Métodos de Formulación de Raciones (página 2)

6. Programación lineal: raciones de mínimo costo

Las raciones o mezclas de mínimo costo están balanceadas con respecto a su adecuidad nutricional, empleando las fuentes disponibles más económicas y satisfactorias para proporcionar los diversos nutrientes críticos en las cantidades que se requieren. Es importante considerar algunos aspectos que pueden determinar la utilización de la programación lineal en producción animal.

• La alimentación representa entre 60 y 80% de los costos variables de los sistemas de producción animal.
• Si no alimentamos adecuadamente al animal, nunca podremos obtener de éste toda la producción que genéticamente pueda ofrecer.
• Se utiliza raciones que además de cumplir con el requerimiento animal, son de mínimo costo.
• Cuando se considera el costo de la alimentación, se alcanzan niveles de complejidad elevados donde es necesario combinar la ración balanceada con aquella de mínimo costo, recurriéndose, en este caso, a técnicas de optimización como la programación lineal.

Programación Lineal (PL) es una técnica de optimización destinado a la asignación eficiente de recursos limitados en actividades conocidas para maximizar beneficios o minimizar costos, como es el caso de la formulación de raciones. La característica distintiva de los modelos de PL es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.

Un programa lineal puede ser del tipo de maximización o minimización. Las restricciones pueden ser del tipo <=, = ó >= y las variables pueden ser negativas o irrestrictas en signo. Los modelos de PL a menudo representan problemas de "asignación" en los cuales los recursos limitados se asignan a un número de actividades. Un Programa Lineal es un problema que se puede expresar como sigue: Min Z = cx (1) Sujeto a: Ax = b (2) x >= 0 (3)

Donde (1) es la función objetivo, (2) se denomina ecuaciones de restricciones y (3) condición de no negatividad. En la función lineal "Z=cx", "c" es el vector de precios, "x" el vector de variables por resolver. "A" es una matriz de coeficientes conocidos, y "b" vector de coeficientes conocidos. La programación lineal es utilizada en la formulación de raciones, donde se busca minimizar el costo de la mezcla de alimentos, denominándose a estas, raciones de mínimo costo. En la ecuación (1): Z = representa el costo de la ración a minimizar. c = constituye el costo de cada ingrediente. x = representan los ingredientes o alimentos en la ración a minimizar. En la ecuación (2): A = es la matriz que contiene la composición nutricional de los alimentos. b = es el vector que representa los requerimientos nutricionales de los animales. En la ecuación (3): Condición de no negatividad, indica que la cantidad a aportar de cada alimento sea mayor o igual a cero.

Ejemplo 7 Un ejemplo de utilización de la técnica se presenta a continuación, siendo los nutrientes aportados por los alimentos: Energía metabolizable y Proteína cruda. La ración será para ponedoras 7-18 semanas, los ingredientes a utilizar son: Maíz amarillo y Torta de soja.

El objetivo de la formulación es determinar la cantidad de alimento X1 y X2 que debe ser mezclado para cumplir los requerimientos de los animales y minimizar el costo (Z) de la ración, entonces se procede a plantear el problema de programación lineal.

Se establece la ecuación que representa la función objetivo: Min Z = 0.75X1 + 1.20X2 (4) Las ecuaciones de restricciones a las cuales se sujetan la función objetivo son:      X1 +     X2 = 1.00 (5) 3.370X1 + 2.43X2 >= 2.85 (6) 0.088X1 + 0.44X2 >= 0.16 (7) 0.088X1 + 0.44X2 <= 0.17 (8) X1 , X2 >= 0

Una forma de resolver problemas de programación lineal es a través del método gráfico. El método es eficiente para solucionar problemas con dos restricciones para n alimentos o dos alimentos para n restricciones. Obteniéndose así modelos bidimensionales, si se agrega otra variable se obtiene un modelo tridimensional más complejo. Como el problema tiene dos variables (X1 y X2), la solución es bidimensional. Si se consideran las desigualdades (6, 7 y 8) en igualdades, se tendrá: 3.370X1 + 2.43X2 = 2.85 (9) 0.088X1 + 0.44X2 = 0.16 (10) 0.088X1 + 0.44X2 = 0.17 (11)

Seguidamente se obtiene el valor de X1 y X2 en cada una de las expresiones matemáticas. El valor de X1 y X2 en las ecuaciones de restricción se calcula dando valor de cero a una de ellas cuando se calcula la otra y viceversa tal como se muestra en el cuadro siguiente:

Con esta información es posible graficar en un eje de coordenadas el valor de X1 y X2 de cada una de las expresiones matemáticas, las rectas que se forman se muestran en el gráfico siguiente:

En el polígono sombreado se muestra el área de soluciones factibles y cualquier combinación de los alimentos X1 y X2 que esté en el área de soluciones posibles cumplirá con las restricciones establecidas. Por lo tanto, el problema se limita a seleccionar la combinación de X1 y X2 que sea de mínimo costo cumpliendo además, con las restricciones.

Si se dan valores arbitrarios a la función objetivo (Z) se presentan soluciones como las que se presentan en el gráfico (Z=0.5, Z=0.842, Z=1.0, Z=1.5). Estas rectas indican que la función de costo de desplaza en forma paralela, pudiéndose afirmar que si ésta se desplaza hacia abajo, el valor de Z disminuye, mientras que un desplazamiento hacia arriba elevará el valor de Z. Si trazamos rectas paralelas de funciones objetivos en el área de soluciones factibles, las posibles soluciones se reducen a dos y corresponden a los cruces de la recta A (ecuación 5) con la C (ec. 10) y de la recta A con la D (ec. 11). La selección se basa a que son los únicos vértices que cumplen la restricción donde la suma de los alimentos es igual a uno (X1 + X2 = 1).

Como lo que se busca es encontrar la solución que minimice la función objetivo, la solución óptima es aquella indicada en el gráfico. El mencionado punto corresponde aproximadamente a 0.8 unidades de X1 (maíz amarillo) y 0.2 unidades de X2 (Torta de soja). Es posible calcular los valores de estas variables resolviendo el sistema de ecuaciones formado por el vértice de solución, que son: X1 + X2 = 1.00 0.088X1 + 0.44X2 = 0.16 Resolviendo este sistema se tiene: X1 = 0.795 X2 = 0.205

Estos valores obtenidos son casi los mismos al logrado con el gráfico. Asimismo, los resultados de las variables, están expresadas en función a 1 kg, por tanto para una mejor expresión se debe llevar a porcentaje, siendo el Maíz amarillo = 79.5% y la Torta de soja = 20.5%. La ecuación de costos es la siguiente: Z = 0.75X1 + 1.20X2 Z = 0.75(0.795) + 1.20(0.205) Z = S/. 0.842 La ración balanceada tiene un costo mínimo de S/. 0.842. Comprobando si la solución satisface las igualdades y desigualdades establecidas, se tiene: X1 + X2 = 1.00 (5) 0.795 + 0.205 = 1.00 1.00 = 1.00 3.37X1 + 2.43X2 >= 2.85 (6) 3.37(0.795) + 2.43(0.205) = 3.18 3.18 > 2.85 0.088X1 + 0.44X2 >= 0.16 (7) 0.088(0.795) + 0.44(0.205) = 0.16 0.16 = 0.16 0.088X1 + 0.44X2 <= 0.17 (8) 0.088(0.795) + 0.44(0.205) = 0.16 0.16 < 0.17

Los modelos matemáticos formulados con la programación lineal se pueden resolver en forma gráfica y matemática. Para la solución matemática, el simplex es el método empleado comúnmente. El método gráfico es limitado frente al simplex, su utilización es con fines explicativos como en el anterior ejemplo, donde se ilustra el modelo de programación lineal en la resolución de problemas de minimización. Obviamente, cuando deseamos formular una ración en producción animal, utilizaremos mayores números de ingredientes y nutrientes, cada uno con sus respectivas restricciones, este problema es limitado para el método gráfico, pero no para el simplex. Las operaciones matemáticas del método simplex son lo suficientemente complejas como para que casi todo el modelo se efectúe mediante software. Precisamente, el método más usado en la confección de raciones de mínimo costo es el método simplex, el mismo que es implementado en un software, donde es factible especificar valores mínimos, máximos, rangos, relaciones o cantidades exactas para cada ingrediente o nutriente.

Ejemplo 8 El siguiente problema corresponde a una ración de mínimo costo cuya solución se basa en el método simplex, desarrollado a través del software Uffda. Se emplea este programa dado su carácter educativo y libre (ver bibliografía para una copia). En la utilización del software, se debe conocer aspectos básicos que permitirán un adecuado ingreso de datos al programa, teniéndose las siguientes formas de expresar los ingredientes:

A libre acceso Cuando no se le indica ninguna restricción al ingrediente y se desea que la computadora utilice el nivel más conveniente en la dieta. Un ejemplo lo es el maíz como fuente de energía y la harina de soya como fuente de proteína. También esto ocurre con los aminoácidos sintéticos y las fuentes de calcio y fósforo.

Nivel exacto o fijo Se usa cuando queremos que aparezca una cantidad fija en la dieta. Esto sucede principalmente con las premezclas de vitaminas, minerales traza y aditivos no nutricionales.

Nivel mínimo Es cuando queremos garantizar la inclusión mínima de un ingrediente en el alimento y dejamos a la computadora la elección de cualquier cantidad a incluir a partir de ese nivel mínimo. Un ejemplo lo es un nivel igual o mayor que 10% de sorgo en la dieta, esto nos indica que deseamos incluir como mínimo 10% de sorgo en la dieta.

Nivel máximo Cuando indicamos a la computadora que no deseamos utilizar un nivel mayor al determinado, por razones nutricionales o por restricciones químicas o físicas. La computadora escogerá el nivel óptimo entre cero y el nivel máximo permitido. Un ejemplo lo es un nivel menor o igual que 5% de harina de pescado

Nivel dentro de un rango Es cuando queremos utilizar un nivel mínimo de un producto, pero que a la vez no sobrepase un valor máximo. Este concepto se aplica con la utilización de grasas y aceites en climas calientes. Un ejemplo lo es poner un valor mínimo de 2% y un máximo de 6%, de aceite, ya que niveles superiores afectan la manufactura y el almacenamiento del producto. Cuando expresamos los alimentos en las cuatro últimas formas, se entiende por Límites de Ingredientes, los mismos que son debidos a factores de disponibilidad, composición nutricional, naturaleza propia del ingrediente (químicas y físicas), especie animal, económicas. Este mismo criterio se aplica a los nutrientes, con las particularidades del caso, entendiéndose como Límites de Nutrientes. En otros programas de optimización de raciones se emplea el término Restricción para referirse a Límites, este último usado en Uffda. La ración a balancear será aquella para broilers 0-3 semanas, cuyo requerimientos nutricionales son: 3200 kcal/kg EM, 23% PC, 1.00% Calcio, 0.45% Fósforo disponible, 1.10% Lisina, 0.90% Met+Cis, 0.80% Treonina y 0.20% Triptófano (NRC, 1994). Una vez ingresado a Uffda y abrir el archivo correspondiente, se debe acceder a la matriz de composición de alimentos para ver la disponibilidad de los mismos y modificar valores que crea conveniente (pantalla inferior).

Enseguida, se ingresa los límites de ingredientes. Para el ejemplo, se tiene un nivel mínimo de 2% de Salvado de trigo (2/100 = 0.02 en la ventana Límites de Ingredientes), 0.20% de sal; un nivel máximo de 14% de Harina de pescado y 4% de Aceite acidulado de pescado; niveles exactos o fijos de 0.15% y 0.10% para Cloruro de colina y Premezcla respectivamente. Los demás ingredientes se ingresaron a libre acceso (pantalla inferior).

Al igual que los ingredientes, se procede con los nutrientes, teniéndose valores exactos o fijos de 1.00 kg, 3.20 Mcal/kg y 23% PC para Weight, Energía metabolizable y Proteína cruda respectivamente, 4.00% Fibra cruda como nivel máximo, siendo los demás nutrientes ingresados a un nivel mínimo (pantalla inferior).

Finalmente, se formula la ración y puede obtenerse un resumen en pantalla de la ración de mínimo costo lograda; observándose que el software excluyó a Lisina 78 por no ser necesario emplear este alimento, dado que los alimentos logran cubrir el requerimiento de lisina como nutriente (pantalla siguiente).

Los programas de formulación de raciones como Uffda se presentan como una herramienta indispensable para el aprendizaje de formulación de raciones de mínimo costo. En el mercado se presentan diversos programas, la mayoría de ellos más elaborados que el Uffda (dada su versión para Windows), pero los estudiantes muchas veces no están en posibilidades de acceder a ellos por las causas que conocemos. Sin embargo, dada las ventajas y facilidades que proporciona el emplear software de formulación de raciones, los resultados obtenidos deberán ser analizados cuidadosamente, puesto que el programa se basa en una solución al problema basado en el costo de los alimentos sujeto a las restricciones de ingredientes y nutrientes establecidas por el formulador. En este entender, los resultados obtenidos podrán cumplir con las condiciones matemáticas establecidas pero no necesariamente las biológicas, aquellas que se observarán en la respuesta animal. Si las necesidades de los animales son descritas mediante modelos determinísticos, la programación lineal es la manera más eficaz y sencilla para la formulación de raciones. Sin embargo, si el modelo nutricional que describe las necesidades de los animales es estocástico (es decir que se tiene en cuenta la variabilidad inherente de todos o varios parámetros que participan como inputs en la determinación de las necesidades nutricionales, entonces la programación estocástica es necesaria para optimizar raciones.

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Resumen Los métodos de formulación de raciones permiten elaborar raciones balanceadas para animales de interés zootécnico, los hay desde los más elementales hasta los más complejos, como la programación lineal. Cada uno de estos métodos presenta una característica y son destinados para raciones y condiciones particulares, siendo elemental el aprendizaje de estos métodos, no tanto por su aplicación en condiciones prácticas, sino porque su ejercicio conlleva al dominio de técnicas y desarrollo de habilidades al estudiante, los cuales le permitirán elaborar con mayor facilidad raciones complejas. Se describe los métodos Prueba y error, Ecuaciones simultáneas, Cuadrado de Pearson y Programación lineal, este último con desarrollo a través del método gráfico en forma manual y a través del método simplex mediante un software de balanceo de raciones. Palabras clave: Formulación de raciones, Programación lineal, Nutrición animal, Alimentación animal, Zootecnia.

Autor:

Elmer J. Quispe Q.

Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco Carrera Profesional de Zootecnia