La Estática de la partícula aplica en la carrera de Ingeniería Mecánica (página 2)

Partiendo de un punto dado y con las direcciones y sentidos calculados o asumidos en el diagrama de fuerzas, se colocan, una a continuación de otra, todas las fuerzas que componen el sistema, teniendo en cuenta que la última de ellas debe terminar en el mismo lugar donde se situó el punto de aplicación de la primera (ver posterior ejemplo de aplicación en este mismo problema)

– Una solución grafo-analítica se basa en la construcción, sin escala, de un polígono cerrado (similar a la solución gráfica pero representando las fuerzas sin escala), planteándose posteriormente un sistema de expresiones matemáticas que satisfagan la geometría de dicho polígono.

– En los casos de soluciones analíticas escalares se plantean las siguientes ecuaciones (Ecuaciones de Equilibrio para la partícula)

– Si la solución es vectorial, entonces se debe plantear la siguiente secuencia:

• Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.

• Plantear la condición de equilibrio a través de la suma vectorial de las fuerzas

• Sustituir, en la expresión anterior, todas las fuerzas ya expresadas vectorialmente, agrupando los términos que estén afectados por cada uno de los vectores unitarios y sumando posteriormente cada uno de estos grupos

• Igualar a cero cada uno de estos grupos por separado.

• 3- Resolver, si es necesario, el sistema de ecuaciones.

Veamos cómo aplicar esta metodología en la solución del problema.

• 1- Construir el diagrama de fuerzas (DF) de la partícula.

Para definir en este problema a cuál partícula hacerle el diagrama de fuerzas se realizó el siguiente análisis:

El contacto entre dos superficies cilíndricas genera una fuerza normal a estas superficies (válido para todas las superficies en revolución), entonces, en este problema las fuerzas que se generan entre cada rodillo y la pieza (una para cada superficie en contacto) tienen una línea de acción de igual dirección que la recta que pasa por los centroides de los cilindros, ver figura19.

Figura 19. Fuerzas sobre los rodillos

En la figura 19 se muestra gráficamente lo expresado en el párrafo anterior. En ella se ha sustituido la pieza por su efecto sobre los dos rodillos, las fuerzas FB y FC. Observe que ambas, según su dirección, actúan sobre los apoyos (aplicando el Principio de Transmisibilidad) que son las incógnitas del problema.

Aplicando la Tercera Ley de Newton (Principio de acción y reacción) tendremos que sobre la pieza cilíndrica actuaran estas mismas fuerzas pero en sentido contrario, ver figura 20.

El hecho de tener aplicadas sobre la pieza cilíndrica tanto la fuerza conocida (W), como las incógnitas FB y FC y siendo estas últimas, en número (dos), iguales al número de ecuaciones a plantear (dos), permite elegirla como el elemento adecuado para el diagrama de fuerzas. En la figura 20 se muestra una representación de la pieza con todas las fuerzas, incluido el peso de la pieza W (W=m.g).

Figura 20. Diagrama de fuerzas del cilindro.

Observe que el sistema de fuerzas aplicado sobre la pieza es concurrente, por ello, dicho elemento puede ser considerado como una partícula (centroide del cuerpo).

Para completar este paso falta por determinar la inclinación de cada fuerza respecto a un eje. Para ello formemos un triangulo (figura 21) con las líneas que pasan por los centro de cada elemento y tracemos una vertical desde el centro de la pieza (punto A). Se han formado dos triángulos rectángulo, coincidiendo el ángulo ? con el formado por FB y FC con la vertical. Ver figura 21.

Figura 21. Figura auxiliar.

En esta figura se cumple que:

Para desarrollar esta ecuación, hemos proyectado imaginariamente las fuerzas sobre el eje "x" (ver problema 1) y se ha tomado como convenio de signo que las fuerzas orientadas hacia la derecha son positivas.

Con la solución de la expresión anterior no obtenemos los módulos de las fuerzas, solo su igualdad. Apliquemos entonces la sumatoria sobre el eje "y"

Respuesta: las fueras a que están sometidos los apoyos de los rodillos tienen un módulo de 28,5N, una dirección de 30o respecto a la vertical y los sentidos que se presentan en la figura 20.

Otra posible solución. Método Vectorial

Lo que estudiaremos a continuación no es la solución de otro problema, sino otra manera de resolver el mismo problema. Con ello el lector puede comparar el grado de complejidad de ambos métodos y decidirse por el que entienda más simple de aplicar.

Para expresar vectorialmente cada una de las fuerzas (ver solución vectorial del problema anterior) deben calcularse primeramente los módulos de cada una de sus componentes (ya determinados en la solución escalar y por lo tanto se utilizarán sus valores para no repetir los cálculos) y multiplicar cada una de ellas por los vectores unitarios correspondientes.

Observe en las expresiones que acabamos de plantear, que inicialmente las fuerzas se sumaron (todas con signo positivo), pero sus componentes, a la hora de sustituirlas, mantuvieron sus respectivos signos.

Agrupando los términos que están afectados por cada uno de los vectores unitarios se tiene que:

En la primera de ellas, el signo negativo indica que la componente de FC sobre el eje de las "x" está orientada hacia la izquierda (parte asumida como negativa para este eje).

Otra posible solución. Método Grafo-analítico.

Sobre la partícula solo actúan tres fuerzas, con ellas se puede construir un polígono como el mostrado en la figura 22. Para la representación de este triángulo se partió desde un punto cualquiera del plano con la fuerza W, manteniéndose la dirección y el sentido que ella muestra en el diagrama de fuerzas (vertical y orientada hacia abajo). En su extremo se representó a FC y en el extremo de esta otra a FB, ambas con iguales direcciones y sentidos que en la figura 20, garantizándose con la última el cierre del polígono. Debe recordar que la condición gráfica del equilibrio es que el polígono de fueras es cerrado..

En este ejercicio se comenzó la construcción del polígono con W, pero pudo haberse seleccionado cualquier otra fuerza para ello. En ese caso las posiciones de las fuerzas variarán pero sus relaciones geométricas no.

Figura 22. Polígono de fuerzas cerrado.

Resolvamos ahora analíticamente el polígono. La figura es un triángulo, pero no rectángulo, por lo tanto solo se pueden plantear las relaciones geométricas generales, Ley de los Cosenos y la de los Senos. Aplicando esta última:

Las direcciones y los sentidos de cada fuerza se obtienen del propio polígono.

Es probable que para el lector esta última sea la solución más sencilla, sin embargo no debe olvidar que el polígono formado es un triangulo (tres fuerzas), y que en la misma medida que aumente el número de fuerzas del sistema se incrementarán los lados del polígono y por lo tanto la complejidad en la solución geométrica del mismo.

3- Fuerzas en el espacio.

Los problemas considerados en esta primera parte encerraban solo problemas en dos dimensiones, podían formularse y resolverse en un plano. En esta sección se discutirán problemas que contemplan las tres dimensiones del espacio.

• a- Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio.

Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z, ver figura 23b.

Figura 23

Para definir la dirección de F se ha dibujado, en la figura 23b, el plano OBAC que contiene a la fuerza. Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación está definida por el ángulo f. La dirección de F dentro del plano está precisada por el ángulo ?y que la fuerza forma con el eje vertical. Bajo estas consideraciones, F se puede descomponer en una componente vertical Fy, ver figura 23c, y una componente horizontal Fh; las componentes escalares correspondiente son:

La fuerza F dada se ha descompuesto en 3 componentes rectangulares Fx, Fy , Fz que pueden ser calculadas mediante las ecuaciones 12, 13 y 14.

Las relaciones existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx, Fy y Fz se visualizan más fácilmente si, como se muestra en la figura 24, se dibuja una caja que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha caja.

Figura 24

La figura 24a muestra el triángulo rectángulo OAD empleado para derivar primera de las fórmulas Fx = F cos.?x. En las figuras 24b y c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAB y OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja posiciones comparables con la del los triángulos OAD. Al enunciar fy y fz, como los ángulos que F forma con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similares a la anterior, entonces se escribe:

Los tres ángulos ?x,?y y ?z definen la dirección de fuerza F; éstos se utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los ángulos ?y y f introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de ?x, ?y y ?z se conocen como los cosenos directores de la fuerza F.

Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los x, y, z, la fuerza F puede expresarse de la siguiente forma:

Figura 25.

Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje.

Fuerza definida por su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción.

En muchas aplicaciones, la dirección de la fuerza F está definida por las coordenadas de dos puntos, M(x1,y1,z1) y N(X2,y2,z2), localizados sobre su línea de acción (figura 26). Consideremos el vector MN que va de M a N, en el mismo sentido de F; podemos designar sus componentes escalares por dx, dy y dz respectivamente, escribimos

Figura 26.

Las relaciones (20) simplifican considerablemente la determinación de las componentes de F, cuando la línea de acción está definida por dos puntos M y N.

Restando las componentes de M de las de N puede escribirse

Reemplazando los valores de F, dx, dy, dz y d en (20), pueden obtenerse las componentes Fx, Fy, Fz de F. Si sustituye estas componentes en (16) queda expresada F de forma vectorial.

• b- Suma de fuerzas concurrentes en el espacio.

La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio puede obtenerse mediante la suma de sus componentes rectangulares. Los métodos gráficos o trigonométricos no son, en estos casos, generalmente prácticos.

La secuencia de trabajo que se sugiere es similar a la planteada para los problemas en el plano pero desarrollando todo el análisis de forma vectorial.

• Tomando la resultante, como la suma vectorial de todas las fuerzas actuantes

• Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas. Para expresar vectorialmente una fuerza usted debe obtener, primeramente, sus componentes rectangulares Fx, Fy y Fz; multiplicándolas, posteriormente, por los vectores unitarios i, j y k, respectivamente.

• Obtenidas las componentes de las fuerzas actuantes escribir:

• Calcular el módulo de R mediante:

• c- Equilibrio de una partícula en el espacio.

De acuerdo con la definición de equilibrio, una partícula A está en equilibrio si la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

Las ecuaciones (24) representan las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de la partícula en el espacio

Para resolver los problemas de equilibrio de la partícula en el espacio le proponemos la siguiente secuencia de trabajo:

• 1- Construir el diagrama de fuerzas de la partícula.

• 2- Plantear la condición de equilibrio.

• Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.

• Plantear la condición de equilibrio a través de la suma vectorial de las fuerzas

• Sustituir, en la expresión anterior, todas las fuerzas ya expresadas vectorialmente, agrupando los términos que estén afectados por cada uno de los vectores unitarios y sumando posteriormente cada uno de estos grupos

• Igualar a cero cada uno de estos grupos por separado.

• 3- Resolver el sistema de ecuaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5. El sistema que se muestra en la figura 27 está formado por la barra BD y los cables o tirantes BC y BA. Si en la posición indicada en la figura dicho sistema se encuentra soportando una carga de 10kN, calcular la tensión en cada cable y la fuerza de compresión en BD. Considere que la barra tiene peso despreciable y que la fuerza que se ejerce sobre ella tiene igual dirección que la línea que une los puntos B y D.

Figura 27 Esquema del ejemplo 5

Nota. La fuerza de compresión está dirigida a lo largo de la barra (tiene la misma dirección que la barra) y tiende a disminuir su longitud (compresión)

Solución.

Por ser un problema de equilibrio es aplicable la metodología planteada anteriormente. La diferencia, con respecto a los ejemplos 3 y 4 radica en que no todas las fuerzas están dispuestas en un mismo plano (equilibrio tridimensional), por ello la solución aconsejada es la vectorial. Apliquemos la metodología:

• 1- Construir el diagrama de fuerzas de la partícula.

Para la selección de la partícula adecuada tendremos en cuenta que las direcciones de las fuerzas TAB, TCB son coincidentes con la dirección de los cables respectivos. Observe que las líneas de acción de ambas fuerzas, así como la compresión sobre la barra (FDB) y la carga (peso W), pasan todas por el punto B, por tal razón debemos seleccionar este punto como la partícula a analizar. En figura 28 se ha representado a la partícula B con todas las fuerzas aplicadas.

Observe en el diagrama el sentido de la fuerza FBD ¿Cuál será el sentido de esta fuerza sobre la barra?

Para completar el diagrama solo faltarían obtener los ángulos que forman las fuerzas con los ejes y/o planos cartesianos (con la excepción de la fuerza W), para con ellos descomponer las fuerzas. Generalmente estos ángulos son fáciles de determinar basándonos en construcciones geométricas auxiliares, pero en este caso, por ser conocidas las coordenadas de dos puntos por donde pasan las líneas de acción de cada fuerza, utilizaremos otra forma relativamente simple de obtener las componentes (por su relación con el siguiente paso esta secuencia se detallará posteriormente).

Figura 28. Diagrama de fuerzas de la partícula B.

• 2- Plantear las condiciones de equilibrio.

• Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.

Es evidente que el vector que caracteriza al peso tiene un módulo W, una dirección vertical (vector unitario J) y orientado hacia abajo (signo negativo) por lo tanto:

En las fuerzas restantes, TAB, TCB y FDB, no coinciden sus direcciones con las de los ejes, por lo tanto, para expresarlas vectorialmente es necesario obtener primeramente sus componentes. En párrafos anteriores ya habíamos destacado el hecho de conocer las coordenadas de dos puntos por donde pasan, respectivamente, cada una de las líneas de acción. En estos casos la secuencia a seguir para expresar vectorialmente una fuerza puede ser la siguiente:

Siendo (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) las coordenadas de los dos puntos por donde pasa la línea de acción de la fuerza. Se considera punto 2 al lugar geométrico hacia donde está orientada la punta de la saeta, mientras que el 1 es el más cercano al punto de aplicación de la fuerza.

Apliquemos esta secuencia:

Entonces:

Sustituyendo:

Sustituyendo 5.4, 5.5 y 5.6 en 5.1, 5.2 y 5.3 respectivamente

Recuerde que en esta expresión no se tiene en cuenta el sentido de cada fuerza para signarle un signo. Siempre se plantea como una suma.

• Sustituir en la expresión anterior las fuerzas ya expresadas en forma de vector.

Agrupamos ahora los términos que están afectados por cada vector unitario. Este efecto de agrupar los términos, para después sumar, se facilita mediante la construcción de una tabla. Ver tabla I

Tabla I

Ahora se suman e igualan a cero, de forma independiente, las columnas 2, 3 y 4 de la tabla. Debemos comenzar por la tercera columna ya que en ella solo aparece una incógnita, FDB.

Sumando e igualando a cero cualquiera de las restantes columnas nos dará como resultado que cada ecuación presentará dos incógnita, por lo tanto no hay prioridad para continuar la operación.

Si usted trata de resolver este problema por los métodos escalares se dará cuenta de lo engorroso del trabajo. Una de las ventajas del método vectorial es que siempre puede aplicar la misma forma de trabajo, pero debe ser mucho más cuidadoso a la hora de resolver el producto vectorial ya que un error en los signos, o del vector unitario que se obtiene, trae como resultado errores trascendentales.

Bibliografía

• 1- Bela I.S Ingeniería Mecánica. Estática, México 1989, ISBN 968-880-169-0

• 2- Beer F. P, Johnston E. R. Mecánica vectorial para Ingenieros, Mc Graw-Hill, 1984, tercera edición.

• 3- Mendoza Díaz I, Campos Pérez Y, Fernández Castañeda F, Hidalgo Reina P. P, Métodos de trabajo en la solución de problemas de estática, Editorial Feijóo, 2005, ISBN: 959-250-182-3

• 4- Russell C.H Mecánica para Ingenieros. Estática. México 2004, sexta edición.

• 5- Targ S.M. Curso breve de Mecánica Teórica, Editorial MIR, Moscu, 1976.

• 6- Mecánica Clásica htp/:es.wikipedia.org/Wiki/Mecánica_clásica.

Autor:

Dr.C Idalberto de la Caridad Mendoza Díaz.

Dr.C. Kirenia Abreu González.

Ing. Eduardo Miguel Fírvida Donéstevez

Ing. Reniel Estrada Yanes.