La Estática de la partícula aplica en la carrera de Ingeniería Mecánica
Enviado por Idalberto de la C. Mendoza Díaz
Introducción
Entre las disciplinas que forman el plan de estudio de la carrera de Ingeniería Mecánica se destaca, por el número de asignaturas y por el grado de interrelación con las demás disciplina, la Mecánica Aplicada. La asimilación de sus contenidos comienza con el estudio de la "Estática" en la asignatura Mecánica Teórica I y esta, a su vez, encabeza sus contenidos con la "Estática de la Partícula". Los que han estudiado ingeniería conocen que dominar este tema es imprescindible para asimilar muchas de las asignaturas de la carrera.
La asignatura, Mecánica Teórica I la reciben los estudiantes en el segundo año de la carrera. Para ellos asimilar los conceptos, leyes y principios que se abordan en la Estática de la Partícula no es un gran problema, pues ya fueron tratados en Física y, además, pueden ser localizados en una gran cantidad de textos y materiales digitales. No es la misma situación cuando deben aplicarlos en la solución de problemas vinculados a la especialidad, para ello se necesita, además, conocer metodologías de cálculo y desarrollar un pensamiento lógico que le permita aplicarlas. Una de las dificultades con que se cuenta en la actualidad es la escasez de bibliografía donde puedan resolver estos últimos dos aspectos.
La intensión de este trabajo es solventar la problemática expuesta anteriormente, planteándose como principal objetivo, sobre la base de la experiencia acumulada por el colectivo de autores en el desarrollo de un gran número de proyectos y en la impartición de la asignatura Mecánica Teórica I, exponer métodos de trabajo para aplicar las leyes y los principios relacionados con la Estática de la Partícula, en la solución de problemas concretos relacionados con la Ingeniería Mecánica. El mismo está dirigido fundamentalmente a profesores noveles y a estudiantes del tema.
El documento comienza tratando, sin demostraciones, los conceptos más generales del tema y luego, en la medida que se abordan nuevos contenidos, se presentan distintos ejercicios, sus soluciones y criterios de los autores del porqué de muchas de las decisiones tomadas. Entre los ejemplos planteados el lector puede encontrar aquellos vinculados con la determinación de las componentes de una fuerza, el cálculo de la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes, así como la aplicación de la primera Ley de Newton en el plano y en el espacio. En algunos de estos ejercicios se presentan más de una solución (distintos métodos) para el mismo problema. Lo anterior permite al lector valorar cual de las soluciones le es más fácil de aplicar.
Desarrollo
En tecnología, y más concretamente en los procesos de ingeniería, cuando hay que diseñar una máquina o una estructura determinada debemos, en primer lugar, hacer un estudio de todas las fuerzas o movimientos que resultaran de su funcionamiento. Esto nos permite determinar, tanto su geometría para originar los movimientos deseados, como los materiales más adecuados para soportar las fuerzas y garantizar, así, un buen funcionamiento de la máquina o estructura. Y es en todo esto donde la Mecánica interviene decisivamente.
La Mecánica es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y el reposo de los cuerpos y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. El conjunto de disciplinas que abarca la mecánica convencional es muy amplio pero es posible agruparlas en cuatro bloques principales: Mecánica clásica, Mecánica cuántica, Mecánica relativista, Teoría cuántica de campos
El estudio de la Mecánica se remonta a los tiempos de Aristóteles (384-382 a. de J.C) y Arquímedes (287-212 a. de J.C), pero fue necesario esperar a que Newton (1642-1727) obtuviese una formulación satisfactoria a sus principios fundamentales. Estos fueron posteriormente expresados en una forma modificada por D´Alembert, Lagrange y Hamilton. La validez de estos principios permaneció sin discusión hasta que Einstein formuló la Teoría de la Relatividad (1905). No obstante, la mecánica Newtoniana sigue siendo la base de las ciencias de la ingeniería actual, fundamentalmente de la Estática.
La Estática es la rama de la Mecánica Clásica que analiza las cargas (fuerza, par/momento) y estudia los sistemas físicos en un estado en que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La palabra estática se deriva del griego statikós que significa inmóvil.
En el presente documento se pretende abarcar el estudio de la Estática aplicada solamente a la partícula.
Partícula: Cantidad muy pequeña de materia, la cual se supone que ocupa un solo punto en el espacio. Es considerada un cuerpo con una determinada masa, pero adimensional, es decir, sin dimensiones.
El sólido rígido es, por el contrario, considerado un cuerpo con una masa determinada, en el que podemos definir dos puntos, la distancia entre los cuales se mantiene invariable sean cuales sean las fuerzas que actúen sobre él.
Figura 1. Sistema de fuerzas concurrentes.
En la Estática, un sólido puede ser considerado como partícula cuando el sistema de fuerzas actuantes es concurrente (las líneas de acción se interceptan en un solo punto). En ese caso se desprecian las dimensiones del cuerpo. En la figura 1 se presenta un ejemplos de Fuerzas concurrentes.
1-Conceptos y principios fundamentales.
Las cantidades básicas empleadas en la mecánica son: masa, fuerza, longitud y tiempo.
Masa: Propiedad de la materia mediante la cual puede compararse la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia que presenta la materia al cambio de velocidad.
Fuerza: Efecto de la interacción mecánica entre dos cuerpos. Se representan gráficamente mediante segmentos rectilíneos acabados en flecha, tal y como se muestra en la figura 2, donde se observan, además, los cuatro parámetros fundamentales:
El módulo o intensidad.
La dirección.
El sentido.
El punto de aplicación.
Figura 2. Representación gráfica del vector fuerza.
El módulo se representa por un segmento de recta de una longitud dada. La longitud de este segmento se establece a través de un factor de escala. La dirección está identificada por el ángulo que forma la línea de acción de la fuerza (línea infinita a lo largo de la cual actúa la fuerza) con respecto a una línea de referencia. El sentido define hacia donde, en una misma línea de acción, está accionando la fuerza. El punto de aplicación corresponde al punto, dentro de la línea de acción, donde actúa el vector.
Longitud: El concepto de longitud tiene su origen en la palabra latina longitudo y se destina a nombrar a la magnitud física que permite marcar la distancia que separa dos puntos en el espacio.
Tiempo: Es una magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos, sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación. En la mecánica clásica, el tiempo se concibe como una magnitud absoluta, es decir, es un escalar cuya medida es idéntica para todos los observadores. Esta concepción del tiempo recibe el nombre de tiempo absoluto.
Con las cuatro cantidades anteriores se asocian las llamadas unidades cinéticas, es decir, las unidades de longitud, tiempo, masa y fuerza. En la tabla 1 se muestran las unidades utilizadas para estas cantidades en el Sistema Internacional de Unidades (S.I) y en el Sistema utilizado en Países de habla inglesa (S.U), así como la conversión entre ambos.
Tabla 1. Sistemas de unidades.
S.I. Sistema Internacional; S.U. Unidades de uso común en países de habla inglesa.
El estudio de la Estática de la partícula reposa en 4 Principios básicos:
Ley del paralelogramo para la suma de fuerzas: Dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser reemplazadas por una sola fuerza llamada "Resultante", que se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas dadas.
Principio de Transmisibilidad: La condición de equilibrio o de movimiento de un sólido rígido no varía si la fuerza que actúa sobre un punto dado del mismo se remplaza por otra del mismo módulo, dirección y sentido, pero que actúa sobre otro punto diferente, siempre que ambas fuerzas tengan la misma línea de acción.
Este es uno principio muy usado en la Mecánica Teórica. Permite cambiar el punto de aplicación de una fuerza, dentro de su línea de acción, sin afectar el estado de reposo o de movimiento relativo de una partícula o sólido rígido.
Primera Ley de Newton: "Si sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas cuya resultante es nula, entonces este cuerpo se encontrará en reposo o moviéndose con velocidad constante en una trayectoria rectilínea".
La primera ley de Newton implica que la resultante de las fuerzas de cada organismo en el sistema es igual a cero. La red de fuerzas igualada a cero se conoce como la primera condición de equilibrio.
Tercera Ley de Newton (Acción y Reacción): "Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste último ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud y dirección, pero en sentido opuesto.
2- Fuerzas sobre una partícula. Fuerzas en el plano.
a-Resultante de dos fuerzas.
La evidencia experimental muestra que la resultante de dos fuerzas, S y T, ver figura 3a, que actúan sobre una partícula, puede ser obtenida mediante la aplicación de la Ley del Paralelogramo. Para ello debe trazarse una paralela a S por el extremo de T y una paralela a T por el extremo de S, ver figura 3b. La diagonal del paralelogramo obtenido representa la resultante R de ambas fuerzas.
Figura 3. a- Dos fuerzas aplicadas a la partícula. b- Resultante de las dos fuerzas.
De la ley del paralelogramo se deriva un segundo método, "la Regla del Triángulo". En este método, la suma de los vectores se obtiene al dibujar, desde la partícula, una de las dos fuerzas, S por ejemplo (ver figura 4), situando en su extremo el origen de la segunda (T en este ejemplo), la unión del origen de S con el extremo de T representa la resultante R de las dos fuerzas. En la representación derecha de la figura se muestra otro orden de ubicación de las fuerzas, observe que el resultado es el mismo.
Figura 4. Regla del triángulo.
Conociendo las magnitudes de ambas fuerzas y sus respectivas direcciones, con respecto a un eje de referencia, es posible calcular el valor de la Resultante R. Para ello puede ser aplicada la Ley del coseno. Por ejemplo, si en la figura 4 se conocen los valores de ß y a, entonces puede aplicarse la Ley del coseno al triangulo de la figura 4b o 4c:
b- Resultante de varias fuerzas concurrentes.
Para sumar más de dos fuerzas, podemos proceder aplicando sistemáticamente la regla del triangulo. Lo cual significa sumar dos fuerzas y el resultado obtenido sumarlo con la tercera, y así sucesivamente hasta obtener la suma total. Esta forma es muy engorrosa, siendo preferible aprovechar la propiedad asociativa de la suma de vectores y con el sistema de fuerzas planteado construir un "Polígono de fuerzas". Para este método de trabajo se procede igual que en la regla del triangulo, solo que ahora se trataría de ir colocando los diferentes vectores uno a continuación de otro, ver figura 5, uniendo sucesivamente el extremo de uno con el punto de aplicación del otro y, finalmente, uniendo el punto de aplicación del primero con el extremo del último, que determinaría su vector suma o resultante del sistema. En definitiva, daríamos con un polígono vectorial, razón por la cual este método se llama regla del polígono. Hay que recordar que siempre se deben dibujar manteniendo el modulo, dirección y sentido de los vectores, desplazándolos sobre una línea paralela a su dirección.
Figura 5. Regla del polígono.
c- Descomposición de una fuerza en componentes.
Recíprocamente a lo expuesto en los epígrafes anteriores, una fuerza F que actúa sobre una partícula puede ser reemplazada por dos o más fuerzas que produzcan el mismo efecto sobre dicha partícula. Estas fuerzas se llaman componentes de la fuerza original F y el proceso de reemplazar F por sus componentes se llama descomposición de la fuerza.
Para una misma fuerza se puede obtener un número ilimitado de componentes, pero hay un caso de particular interés: se conoce la línea de acción de dos componentes.
Cuando se conoce la línea de acción de cada componente, la magnitud, dirección y sentido de las componentes se obtienen, gráficamente, aplicando la Ley del paralelogramo. Para esta acción se trazan por el extremo de F líneas paralelas a las líneas de acción definidas previamente. Por ejemplo, en la figura 6a se muestra una fuerza F y dos líneas, p y q, en iguales direcciones a las componentes a obtener. Trazando por el extremo de F una paralela a q, hasta que intercepte con p y una paralela a p hasta que se intercepte con q, se obtienen dichas componentes, ver figura 6b.
Figura 6. a- Fuerza F y línea de acción de las componentes P y Q. b- componentes de la fuerza.
d- Componentes rectangulares de una fuerza en el plano.
Con frecuencia es conveniente descomponer la fuerza en componentes perpendiculares entre sí. En la figura 7A se ha descompuesto a F en la dirección del eje "x" horizontal, Fx, y en la dirección del eje "y" vertical Fy. El paralelogramo dibujado es un rectángulo y las componentes obtenidas son llamadas componentes rectangulares.
Figura 7. Componentes rectangulares de una fuerza.
No siempre las componentes que se requieren son la horizontal y vertical. Pueden necesitarse, en ocasiones, componentes en otras direcciones perpendiculares cuales quiera, ver figura 7B.
Si en la figura 7A o 7B, se trabaja trigonométricamente con el triángulo rectángulo 0ab, pueden calcularse las magnitudes de las componentes escalares mediante las ecuaciones matemáticas 3 y 4.
¿Cuáles serían las funciones trigonométricas a utilizar si el ángulo conocido es el formado entre F y el eje vertical "y"?
Ahora se introducirán dos vectores de magnitud igual a la unidad, orientados en la dirección positiva de los ejes "x" y "y" respectivamente. Estos vectores se llaman vectores unitarios y se representan por i y por j, ver figura 8.
Figura 8. Vectores unitarios
Utilizando la definición dada para el producto de un escalar por un vector, pueden representarse vectorialmente las componentes rectangulares de una fuerza F. Para ello se multiplica su magnitud por el vector unitario correspondiente:
La componente escalar Fx es considerada positiva cuando tiene igual sentido que el vector unitario i. En caso contrario es considerada negativa. La componente vertical es positiva cuando tiene igual sentido que el vector unitario j.
Veamos a continuación algunos ejemplos relacionados con la descomposición de las fuerzas
Ejemplo 1. En la figura 9 aparece representada por F la fuerza que realiza una biela (no se muestra) sobre su pistón. Calcule el efecto de la fuerza que tiende a mover al pistón sobre la dirección horizontal, cuando su módulo es de 20 kN y su inclinación respecto a la horizontal, ?, es de 20o.
Figura 9
Solución
Para determinar el efecto de la fuerza sobre el pistón es necesario obtener su componente en esa dirección. Esta acción se puede desarrollar de dos formas distintas: gráfica y analíticamente.
Para obtener gráficamente la componente de una fuerza respecto a un eje dado (descomponer) es necesario primeramente trazar, por ambos extremos de la fuerza, dos líneas perpendiculares a dicho eje, pasando una por la cola y la otra por la punta del vector (ver figura 10.a). El segmento de recta (AB) obtenido entre las dos perpendiculares representará el módulo de la componente. El sentido o posición de la saeta se determinará proyectando de todos los puntos de la fuerza, de igual forma en que se proyectan las líneas y los puntos en la asignatura Dibujo.
Si el segmento de recta que representa la fuerza tiene una longitud proporcional a su magnitud y dicha proporción se encuentra definida numéricamente mediante un factor de escala, entonces, este mismo factor de escala puede ser utilizado para obtener el valor modular de la componente, para ello tenemos que multiplica la longitud del segmento de recta AB que representa la componente, por dicho factor de escala
Figura 10. Componente horizontal de una fuerza F
Solución analítica: La determinación analítica de las componentes de una fuerza se basa en el planteamiento de funciones trigonométricas aplicadas a un triángulo (CDE en la figura 10.b) formado por la fuerza, el segmento de recta que pasa por la punta (o cola) del vector y que a su vez es paralelo a la componente de la fuerza (segmento de recta CD), y la perpendicular que pasa por la cola (o punta) del vector original (DE).
Para aplicar en este problema la secuencia planteada, trazaremos primeramente por "O" la línea x-x en la dirección horizontal (ver figura 11). A partir de la cola del vector F y perpendicular al eje x-x, se traza una recta hasta que se intercepte con dicho eje (punto A). El segmento OA representará el módulo de la componente horizontal de la fuerza (Fx). Proyectando cada punto de F sobre x-x se puede apreciar que el sentido (punta de la saeta) de esta componente es hacia la izquierda. En esta solución no se ha trazado la perpendicular a x-x que pasa por el otro extremo del vector (punta del vector), esto se debe a que este extremo está ubicado sobre el propio eje, implicando una perpendicular de longitud cero.
Figura 11. Componente horizontal y vertical de F
La solución analítica parte del triángulo rectángulo que se forma entre F, Fx y la perpendicular a esta última. En él se puede plantear que:
El resultado indica que F tiende a mover al pistón hacia la izquierda (sentido de la componente de la fuerza) con una magnitud de 18,8 kN.
Si usted necesita calcular la componente vertical de F tendría que:
Trazar el eje vertical y-y (ver figura 11).
Trazar por la cola del vector F una perpendicular a y-y hasta que se intercepte con dicho eje (punto B). El segmento de recta BO representará el módulo de la componente vertical Fy. Proyectando todos los puntos, incluidos los que representan a la punta de la saeta, obtendrá que el sentido de esta componente será hacia abajo.
La longitud del segmento OB coincide con la del cateto opuesto al ángulo de 200 , es por eso que podemos plantear:
De los resultados anteriores se puede concluir que, las magnitudes de las componentes de una fuerza, proyectada sobre dos ejes perpendiculares (componentes rectangulares), se obtienen multiplicando la fuerza por las funciones trigonométricas seno y coseno, empleándose el coseno para el cálculo de la componente que conforma el ángulo que se tiene de dato. La función seno será utilizada para el cálculo de la otra componente. En la figura 11 el ángulo de 200 está formado entre F y Fx. Fije su atención en las funciones trigonométricas usadas en los cálculos de Fx y Fy.
Usted deberá adquirir tal habilidad en la determinación de las componentes de una fuerza, que no le será necesario descomponerla gráficamente en la hoja del cuaderno, sino de forma imaginaria (representar en su mente la dirección y el sentido de cada componente).
Ejemplo 2. En la figura que se muestra determine las componentes de la fuerza P respecto a:
a- Los ejes x, y
b- El eje n-n y el perpendicular a él.
Figura 12. Esquema para el ejemplo 2
Solución:
a- En este problema es conocida la inclinación (dirección) de la fuerza con respecto al eje. La fuerza P forma un ángulo de 30o con el eje x, por ello la componente que tiene como dirección este eje (Px) se determina por:
Hay una tendencia a que los estudiantes vinculen el cálculo de la componente en x de la fuerza, Fx, con la función coseno y eso es erróneo. Observe que los resultados anteriores fueron los mismos con ambos ángulos, sin embargo, las funciones a utilizar para calcular cada componente estuvieron vinculadas al ángulo que se tenía de datos.
Para determinar las componentes de P según el eje n-n y el perpendicular a él (t-t), se debe buscar primeramente la dirección (ángulo) que forma dicha fuerza con uno de estos ejes. Según los datos presentados en la figura 12, la fuerza P forma un ángulo de 30o con la horizontal, mientras que el eje n-n forma un ángulo 45o, también con la horizontal. Se puede deducir entonces que la dirección de P es de 15o (45o-30o) respecto a n-n, por lo tanto:
Observe en la figura 13 las posiciones relativas entre P, Pn y Pt. Relaciónelas con las funciones seno y coseno utilizadas en los cálculos
Figura 13. Proyecciones de P sobre las líneas n-n y t-t
Una fuerza tiene infinitas componentes y usted podrá realizar la acción de descomponerla sobre determinados ejes según le sea necesario. Las componentes cambiarán en magnitud y dirección, pero la resultante seguirá siendo la misma, P.
e- Suma de fuerzas por adición de componentes.
Cuando se suman tres o más fuerzas, no es práctico obtener la Resultante mediante la aplicación del método de los polígonos. En este caso puede obtenerse una solución analítica descomponiendo cada fuerza en dos componentes rectangulares. Consideremos por ejemplo, tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre la partícula A (figura 14). Su resultante se obtiene por la relación
Figura 14.
Expresando cada fuerza mediante sus dos componentes rectangulares (figura 14b), se puede escribir:
Según las ecuaciones 6 y 7, las componentes escalares Rx y Ry de la resultante R, de varias fuerzas que actúan sobre una partícula, se obtienen sumando algebraicamente las correspondientes componentes escalares de las fuerzas que intervienen.
Aplicando la Ley del paralelogramo para Rx y Ry, ver figura 14c y 14d, se obtiene la resultante mediante la expresión matemática:
Ejemplo 3. A la planchuela de la figura 15 se le han soldado tres elementos en las direcciones indicadas, tirándose de ellos con las fuerzas: F1, F2 y F3, de módulos 100, 200 y 300 Newton respectivamente. Determine la fuerza resultante que actúa sobre la planchuela
Figura 15. Esquema del problema 3.
Solución:
Para calcular la resultante de un sistema de fuerzas existen distintos métodos: gráficos, grafo-analíticos y analíticos.
Para la solución de los problemas en el plano el método más empleado es el grafo-analítico llamado "Suma de fuerzas por adición de componentes", conocido también como el de "Descomposición de fuerzas". Para plantear este método usted puede seguir la siguiente secuencia de pasos.
a- Seleccionar en el plano de trabajo dos ejes perpendiculares entre sí y trasladar los puntos de aplicación de todas las fuerzas para el punto de intersección entre estos ejes. Para desarrollar este paso quizás sea necesario aplicar el Principio de Transmisibilidad.
b- Determinar, si es necesario, el ángulo de inclinación de cada fuerza respecto a uno de los ejes.
c- Descomponer cada una de las fuerzas sobre los ejes y calcular las magnitudes de dichas componentes. Ver ejemplos 1 y 2.
d- Determinar las componentes Rx y Ry de la resultante, planteando para ello las ecuaciones 6 y 7.
En este caso se ha tomado como referencia los ejes x e y, pero podrían emplearse otras letras para identificarlos.
Para cada sumatoria se debe seleccionar un convenio de signo y tener en cuenta y por separado, los sentidos de cada una de las componentes.
e- Calcular la magnitud (R) y dirección (?) de la resultante planteando que:
La expresión 9 es utilizada para determina la inclinación (?) de la resultante respecto al eje x.
Para obtener el sentido de esta resultante es aconsejable representar gráficamente (puede ser sin escala) sus componentes Rx, Ry y aplicarles la ley del paralelogramo.
Veamos cómo aplicar esta metodología en la solución del problema.
a- Seleccionemos, en el plano donde se encuentra representada la figura, un eje x-x horizontal y otro y-y vertical, procurando la intersección de ambos en el punto "O". Se ha seleccionado este punto porque en él coinciden las rectas de acción de las fuerzas, facilitando esto, mediante el Principio de Transmisibilidad, trasladar el punto de aplicación de cada una de las fuerzas con el objetivo de hacerlas concurrentes.
Antes de pasar al siguiente paso realicemos gráficamente la acción de cambiar el punto de aplicación de las fuerzas F1, F2 y F3 hacia el punto O. Ver figura 16. Para ello solo traslademos las fuerzas manteniendo las direcciones y los sentidos de cada una. Como el traslado de cada una ha sido sobre sus propias líneas de acción (la línea de acción final coincide con la inicial), entonces no es necesario agregar ni quitar nada más, simplemente cambiarla de punto de aplicación.
Figura 16. Proyección de las fuerzas del problema 1.4.
Nota: Cuando la nueva línea de acción sea distinta a la que tiene la fuerza inicialmente, el procedimiento no será exactamente igual.
b- No es necesario determinar las direcciones de las fuerzas, constituyen datos del problema.
c- Se descomponen ahora, sobre ambos ejes, cada una de las fuerzas que conforman el sistema. Para ello debemos seguir la secuencia desarrollada en el ejemplo 1. En la figura 16 están representados los resultados gráficos de estas acciones.
Los módulos de las componentes serán:
Observe que el módulo de la componente horizontal de F3 (fuerza que coincide en dirección con el eje x-x) es igual al de la fuerza y que su componente vertical es cero. Este resultado puede ser generalizado:
"Si una fuerza coincide en dirección con uno de los ejes, entonces, el módulo de la componente respecto a dicho eje es igual al de la fuerza. La otra componente es nula".
d- Tomado como referencia la figura 16 y considerando las fuerzas orientadas hacia la derecha como positivas, se obtiene que (sustituyendo en la expresión 6):
El resultado negativo indica que Rx está orientada hacia la izquierda. Esto se identifica de acuerdo al convenio de signo tomado para la sumatoria (se habían asumido signos positivos para las fuerzas orientadas hacia la derecha).
e- Sustituyendo en la expresión 7 y efectuando la suma
En la ecuación anterior se tomó como convenio de signos que las fuerzas o componentes orientas hacia arriba son consideradas positivas.
¿Cuál será el sentido de Ry?
El signo negativo indica que Ry se encuentra orientada hacia abajo.
f- El módulo de la resultante se obtiene sustituyendo los valores de Rx y Ry en la expresión 8.
En la expresión anterior no se han considerado los signos negativos de Rx ni de Ry debido a que ambos valores están elevados al cuadrado.
g- Para determinar la inclinación de la fuerza resultante respecto a la horizontal utilizaremos la expresión 9.
Tenga en cuenta que con este resultado de 0,51 se pueden obtener dos valores distintos del ángulo ?: 27o y 207o.
Para seleccionar el valor adecuado tratemos de conseguir gráficamente la resultante. Apliquemos para ello la Ley del Paralelogramo, pero sin hacer uso del factor de escala. Representemos, partiendo desde un mismo punto y con las direcciones y sentidos ya definidos, las componentes Rx y Ry (ver figura 17). Tracemos por el extremo de Ry, una paralela a Rx y por el extremo de Rx, una paralela a Ry. La resultante estará representada por el vector que sale del origen (punto de concurrencia de Rx y Ry) y llega al punto de intersección entre las paralelas, es decir la diagonal del paralelogramo. Como usted se podrá dar cuenta, el resultado de 27o no es lógico ya que implicaría una orientación de la resultante hacia el primer cuadrante, por lo tanto la respuesta adecuada es ? =207o
Figura 17. Dirección de la resultante de las fuerzas.
¿Qué relación existe entre los dos números anteriores (2070 y 27o?.
207-180=27, pudiéndose considerar a la resultante con una dirección de 27o con relación a la parte negativa el eje x.
Una sugerencia Importante: En la práctica está demostrado que para realizar las sumatorias de fuerzas sobre los ejes (paso "c"), no es necesario cambiar los puntos de aplicación de las fuerzas para un punto común (paso "a"). Usted puede seleccionar un eje, horizontal, por ejemplo (o cualquier otra dirección), y plantear una sumatoria de fuerzas sobre este eje. En esa sumatoria se pueden incluir todas las fuerzas o componentes que actúan sobre la partícula y que tienen igual dirección que el eje seleccionado (el horizontal usado como ejemplo), no importándole cual es su punto de aplicación. De igual forma, cuando va a desarrollar la sumatoria en el eje perpendicular (el vertical para que se corresponda con el ejemplo) incluye en ella a todas las fuerzas o componentes verticales que actúan sobre el sólido.
Otra forma de resolver el problema planteado
Probemos ahora una solución vectorial para resolver el mismo problema. Con ello Ud. podrá elegir cuál, según su criterio, es el método más simple.
La metodología a seguir es:
a. Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.
Para expresar vectorialmente una fuerza usted debe obtener primeramente sus componentes respecto a los ejes x e y (ver ejemplo 1), multiplicando posteriormente a Fx por el vector unitario i y a Fy por j.
Analíticamente esto es:
b. Plantear la resultante como la suma vectorial de todas las fuerzas actuantes
La aplicación de esta secuencia en el problema es:
a. Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.
La obtención de las componentes respecto a los ejes "x", "y" es un proceso realizado en la solución escalar. Tomemos los valores ya calculados.
b. Plantear la resultante como la suma vectorial de todas las fuerzas actuantes. Para ello se sustituyen las tres fuerzas en la expresión:
La anterior es la forma utilizada para dar respuestas en las soluciones vectoriales. En ella usted debe interpretar que la fuerza produce una acción hacia la izquierda (signo negativo de la componente afectada por el vector i) de 57,2 N y hacia debajo (signo negativo de la componente afectada por el vector j) de 29,3 N. Observe que estos resultados coinciden con los de Rx y Ry de la solución escalar
Como puede apreciar, existen distintos métodos para resolver el mismo problema. Decir cuál es el más fácil o el más complejo es relativo, dependen de muchos factores entre los que se encuentran las habilidades personales. Los autores de este trabajo coincidimos en que la solución escalar es generalmente más sencilla en los problemas planos, mientras que en los tridimensionales la solución vectorial parece ser la más cómoda. Cuando compare el grado de complejidad de los métodos, tenga presente que para la solución vectorial fueron utilizados valores de componentes de fuerzas ya calculados en la solución escalar.
f- Equilibrio de una partícula. Primera ley de Newton del movimiento.
Cuando una partícula se encuentra en reposo, o moviéndose con velocidad constante en trayectoria rectilínea, se dice que la partícula se encuentra en equilibrio. Si al sistema de fuerzas que actúa sobre una partícula en equilibrio le es aplicada la Primera Ley de Newton, expuesta anteriormente, se obtiene que:
Estas ecuaciones, 10 y 11, son identificadas como ecuaciones de equilibrio en el plano.
Tal como se ha explicado, se puede utilizar la regla del polígono para calcular la resultante de varias fuerzas en el plano. Para lograr que una partícula este en equilibrio la condición geométrica del polígono de fuerzas debe ser que la ultima fuerza coincida con el inicio de la primera, es decir, que la fuerza resultante sea nula. Con otras palabras, que el polígono de fuerzas sea cerrado.
Ejemplo 4. Una pieza cilíndrica A de 5 Kg de masa y 10 cm de diámetro está soportada por dos rodillos B y C de 6 cm de diámetro, como se muestra en la figura 18. Si el sistema se encuentra en equilibrio, calcule los valores de las fueras a que están sometidos los apoyos de cada rodillo.
Figura 18. Esquema del problema 4
Solución:
Para resolver los problemas del equilibrio de la partícula se pueden plantear los siguientes pasos:
1- Construir el diagrama de fuerzas de la partícula.
Para la construcción del diagrama de fuerzas usted debe seleccionar la partícula adecuada y representarla con todas las fuerzas que actúan sobre ella, incluyendo las reacciones que se producen en las ligaduras y apoyos. La partícula debe quedar totalmente libre de estos apoyos o conexiones. Cada conexión eliminada tiene que ser sustituida por la o las posibles reacciones que produce. Tenga presente, para ello, que las fuerzas a representar son las producidas sobre la partícula y no las producidas por ella (Ley de Acción y Reacción). En este diagrama debe incluirse, además, la dirección o inclinación de cada fuerza con respecto a un eje dado.
Una partícula adecuada puede ser aquella que tiene como máximas dos incógnitas para los problemas en el plano y tres para los tridimensionales. Ello se debe a que 2 es el número de ecuaciones escalares a aplicar a cada diagrama en el plano y 3 en los tridimensionales. En ocasiones es necesario hacer el diagrama de fuerzas a más de una partícula, pero el problema es soluble si el número de incógnitas total es menor o igual que el número de ecuaciones a plantear (dos o tres por cada diagrama, según el tipo de problema).
A la hora de hacer el diagrama de fuerzas debe tener presente que en él no puede representar fuerzas de más ni de menos, cualquier error en este sentido conlleva a un resultado desastroso.
2- Plantear las condiciones de equilibrio.
El planteamiento de la condición de equilibrio depende del tipo de solución a aplicar: Gráfica, grafo-analítica, analítica escalar o analítica vectorial.
Una solución gráfica se basa en la construcción, a escala, de un polígono cerrado.
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