Análisis matemático de un helicóptero de cuatro motores para el seguimiento de un móvil (A.R Dron)

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Analisis Matemático de un Helicoptero de Cuatro Motores Para El Seguimiento de Un Movil (A.R Dron)

Electronica Analogica II Franco Oswaldo Pinos Vergara [email protected] Andrés Benjamín Tenesaca Saca [email protected] Resumen—En este documento es basado en un estado del arte de los cuadrimotres o helicópteros de cuatro motores donde tra- taremos del moldeamiento matemático y control de helicópteros de cuatro motores comúnmente conocidos en la sociedad como drones basados en las ecuaciones de Euler Langrage, el control de vuelo es establecido mediante trayectorias el cual nos ayudara a tener un mejor desempeño de vuelo en los helicópteros con el único objetivo de establecer un control de fácil estabilización durante el tiempo de vuelo en un helicóptero de cuatro motores donde este se empleara este instrumento en diversas aplicaciones, ya que en los últimos años el cuadricóptero o cuadrimotor se ha convertido en la plataforma estándar para la investigación de micro vehículos aéreos (MAV) y de proyectos con robots aéreos. Index Terms—Drone, Control, Modelamiento Matemático, Cuadrimotor, Trayectoria Planeada

INTRODUCCIÓN

Un vehículo aéreo no tripulado (UAV: UnmannedAerial- Vehicle), es una aeronave que vuela sin tripulación humana a bordo, que puede ser controlada desde una estación base o tener un funcionamiento autónomo mediante un algoritmo prestablecido. Se aplica este término a todo tipo de aeronaves, no solo aviones, que vuelan sin asistencia humana, de ahí que se pueda aplicar la designación a cualquier dispositivo capaz de volar, desde una cometa, un avión manejado por radio, helicópteros, cuadricópteros radio controlados hasta un misil [1] A pesar de haber sido desarrollados inicialmente para apli- caciones militares, los UAV tienen un campo de aplicación importante a nivel civil, ya que podrían usarse aparatos de este tipo para darle seguimiento a incendios forestales o catástrofes de diversos tipos sean o no de origen natural, seguridad civil, como la vigilancia de los oleoductos, también suelen ser preferidos para misiones que son demasiado "aburridas, sucias o peligrosas" para los aviones tripulados[1] El Ecuador también ha hecho uso de los UAVs, en el 2008 el gobierno adquirió seis aeronaves no tripuladas dos Heron de largo alcance y cuatro Searcher de corto alcance del fabricante ISRAEL AEROSPACE INDUSTRIES (IAI), las cuales se han integrado plenamente al sistema de vigilancia y control del territorio marítimo ecuatoriano, donde la marina y el cuerpo de guardacostas realizan operaciones de lucha contra el narcotrá?co, la piratería y el contrabando por parte del crimen organizado.[2]

Figura 1. UAV Heron, tomado de [4], [3]

Uno de los inconvenientes que se presentan para el estudio académico con relación al control de sistemas de vuelo, es la di?cultad en su maniobra En la actualidad existen muchos sistemas de vuelo entre los que se tienen helicópteros de cuatro motores conocidos como Cuadrimotores, los cuales presentan una ventaja muy importante sobre los helicópteros tradicionales que tienen dos motores, ya que estos permiten mejor control de estabilidad, diseño, mantenimiento y robustez, debido a que presenta ángulos constantes entre sus hélices y los ejes de referencia, por lo tanto su análisis matemático se facilita. Un Cuadrimotor es un helicóptero de cuatro motores, donde los motores adyacentes giran en sentido contrario (delantero y trasero) y estos tienen posición opuesta entre si [5]los otros dos giran en sentido anti-horario (laterales), las fuerzas ejercidas por los motores salen de ellos y los momentos giran en sentido opuesto al giro de la hélice para disminuir los efectos giroscópicos [6]adicionalmente su centro de masa está localizando en el centro del vehículo.

A.R Drone En 2004 la compañía francesa Parrot empezó un proyecto llamado A.R. Drone, el objetivo era producir un micro vehícu- lo aéreo no tripulado o UAV para el mercado masivo de los

(2) 1 T 1 2 (9) 2 juegos de video y entretenimiento en el hogar. En este proyecto han participado ingenieros de Parrot, con el apoyo técnico de ingenieros de SYSNAV y Paris Tech, para juntar esfuerzos en la construcción del sistema de navegación y el diseño del Ecuaciones de Euler – Lagrange Para este sistema, las ecuaciones en coordenadas generali- zadas [8] son dadas por Ec1 control [2] q = (x, y, z, ?, ?, F) R6

Donde el Langrangeano es de?nido por Ec. 2

L(q, q ) = TT rans + Trot – U

Con: (1) Ttrans = 1 2 mpT P (3) Es la energia cinetica trasnacional U = mgz

Es la energia potencial del vehiculo (4) Figura 2. A.R Drone, Tomado de [2]

Una característicaimportante es que se lo puedecontrolada Trot = 2 w Iw (5) a distancia a través de una interfaz diseñada en Apple iP– hone, iPad o iPod Touch, actualmente puede ser ejecutada y modi?cada mediante Linux o Windows, lo que involucra conocimientos de programación en aquellos sistemas opera- tivos. Los algoritmos integrados en la plataforma AR Drone tienen la particularidad de ser muy estables y la plataforma es capaz de realizar un vuelo estacionario o de avance rápido en espacios estrechos.Este proyecto es un ejemplo perfecto del uso so?sticado de sensores de relativamente bajo costo.[3] Es la energia cinetica rotacional Z es la altura del vehículo, m es la masa, ? es la velo- cidad angular, I es la matriz de inercia y g es la gravedad; además P = (x, y, z) R3 [11], que es la posición del centro de masa del helicóptero en relación al eje de referencia, I = (?, ?, F) R3 son los tres ángulos de Euler, ? es el angulo yaw, ? es el angulo pitch, Fes el angulo roll [6]. Reemplazando estos parámetros el modelo es representado por la ecuación 6 ANALISIS MATEMATICO DEL CUADRIMOTOR L (q, q) = 1 mP T P + ?T I? – mgz 2 (6) El modelo matemático del cuadrimotor es realizado basando en las siguientes consideraciones: El Cuadrimotor es un cuerpo solido en tres dimensiones, sujeto a una fuerza principal y tres El modelo general de la ecuación de Euler – Lagrange de energía con fuerzas [8] , es de?nida como representa la ecuación 7 momentos como lo muestra la Fig3. Su centro de masa es localizado en el centro del vehículo, los efectos giroscópicos son cancelados debido a la disposición de sus hélices, y los d ?L ?L * – dt ?q ?q = Fu t (7) efectos externos por rozamiento con el aire son despreciables. El modelo es obtenido a partir de las ecuaciones de Euler- Lagrange [7] Donde F u = MR F , es la forma de traslación aplicada para cada una de las componentes (x, y, z)y MR es la matriz de rotación, la cual de?ne el movimiento de los ejes en relación a los tres ángulos de Euler [7]. Para aplicaciones de ingeniería aerospacial la convención que más se utiliza para la de?nición de la matriz de rotación es la conocida como ángulos de Tait- Bryan, como muestra el sistema matricial MR = MR? MR? MRf (8) ? 1 0 0 ? ? cos ? 0 sin ? ? MRf = ? 0 0 cos f sin f – sin f ? MR? = ? cos f 0 – sin ? 1 0 0 ? cos ? ? cos ? – sin ? 0 ? Figura 3. Fuerzas Cuadrimotor , Tomado de [9] MR? = ? sin ? cos ? 0 ? 0 0 1

(10) x y z x y z x (14) y z (15) (16) ¨ (17) ¨ ? 3 Aplicando la matriz de rotación la ecuación 7 se obtiene la Reemplazamos la Ec.20en el dominio de Laplace tenemos: ecuacion 10 , la cual representa el sistema en relación a las tres coordenadas cartesianas. Z(s) U (s) = 4k ms2 (21) m (¨, ¨, ¨) + mg k = MR F

Donde la fuerza es dada por: Entonces el sistema de lazo cerrado es representado me- diante Fig.4 ? 0 ? F = ? 0 ? LT

LT = 4K?2 (11)

(12) Obteniendo así la solución para cada eje como muestra la ecuación 13 ? m¨ ? ? LT (cos ? sin ? cos f + sin ? sin f) ? ? m¨ ? = ? LT (sin ? sin ? cos f + cos ? sin f) ? (13) m¨ LT (cos ? cos f) – mg Linealizando la ecuación Ec.13ediante la linealización tan- gente se tiene la Ec. Figura 4. Respuesta del sistema frente al seguimiento de una trayectoria planeada en el eje Z con ángulos nulos[7] ? m¨ ? ? LT (? + f) ? Podemos observar en la Fig.4, que en un sistema que era ? m¨ ? = ? LT (?? + f) ? inestable realiza el seguimiento de la trayectoria planeada la m¨ LT – mg cual esta superpuesta, la línea de color verde es la segunda derivada del polinomio planeado, llegando a 1cm en 5 se- Seguimiento de una Trayectoria El seguimiento de una trayectoria puede entenderse me- diante el siguiente ejemplo: Se desea que el sistema siga una trayectoria, la cual tiene como condición ?nal alcanzar 1cm en 5 segundos y después se mantenga constante en el valor de 1cm el resto del tiempo, para este caso el polinomio es

X(t) = at4 + bt3 + ct2 + dt + e

Aplicando condiciones iníciales se tienen las ecuaciones

Z(t) = 0,0048Vf t4 – 0,064Vf t3 + 0,24Vf t2

Z(t) = 0,0572Vf t2 – 0,38Vf t + 0,48Vf incorporando la ecuacion Ec.13 y trabajando con el sistema linealizando para este eje Z como muestra la Ec.14 donde w2 = u. Con puntos de equilibrio Z = 0 e Z = 0 se tiene la Ec.18 y la Ec.19 gundos y manteniéndose constante el resto del tiempo, como fue deseado. Este será el principio que se utilizó para la construcción de las trayectorias.

DISEÑO Y CONSTRUCION DE UN CUADRIMOTOR . El cuadricópteroAR.Drone realiza el seguimiento a una plataforma móvil que está constituida principalmente por un vehículo terrestre manejado a control remoto, dentro del cual se coloco un dispositivo que envíe constantemente una señal infrarroja para el seguimeinto de la trayectoria del drone (mediante infrarrojos).[9] u = gm 4k (18) u = u – gm 4k (19) Donde: gm u = u + 4k Reemplanzando la Ec.19 en la Ec.13obtenemos la Ec.20 Figura 5. Diodos Infrarrojos Para la Emision y Recepcion de la Señal de Control[2]

Desde el vehiculo móvil acontrol remoto se envía una señal mediante un circuito de emisores infrarrojos. Este circuito de ¨ 4ku Z(t) = m (20) leds IR se encarga de transmitir una señal periódica con una luz que tiene longitud de onda que se encuentra en el espectro

4 infrarrojo. La decodi?cación de la señal infrarroja resulta un poco compleja si se utiliza un fotodiodo o un fototransistor, debido a que la luz del medio ambiente in?uye diractamente sobre estos dispositivos electrónicos, esta señal introduce ruido al sistema lo que hace que el diseño del circuito de acondicio- namiento sea complejo, con la posibilidad de que no responda adecuadamente a una distancia considerable, ventajosamente en el mercado existen decodi?cadores que emplean la misma tecnología que los que usan las televisiones, equipos de sonido, en general todo aparato electrónico que funcione a control remoto, éstos receptores ofrecen una respuesta libre de ruido y totalmente con?able, por lo que son ideales para el receptor que fue colocado en el cuadricóptero lo cual facilitara el seguimineto de la tracyectoria.[9]

Partes Constructivas del A.R. Drone El cuadri motor Parrot A.R Drone está constituido basi- camente de un soporte en forma de cruz hecho de ?bra de carbono, el cual es un material resistente y muy ligero. La propulsión se realiza con 4 motores tipo brushless de 15 W, junto con cuatro hélices de ?bra de carbono. La plataforma posee un mainboard con un microprocesador de 32 bits [11] y una placa con sensores inerciales y ultrasónicos. En conjunto las dos placas se encargan de mantener al sistema estable y enviar las señales de control a los motores. Los comandos de movimiento son enviados vía WiFi desde una PC, iPhone, iPad o cualquier dispositivo que use un sistema operativo Android. Todos los elementos son protegidos con una estructura de polipropileno expandido, que es ligero y permite absorber la vibración de los motores. [2] Fig.6 sección lo su?cientemente amplia para que sea detectada por el cuadricóptero.[9]Fig.7

Figura 7. Faro Infrarojo Emisor de Señal [15]

Circuito Receptor de la Señal de Control El receptor percibe la presencia del faro infrarrojo, pro- cesa la información y la envía vía comunicación serial inalámbrica[12] a la PC. El integrado TSOP32438 detecta la señal infrarroja de 38 KHz, colocando 0V en su salida, si no detecta señal la salida tiene un valor de 5 V. En el umbral entre detección y la no detección se presenta una oscilación, la cual se la puede suprimir con un ?ltro pasabajos, sea este activo o pasivo. La salida de los receptores infrarrojos es procesada por un microprocesador ATmega324P[14] en el que se forma un byte con la información de los sensores (activos e inactivos). La información es enviada a la PC vía comunicación serial mediante el uso de un módulo XBee a una velocidad de 57600 baudios. Conocer que sensores se han activado permitirá determinar la posición relativa del cuadricóptero con respecto al faro infrarrojo.Fig.8 [2]

Figura 6. Partes De Un A.R. Drone[19]

Emision de la Señal de Control Mediante un Faro Infrerrojo El faro infrarrojo esta constituido por un conjunto de 20 leds IR colocados en forma circular, cuya irradiación tiene un alcance de 10 m, éste permitirá estimar la distancia del cuadri motor con respecto al móvil. La señal infrarroja que debe ser emitida tiene una frecuenciaaproximandamente de 38 KHz, dado que los receptores están diseñados para trabajar a con dichos valores, es de tipo cuadrada con una relación de trabajo del 250 % para disminuir la potencia que disipa la resistencia limitadora de los leds IR. El circuito constituye un faro infrarrojo cuya luz emitida, forma un cono con una Figura 8. Circuito Receptor de la Señal de Control [19]

FUNCIONAMIENTO INTERNO DEL CONTROL DEL A.R. DRONE La arquitectura de fusión de datos y de control consta de varios bucles en la que está inmerso el piloto humano. Se controla mediante su dispositivo de mano, a través de una conexión Wi-Fi gratuita, a distancia enviar sus órdenes de alto nivel, y, simultáneamente, para visualizar el ?ujo de vídeo

5 desde la cámara frontal[16]. Un típico vista desde la interfaz grá?ca de usuario aparece en la pantalla del iPhone como se observa en la 9

Figura 9. Captura del contro del usuario[9]

La arquitectura se ilustra en la 10. Los interruptores entre los distintos modos son manejados por una máquina de estados ?nitos que representa las órdenes del piloto. Este punto se ilustra en la 11. De forma predeterminada, es decir, cuando el usuario no toca la pantalla de su dispositivo de mano, el AR.Drone va en modo ?otando, donde la altitud se mantiene constante y la actitud y la velocidad se estabilizan a cero[17]. Un doble clic en la pantalla hace que se vaya en el modo de aterrizaje, mientras que la pantalla táctil usualmente signi?ca- ba para especi?car los puntos de ajuste de velocidad.

Figura 10. La arquitectura del control [9]

Figura 11. Control de modos de vuelo y velocidad[9] El control se realiza por dos bucles. El primer bucle calcula un valor de velocidad angular a partir de la diferencia entre la actitud estimada y el punto de ajuste de actitud. Esta velocidad angular se realiza un seguimiento con un control proporcional integral (PI). El control angular controla los motores con controladores proporcionales simples. En la Figura 6, se puede observar que hay dos modos de guía. En el modo de vuelo, la consigna de actitud se prescribe por el piloto. En el modo de cernido, la consigna actitud es cero, pero la transición de un modo a otro vuelo cernido se realiza mediante la técnica de plani?cación de movimientos Goto?x. El modo Suspendido en el aire es mantenido por el control de lazo de cernido que consta de un controlador PI en la estimación de velocidad. La plani?cación de movimientos Goto?x es una característica importante del AR.Drone. La plani?cación de movimiento se inicia desde la actitud actual y la velocidad del quadrotor cuando el piloto sale del modo de vuelo.[15]

CONCLUSIONES El cuadricóptero AR Drone es una plataforma comercial lo que permite concentrarse en el sistema de control de seguimiento autónomo y la instrumentación a implementar, ya que su estabilidad de vuelo es buena debido a la tecnología de navegación embebida que posee. La propulsión del cuadri- cóptero depende en su totalidad de las hélices. El constante uso, golpes y altas temperaturas las van deformando, por ende su capacidad para formar una columna uniforme de aire con el su?ciente empuje para elevarlo disminuye, una hélice en buenas condiciones es ?exible, recta y sin ningún tipo de protuberancia en sus curvas. Es importante dar mantenimiento preventivo a las partes constitutivas del cuadricóptero para asegurar un vuelo estable, este mantenimiento se puede enfocar en el enderezamiento de las hélices y en poner aceite en el eje del motor para evitar que la fricción desgaste la guía del mismo. Fue obtenido un modelo matemático de la planta que per- mitió el modelamiento del sistema Cuadrimotor, para analizar las trayectorias planeadas y probar el control diseñado en el desarrollo del mismo. El propósito de este trabajo es presentar las tecnologías de navegación y de control integrados en el drone. Entre estos son sensores inerciales y cámaras. La arquitectura de la estimación resultante es una combinación compleja de varios principios, que se utilizan para determinar, con el tiempo horizontes distintos, los prejuicios y otros defectos de cada sensor. El resultado es una so?sticado sistema pero esta complejidad no es visible por el usuario. Esto subraya el papel de control automático como una tecnología que permite, pero oculto.

REFERENCIAS

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[5] J. M Díaz Cano,“Modelo y Control LQR de una aeronave de cuatro rotores”. Ing Téc, Universidad de Sevilla. Escuela Superior de Ingenie- ros. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Ingeniería en Automática y Electrónica Industrial Sevilla 2007 [6] P Castillo ; P García; R Lozano ; P ALBERTOS, “Modelamiento y estabilización de un helicóptero con cuatro rotores”, vol 4, N 1, pp 41- 57, 2007. [7] A. J. Gomes, “Controle de forças de manipuladores robóticos”,Ms dissertação, Faculdade de engenharia, departamento de engenharia elec- totécnica e de computadores, [8] Modelamiento matemático y control de un helicóptero de cuatro motores Mathematical modeling and control of a four-engine helicopter Miguel Parra Muñoz 1* ,Eugenio Feitosa Fortaleza2 Jones Mori Alves da Silva3 Departamento de ingeniería mecánica, Universidad de Brasília, Brasília, Brasil [9] Control de un Cuadricóptero para seguimiento de un móvil Chamorro W. Medina J. Sotomayor N. Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica [10] The True Role of Accelerometer Feedback in Quadrotor Control Philippe Martin, Erwan Salaun, HAL, vol 1. 6 Oct 2009. [11] https://www.monogra?as.com/trabajos14/motherboards/motherboards [12] http://tecbolivia.com/index.php/articulos-y-tutoriales– microcontroladores/10-comunicacion-serial-mediante-radiofrecuencia [13] http://www.alldatasheet.com/datasheet-pdf/pdf/252296/VISHAY/TSOP32438.html [14] http://www.atmel.com/Images/Atmel-8011-8-bit-AVR-Microcontroller- ATmega164P-324P-644P_summary.pdf [15] Ogata K., “Sistemas de Control en Tiempo Discreto”, Tercera Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana, México, 2002. [16] NationStates, ”Foro de tecnología UAV”, [Online]. Disponible: http://forum.nationstates.net [17] A. Arévalo, “Vehículos aéreos no tripulados, descripción y capa- cidades para la obtención de información”, [Online]. Disponible: http://www.escrint.cl/php/ contenido/UAV %20CORREGIDO.pdf [18] E-Radicontrol, “Foro de circuitos electrónicos de radio frecuencia”, [Online]. Disponible: http://www. e-radiocontrol.com.ar. [19] Dragan?y Innovation, “CuadricópteroDragan Flyer”, [Online]. Disponi- ble: http://www.dragan?y.com/uav-helicopter/dragan?yer-x4p. [20] Ar DroneFlyers, Foro arregla tus propias helices, Disponible:http://www.ardrones-?yers.com

Andrés Benjamín Tenesaca Saca Nació el 6 de Mayo de 1994 en Cuenca Ecuador, realizo sus estudios primarios en la escuela San José “La Salle”, sus estudios secundarios en el Cole- gio Hermano Miguel “La Salle”, actualmente esta cursando sus estudios superiores en la Universidad Politécnica Salesiana en la carrera de Ingeniería Electrónica, desarrolla sus actividades extracurricu- lares en Servicentro Motos Quads como técnico de motos.

Franco Oswaldo Pinos Vergara Nació el 4 de Junio de 1994 en Cuenca Ecuador, realizo sus estudios primarios en la escuela Unidad Educativa Particular “La Auncion” , sus estudios secundarios en el Colegio Unidad Educativa Particular “La Aun- cion” , actualmente esta cursando sus estudios superiores en la Universidad Politécnica Salesiana en la carrera de Ingeniería Electrica,