Ejercicios sobre álgebra lineal para los estudiantes de primer año de Ingeniería Industrial

Resumen

Este Folleto le permite al estudiante de primer año de ingeniería industrial de la FUM de Caibarién contar con una herramienta pedagógica que les permita profundizar en los conocimientos adquiridos en la clase mediante un profundo estudio independiente. El mismo cuenta con una serie de ejercicios de álgebra lineal para que los estudiantes puedan profundizar y consolidar los objetivos del programa de estudio, para lo cual se utilizaron diferentes métodos del nivel teórico el histórico lógico; analítico sintético y el inductivo deductivo, del método empírico revisión de documentos, observación, encuesta y entrevista y del matemático estadístico. El folleto contribuye a consolidar en los estudiantes la concepción científica, dialéctico- materialista del mundo y contribuye al desarrollo del pensamiento lógico, facilitando la modelación y solución de diferentes problemas que se le presenten en su actividad profesional.

Introducción

La nueva Universidad se esta proyectando hacia el futuro y cumpliendo su encargo social en la medida en que no se abstraiga de las contingencias históricas sociales en las que se desenvuelve y los enfrentes de manera critica y constructiva, potencie la investigación científica, cree nuevos conocimientos, diseñe y ponga en practica los programas y medios que redunden en la mejora de las condiciones sociales y estime siempre que su función es contribuir a la formación y felicidad del hombre. Teniendo en cuenta estos presupuestos hemos elaborado un folleto de ejercicios de álgebra lineal para la carrera de ingeniería industrial en su primer año, primer semestre.

El álgebra lineal como ciencia contribuye a consolidar en los estudiantes la concepción científica, dialéctico- materialista del mundo y contribuye al desarrollo del pensamiento lógico, facilitando la modelación y solución de diferentes problemas que se le presenten en su actividad profesional.

El trabajo se realiza en la Filial Universitaria de Caibarién, la cual cuenta con la carrera de Ingeniería Industrial donde se imparte la asignatura de álgebra lineal en el primer año de la misma; a pesar de tener el libro de texto para la preparación de los estudiantes es necesario de otros materiales que les permita profundizar en los conocimientos adquiridos en la clase mediante un profundo estudio independiente.

Teniendo en cuenta la situación problemática antes expuesta se propone el siguiente problema científico:(Cómo contribuir al estudio independiente de la asignatura álgebra lineal en los estudiantes de primer año de Ingeniería Industrial de la FUM de Caibarién?

Los autores proponen el siguiente objetivo general:

Elaborar un folleto de ejercicios sobre álgebra lineal para los estudiantes de primer año de Ingeniería Industrial de la FUM de Caibarién.

Para poder darle cumplimiento al objetivo general del trabajo se proponen los siguientes Objetivos Específicos:

• 1) Diagnosticar el estado actual de la problemática, así como, las debilidades existentes en los materiales para impartir la asignatura.

• 2) Proponer un sistema de ejercicios por capítulos que satisfaga las necesidades de búsqueda y realización en la asignatura álgebra lineal.

• 3) Facilitar la consulta del material propuesto en diferentes espacios donde los estudiantes puedan tener acceso para la práctica que exige las tareas docentes de la carrera que estudian.

Se utilizaron diferentes métodos para la realización del trabajo entre ellos tenemos del nivel teórico el histórico lógico; analítico sintético y el inductivo deductivo, del método empírico revisión de documentos, observación, encuesta y entrevista y del matemático estadístico.

Desarrollo

Apoyándonos en el presupuesto de esta ciencia y las posibilidades y necesidades que tienen los estudiantes en el primer año de la carrera de Ingeniería Industrial se han estructurado los ejercicios en seis capítulos de manera que constituyan además de los del texto una vía para la satisfacción de sus necesidades de búsqueda y la realización practica que exige la asignatura en cada encuentro, teniendo en cuenta el lugar que ocupa entre las demás asignatura de la carrera.

Facilitar la consulta del material propuesto en diferentes espacios que estén al alcance de los estudiantes constituye otro objetivo de este folleto pues de esta forma estará garantizada la práctica que exigen las tareas docentes, así como la ejercitación que requiere cada encuentro de la asignatura.

El folleto está estructurado siguiendo el programa de estudio. En el primer capítulo aborda la unidad número uno del programa de estudio que no aparece en el texto básico sobre geometría analítica del espacio, contenido que sirve de base en la asignatura de cálculo en la representación de sólidos. En el capítulo dos se ejercitará los contenidos relacionados con matrices los cuales son de gran utilidad en la modelación matemática de innumerables problemas y para la correcta comprensión de capítulos que se estudiarán posteriormente. El tercer capítulo abordará la ejercitación de uno de los temas fundamentales del álgebra lineal por ser de gran aplicación en otros temas de la misma, así como en otras ramas de la ciencia, la solución de sistema de ecuaciones lineales. El cuarto capítulo aborda uno de los temas básicos del álgebra lineal Espacios vectoriales, el cual tiene gran relación con los capítulos dos y tres y nos permitirá utilizar la representación vectorial en la modelación matemática de problemas de la especialidad que estudian. La ejercitación de las aplicaciones lineales contenido que abordaremos en el capítulo cinco es de gran utilidad a la hora de moderar problemas y es importante relación existe entre aplicación lineal y matrices. El sexto capítulo se dedica a la ejercitación del último de los temas que conforma el curso de álgebra lineal, el cual es de una gran importancia ya que nos permite buscar la forma simplificada de una matriz que represente a una aplicación lineal y es de gran aplicación en numerosos problemas que pueden moderarse aplicando las matrices.

Conclusiones

• 1- El diagnóstico de necesidades permitió conocer el estado actual de la problemática, así como, las debilidades existentes en los materiales para impartir la asignatura y los resultados que fueron considerados para diseñar la propuesta.

• 2- Se Propone un sistema de ejercicios por capítulos que satisfaga las necesidades de búsqueda y realización en la asignatura álgebra lineal.

• 3- Permite la consulta del material propuesto en diferentes espacios donde los estudiantes puedan tener acceso para la practica que exige las tareas docentes de la carrera que estudian.

Bibliografía

• Álgebra lineal María Virginia Varela y otros´

• Álgebra lineal Universidad de la Habana Facultad de Tecnología Dra María Virginia Varela, Ing Mirian Castro y Lic Luis M. Hernández.

• Álgebra lineal teoría y problemas , Celia Fernández Hormochea , Rosaura Azofra Lara y Laurano Granja Iglesias.

• Matemática Superior II para la especialidad de Agronomía. Colectivo de autores.

• Cálculo con geometría Analítica Tomo III Segunda Edición. Earl W. Swokowski.

• Cálculo con trasendentes tempranas parte III James Stewart.

• Complementos de Geometría Analítica. José Calderón García. J. Díaz Duque y Ma. V. Varela Marcelo.

Anexo

Folleto de ejercicios sobre álgebra lineal.

ECUACION DE UN PLANO EN EL ESPACIO

Discusión de la forma general de la ecuación del plano:

AX + BY + CZ = D; donde al menos A, B o C es diferente de cero

1 er CASO: Si D ? 0 ? Plano que no pasa por el origen

a) Dos coeficientes nulos y uno diferente de cero: Plano paralelo a un plano coordenado, que será aquel que no contiene la variable de la ecuación.

Para su trazado es suficiente buscar un intercepto.

b) Dos coeficientes no nulos y uno igual cero: Plano paralelo al eje coordenado de la variable que no aparece en la ecuación y perpendicular al plano coordenado de esas dos variables.

Para su trazado es suficiente dos interceptos.

c) Tres coeficientes no nulos: Plano que intercepta los tres ejes coordenados.

Para su trazado es suficiente hallar los tres interceptos con los ejes coordenados.

2 do CASO: Si D = 0 ? Plano que pasa por el origen

a) Dos coeficientes nulos y uno diferente de cero: Plano coordenado que no contiene la variable de la ecuación.

b) Dos coeficientes no nulos y uno igual cero: Plano que contiene al eje coordenado de la variable que no aparece en la ecuación y es perpendicular al plano coordenado de esas dos variables.

Para su trazado es suficiente una traza.

c) Tres coeficientes no nulos: Plano que pasa por el origen.

Para su trazado es suficiente obtener dos trazas.

EJERCICIOS

• I. Hallar la ecuación del plano que pasa:

• a) Por el punto (-5, 2, -1) y es paralelo al plano YZ

• b) Por el punto (3, -4, 7) y contiene al eje Z

• c) Por los puntos (1, 1, -1); (-2, – 2, 2) y ( 1, -1, 2)

• II. Represente gráficamente los planos:

• a) 3 x + 6 y – 9 z – 18 = 0

• b) 3 y – z + 1 = 0

• c) x – 4 = 0

• d) x – 3 y = 0

• e)  x – 6 y + 2 z = 0

III. Halle las ecuaciones de las trazas sobre los tres planos coordenados y las intercepciones con los ejes coordenados de los planos del ejercicio II.

IV. Coloque en la columna de la derecha la letra correspondiente a cada una de las ecuaciones de los planos que aparecen en la columna de la izquierda:

a) 3 x -5 y +2 z – 30 = 0 _____Es paralelo al plano XY.

b) 2 y – 3 z = 6 _____Contiene al eje X

c) 2 x + 3 y – z = 0 _____Es paralelo al eje X

d) 2 y – 3 z = 0 ____Sus interceptos son (10, 0, 0); (0, -6, 0) y (0. 0. 15)

e) z – 6 = 0 ____ Pasa por el origen.

V. Haga los gráficos correspondientes a las ecuaciones dadas en el ejercicio anterior.

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Planos proyectantes: Planos perpendiculares a los planos coordenados.

EJERCICIOS

• I. Transforme las ecuaciones de las rectas dadas a continuación a la forma simétrica o la forma general, según sea el caso:

II. Represente gráficamente las rectas del ejercicio anterior a partir de dos de sus planos proyectantes.

SUPERFICIES CUÁDRICAS

Cuádricas centradas:

Cuádricas no centradas:

Ecuaciones incompletas de cuádricas centradas

Ecuaciones incompletas de cuádricas no centradas

Ejercicios

• III. Coloque en la columna de la derecha la letra correspondiente a cada una de las superficies cuádricas que aparecen en la columna de la izquierda:

• II. Identifique y represente en el primer octante las siguientes superficies cuyas ecuaciones son:

Matrices

• 1. Dada las siguientes matrices

3. Determine el rango de las siguientes matrices.

DETERMINANTES

Calcule los siguientes determinantes:

MATRIZ INVERSA

Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices

Halle la matriz incógnita de la ecuación

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de p ecuaciones con n variables proponemos el siguiente algoritmo.

1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer

1. Clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones atendiendo a sus términos

Independientes y conjunto solución y resuélvalos.

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

???Resuelve y clasifica de acuerdo al conjunto solución el sistema de ecuaciones dado

anteriormente.

• 4) Dado el sistema de ecuaciones lineales

a) Clasifique el sistema anterior atendiendo a sus términos independientes

b) Escribe el sistema anterior en forma matricial

c) Resuelve el sistema anterior

??? ¿Es posible aplicar el método de Cramer para resolver el sistema anterior? Justifique.

b) Clasifique y resuelva el sistema anterior

7. Dado los sistemas:

Analice la naturaleza de su solución empleando el teorema de Kronecker – Capella y

resuelve el sistema (2)

8. Sean las matrices:

a) Clasifique atendiendo a su configuración la matriz , I es la matriz idéntica de

orden tres.

b) Resuelve la ecuación matricial A X + I X = B

ESPACIOS VECTORIALES

.

1) Dado los vectores de R3 X= (2; -3; 0), Y = (-1; 2; 5), Z = (0; -1; 3)

Calcule:

X+Y+Z

2X

2X- 3Y

2) Determine si W es o no un subespacio vectorial de los correspondientes espacios:

3) Exprese si es posible el vector a = (3, 2, 5) como combinación lineal de los

vectores {(1, 1, 1), (0, 1, 1) y (2, 0, 1)}

4) Diga sí el vector a = (5, -3, 4) se puede expresar como combinación lineal de los

vectores (1, 1, 2), (0, 1, -3) y (0, 0, 1)

• 5) Escribe sí es posible al vector v= (2, 3, 4) como combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (2, 0, 2) y (3, 4, 3)

• 6) Escribe los vectores unitarios de R2 como combinación lineal de los vectores

{(2; -1); (1; -3)}

7) Diga si los sistemas de vectores siguientes son linealmente dependiente ó

Independientes. Justifique.

8) Determine el número máximo de vectores linealmente independiente de los

Siguientes sistemas de vectores.

9) Pruebe que los sistemas de vectores siguientes forman una base de los espacios

Indicados.

10) Halle el subespacio generado por los siguientes sistemas de vectores.

11) Determine la dimensión y una base de los siguientes subespacio vectoriales.

12) Si conocemos que el sistema A= {(3; -1; 2); (-1; 2; 1)} es linealmente

independiente, agregue un vector a este sistema para obtener una base de R3

13) Halle la forma, dimensión y una base para el subespacio generado por los siguientes

Sistemas de vectores.

14) Dado el subespacio vectorial S = {(x; y; z) ?R3: 2x – 3y + 8z = 0}

a) ¿Cuál es la dimensión de S?

b) ¿Es {(2; 4; 1); (3; 2; 0)} una base de S?

c) Halle un sistema generador L.D. de S.

d) ¿Puede expresarse {(0; 3; -2)} como combinación lineal del sistema obtenido?

15) Sea el sistema de vectores R = {(1; -1; 3; 0); (2; 2; 0; 1); (3; 1; 3; 1); (0; 0; 0; 1)}CR4

a) Determine el número máximo de vectores linealmente independiente de R4

b) ¿Es R una base de R4

c) Calcule la dimensión y una base del subespacio generado por R.

16) Diga si los siguientes pares de vectores son ortogonales. Justifique su respuesta.

17) Demuestre que los pares de vectores que se dan son ortogonales.

• a) i ; j

• b) 3i – 7j +2k ; 10i + 4k – k

18) Determine cuales de los siguientes sistemas de vectores son ortogonales.

19) Sean las bases canónicas

a) Halle la matriz cambio de la base A por la base B

b) Halle la matriz cambio de la base B por la base A

c) Halle AB y BA Justifigue el resultado obtenido

20) Dada las bases

21) Dada las bases

A = {(1,0,1); (0,1,1); (0,0,1)} y B = {(2,0,1); (1,1,1); (3,1,0)} de R3.

Halle la matriz cambio de la base A a la base B.

22) Dada las bases

D = {(1,-2,1); (1, 1,2); (2,-2,-1)}C R3 y la base canónica de R3

a) Calcule la matriz cambio de base PCD

b) Calcule la matriz inversa PCD

APLICACIONES LINEALES

• 1) Determine si las siguientes aplicaciones son lineales o no:

• 2) Determine el núcleo de las aplicaciones lineales siguientes:

3) Clasifique las siguientes aplicaciones lineales en inyectiva, sobreyectiva y

Biyectiva.

4) Dado f: End R3 definido por:

F(x; y; z) = (x + 2y; y + z; x + 3y + z)

a) Halle la matriz asociada a f en la base {(1, -2, -1); (2, 0, 0); (1, 2, 0)} C R3

b) Halle el rango de f

c) Clasifique la aplicación lineal

• 5) Dada la aplicación lineal

a) Halle la matriz asociada a g en la base canónica de R4 y R3

b) Halle el subespacio imagen de g

c) Clasifique la aplicación lineal

• 6) Dada la aplicación lineal

• a) Halle la matriz asociada a f en la base

b) Halle el núcleo de f

c)¿Pertenece el vector (0, 2, 1) al núcleo de f? Justifique.

c) Clasifique la aplicación lineal

7) Halle la matriz asociada a la aplicación lineal

• 7) Sea h:

H(1,0,0) = (1,1)

H(0,1,0) = (2,1)

H(0,0,1) = (1,0)

a) Calcule la matriz de h en la base canónica de R3 y R2

b) Calcule el subespacio imagen de h

c) Clasifique la aplicación lineal h en inyectiva o no sobreyectiva

DIAGONALIZACIÓN

1) Sea f end R3 cuya matriz en la base canónica es:

a) Halle los valores propios de f

b) Es f diagonalizable. Justifique

c) En caso de ser posible halle una base propia y la matriz en dicha base

2) Sea f end R3 cuya matriz en la base canónica es:

a) Halle los valores propios de f

b) Es f diagonalizable. Justifique

c) Escribe de ser posible una matriz diagonal asociada a f

3) Dado f end R3 definido por f(a, b, c) = (2a, – 3a – b +3c, 3a + 3b -c)

a) Calcule los valores propios de f

b) ¿Es f diagonalizable? Justifique

c) Escribe una matriz diagonal asociada a f en caso de ser posible

4) Dado f end R3 definido por f(x, y, z) = (x + y + 2z , 2y + 2z, z)

a) ¿Es f diagonalizable? Justifique

c) Halle una base propia para f y la matriz diagonal asociada a f en dicha base.

5) Dado f end R3 definido por f(x, y, z) = (x + 4y + 2z, -3y – 2z, 4y + 3z)

a) Calcule los valores propios de f

b) Halle los subespacios propios de f

c) ¿Es f diagonalizable? Justifique su respuesta

6) Sea f: End R3 definido por f(x, y, z) = (3x+y+z, 2x+4y+2z, x+y+3z)

a) Calcule los valores propios de f

b) Determine si f es diagonalizable. Justifique

c) Calcule la dimensión y una dase del subespacio asociado al valor propio

? = 6

7). Halle la matriz asociada a la aplicación lineal

1.1 Determine los valores propios de las matrices asociadas a los incisos a y b.

1.2 Determine los subespacios propios de f para los incisos a y b.

8). Dado f:

9). Determine si el endomorfismo g representado por la matriz

• Calcule los valores propios

• Verifique que son diagonalizables

• Obtenga una base propia

• Halle la matriz diagonal D: D = P -1A P, donde A es la matriz asociada al endomorfismo en la base canónica.

11) Dada el endomorfismo g:

a) Calcule la matriz asociada a g

b) Determine los valores propios

c) Es g diagonalizable. ¿Justifique?

Autor:

MSc y Profesora auxiliar Gloria Núñez Rodríguez

MSc y Profesor auxiliar José Elías Mireles Reguera

COAUTORES:

MSc Aliusa Lauzerique Rodríguez

MSc Justa Soto Suárez

Institución: UCLV; FUM Caibarién

País: Cuba