a = ß1 c de la fibra de máxima deformación en compresión. Figura 1.1. Cuña rectangular de esfuerzos equivalentes en una viga. En la figura 1.1 se ilustra la cuña rectangular de Whitney en el caso de flexión en una viga. La distribución rectangular de esfuerzos tiene que cumplir dos condiciones: 1. El volumen de la cuña rectangular C tiene que ser igual al volumen de la cuña real (Fig. 1.1). 2. La profundidad a 2 de la resultante C en la cuña rectangular que tiene que ser igual a la profundidad ß2c de la resultante C en el diagrama real de esfuerzos. Cumpliendo esas dos condiciones, la mecánica de las fuerzas interiores en una sección dada no se altera. La hipótesis (F) hace que la compresión total como volumen de la cuña rectangular tenga el valor: C = 0.85F`c.a.b (a)
Para una sección rectangular. Si se designa por ß1 la relación entre el área real del diagrama de compresiones (Fig. 1.1) y el área del rectángulo circunscrito a ese diagrama, el volumen de la cuña real de compresiones puede escribirse así: C = 0.85F`cß1cb (b) Por lo que igualando las ecuaciones (A) y (B) para que cumpla la primera condición: 0.85F`c.a.b = 0.85F`cß1cb De donde: a = ß1 c Como lo establece la hipótesis (F) ya citada. La segunda condición que deben cumplir las resultantes de los dos diagramas (el real y el rectangular, se cumplen con la expresión): a 2 ß2 = Es decir: ß1c 2 ß2 = Por lo tanto: ß1 2 ß2 = En consecuencia: ß2 se tomará igual a 0.425 para concretos con 2 cm F`c = 280kg cm2 y disminuirá a razón de 0.025 por cada 70kg en exceso de los 280 En el diagrama real de esfuerzos de la figura 1.1 se ha asignado a los esfuerzos de compresión un valor máximo de 0.85F ’c, en lugar de f’c que es la fatiga de ruptura en cilindros a los 28 días. Eso se debe principalmente a que los elementos estructurales por lo general tienen una esbeltez mayor que 2, que es la correspondiente a los cilindros de prueba. La esbeltez influye en forma muy importante en el esfuerzo final de ruptura, el cual disminuye hasta cerca del 85% para esbelteces de 6 o mayores.
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15 El tipo de carga también podría tener influencia en la reducción del esfuerzo de ruptura del concreto en las estructuras, pues en estas es de larga duración, cuando menos la correspondiente a carga muerta, la cual actúa permanentemente desde un principio. Sin embargo, considerando que la carga muerta suele ser de un 40% del valor de las cargas totales, su acción en la fatiga final de ruptura no parece ser muy importante.
FACTORES DE CARGA
Factor de carga es el número por el cual hay que multiplicar el valor de la carga real o de servicio para determinar la carga última que puede resistir un miembro en la ruptura.
Generalmente la carga muerta en una estructura, puede determinarse con bastante exactitud pero no así la carga viva cuyos valores el proyectista solo los puede suponer ya que es imprevisible la variación de la misma durante la vida de las estructuras; es por ello, que el coeficiente de seguridad o factor de carga para la carga viva es mayor que el de la carga muerta. Los factores que en el reglamento del ACI se denominan U, son los siguientes: A) Para combinaciones de carga muerta y carga viva:
U = 1.4D + 1.7L Donde: D = Valor de la carga muerta y L = Valor de la carga viva B) Para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga accidental:
U = 0.75 (1.4D + 1.7L + 1.7W) o U = 0.75 (1.4D + 1.7L + 1.87E) Donde: W = Valor de la carga de viento y
E = Valor de la carga de sismo Cuando la carga viva sea favorable se deberá revisar la combinación de carga muerta y carga accidental con los siguientes factores de carga:
U = 0.90D + 1.30W
U = 0.90D + 1.30E FACTORES DE REDUCCIÓN
Es un número menor que 1, por el cual hay que multiplicar la resistencia nominal calculada para obtener la resistencia de diseño. Al factor de reducción de resistencia se denomina con la letra Ø: los factores de reducción son los siguientes:
Para: Flexión ……………………………………………0.90 Cortante y Torsión …………………………….0.75 Adherencia ………………………………………0.85 Compresión con o sin flexión columnas con refuerzo helicoidal ………..0.75 Columnas con Estribos ……………………..0.70
El factor de reducción de resistencia toma en cuenta las incertidumbres en los cálculos de diseño y la importancia relativa de diversos tipos de elementos; proporciona disposiciones para la posibilidad de que las pequeñas variaciones adversas en la resistencia de los materiales, la mano de obra y las dimensiones las cuales, aunque pueden estar individualmente dentro de las tolerancias y los
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17 límites pueden al continuarse, tener como resultado una reducción de la resistencia. II DISEÑO DE VIGAS
18 VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS Una viga de concreto es rectangular, cuando su sección transversal en compresión tiene esa forma. Es simplemente armada, cuando sólo tiene refuerzo para tomar la componente de tensión del par interno. En general, en una viga la falla puede ocurrir en dos formas: Una de ellas se presenta cuando el acero de refuerzo alcanza su límite elástico aparente o límite de fluencia Fy; sin que el concreto llegue aún a su fatiga de ruptura 0.85 F`c. La viga se agrietará fuertemente del lado de tensión rechazando al eje neutro hacia las fibras más comprimidas, lo que disminuye el área de compresión, aumentando las fatigas del concreto hasta presentarse finalmente la falla de la pieza. Estas vigas se llaman “Subreforzadas” y su falla ocurre más ó menos lentamente y va precedida de fuertes deflexiones y grietas que la anuncian con anticipación. El segundo tipo de falla se presenta cuando el concreto alcanza su límite 0.85 F`c mientras que el acero permanece por debajo de su fatiga Fy. Este tipo de falla es súbita y prácticamente sin anuncio previo, la cual la hace muy peligrosa. Las vigas que fallan por compresión se llaman “Sobrereforzadas”. Puede presentarse un tipo de vida cuya falla ocurra simultáneamente para ambos materiales, es decir, que el concreto alcance su fatiga límite de compresión 0.85 F’c, a la vez que el acero llega también a su límite Fy. A estas vigas se les da el nombre de “Vigas Balanceadas” y también son peligrosas por la probabilidad de la falla de compresión. Para evitar las vigas sobre reforzadas y las balanceadas, el reglamento del ACI 318-04 limita el porcentaje de refuerzo al 75% del valor correspondiente a las secciones balanceadas. Por otra parte, también las vigas con porcentajes muy pequeños, suelen fallar súbitamente; para evitar ese riesgo el reglamento ACI 318-04 exige que el porcentaje mínimo en miembros sujetos a flexión sea de:
0.85ß1F` c c 0.003+ 2.039×10 19 14.5 Fy ? = . c El porcentaje de la sección balanceada se obtiene como sigue:
Por equilibrio de fuerzas: C =T C = 0.85F`ß1bc T = As.Fy Por lo tanto: c 0.85F`ß1bc = As.Fy c d c As bd Fy = 0.85ß1F` Llamando: As bd ? = Fy d . ? = (2.1) Del diagrama de deformaciones, aceptando las condiciones de viga balanceada: ec = 0.003 Fy Es e y = c d = = = 6115 6115+ Fy 0.003 Fy 6 ec ec +e y Por lo tanto: c 6115 6115+ Fy . 0. 85ß1F` Fy ?b = (2.2) La expresión (2.2) representa el valor del porcentaje de refuerzo en la sección balanceada de una viga. El reglamento ACI 318-04 limita el porcentaje máximo aplicable a miembros sujetos a flexión, a 75% de ese valor por las razones ya explicadas. c 6115 6115+ Fy . 0.75×0.85ß1F` Fy ?max = (2.3)
20 El momento último resistente de una viga rectangular puede deducirse de la siguiente manera: C =T en consecuencia: c 0.85ß1F`.b.c = AsFy Fig. 2.1. Deformaciones y esfuerzos en una viga rectangular. El asignar a fs el valor Fy. Se está considerando que el acero fluye y la viga es sobrereforzada: c AsFy 0.85ß1F`.b c = Si llamamos: As bd ? = d c ?Fy 0.85ß1F` c = (2.4) Que es la profundidad el eje neutro en la ruptura. El momento último del par es: Mu = C.(d -ß2.c) (Fig. 2.1) En donde: c C = 0.85ß1F`.b.c Y sustituyendo valores de C y c: ) c Fy F` ? ß2 0.85ß1 Mu = ?Fybd2.(1- Y se designa por: c Fy F` ? = ? a) c ß2 0.85ß1 Mu = bd 2F`.?.(1- (2.5) Anteriormente habíamos establecido que ß1 = 2ß2
Mu =f. AsFy.(d – ) 21 Por lo tanto: c Mu = bd2F`.?.(1-0.59?) Estableciendo el momento último en función del acero de refuerzo se produce de la siguiente manera, refiriéndose a la figura 2.1 y empleando la cuña rectangular de Whitney: a 2 Ambas expresiones del momento último, el reglamento las propone afectadas de un coeficiente de seguridad que como ya se vio, para las vigas vale 0.9, por lo que quedarían finalmente: c Mu =f.(bd 2F`.?.(1-0.59?) a 2 (2.6)
(2.7) En donde: c AsFy 0.85F`.b a = (2.8) En función de porcentaje, el momento último toma la forma: ) c Fy F` Mu =f. bd2?Fy(1-0.59? (2.9) c Despejando el índice de refuerzo “W” de la fórmula (2.6): Mu =f.[F`.bd 2?(1-0.59?)]
Dado que f = 0.90 ] c Mu = 0.90[F`.bd 2?(1-0.59?) c c Por lo tanto: c c Mu = 0.90F`.bd2? -0.53F`.bd 2?2 0.53F`.bd2?2 -0.90F`.bd 2? + Mu = 0 ) = 0 c Mu 0.53F`.bd2 c 0.53F`.bd 2.(?2 -1.698? + ) c Mu 0.53F`.bd2 ? = 0.849± (0.721-
En la fórmula anterior, únicamente se toma el signo negativo ya que si tomamos el valor positivo del radical resultaría “W” muy alto y al calcular el c F` Fy , resultaría mayor que el máximo porcentaje de acero “? ” con ? =?
permisible, ?max = 0.75?b Así que: ) c Mu 0.53F`.bd2 ? = 0.849- (0.721- (2.10) REQUISITOS DE SEPARACIONES Y RECUBRIMIENTOS LIBRES DEL ACERO DE REFUERZO EN VIGAS
Recubrimiento El refuerzo debe de tener recubrimiento adecuado cuyo fin es el de proteger al acero de dos agentes: La corrosión y el fuego. La magnitud del recubrimiento debe fijarse por lo tanto, según la importancia de estos agentes agresivos. Por lo tanto, debe proveerse de un recubrimiento suficiente para tales fines, aunque un recubrimiento demasiado grande, provocará demasiadas grietas. El agrietamiento se debe a las deformaciones causadas por los cambios volumétricos y los esfuerzos ocasionados por fuerzas de tensión, por momentos flexionantes, o por las fuerzas cortantes. El recubrimiento se mide desde la superficie del concreto hasta la superficie exterior del acero, a la cual, se aplica el recubrimiento. Cuando se prescriba un recubrimiento mínimo para una clase de elemento estructural; éste debe medirse: Hasta el borde exterior de los estribos, anillos ó espirales, si el refuerzo transversal confina las varillas principales hasta la capa más cercana de varillas, si se emplea más de una capa sin estribos o anillos, hasta los dispositivos metálicos de los extremos o los ductos en el acero de preesfuerzo postensado. El reglamento del A.C.I. 318-04 recomienda un recubrimiento mínimo de 4 cm. para vigas.
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23 Límites para el Espaciamiento del Refuerzo en Vigas En cuanto a la separación de las varillas en vigas, el reglamento del A.C.I. 318-04 recomienda lo siguiente: La distancia libre entre barras paralelas no debe ser menor que: El diámetro nominal de las barras: 1.3 veces el tamaño máximo del agregado grueso ò 2.5 cm. Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o màs capas, las varillas de las capas superiores, deben colocarse exactamente arriba de las que están en las capas inferiores, con una distancia libre entre ambas; no menor de 2.5 cm. Deflexiones en Vigas El cálculo de deflexiones tiene dos aspectos. Por un lado, es necesario calcular las deflexiones de miembros estructurales bajo cargas y condiciones ambientales conocidas. Por otro lado, deben establecerse criterios sobre límites aceptables de deflexiones. El problema de calcular las deflexiones de miembros de estructuras reales es aún más difícil que el de estimar las deflexiones de vigas ensayadas en laboratorios. Los siguientes son algunos de los factores que lo complican. El comportamiento del concreto es función del tiempo y, por consiguiente en cualquier enfoque riguroso debe de tenerse en cuenta la historia de carga del miembro investigado. En la práctica esto no es posible generalmente, ya que las condiciones de carga son muy variables, tanto en magnitud como en el tiempo de aplicación. También son difíciles de predecir las variaciones de humedad y temperatura con el tiempo, las cuales tienen influencia sobre las deflexiones a largo plazo.
24 El segundo aspecto, o sea, la limitación de deflexiones, es importante desde dos puntos de vista. En primer lugar, las deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños en otros miembros estructurales, o más frecuentemente en elementos no estructurales como muros divisorios, o acarrear problemas como acumulación de agua en azoteas. Los valores de las deflexiones permisibles dependen desde este punto de vista de varios factores, tales como el tipo de elementos no estructurales, tipo de conexión entre el miembro estructural y otros elementos estructurales o no, y del método de construcción utilizado. En segundo lugar, a veces es significativa la respuesta humana ante las deflexiones de los miembros. Las deflexiones excesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura, ya que producen una sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético. Existen métodos para el cálculo de deflexiones de vigas bajo cargas de servicio de corta y larga duración. Algunos de estos métodos son: Métodos de YU y WINTER, Método del Reglamento del A.C.I. 318-04, Método de las NTCDF, además de otros métodos como los propuestos por el Comité Euro-Internacional del Concreto (CEB). Deflexiones Permisibles Se ha mencionado anteriormente que las deflexiones de elementos estructurales deben limitarse por dos razones: Por la posibilidad de que provoquen daños en otros elementos de la estructura y por los motivos de orden estético. El valor de las deflexiones permisibles para evitar daños en otros elementos, depende principalmente del tipo de elementos y de construcción empleados, también debe de considerarse el procedimiento de construcción. Desde el punto de vista estético, el valor de las deflexiones permisibles depende principalmente del tipo de estructura y de la existencia de líneas de
referencia que permitan apreciar las deflexiones. Es obvio que las deflexiones permisibles en una residencia deben ser menores que en una bodega. Cuando existe una línea horizontal de referencia, las deflexiones permisibles deben fijarse como un valor absoluto, mientras que si no existe dicha referencia, es más conveniente fijar las deflexiones permisibles como una fracción del claro de la viga. La posibilidad de dar contraflechas es otro factor que debe tomarse en cuenta al establecer las deflexiones permisibles. El valor de la contraflecha puede restarse de la deflexión calculada y la diferencia, compararse con la deflexión permisible. Sin embargo, no deben darse contraflechas excesivamente grandes.
Control de Deflexiones
El reglamento A.C.I. 318-04 permite prescindir del cálculo de deflexiones de vigas y de losas que trabajan en una dirección siempre que se satisfagan los peraltes no perjudique a elementos no estructurales.
Tabla 2.1 Peraltes totales mínimos de vigas y losas que trabajan en una dirección cuando no se calculan las deflexiones y cuando las deformaciones de dichos elementos no perjudican a elementos no estructurales. La longitud “L” es en cms. Nota: Estos valores se aplican para concreto de peso normal y acero con límite de fluencia Fy = 4220 kg/cm².
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Para valores distintos de Fy, los valores de esta tabla deberán multiplicarse por: ) Fy 7030 (0.4+ c Algunos Criterios para el Dimensionamiento de Vigas
El caso mas general en el dimensionamiento de vigas es aquél en el que son conocidos el momento flexionante y las resistencias de los materiales y se trata de determinar las dimensiones de la sección y el área de acero necesaria. En la ecuación de flexión: Mu =f.[F`.bd 2?(1-0.59?)] Existen tres variables independientes que intervienen en el problema: b, d y W. Según la forma en que se plantea el problema y de acuerdo con algún criterio conveniente, se suelen fijar los valores de dos de estas variables y se calcula la tercera de ellas. Una forma común de proceder consiste en suponer un valor de P, a partir del cual se determina un valor de W, y el valor de la relación b/d. En casos prácticos puede resultar preferible partir de la relación b/h. El valor de P que se suponga debe estar comprendido entre los límites inferior y superior permisibles, y debe fijarse atendiendo a consideraciones económicas. Para condiciones de costos prevalecientes en México, los porcentajes pequeños suelen conducir a soluciones mas económicas. Si el valor escogido es del orden de 0.35 a 0.50 Pb o menor, habrá poco riesgo de que las deflexiones sean excesivas. Sin embargo, puede suceder que sea necesario lograr secciones esbeltas por motivos arquitectónicos o para disminuir el peso propio, y entonces conviene usar porcentajes elevados. El valor de b/d que se suponga, influye considerablemente en el costo de la estructura: Mientras más peraltada sea la sección, menor es el consumo de materiales. Sin embargo, el uso de peraltes excesivamente grandes puede llevar a problemas de inestabilidad lateral y a un aumento en el costo de los acabados del edificio, debido al incremento en el espesor de los sistemas de piso. También el costo de la cimbra aumenta con el peralte de la viga. Cuando no existen
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27 limitaciones en el peralte, los valores b/d suelen estar comprendidos entre ¼ y ½ aproximadamente.
EJEMPLOS DE VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS.
Determinar el último momento resistente de una viga rectangular simplemente armada, investigando si la viga falla en tensión o compresión. A) B) Por medio de la cuña rectangular de esfuerzos. Por fórmulas. DATOS: c SOLUCION:
a).- Por medio de la cuña rectangular. 1.- Cálculo de la profundidad del eje neutro. Cuyo valor no debe exceder de: C =T 0.85F`.a.b = As.Fy Suponiendo que el acero fluye. c AsFy 0.85bF` a = Sustituyendo los valores en la ecuación anterior tenemos:
Mu =f AsFy(d – ) 28 (10.14)(4250) (0.85)(20)(200) =12.58cm a = 2.- Tipo de falla de la viga. Para calcular el tipo de falla de la viga, podemos calcular la Deformación Máxima del concreto cuando el acero empieza a fluir.
Del diagrama de Deformaciones de la figura anterior tenemos. c d -c = ec e y e y -c d -c ec = Recordando que: a = ß1c y como F`c = 200 kg/cm² < 280 kg/cm² 12.58 0.85 =14.80cm = ß1 = 0.85 Por lo tanto: c = a ß1 = 0.0021 = 4250 2.1×106 Fy Es e y = Por lo tanto: = 0.0012 (0 .0021)(14 .80) 40 -14.80 ec = Resultó menor que 0.003 y por lo tanto, la viga falla en tensión.
3.- Momento resistente. a 2 Donde f = 0.90 para flexión Sustituyendo: ) =1298230kg – m 12.58 2 Mu = 0.90 10.14×4250(40-
. 29 b).- Por Formulas.
1.- Calculo del porcentaje de acero. = 0.0127 = 10.14cm2 (20cm)(40cm) As bd ? = Cuyo valor no debe exceder de: c F` 6115 Fy 6115+ Fy ? = 0.75×0.85ß1 = 0.0152 200 6115 4250 6115+ 4250 ? = 0.75(0.852) El porcentaje de la viga es mucho menor que el límite que señala el reglamento y que corresponde el 75% del valor del porcentaje para sección balanceada. Por lo tanto, “la viga es subreforzada y falla en tensión”.
2.- Calculo del último momento resistente. c Fy F` ? = ? ( 0.0127)( 4250) 200 = 0.268 ? = c Mu =f(bd2F`?(1-059?) Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:
Mu = 0.90(20)(402)(200)(0.268)[1-(0.59)(0.268)] Mu = 1299593 kg-cm
30 En los siguientes ejemplos se procede a calcular el área de acero de una viga rectangular simplemente armada para que resista un momento último dado, conociendo la resistencia de los materiales y proponiendo una sección.
Se busca que las vigas sean subreforzadas ya que como se mencionó anteriormente su falla ocurre más o menos lenta y va precedida de grietas y deflexiones que la anuncian. Se resuelve por medio de fórmulas ya que es un procedimiento más rápido.
Ejemplo:
Diseñar por flexión el área de acero máxima que requiere una viga rectangular simplemente reforzada con F`c = 200 kg/cm², Fy = 4220 kg/cm². La carga muerta incluye el peso propio de la viga. – Cálculo de la carga última: – kg m Dlive =1800 m ; DLU =1.4DLive = (1.4)(1800) = 2520kg – kg m LLIVE =1000 m ; LLU =1.7LLive = (1.7)(1000) =1700kg m Wu = 4220kg
31 Recuérdese que los factores de carga son 1.4 para carga muerta y de 1.7 para carga viva. – – Cálculo del momento último máximo Como la viga está simplemente apoyada, el momento máximo ocurre en el centro del claro y vale WL2 8 . Mu = =18990kg -m (4250)(6.00m)2 8 – – Cálculo del peralte efectivo. Con el fin de evitar deflexiones excesivas en la viga, se propone un porcentaje ? = 0.5?balanceado . . ( 0 .85)(0 .85)( 200) 4250 = 0.02026 6115 6115+ 4250 ?b = ? = (0.5)(0.02026) = 0.0101 4220 200 ) = 0.216 = (0.0101)( c Fy F` W = ? c (18990)(100) (0.90)(200)(0.213)(1-(0.59×0.123)) = d = Mu fF`.b?(1-0.59?) d = 47.60cm ˜ 50cm
Nota: Para que las unidades sean compatibles en la formula “Mu” debe sustituirse en kg-m.
Como el peralte efectivo “d” adoptado fuè de 50 cm en lugar de 47 cm, cambia el índice de refuerzo de la sección supuesta. (18990)(100) (0.53)(200)(25)(502) = 0.190 ? = 0.849- (0.721-
32 200 4220 ) = 0.0090 = (0.190)( c F` Fy ? =? Comparando los porcentajes de acero permisibles, tenemos:
?max = 0.75?b = (0.75)(0.2026) = 0.0033
0.003 < 0.0090 < 0.0152 Por lo tanto el porcentaje obtenido esta dentro de lo permitido. Obtención del área de acero. As = ?bd = (0.0090)(25cm)(50cm) =11.25cm2
Comparando el peralte total “h” con el mínimo que recomienda el reglamento A.C.I. 318-04, para evitar el calculo de deflexiones.
Peralte mínimo recomendado. 600cm 16 L 16 = h = = 37.5cm , para vigas simplemente apoyadas. 37.5 cm < 50 cm, por lo tanto el peralte obtenido es correcto. o.k.
33 Ejemplo:
Calcular el área máxima de acero que requiere la viga doblemente empotrada de la figura siguiente. Calculo del peso propio de la viga: Wpropio = (0.20)(0.50)(2400) = 240 kg/m
Sumando el peso propio a la carga muerta existente, tendremos: Cm total = 1.4 Cm + 1.7 Cv Cm total = 1500 kg/m + 240 kg/m = 1740 kg/m
34
35 Calculo del área de acero para Momento Negativo: ) = 0.3056 18277×100 (0.53)(200)(20)(452) ? = 0.849 – (0.721-( (0 .3056)( 200) 4220 = 0.0145 = c F` Fy ? =?
36 Comparando el porcentaje obtenido con los permisibles, tenemos: 14.5 4220 = 14.5 Fy ?min = = 0.0033 ; ?max = 0.75?balanceado . . (0 .852)( 200) 4220 = 0.0152 6115 6115+ 4220 = 0.75 = 0.75 6115 6115+ Fy c 0. 85ß1F` Fy ?max o.k 0.0033 < 0.0145 < 0.0152
Por lo tanto el porcentaje obtenido es correcto.
As = ?bd = (0.0145)(20cm)(45cm) =13.05cm2 Cálculo del área de acero para momento negativo:
M(+)max = 9138.50kg -m
37 (9138.50)(100) (0.53)(200)(20)(502) = 0.136 ? = 0.849- (0.0721) – (0 .136)( 200) 4220 = 0.0064 = c F` Fy ? =? ?min imo < 0.0064< ?max imo
As = ?bd = (0.0064)(20cm)(45cm) = 5.76cm2
Mn1= Fy(As – A` s)(d – ) 38 VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS
Las secciones de las vigas doblemente reforzadas tienen acero de refuerzo tanto en la cara de tensión como en la de compresión, por lo general únicamente donde existe un apoyo en la viga. Las vigas doblemente reforzadas son necesarias cuando se restrinja el peralte de éstas, debido a limitaciones arquitectónicas en el centro del claro o porque la sección en el centro del claro, no es suficiente para soportar el momento negativo que se presenta en el apoyo, aún cuando se aumente de manera suficiente el acero de tensión en dicho apoyo. Así la mayoría de las varillas inferiores en el centro del claro se prolongan y anclan de manera apropiada en los apoyos para que actúen como refuerzo a compresión y reforzar adecuadamente en la cara de tensión (arriba) de la viga en el apoyo con el área de acero necesaria. Para analizar o diseñar una viga con refuerzo de compresión A’s, se hace una división en dos partes a la sección como es nuestra en la siguiente figura siguiente: a 2 ` Mn2 = A sFy(d – d`)
M1= Fy(As – A` s)(d – ) 39 Las dos partes de la solución son: 1)
2) La del refuerzo simple (como simplemente reforzada) incluyendo el bloque rectangular equivalente como se discutió en el tema anterior, siendo el área de refuerzo de tensión igual a (As – A’s) y Las dos áreas de acero equivalentes A’s tanto en la cara de tensión como en la de compresión para formar el par T2 y C2 como la segunda parte de la solución general.
Puede verse en la fig. 2.2 que el momento resistente nominal total (el que es capaz de soportar la sección) es Mn = Mn + Mn2, es decir, la suma de los momentos para las partes (1) y (2) de la solución.
A continuación se decidirán las fórmulas, las cuales se condicionarán suponiendo que el acero en compresión fluye al mismo tiempo que el de tensión; entonces, el momento M2 formado por las áreas iguales A’s tendrán esfuerzo a la ruptura.
Momento Resistente Total de la Sección (El que es capaz de resistir) a 2 (Como viga simplemente reforzada) Donde: c s Fy(As – A`) 0.85F`.b a = As bd ? = Por lo tanto; c (? – ?`)d.Fy 0.85F` a = s A` b.d = ?` Porque:
40 ` ` a: Distancia de la máxima fibra en compresión hasta la profundidad del diagrama rectangular de esfuerzos de compresión de Whitney.
? :Porcentaje de acero en el área de tensión. ? :Porcentaje de acero en el área de compresión. M2 = A sFy(d – d`) , (Proporcionado por el par adicional del acero).
Si llamamos Mu al momento último que puede soportar la sección y si tomamos en cuenta que hay necesidad de reducirlo con el factor de reducción para flexión: = 0.90 Mu = M1+ M2, por lo tanto a 2
Siempre y cuando tanto el acero de tensión como el de compresión fluyen (alcancen el valor de Fy en la ruptura).
Ahora, para encontrar el valor de “a” se igualan C1 y T1 (C1 = T1) ya que para poder que exista el equilibrio en la sección, estos valores tienen que ser iguales: c c s 0.85F`.a.b = Fy(As – A`) s C1= 0.85F`.a.b T1= Fy(As – A`) De aquí que: c s Fy(As – A`) 0.85F`.b a = Sabiendo que: = ? As bd y = ?` s A` bd
. 0.003- 41 Por lo tanto: As = ?bd y s ` A`= ? bd Por lo tanto: c Fyd(? – ?`) 0.85F` a = Para saber si el acero en compresión fluye (condición para aplicar las fórmulas anteriores), se hace lo siguiente:
a = ß1c Y sustituyendo esto en la ecuación anterior: c Fyd(? – ?`) 0.85F` ß1c = Y despejando ? – ?` : c F` c Fy d (? – ?`)= 0.85ß1 Ahora vamos a encontrar el valor de “c” profundidad de la fibra máxima a compresión hasta el eje neutro) fibra frontera entre los esfuerzos de tensión y compresión y que por lo tanto no soporta esfuerzo alguno).
Del diagrama de deformaciones unitarias: 0.003 c = ec (c -d`) Despejando c: = 0.003c -0.003d` esc c(0.003-es) = 0.003d` Por lo tanto: c = 0.003d` 0.003-es Fy Es Pero como: esEs = Fy , por lo tanto es = , entonces c = 0.003d` Fy Es cm2 Es = Modulo de Elasticidad del acero = 2.0383×106 kg
0.003- Mu =f AsFy(d – ) De aquí que: = c = 6115d` 6115- Fy 0.003d` Fy 2.0383×106 Y sustituyendo este valor en (? – ?`) : c d` d . F` 6115 Fy 6115- Fy (? – ?`)= 0.85ß1 Y tomando en cuenta que el A.C.I. especifica: c d` d . F` 6115 Fy 6115- Fy (? – ?`)= 0.85ß1 c F` 6115 Fy 6115- Fy (? – ?`)= 0.75?bal = (0.75)(0.85)ß1 Si igualamos fy = Fy = Esfuerzo de fluencia del acero usado y si: c d` d . F` 6115 Fy 6115- Fy (? – ?`)< 0.85ß1 Significa que el acero en compresión no fluyó en la ruptura y que fy < Fy y el momento calculado Mu es mayor que el que realmente puede soportar la sección, entonces podemos despreciar la “ayuda” del acero en compresión y usar el momento que la viga soporta solo con el acero a tensión (como simplemente reforzada), es decir: a 2 ] c o bien: Mu =f[F`.bd2?(1-0.59?) Cuando el acero de compresión no fluye y se quiere tomar en cuenta el momento que éste resiste, se puede determinar mediante:
42
(6115+ fy) = fy sf s M2 = A` `(d – d`)
Donde f’s es el refuerzo en el acero y es menor que fy. Por lo tanto el momento resistente de la sección será: a 2 El reglamento del A.C.I. 318-04 específica que el porcentaje máximo de acero para una viga debe ser: ) ` f sb fy ?max = 0.75?b + ?`( ` Donde: f sb = Esfuerzo en el refuerzo en compresión en condiciones de deformación balanceada. d` d f sb = 6115- ` A continuación se ilustrara el uso de las formulas deducidas anteriormente con la solución de dos ejemplos de diseño de secciones doblemente reforzadas:
1. Una trabe tiene que soportar el peso de una losa sólida de concreto reforzado, que le provoca un momento producido por el peso de la losa y la carga viva, además de peso de la propia trabe (peso propio) de Mu = 18, 230 kg-m. Por razones arquitectónicas, la trabe debe tener un ancho b = 15 cm (que es el ancho de los muros de construcción) y un peralte total h = 45 cm. SOLUCION: cm2 c Utilizaremos para esta trabe concreto con F` = 200kg y acero de cm2 refuerzo Fy = 4220kg . Para empezar, vemos si la sección sería capaz de resistir nuestro momento como simplemente reforzada:
43
Paso 1: Es necesario saber cual es el porcentaje máximo de acero que le podemos proporcionar a la viga, para eso usaremos: c F` 6115 Fy 6115+ Fy ?max = 0.75?bal = (0.75)(0.85)ß1 = 0.01526 200 6115 4220 6115+ 4220 ?max = 0.75?bal = (0.75)(0.85)2 Paso 2: Calcular el momento que se puede soportar como viga simplemente reforzada, es decir; M1: (0 .01526)( 4220) 200 = 0.3220 = c Fy F` ? = ? c M1=fF`.bd 2?(1-0.59?)
M1= (0.90)(200)(15)(40)(0.3220)[1-0.59(0.3320)]=1126770kg -cm M1=11268kg -m Se supuso recubrimiento en la zona de tensión r = 5 cm. Pero Mu =18230kg -m > M1=11268kg – m s s Por lo tanto la viga no podría soportar el esfuerzo actuante como simplemente reforzada, de aquí que la solución será UNA VIGA DOBLEMENTE REFORZADA.
Paso 3: Obtener el área de acero de la sección como si fuera simplemente reforzada:
(As – A`)= ?bd = (0.01526)(15cm)(40cm) = 9.16cm2 (As – A`)= 9.16cm2 Hasta aquí, hemos concluido con primera parte de la solución.
44
45 Paso 4: Se procederá ahora a la parte segunda de la solución, empezando en este paso con encontrar el área de acero del par adicional para producirle ala sección el momento que le hace falta para soportar el momento último: Mu = M1 + M2 Por lo tanto: M2 = Mu – M1 = Momento excedente. s = 5.09cm2 (18230-11268)(100cm) (0.90)(40- 4)(4220) = A`= M2 f(d – d`)Fy Por lo tanto: s A`= 5.09cm2 Quedando finalmente la sección: Paso 5: Debido a que las fórmulas anteriores se utilizaron suponiendo que el acero en compresión fluyó, es necesario verificar si realmente este acero fluye, ya que de lo contrario, los cálculos anteriores son erróneos.
Hay que recordar que: ) (? – ?` Debe ser mayor que c . F` Fy 6115 d` 6115- Fy d 0.85ß1 Para que el acero en compresión fluya:
(? – ?` )= (As – A` s) = = (0.852) 46 = 0.01526 9.16 (15cm)(40cm) bd . = 0.01104 200 6115 (4) 4200 6115- 4200 (40) 6115 d` 6115- Fy d c F` Fy 0.85ß1 0.01526 > 0.01104
Por lo tanto, el acero en compresión realmente fluyó, las formulas usadas son correctas y nuestro diseño es adecuado…
EJEMPLO No. 2
Se siente una sección obligada de b = 20 cm, h-40 cm, r= 5 cm, d´= 4 cm.
Calcular el área de acero necesaria para que resista el momento Mu= 15,250 kg-m, empleando concreto F´c = 180 kg/cm² y acero fy = 4220 kg/cm².
Primero investigaremos si la sección puede resistir como simplemente armada:
a).- Porcentaje máximo de acero. ß = 0.85 Para concreto F`c = 180 kg/cm² = 0.0137 180 6115 4220 6115+ 4220 ?max = 0.75?bal = (0.75)(0.85)
?max = 0.0137
b).- Momento M1: (0 .0137)( 4220) 180 = 0.321 = c Fy F` ? = ? Índice de Resistencia
47 c M1=fF`.bd 2?(1-0.59?) M1= (0.90)(180)(20)(352)(0.321)(1-(0.59)(0.321)) =10327.6kg – m M1=1032756.90kg -cm Como M1=10327.60kg – m < Mu =15250kg – m s La sección será doblemente reforzada.
c).- Área de acero de la sección como simplemente armada:
(As – A`)= ?maxbd = (0.0137)(20)(35) = 9.59cm2
Segundo: Calculamos el área de acero A´s del par de acero capaz de tomar M2. M2 = Mu – M1 M2 =15250-10327.60 = 4922.40kg -m s = 4.48cm2 4922.40 0.90(35- 4)(4220) A`= Por lo tanto s s As =(As – A`)+ A`= (9.59+ 4.18) =13.77cm2 Finalmente, la sección será.
= (0.852)( ) . (? – ?` )= (As – A` s) = 48 Tercero: Verificaremos si el acero en compresión fluye. . = 0.0114 180 6115 (4) 4220 6115- 4220 (35) d` d c F` 6115 Fy 6115- Fy 0.85ß1 9.59 (20)(35) = 0.0137 bd 0.0137 > 0.0114
Por lo tanto el acero en compresión fluye en la ruptura y la viga trabaja como doblemente reforzada.
49 VIGAS EN SECCION “T” Uno de los sistemas de piso mas comúnmente utilizando en estructuras de concreto, consiste en vigas que soportan losas de concreto coladas monolíticamente con ellas. Se forman así las llamadas viga “T”. Si se trata de vigas libremente apoyadas, las recomendaciones de la tabla 2.1 que fijan relaciones peralte / claro, pueden servir para una estimación preliminar de dimensiones. En una viga “T” se le llama “patín” a la parte de la losa que la forma y “nervio” o “nervadura” al alma de la misma.
Resulta difícil de determinar con exactitud, el ancho b del patín ya que los esfuerzos de compresión que se presentan son máximos en el eje de simetría de la sección y disminuyen asintóticamente a medida que se alejan de dicho eje, así como se ilustra en la figura 2.5.
50 Esfuerzos de compresión en la viga “T” El ancho b del patín, según el reglamento A.C.I. 318-02, no deberá exceder de:
a).- ¼ de la longitud del claro de la viga: < ¼ b).- 8 veces el peralte de la losa en voladizo a cada lado del alma; esto equivalente a 16t + bw. c).- La separación entre nervaduras: s (centro a centro).
El ancho “b” del patín será el menor de los 3 valores anteriores.
DIMENSIONAMIENTO DE LAS VIGAS DE SECCION “T”
En una viga de sección transversal “T” pueden identificarse los siguientes casos dependiendo de la profundidad del eje neutro “c”.
Caso 1: Profundidad del eje neutro “c” menor que el espesor del patín t. En este caso pude tratarse a la viga como una sección rectangular estándar siempre y cuando la profundidad “a” del bloque rectangular equivalente sea menor que el espesor del patín. En el análisis el ancho b del patín de la cara de compresión deberá utilizarse como el ancho de la viga tal y como se muestra en la figura 2.6.
Caso 2: Profundidad del eje neutro c mayor que el espesor del patín t.
En este caso (c > t) la profundidad del bloque de esfuerzo rectangular equivalente “a” puede ser menor o mayor que el espesor del patín t. Si c > t pero a < t, la viga puede considerarse para propósitos de diseño como una viga rectangular. Por lo tanto se aplican las consideraciones del caso 1.
Si ambos “c” y “a” son mayores que t, la sección deberá considerarse como una sección “T”. s FORMULAS PARA LAS VIGAS “T”
Cuando la sección “T”, efectivamente trabaja como tal, es decir; a > t para facilitar la obtención de fórmulas y para efectos de cálculo, se descompone la sección en dos partes:
1.- Una Viga rectangular de escuadría (bw d) con su correspondiente área de acero (As – A`f), que es capaz de tomar un momento (M1). (Ver figura 2.8b).
51
2.- Una sección compuesta por aletas del patín en compresión (b -bw).t con su correspondiente área de acero en tensión (Asf) que es capaz de tomar el momento (M2). (Ver figura 2.8c).
Por lo tanto el momento total o último de la viga “T” será Mu = M1+ M2 El momento resistente, M1 de la viga rectangular es: a 2 En donde: c s (As – A`)Fy 0.85F`.bw a = (a) El momento resistente de la viga complementaria es: t 2 Para que exista equilibrio, es necesario que: T2 = T1 c Asf Fy = 0.85F`(b -bw).t Por lo tanto: c 0.85F`(b-bw).t Fy Asf = El momento resistente de la viga”T” Mu = M1+ M2, afectado por el factor de reducción para flexión f = 0.90. a t 2 2
52
53 Si se considera la viga “T” completa como una unidad, la profundidad de la cuña o prima rectangular de esfuerzos de compresión (que adopta precisamente una forma de “T”) se puede obtener al igualar la resultante total de los esfuerzos de compresión, con resultante de los de tensión de modo que: T = C Por lo tanto: c AsFy = 0.85F`[(bwa +(b -bw).t] c c AsFy -0.85F`(b-bw).t 0.85F`.bw a = —– (B) c c c De la ecuación (A): 0.85F`.bwa = (As – As f )Fy De la ecuación (B): 0.85F`.bwa = AsFy -0.85F`(b-bw).t Igualando las ecuaciones (A) y (B): Significa que: c Asf Fy = 0.85F`(b-bw).t T2 = C2
Como ya se vio anteriormente, en las vigas de sección rectangular se buscan que estas fallen en tensión por fluencia del acero y se evita que la falla sea súbita por el aplastamiento del concreto. De ahí que se ha limitado el porcentaje del refuerzo en la viga rectangular completamente en la que se dividió de la viga “T” para su estudio, al 75% del valor del porcentaje correspondiente a la sección balanceada.
?b = Relación de refuerzo balanceado para una sección rectangular con refuerzo en tensión únicamente. Tw dbwFy Asw dbw = = (As – Asf ) bwd ?bal =
54 ? f = Relación de refuerzo en tensión, As f , para desarrollar la resistencia a compresión de los patines. De la figura 2.8 se observa que: T =T1+T2
?balddFy = ?balbwdFy + ? fbwdFy Simplificando: ?balb = ?balbw + ? fbw Despejando a ?bal : As bd bw b (?bal + ? f ) = ?bal = Para lograr que la viga falle a tensión, debe cumplirse que: bw b (?bal + ? f ) ?max = 0.75 EJEMPLO No. 1
Una viga de sección “T” tiene que resistir un Mu = 25,000 kg-m, el claro de la viga es de 5.50 m, la separación centro a centro de nervaduras es de 70 cms, el espesor del patín es de 5cm, el ancho del nervio es de 20cm, su peralte efectivo cm2 c de 40cm, el concreto utilizado es de F` = 210kg , el acero de refuerzo cm2 longitudinal de Fy = 4220kg . Diseñar el acero por flexión en sección mas crítica considerando a la viga como simplemente reforzada.
(d – ) (40- ) 55 SOLUCION:
1.- Como primer paso vemos si la sección trabaja como rectangular.
Si trabaja como rectangular, deberá tener la profundidad del bloque rectangular de esfuerzos de compresión a una distancia máxima, a partir del lecho superior igual a “t”. En este caso T = 5cm. La compresión es máxima cuando a = t = 5 cm. c C = 0.85F`ß1cb ——- (A) cm2 cm2 c < 280kg ß1 = 0.85 Ya que F` = 210kg . Determinaron del ancho “b”:
El valor de “b” es el menor de: 550cm 4 L 4 =137.50cm = S = 70 cm — – – – – – RIGE 16t.bw = (16)(5) +10 =100cm Compresión máxima como viga rectangular (la que resiste el patín).
C = (0.85)(210)(5)(70) = 62475kg La compresión necesaria que debe resistir el patín es: a 2 Por lo tanto: ( 25000)(100cm) 5 2 Mu a 2 = 66666kg = C = C = 66,666kg
(0.53F` c.bd ) 56 c c Como 62,475 kg < 66,666 kg se concluye que la viga debe trabajar como viga “T”
a).- Área de acero de la sección compuesta: T2 = C2 T2 = Asf Fy C2 = 0.85F`(b -bw).t As f Fy = 0.85F`(b -bw).t c =10.57cm2 0.85F`(b -bw).t Fy ( 0.85)( 210)(70- 20)(5) 4220 Asf =
Asf = El momento resistente es:
t 2 5 2 b).- Área de acero de refuerzo del nervio, (As – Asf).
fM1= Mu -fM2 = (25000-15054)kg – m = 9,946kg -m Caculo del Índice de Refuerzo "?": = 0.849- 0.721- (9946)(100) (0.53)(210)(20)(402) 2 Mu ? = 0.849- 0.721- ? = 0.184
Fy 4220
As =(As – As )+ As = 7.36cm +10.57cm =17.93cm . (?bal + ? f)= 20cm(0.02127+ 0.0132)= 0.0098 57 2 . (As – As f)=(? – ? f)bwd = (0.0092)(20cm)(40cm) = 7.36cm 2 (As – As f)= 7.36cm 2 2 2 f f As =17.93cm2
3.- El tercer paso consiste en verificar si los porcentajes de acero obtenidos se encuentran dentro de los límites recomendados. ?max = 0.75?bal ; = 0.02127 210 6115 4220 6115+ 4220 ?bal = (0.852) = 0.0132 = 10.57cm2 (20cm)(40cm) Asf bw.d ? f = 70cm bw b ?bal = ?bal = 0.0098 ?max = 0.75?bal = 0.75(0.0098) = 0.00735 14.5 4220 = 0.0033 = 14.5 Fy ?min = Porcentajes obtenidos: = = 0.0224> ?min = 0.0033 17.93 (20cm)(40cm) As bw.d ?w = O.K. = = 0.00640< ?max = 0.00735 ? = 17.93cm2 (70cm)(40cm) As b.d POR LO TANTO, EL ACERO FLUIRA Y LA VIGA FALLARA POR TENSION. También, se le conoce como Falla Dúctil.
58 EJEMPLO No. 2.
Calcular el momento resistente máximo de la siguiente viga “T” de acuerdo con los datos de la figura, c Solución: Partiendo de la condición balanceada:
C2 =T2 ; 0.85F`(b -bw).t = Asf Fy , Despejando As f , tendremos: c =13.29cm2 ( 0 .85)( 200)(80- 25)(6 ) 4220 = 0.85F`(b-bw).t 4220 Asf = 2 = 6.71cm2 Asf =13.39cm2 As = (As – Asf ) + As f (As – Asf)= As – Asf =(20-13.29)cm
(As – Asf)= 6.71cm 2
) (?bal + ? f)= (0.75) 25 (0.03206) = 0.0075 59 Cálculo del porcentaje de acero: = 0.0118 = 13.29cm2 (25cm)(45cm) Asf bwd ? f = = 0.02026 200 6115 4220 6115+ 4220 ?bal = (0.852)( ?bal + ? f = 0.0118+ 0.02026= 0.03206
Porcentajes de acero permitidos: 80 bw d ?max = 0.75 ?max = 0.0075 14.5 4220 = 0.0033 = 14.5 Fy ?min = = = 0.0178> ?min = 0.0033 20cm2 (25cm)(45cm) As bwd ?w = = = 0.0056> ?max = 0.0075 ? = 20cm2 (80cm)(45cm) As b.d Por lo tanto, la falla será dúctil y la viga será sobreforzada. Cálculo del momento resistente: fMn =fM1 +fM2 a t 2 2
(As – As )Fy = ) +(13.29)(4220)(45- ) 60 c (6.71)(4220) (0.85)(200)(25) f 0.85F`.bw = 6.66cm a = 6 2 6.66 2 fMn =f (6.71)(4220)(45- ` ` fMn =f(3535,456)kg -cm
f = 0.90 Para flexión
fMn = 0.90(3535,456)kg -cm
fMn=31.89ton-m ? – – – – – Momento resistente de la viga “T”
61 AGRIETAMIENTO EN VIGAS Debido a la baja resistencia ala tensión del concreto, los elementos de este material tienden a agrietarse. Son diversas las causas que conducen al agrietamiento del concreto, siendo las fundamentales, las deformaciones debidas a cambios volumétricos y los esfuerzos ocasionados por fuerzas de tensión, por momentos flexionantes, o por las fuerzas cortantes. Son las dos razones por las que se requiere controlar el agrietamiento: La apariencia y el riesgo de corrosión del refuerzo. Muchas estructuras diseñadas por el método de los esfuerzos de trabajo (teoría plástica) y con bajos esfuerzos en el acero cumplieron con las funciones a las que se les destinó con un agrietamiento muy pequeño debido ala flexión. Cuando se usan aceros de refuerzo de alta resistencia bajo esfuerzos altos debidos las cargas de servicio, es de suponer que aparezcan grietas visibles, y es necesario tomar precauciones para detallar el refuerzo, con objeto de controlar las grietas. Para asegurar la protección del refuerzo contra la corrosión, y por razones estéticas, son preferibles muchas grietas muy finas, capilares que pocas grieteas anchas. El control de agrietamiento es particularmente importante cuando es utiliza refuerzo con resistencia ala fluencia superior a 2810 kg/cm². Las buenas prácticas actuales de detallado de refuerzo generalmente conducirán aun control adecuado del agrietamiento aun cuando se utilice un refuerzo de 4220 kg/cm² de resistencia de fluencia. Con una cuidadosa atención de los detalles del acero, se han construido estructuras totalmente satisfactorias con resistencia ala fluencia de diseño que exceden al límite de 5,625 kg/cm².
62 A través de estudios experimentales se han determinado los factores que mayor influencia tiene ancho de las grietas y se han encontrado que dicho ancho: • •
• Es mayor cuando se utilizan barras lisas que con barras corrugadas. Es directamente proporcional al espesor, siendo esta variable la más importante. Depende del área de concreto que rodea alas barras en la zona de tensión disminuyendo cuando mejor se encuentre distribuido el refuerzo en dicha zona.
RECOMENDACIONES DEL A.C.I. 318-04 SOBRE AGRIETAMIENTO
El reglamento A.C.I. 318-04 establecen reglas que conducen a un detallado del refuerzo en vigas para evitar el agrietamiento excesivo.
Este reglamento indica que cuando el esfuerzo de fluencia del acero es superior a 2810 kg/cm², el refuerzo debe detallarse de manera que la cantidad dada por la ecuación: Z =1.1ßfs3 (dcA) kg cm No exceda de 31250 para vigas protegidas. kg cm Ni de 25895 kg/cm para vigas expuestas a la intemperie.
63 Donde:
Fs = Esfuerzo en el acero a nivel de las cargas de servicio, en kg/cm² que puede calcularse como 0.6 fy.
dc = Es el recubrimiento de la barra más próxima a la cara en tensión medido desde el centro de la barra, en cm. A = Área efectiva del concreto en tensión en torno el refuerzo principal con el mismo centroide que el refuerzo, dividida por el número de barras, en cm². Si las barras no son todas del mismo tamaño, se toma como numero de barras el área total de refuerzo dividida por el área de la barra de mayor diámetro del grupo. = Relación de distancias al eje neutro a partir de la fibra extrema en tensión y centroide del refuerzo principal. Para vigas se utiliza = 1.2 2y.b n A = , donde n = número de barras
64 EJEMPLO:
Revisar el agrietamiento de la siguiente viga: Solución: = 7cm (3)(5) + ( 2 )(10 ) 5 Y = cm2 Z =1.1ß.fs.3 (dc.A) fs = 0.6Fy = 2530kg ( 2)( 7cm)(30cm) 5varillas = 84cm2 A = (Area Efectiva) cm Z = (1.1)(1.2)(2530)[ 3 (5)(84)]= 25000kg kg cm kg cm < 31250 Z = 25000 ; Por lo tanto: El refuerzo es aceptable.
65 A pesar que se han realizado numerosos estudios, no se dispone de una evidencia experimental clara respecto al ancho de la grieta a partir de la cual existe peligro de corrosión. Las pruebas de exposición indican que la calidad del concreto, la compactación adecuada y el apropiado recubrimiento del concreto pueden ser más importantes para la protección contra la corrosión que el ancho de la grieta en la superficie del concreto.
En grandes vigas “T”, la distribución del refuerzo negativo para el control del agrietamiento debe tomar en cuenta dos condiciones:
1.- El gran espaciamiento del refuerzo a lo largo del ancho efectivo del patín puede provocar que se formen grietas anchas en la losa cerca del alma.
2.- El reducido espaciamiento cerca del alma deja sin protección las losas exteriores del patín. La limitación de L 10 sirve para evitar que haya un espaciamiento muy grande, al tiempo que proporciona un poco de refuerzo adicional necesario para proteger las zonas exteriores del patín.
Para elementos sujetos a flexión relativamente peraltados debe colocarse un ligero refuerzo longitudinal cerca de las caras verticales en la zona de tensión, con el fin de controlar el agrietamiento en el alma. Si no se coloca dicho acero auxiliar, el ancho de las grietas dentro del alma puede exceder en gran medida el ancho de las gritas al nivel del refuerzo en tensión por flexión.
66 MEDIOS AUXILIARES DE DISEÑO.
Actualmente se han preparado ayudas de diseño que pueden ser en forma de gráficas, de tablas o incluso programas de computadora con el fin de simplificar la labor numérica que se requiere en el dimensionamiento de los elementos del concreto. Existen manuales que reúnen diversas ayudas de diseño. En algunos libros de texto aparecen diagramas de flujo para elaborar programas de computadora en diversos lenguajes.
Las calculadoras programables de bolsillo son de gran utilidad, ya que con ellas pueden resolverse problemas de diseño de considerable complejidad. Recientemente se ha generalizado el uso de micro- computadoras y macro- computadoras es aún mayor. Existe una gran variedad de programas de computadora que facilitan distintos aspectos del análisis y dimensionamiento de estructuras de concreto. En la escuela de ingeniería existe una gran diversidad de programas de computadora con los cuales el alumno puede realizar desde el análisis estructural de un elemento de concreto hasta el diseño del mismo.
Existen a la venta programas con los cuales pueden realizar análisis sísmicos tridimensionales estáticos o dinámicos de una gran variedad de estructuras. Algunos de ellos permiten elaborar dibujos estructurales y ordenes de trabajo que describen los detalles de fabricación del refuerzo.
67 CORTANTE EN VIGAS.
En este tema presentan procedimientos para el análisis y diseño de vigas de concreto reforzado para resistir las fuerzas cortantes que resultan de las cargas externas aplicadas. El diseño por cortante es de principal importancia en las estructuras de concreto debido a que la resistencia a tensión del concreto es considerablemente menor que la compresión.
El comportamiento de las vigas de concreto reforzado en el instante de falla por cortante es muy diferente a su comportamiento por flexión. La falla es repentina. Sin suficiente aviso previo y las grietas diagonales que se desarrollan son más amplias que las de flexión.
Debido a la naturaleza frágil de dichas se deberán diseñar secciones que sean suficientemente fuertes para resistir las cargas trasversales externas factorizadas sin que se alcance su capacidad de resistencia a cortante, o sea se deberán de diseñar los elementos para que fallen en forma dúctil (ante cargas últimas) antes que se presente una falla frágil por cortante o tensión diagonal.
Para visualizar el efecto de la fuerza cortante es útil recordar algunos conceptos elementales de la mecánica de los materiales, ya que, a niveles de carga bajos y antes de la aparición de grietas, el comportamiento del concreto reforzado se asemeja al de un material homogéneo y elástico. El estudio se limita al caso de elementos que el estado de esfuerzos puede suponerse como un estado de esfuerzos planos.
COMPORTAMIENTO DE VIGAS HOMOGÉNEAS Considere los dos elementos infinitesimales A1 y A2 de la viga rectangular de la figura 2.10 a la cual esta hecha de material linealmente elástico, homogéneo e isótropo. En la figura 2.10b se muestran las distribuciones de los esfuerzos flexión y cortante a través del peralte de sección.
El esfuerzo normal de tensión ft y el esfuerzo cortante V son los valores del elemento A1 en la sección del plano a1 -a1 a una distancia “Y” del eje neutro. Por principios fundamentales de mecánica, el esfuerzo normal f y el esfuerzo cortante V para el elemento A1 puede escribirse como:
68
69 My I f = y v.A y I.b V = Donde:
M y v = Momento flexionante y fuerza cortante en la sección a1 – a1.
A = Área transversal de sección en el plano que pasa por el centroide del elemento del elemento A1.
Y = Distancia del elemento A1 al eje neutro.
Y = Distancia del centroide de A1 al eje neutro.
I = Momento de inercia de la sección transversal.
B = Ancho de la viga.
70 Figura 2.11. – Estado de esfuerzos en los elementos A1 y A2;
a).- Estado de esfuerzos en el elemento A1. b).- Representación en el círculo de Mohr, elemento A1. c).- Estado de esfuerzos en el elemento A2. d).- Representación en el círculo de Mohr, elemento A2.
La figura 2.11 muestra los esfuerzos internos que actúan en los elementos infinitesimales A1 y A2. Utilizando el círculo de Morh de la figura 2.11b los esfuerzos principales para el elemento A1 en la zona de tensión debajo del eje neutro vienen a ser: 2 ft 2 ft 2 ft(max) +V 2 + = Tensión Principal V ft 2 Y, tan2fmax = 2 ft 2 ft 2 fc(max) +V 2 – = Compresión Principal
71 EXPRESIONES PARA EVALUAR LA RESISTENCIA A EFECTOS DE FUERZA CORTANTE
El diseño de secciones transversales sujetas a cortante debe estar basado en: Vu =fVn , donde:
Vu = Es la fuerza cortante factorizada en la sección estudiada. Vn = Resistencia nominal al cortante del concreto y el acero Vn =Vc +Vs . Vc = Es la resistencia nominal al cortante del concreto. Vs = Es la resistencia nominal al cortante proporcionada por medio del refuerzo para cortante.
La sección critica nominal para cortante en una viga con carga uniformemente repartida, se presenta a una distancia “d” del paño del apoyo.
RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO
Según el reglamento A.C.I. 318-02 la resistencia al cortante Vc para vigas sujetas unidamente a cortante y flexión, vale: c cm2 . Vc = 0.53. F`.bwd , Donde:
F`c = Resistencia especificada a la compresión del concreto en kg
Bw = Ancho del alma de la viga, en cm. D = Peralte efectivo de la viga, en cm.
RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL ESFUERZO
La contribución del acero en el alma se calcula con base en la analogía de la armadura tratada anteriormente, suponiendo que el refuerzo en el alma fluye en la falla. La expresión que se presenta en el reglamento A.C.I. 318-02 se deduce de la ecuación (F) haciendo Z = d, por lo que se obtiene: Avfy(sena +cosa).d s Vs = ——– (G) Donde: Av = Área total del refuerzo en el alma en una distancia S. a = Angulo entre las barras o estribos de refuerzo en el alma y el eje longitudinal de la viga. S = Separación de estribos o barras dobladas, medida en dirección ) En el caso más general, los estribos se colocan verticales (a = 90o , la paralela a la del refuerzo longitudinal.
ecuación (G) se reduce a: Av.fy.d s Vs = ——– (H) El reglamento ACI 318-04 limita la resistencia a la fluencia de diseño en el refuerzo para cortante a 4220 kg cm2 con el fin de proporcionar un control en el ancho de la grieta diagonal, ya que el refuerzo de alta resistencia también puede resultar quebradizo cerca de dobleces agudos.
REFUERZO MINIMO POR CORTANTE
El refuerzo por cortante restringe el crecimiento del agrietamiento inclinado y, por consiguiente, aumenta la ductibilidad y advierte el peligro de falla. De lo contrario, en un alma sin esfuerzo, la súbita formación de agrietamiento inclinado
72
73 podría conducir directamente a una falla repentina. Este esfuerzo resulta de gran valor si una viga es sometida a una fuerza de tensión imprevista, o una carga catastrófica. Por lo tanto, se quiere un área mínima de refuerzo por cortante no menor que la especificada por la ecuación (I), siempre que la fuerza cortante factorizada, Vu, sea mayor que de la resistencia al cortante proporcionada por el concreto, se excluyen de este requisito las vigas anchas de peralte reducido. 3.5bwS Fy Av = ——– (1) Donde bw y S están en centímetros.
LIMITES DE SEPARACIÓN PARA EL ESFUERZO POR CORTANTE
El reglamento ACI 318-02 limita la separación del refuerzo transversal cuando este se considera necesario. En general, se trata de impedir que pueda desarrollarse una grieta inclinada a 45º sin que sea interceptada por una barra en la zona comprendida en el esfuerzo de tensión y el semiperalte efectivo del elemento. Este reglamento especifica al respecto que la separación de estribos perpendiculares al eje de longitudinal de un elemento no exceda de d 2 ni de 60 c c cm. Cuando Vs excede de 1.1F`.bw, estas separaciones deben reducirse ala mitad.
Además de esto, el valor de “Vs” en ningún caso debe de exceder de 2.1F`.bwd , ya si tuviese una cantidad excesiva de esfuerzo en el alma, no se garantizaría que la resistencia total fuese la suma de la resistencia del concreto y de la contribución del acero.
74 La contribución del esfuerzo a la resistencia nominal debe afectarse del mismo valor de, o sea, 0.85 para obtener la contribución ala resistencia de diseño.
En los siguientes ejemplos se ilustra de una manera clara y detallada lo referente a cortante en vigas hasta ahora visto. En estos ejemplos se trata de ver los casos más comunes que se presentan en la práctica como son las vigas simplemente apoyadas con carga uniformemente repartida.
EJEMPLO No. 1.
Una viga rectangular simplemente apoyada, tiene un claro de 7.50 m y soporta una carga viva de 3 ton/m y ninguna carga externa muerta externa excepto su propio peso. Diseñar el esfuerzo por cortante necesario. Considere: h = 40 cm F´c = 210 kg/cm². Fy = 2800 kg/cm². bw = 20cm d = 35 cm Solución:
1.- Fuerza cortante factorizada: – Peso propio de la viga; m Wpropio = (0.20)(0.40)(2.4) = 0.192ton – Carga total factorizada; m Wu = (1.7)(3.0) + (1.4)(0.192) = 5.37ton
Wu = 5.37ton m La fuerza cortante factorizada en el paño del apoyo es: ( 7.50m)(5 .37ton/m) 2 Vu = Vu = 20.14ton
75 La primera sección crítica está a una distancia d = 35 cm del paño del apoyo de la viga. La mitad del claro es de 3.75 m. “Vu” en “d”, tenemos. (20.14ton) =18.26ton (3.75m) -( 0. 35m) 3.75m Vu = Vu =1860kg 2.- Capacidad de cortante: • La capacidad de cortante del concreto es: c c Vc = 0.53F`.bw.d Vc = (0.85)(0.53)(210)(20)(35) = 4570kg Vu =18260kg >Vc = 4570kg
Por lo tanto necesita estribos. Vs =Vu -Vc =18260kg – 4570kg =13690kg
Revisión de que la sección sea adecuada por cortante: 2.1 F`.bwd = 2.1[ 210](20)(35) = 21302kg 21302kg >Vs =13690kg ; La sección transversal es adecuada. 3.- Refuerzo por cortante. Probando con estribos verticales de dos ramas el diámetro No. 2.
Diámetro, No. 2, Avarilla = 0.32 cm²; Como son de dos ramas: A? = (2)(0.32) = 0.64cm2 En la sección crítica, “d” = 35 cm del paño del apoyo, la separación sería: = 4.58cm (0.64)(2800)(35) 18260kg -4570kg = AvFy.d Vu -Vc S = ; S = 4.58cm Debido a que: c Vu =fVc >1.1 F`bwd
76 35cm 4 d 4 = La separación máxima permisible es S = =8.75cm. De la figura 2.16 • d 4 Plano X1 con separación máxima S = ; c 210 (20)(35) =11158kg Vs1 =1.1 F`bwd = (1.1) Vu1 =11158+ 4570=15728kg
77 • d 2 (340cm)(15728kg) X1 = = 293cm 18260kg
Plano X2 con separación máxima S = y d = 35 cm; se sabe que: Vs =Vu -fVc S = AvFy.d Vu -fVc O bien ( 0.64)( 2800)(35) Vs 35 2 = Vs2 = 3584kg Vu2 = 3584kg + 4570kg = 8154kg (340cm)(8154kg) 18260kg =152cm X2 = • Plano X3 por fuerza cortante fVc : Vc = (0.85)(0.53)(210)(20)(35) = 4570kg (340cm)( 4570kg) 18260kg =85cm X3 = 4570 2 = 2285kg Acero mínimo en el alma: Vc Se aplica cuando Vu > 2
Vu =18260kg ; Vu = ( 0. 64)( 2800) (3.5)(20) Av.Fy 3.5bw = S = = 25.6cm > d 2 La separación de los estribos será de d 2 =17.50cm 2285 18260 = 42.50cm Xy = 340
78 El proporcionamiento de la separación de los estribos verticales deberá ser racional.
En figura 2.16, la distancia de 141 cm es la zona de transición de S = 8.75cm a S =17.5cm; por lo que se propone una separación de escribo de 10 cm centro a centro. EJEMPLO No. 2.
Determinar el tamaño y la separación de los estribos verticales cerrados para una viga simplemente apoyada, con un claro de 6.0 cm y que tiene las siguientes características: Datos: cm2 c F` = 200kg cm2 Fy = 4220kg m2 Wu = 4000kg bw = 25cm d = 50cm
79 Solución:
1.- Fuerza cortante factorizada – La fuerza factorizada en el paño del apoyo es: ( 4 )(6 ) 2 =12ton Vu = – A una distancia “d” del apoyo: (12ton) =10ton (3)-( 0.50) 3 Vu = Vu =10,000kg c c 2.- Resistencia al cortante proporcionada por el concreto: Vu = 0.53F`.bwd Vu = (0.85)(0.53)(200)(25)(50) = 7964kg Vu =10,000kg >Vu = 7,964kg Por lo tanto necesita estribos. Vs =Vu -fVc =10000kg -7964kg = 2036kg
Revisando de que la sección sea adecuada por la cortante: 2.1F`.bwd = (2.1)(200)(25)(50) = 37,123kg 37,123kg >Vs = 2,036kg; Por lo tanto la sección transversal es adecuada.
3.- Refuerzo por cortante.
Probando con estribos verticales de dos ramas el diámetro No. 2. Diámetro No. 2, Av = 0.32 cm²; Como son dos ramas en el estribo: Av = (2)(0.32) = 0.64cm2 A una distancia d = 50 cm del paño del apoyo, la separación de los estribos verticales sería: . ( 0.64)( 2810)(50) 2036kg = 44.16cm = S = Av.fy.d Vu -fVc
Debido a que: c Vu -Vc 0.58cm2
11.- Cálculo del refuerzo longitudinal a torsión. 2At s (x1 + y1) A 1 = A 1 = (2)(0.0240)(27.05+ 62.05)= 4.28cm2 t x1 + y1 s A 1 = -2A Tu Vu 3Ct 28xs Fy
474000+ 114 t (o Sustituyendo 2A por 3.5bws Fy ) t = 0.58< 2A = (2)(0.0240)(20) = 0.96 3.5bws Fy t Por lo tanto usar 2A . 474000 10820 (3)(0.025) ( 28)(35)( 20) 4220 =11.59cm2 27.05+ 62. 05 20 -(0.96) A 1 = Por lo tanto suministra A 1 =11.59cm2
Colocar varillas longitudinales alrededor del perímetro de los estribos cerrados, separados a no más de 30 cm, y colocar una varilla longitudinal en cada esquina de los estribos cerrados. Las varillas longitudinales se pueden combinar con el refuerzo por flexión. 12.- Análisis de flexión de la viga “AC”. ( Se desprecia la acción del patín).
115 • Considerando viga –columna en (A): Rigidez de la columna = 4EI L ( 4E)(50)(353) (300)(12) = 2382E = (Superior) Rigidez de la columna = 4EI L ( 4E)(50)(353) (300)(12) = 2382E = (Inferior) Rigidez de la viga AC =
Rigidez de la viga JA = 4EI L
4EI L ( 4E)(35)(703) (800)(12) ( 4E)(35)( 703) (400)(12) = 5002E
=10004E =
= ——— =19770E
116 Factores de distribución en (A) y (C): Columna superior e inferior = 2382 19770 = 0.120 10004 19770 = 0.506 AJ = ; 5002 19770 = 0.523 AC = Momentos de empotramiento perfecto: = AJ = =1.10ton- m (0 .823)( 42) 12 Wl2 12 + = + AC = = 20.81ton- m (16. 42)(8 .00) 8 Pl 8 ( 0.823)(82) 12 Wl2 12 columnas superiores e Distribución del momento en dos etapas. (No se muestran los momentos distribuidos a las inferiores). (A) (B) Momentos finales en los extremos de la viga AC =17.89ton-m +(20.81-17.69) + Wl2 24 Pl 8 Momentos al centro del claro en AC =
117 (16.42)(8) 8 ( 0.823)(82) 24 +3.12 = 21.73ton.m + = Refuerzo para el momento negativo: 1769000 (0.53)(280)(35)(652) = 0.049 0.721- ? = 0.849- 280 4220 = 0.0033 = 0.049 c F` Fy ? =? As = ?bwd = (0.0033)(35cm)(65cm) = 7.51cm2
Refuerzo para el momento positivo: 2173000 (0.53)(280)(35)(652) = 0.060 0.721- ? = 0.849- 280 4200 = 0.0040 ? = 0.060 As = (0.0040)(35cm)(65cm) = 9.10cm2
13.- Tamaño del refuerzo longitudinal combinado.
Se requieren seis varillas longitudinales para el refuerzo de torsión, a fin de cumplir con los requisitos máximos de espaciamiento.
Las dos varillas de las esquinas (lecho superior e inferior) se combinarán con el refuerzo por flexión.
• Sección de momento positivo: 11.59 2 A 1 2 +9.10 =14.90cm2 + As = • Usar 6 varillas del No. 6 = 17.10 cm²
Sección de momento negativo: 11. 59 2 A 1 2 + 7.51=13.30cm2 + As = • Usar 5 varillas del No. 6 = 14.25cm²
Varillas extendidas de momento positivo: 9.10 2 11.59 2 As 2 A 1 2 =10.34cm2 + = + • Usar 4 varillas del No. 6 = 11.40 cm²
Varillas de torsión en los lados de la viga: 11.59 6 A 1 6 =1.93cm2 = •
viga. Usar varillas del No. 5 (Ab =1.98cm2)
Varillas de la torsión en las esquinas superiores de la viga: Prolongar dos varillas de esquina de momento negativo a lo largo de toda la
Usar varillas del No. 5 (Ab=1.98cm2).
118
119
120 ADHERENCIA Y ANCLAJE
La capacidad del refuerzo en el concreto para desarrollar la resistencia en tensión de una sección, depende de la compatibilidad de ambos materiales para actuar unidos al resistir las cargas externas. Una varilla, por ejemplo, se debe deformar en la misma medida que el concreto que la rodea, con el objeto de evitar la separación de los dos materiales cuando están sujetos a la acción de las cargas. El módulo de la elasticidad, la ductibilidad y la resistencia de fluencia o de la ruptura refuerzo, también deben ser considerablemente mas altas que las del concreto para que sea posible obtener un incremento significativo en la resistencia de la sección de concreto reforzado.
El acero y las fibras de vidrio son materiales que poseen las características para desarrollar la adhesión requerida entre el refuerzo y el concreto; resistencia de fluencia, ductilidad y capacidad de adhesión.
La resistencia de adherencia es el resultado de la combinación de varios parámetros, tales como la adhesión mutua entre el concreto y la superficie de contacto del acero y la presión que ejerce el concreto endurecido en la varilla o el alambre de acero, debida ala contracción del concreto al secarse. Además de esto, la trabazón y fricción que ocasionan los micromovimientos de la varilla en tensión, entre las corrugaciones de su superficie y el concreto, resulta en un incremento de la resistencia del desplazamiento. El efecto total que producen estos factores se conoce como adherencia.
En resumen, la resistencia de adherencia es controlada principalmente por los siguientes factores:
1.- Adhesión entre el concreto y los elementos de refuerzo.
121 2.- El efecto de sujeción que resulta al secarse y contraerse el concreto que rodea a la varilla y las dovélas de cortante que se forman entre las corrugaciones de la varilla y en el concreto en el que está ahogada.
3.- La fricción que resiste al deslizamiento y la trabazón que se produce cuando el elemento de refuerzo es sujeto a esfuerzos de tensión.
4.- La calidad y resistencia del concreto ala tensión y ala compresión.
5.- El efecto de anclaje mecánico que se obtiene en los extremos de las varillas por medio de la longitud de desarrollo, los empalmes, los ganchos y las barras cruzadas.
6.- El diámetro, la forma y la separación del refuerzo, debido a que afectan el desarrollo de grietas.
Las contribuciones individuales de estos factores son difíciles de separar o cuantificar, pero se puede considerar que las dovelas de cortante, el efecto de confinamiento por contracción y la calidad del concreto son más importantes.
DESARROLLO DE LOS ESFUERZOS DE ADHERENCIA
El esfuerzo de adherencia se presenta principalmente como consecuencia de la fuerza cortante, entre el elemento de refuerzo y el concreto que lo envuelve, originada por los factores indicados anteriormente y se pueden describir como un esfuerzo local de cortante por unidad de área de la superficie de la varilla. Este esfuerzo directo se transfiere del concreto a la superficie en contacto de la barra, de modo que modifica el esfuerzo de tensión a lo largo de la varilla de refuerzo.
Los refuerzos de adherencia se presentan en los elementos de concreto reforzado por dos causas: La necesidad de proporcionar anclaje adecuado para barras y la variación de fuerzas en estas debido a la variación del momento a lo largo del elemento.
Se puede determinar la capacidad de adherencia del elemento de refuerzo por medio de tres tipos de pruebas. La prueba de extracción, la de la varilla ahogada y la prueba de la viga. La figura 2.27 muestra los dos primeros tipos de pruebas.
La prueba de extracción proporciona una buena comparación de la eficiencia de adherencia de las diferentes clases de superficie de varillas y de las longitudes de anclaje correspondientes. Sin embargo, no es verdaderamente representativa del desarrollo de los esfuerzos de adherencia en una viga estructural, debido a que en esta prueba, el concreto está sujeto a compresión y la varilla de refuerzo actúa en tensión en tanto que en una viga, las varillas de refuerzo y el concreto que las rodea están sujetas al mismo esfuerzo.
En la prueba de la varilla ahogada, figura 2.27b, la cantidad de grietas, sus anchos y su separación en los diferentes niveles de carga, son una medida del desarrollo de los esfuerzos de adherencia y de la resistencia de adherencia. El proceso se asemeja más estrechamente al comportamiento en vigas a medida que el incremento progresivo en el ancho de las grietas conduce, finalmente, al desprendimiento de las varillas y la falla de la viga.
El desprendimiento progresivo de las varillas de refuerzo en una viga y la redistribución de esfuerzos se presenta esquemáticamente en la figura 2.28 cuando la resistencia al deslizamiento en la longitud L, es mayor que la resistencia del concreto a la tensión, se forma una grita nueva en esa zona y alrededor de la grieta se desarrolla una distribución nueva de esfuerzos. El esfuerzo máximo de adherencia en la figura 2.28 se desplaza hacia la derecha desde el punto “A” al
122
123 punto “B” pasando la línea central entre dos grietas potenciales hasta que se forma una segunda grieta a una diferencia ac de la grieta 1.
Por lo tanto, es importante escoger una longitud apropiada de las varillas del armado, para disminuir el agrietamiento y deslizamiento. Como resultado el refuerzo puede alcanzar toda su resistencia de tensión; es decir, su resistencia de fluencia, dentro del elemento estructural sin que se presente una falla de adherencia.
124 ADHERENCIA EN ANCLAJE Las barras de refuerzo deben estar ancladas en el concreto a ambos lados de la sección donde se requieran, de manera que pueda desarrollarse en ellas el esfuerzo requerido. Por ejemplo, considérese una barra anclada en una masa de concreto, sujeta a una fuerza T, como se ilustra en la figura 2.29 para que se conserve el equilibrio, al actuar ésta fuerza deberán desarrollarse esfuerzos de adheren
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