Como es una continuación del Capítulo 1, conserva la numeración correlativa de éste. El numeral Fundamentos Matemáticos estuvo a cargo del Ing. Jorge L. Aching Samatelo.
Este complemento es imprescindible para aquellas personas que requieran conocer la base matemática de las finanzas y las funciones financieras de Excel aplicadas en la obra. Las funciones financieras de Excel están ilustradas con las notaciones matemáticas y los ejemplos correspondientes.
22.1.3. Reglas en el uso de los exponentes
22.2.1. Reglas en el uso de los exponentes para la radicación
22.3.1. Reglas en el uso de logaritmos
22.4. Progresiones aritméticas
23. Funciones Financieras de Excel
23.3. Estructura de una función
27. Funciones para transformar entre sumas de dinero VA, VF y C
29. Funciones para conversión de tasas de interés
30. Funciones para el manejo de series uniformes
30.4. Tasa, calcula la tasa del período
31. Funciones de Evaluación de proyectos
33.1. Calcular el número de días entre dos fechas
33.2. Calcular el número de meses entre dos fechas
33.3. Calcular el número de años entre dos fechas
A continuación pasamos a desarrollar las operaciones matemáticas más utilizadas en el texto, como son los exponentes, la radicación y los logaritmos.
Operación matemática en el que se basa el interés compuesto y todas las fórmulas derivadas de ella.
La aplicación de los exponentes es la potenciación, que consiste en repetir un número base tantas veces como indica otro número llamado exponente, el resultado se conoce como potencia. Si denotamos a la base con la literal «x» y al exponente o potencia con la literal «n» la operación de potenciación se representara como:
La expresión xn se lee como «x elevado a n». Si n es un número entero positivo:
xn = x * x * x * x…* …x, n veces.
Ejemplo:
1. Si x = 2 y n = 4, entonces 24 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
2. Si x = (1 + i) y n = 4, entonces x4 = (1 + i)4
y si asignamos a i un valor, por ejemplo 7% (siete por ciento, 7/100, indica que el entero se ha dividido en cien partes y hemos tomado siete, esto equivale en una expresión de tanto por uno a 0.07), la expresión sería:
(1 + i)4 = (1+0.07)4 = 1.3108
En Excel para elevar un número a una potencia, debemos utilizar el operador « ^ » o la función potencia para realizar esta operación. Para obtener el operador «^» en Excel, pulsar simultáneamente ALT seguido del número 94.
Ejemplo:
Ejemplo de aplicación:
(11) VF = VA (1 + i)n
- Toda cantidad positiva o negativa elevado a una potencia par es positiva,
- Toda cantidad elevada a una potencia impar conserva su propio signo
22.1.3. Reglas en el uso de los exponentes
22.1.3.1. Exponente cero, negativo
- Exponente cero.- Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a 1.
- Exponente negativo.- Por definición matemática, todo número real distinto de cero elevado a un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su exponente con signo positivo:
A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero, elevado a una potencia con signo negativo, es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivo:
Ejemplo de aplicación:
22.1.3.2. Producto de potencias de bases iguales
Veamos el siguiente producto de potencias:
22 * 24 = 4 * 16
si descomponemos 4 y 16 como productos consecutivos de 2 obtendríamos:
22 * 24 = (2 * 2) (2 * 2* 2* 2) = 2 * 2 * 2 * 2* 2* 2
al reagruparlos podemos expresarlo como:
22 * 24 = 2 * 2 * 2 * 2* 2* 2 = 26
Así, generalizando podemos decir que
xm * xn = xm + n
El producto o multiplicación de dos potencias de igual base, es igual a la base común elevada a la suma de los exponentes.
22.1.3.3. División de dos potencias de igual base
Veamos la siguiente división de potencias:
22 /24 = 4/16
Si descomponemos 4 y 16 como productos consecutivos y cancelamos términos semejantes obtendríamos:
22 / 24 = (
*
) /( 
* 
* 
* 
) = 1 / (
*
)
Al reagruparlos y tomando en cuenta la definición del exponente negativo tendremos que:
22 /24 = 1 / (*) =1/22 = 2-2=22-4
Así, generalizando podemos decir que
.
La división o cociente de dos potencias de igual base, es igual a la base común elevada a la diferencia o resta de los exponentes (restamos del exponente del numerador el exponente del denominador).
22.1.3.4. Potencia de una Potencia
Veamos la siguiente potencia de potencias:
(22)3 = (4)2=4*4*4=64
si descomponemos 4 como productos consecutivos de 2 obtendríamos:
(22 )2 = (2*2)*(2*2)*(2*2)=2*2*2*2*2*2
al reagruparlos podemos expresarlo como:
(22)2 = 2*2*2*2*2*2=26=22*3
así entonces generalizando, tenemos que:
( xm )n = xm * n
La potencia de una potencia, es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
22.1.3.5. Potencia del producto de dos factores
Veamos la siguiente potencia de productos: (2*3)2 = 62 = 36
si descomponemos el 6 en dos factores tendríamos por ejemplo:
(2 * 3)2 = (2 * 3) (2 * 3) = 2 * 3 * 2 * 3
los cuales al reagruparlos podemos expresarlo como:
(2 * 2) (3 * 3), o bien 22 * 32 = 4 * 9 = 36
Así, generalizando podemos decir que:
(x * y)n = xn * yn
El producto de dos factores elevados a una potencia, es igual al producto de los factores elevados a dicha potencia.
22.1.3.6. Potencia del cociente de dos factores
Veamos la siguiente potencia del cociente de dos factores:
Y utilizando las propiedades antes mencionadas tenemos que:
Generalizando decimos que:
El cociente de dos factores elevados a una potencia, es igual al cociente de los factores elevados a dicha potencia.
Operación matemática utilizada en las matemáticas financieras para determinar la tasa de interés del monto compuesto, cuando operamos con cantidades únicas.
La raíz, enésima de un número real, x, es otro número, y, cuya potencia enésima es x. Denotamos la operación de radicación mediante la expresión:
Donde, es llamado radical, x es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número entero mayor que 
.
La raíz de índice dos es la raíz cuadrada y se escribe obviando el índice: 
. La raíz de índice tres es la raíz cúbica.
Si el índice es par, x es positivo, existiendo dos raíces enésimas reales de x, una positiva y otra negativa. Pero la expresión 
sólo esta referida a la positiva. Es decir, las dos raíces n-ésimas de x son 
y 
. Sin embargo, los números reales negativos carecen de raíz real de índice par.
Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 52 = 25 y (-5)2 = 25; y el número 10 tiene dos raíces cuartas 
y 
. Sin embargo, –25 no tiene raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25. Por lo mismo, –10 no tiene raíz cuarta.
Si el índice es impar, cualquiera sea el número real, x, tiene una única raíz n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica denominada 
.
22.2.1. Reglas en el uso de los exponentes para la radicación
22.2.1.1. Forma exponencial de una raíz
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:
Por tanto:
22.2.1.2. Potencia de una raíz
Veamos la siguiente potencia de una raíz:
Si utilizamos la regla del producto de potencias de bases iguales obtendremos:
Así, generalizando podemos decir que
La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia de potencia.
22.2.1.3. Raíz de un producto
Veamos la siguiente raíz de un producto:
Si utilizamos la regla de la potencia del producto de dos factores llegamos a la expresión:
Así, generalizando podemos decir que:
La raíz del producto de dos factores es igual al producto de las raíces de los factores.
22.2.1.4. Raíz de un cociente
Veamos la siguiente raíz de un cociente
Si aplicamos las reglas de la raíz de un producto y del exponente negativo obtendremos:
Así entonces generalizando, tenemos que:
El cociente de la raíz de dos factores, es igual al cociente de las raíces de los factores.
Utilizado para derivar las fórmulas del período (n) de composición del capital a partir de la fórmula general del interés compuesto para pagos únicos o de anualidades.
Los logaritmos son de mucha utilidad en la elaboración de cálculos, debido al tiempo que se ahorra. Actualmente, la mayoría de calculadoras de bolsillo y la plantilla Excel, permiten operar con mucha rapidez los logaritmos, obviando el uso de las tablas y los procedimientos de cálculo manual.
Si «N» y «b» son números positivos distintos de 1, entonces el logaritmo en base b del número N, es el exponente «L» de la base b, tal que: bL = N L = logb N
Ejemplos
a) log2 32 = 5, ya que, 25 = 32 y log5 125 = 3, ya que, 53 = 125
b) 3 = log2 8, implica que 23 = 8
Son comunes los llamados logaritmos neperianos cuya base es el número e = 2.718281829 y los logaritmos comunes cuya base es 10. Para los propósitos del presente libro, utilizaremos los logaritmos comunes escribiendo log N en vez de log10 N. Por definición tenemos:
log 1.000 = 3 ya que 103 = 1.000
log 10 = 1 ya que 101 = 10
log 1 = 0 ya que 100 = 1
log 0.10 = -1 ya que 10-1 = 0.10
22.3.1. Reglas en el uso de logaritmos
22.3.1.1. Logaritmo de un producto
Veamos el logaritmo del siguiente producto:
L=log ( 100* 1000)=log(100000)=5
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la potencia del producto de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 100* 1000=102 *103=102+3
Igualando exponentes es obvio que: L=2+3
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 2 y 3 por sus logaritmos equivalentes obtendremos:
log ( 100* 1000)=log (100)+log (1000)
Así, generalizando podemos decir que:
log ( A * B ) = log A + log B
El logaritmo del producto de dos o más números positivos es igual a la suma de los logaritmos de los números.
22.3.1.2. Logaritmo de un cociente
Veamos el logaritmo del siguiente cociente:
L=log ( 1000/100)=log(10)=1
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la potencia del cociente de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 1000/100=103 /102=103-2
Igualando exponentes es obvio que:
L=3-2
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 3 y 2 por sus logaritmos equivalentes obtendremos:
log ( 1000/100)=log (1000)-log (100)
Así, generalizando podemos decir que:
log ( A / B ) = log A – log B
El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia del logaritmo del numerador con el logaritmo del denominador.
22.3.1.3. Logaritmo de una potencia
Veamos el logaritmo de la siguiente potencia:
L=log ( 105)=5
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la potencia del cociente de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 105
Igualando exponentes es obvio que: L=5
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 5 por su logaritmo equivalentes obtendremos:
log (105)=5log (10)
Así, generalizando podemos decir que: log An = n log A
El logaritmo de un número elevado a la potencia n, es n veces el logaritmo del número:
22.4. Progresiones aritméticas
De aplicación en el interés simple.
Una progresión aritmética es una sucesión de números, llamados términos, como pueden ser:
a) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, 24
b) 40, 35, 30, 25, 20, 15
Como vemos en la sucesión a y b, los términos están separados por una misma cantidad, llamada diferencia. Así tenemos en (a) una sucesión de 8 términos, el primero es 4 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos sumando la diferencia común de 3, al término anterior. En (b) tenemos 6 términos, el primero es 40 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos sumando la diferencia común de -5 al término anterior.
Ahora vamos a generar una progresión aritmética de 7 términos, siendo x el primer término y d la diferencia. La progresión será:
x, x + d, x + 2d, x + 3d, x + 4d, x + 5d, x + 6d
Asumimos que la progresión tiene n términos. El n-ésimo término, es decir, el último, sería l:
l = x + (n – 1)d
Luego podemos escribir la progresión como:
c) x, x + d, x + 2d, … x + (n – 3)d, x + (n – 2)d, x + (n – 1)d ó
d) x, x + d, x + 2d, …, (l – 2d), (l – d), l
Representando con s la suma de los términos de (d), tenemos que:
s = x + (x + d) + (x + 2d) + … + (l – 2d) + (l – d) + l
o sea:
s = l + (l – d) + (l – 2d) + … + (x + 2d) + (x + d) + x
Sumando término a término cada una de las expresiones anteriores tenemos:
2s = (x + l) + (x + l) + (x + l) + …+ (x + l) + (x + l) + (x + l) = n(x + 1)
Luego:
Es decir, la suma de una progresión aritmética es igual a la mitad del número de términos multiplicado por la suma del primero y último términos.
Ejemplo
Encontrar el 12o. término y la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética:
x = 8; d = 6; n = 10; l = ?
l = x + (n – 1)d l = 8 + (10 – 1)6 = 62 y
De aplicación en el interés compuesto.
Una progresión geométrica es una sucesión de números, llamados términos, como son:
a) 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512, 1024, -2048
c) 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64
En la cual cualquier término posterior al primero puede ser obtenido del anterior, multiplicándolo por un número constante llamado razón (o cociente común). Así tenemos:
En (a) hay 10 términos; el primer término es 4 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos multiplicando el anterior por la razón -2.
En (b) hay 7 términos; el primero es 729 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos del anterior multiplicándolo por la razón 2/3.
Generando una progresión aritmética de 8 términos, en el que x es el primer término y r la razón. La progresión es:
x, xr, xr2, xr3, xr4, xr5, xr6, xr7
Si asumimos que la progresión tiene n términos, el n-ésimo término l, es decir, el último sería:
l = xrn-1
Representamos por s la suma de los n primeros términos de la progresión geométrica.
x, xr, xr2, xr3, … xrn-1
Es decir, que
s = x + xr + xr2 + xr3 + xr4 + … + xrn-2 + xrn-1
s – rs = x + (xr – xr) + (xr2 – xr2) + (xr3 – xr3) + … + (xrn-1 – xrn-1) – xrn
o sea que,
(1 – r)s = x – xrn
Y
De las ecuaciones anteriores tenemos que: xl = xrn
Por lo cual las ecuaciones precedentes pueden ser escritas:
Ejemplos:
Solución:
x = 5; r = 3; n = 15; l = ?; s = ?
l = xrn-1, de donde l = 5*(3)15-1 = 23,915
- Obtener el 15o. término y la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica 5, 15, 45, 135, …
- Obtener la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica 5, -15, 45, -135, …
Solución:
x = 5; r = -3; n = 15; l = ?; s = ?
23. Funciones Financieras de Excel
Excel es la más potente hoja de cálculo que existe en el mercado. Combina perfectamente potencia y facilidad de uso.
Excel de Microsoft Office Xp contiene 256 columnas, 65,536 filas (cuatro veces más filas que en las versiones anteriores) y 16’777,216 celdas. Todo esto en una sola hoja de cálculo y un libro de trabajo puede contener más de una hoja.
Las funciones son fórmulas predefinidas ejecutan cálculos utilizando valores específicos, denominados argumentos, en orden determinado o estructura. Las funciones pueden utilizarse para ejecutar operaciones simples o complejas.
23.3. Estructura de una función
Excel cuenta con una amplia gama de funciones integradas. Soporta fórmulas matriciales (tipo especial de fórmulas, pueden hacer maravillas).
1. Estructura
La estructura de una función comienza por el signo igual (=) seguido por el nombre de la función, paréntesis de apertura, los argumentos de la función separados por comas y paréntesis de cierre.
2. Nombre de función
Para obtener una lista de funciones disponibles, haga clic en una celda y presione MAYÚSC+F3.
3. Argumentos
Los argumentos pueden ser números, texto, valores lógicos como VERDADERO o FALSO, matrices, valores de error como #N/A o referencias de celda. El argumento que designemos deberá generar valor para el mismo. Los argumentos pueden ser también constantes, fórmulas u otras funciones.
4. Información sobre herramientas de argumentos
Cuando escribamos la función, aparece una información sobre herramientas con su sintaxis y sus argumentos. Por ejemplo, escriba =REDONDEAR y aparecerá la información. La información sobre herramientas sólo aparece para las funciones integradas.
Cuando escriba fórmulas con funciones, el cuadro de diálogo Insertar función le ayudará a introducir las funciones de la hoja de cálculo. A medida que introduzcamos funciones en la fórmula, el cuadro de diálogo Insertar función irá mostrando el nombre de la función, cada uno de sus argumentos, la descripción de la función y de cada argumento, el resultado actual de la función y el resultado actual de toda la fórmula.
Las fórmulas permiten que la hoja de cálculo sea justamente eso: hoja de cálculo.
Las fórmulas son ecuaciones que efectúan cálculos con los valores de la hoja de cálculo. Una fórmula comienza por un signo igual (=). Por ejemplo, multiplicar 2 por 3 y, a continuación, sumar 5 al resultado. =5+2*3
Para introducir la misma fórmula en un rango de celdas, seleccione en primer lugar el rango, introduzca la fórmula y, a continuación, presione CTRL+ENTRAR.
Si está familiarizado con los argumentos de la función, puede utilizar la información sobre herramientas de funciones que aparecen después de escribir el nombre de la función y el paréntesis de apertura. Haga clic en el nombre de la función para ver el tema de la Ayuda correspondiente a la función o haga clic en un nombre de argumento para seleccionar el argumento correspondiente de la fórmula. Para ocultar la información sobre herramientas de funciones, en el menú Herramientas haga clic en Opciones y desactive la casilla de verificación Información sobre herramientas de funciones de la ficha General.
Si una función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue el programa de complementos Herramientas para análisis.
¿Cómo? :
En el menú Herramientas, elija Complementos.
En la lista Complementos disponibles, seleccione el cuadro Herramientas para análisis y, a continuación, haga clic en Aceptar.
Si es necesario, siga las instrucciones del programa de instalación.
27. En Excel sólo requerimos tres funciones para transformar entre sumas de dinero VA, VF y C:
Es posible utilizar estas funciones con más de una variable. Así calculamos la cuota uniforme equivalente a una suma inicial (VA o VF) y suma futura (VF). Es posible calcular el VA equivalente a series de cuotas uniformes (pago C) y suma futura (VF), etc.
Aún con la rapidez que brinda la hoja de cálculo Excel, la solución de problemas complejos requiere de tiempo y esfuerzo. Para conocer la operación real de estas funciones, en especial el significado de las respuestas es de mucha utilidad el estudio concienzudo de los diferentes capítulos del presente libro.
El tema de las funciones financieras lo dividimos en dos grandes grupos: 9. Funciones para conversión de tasas de interés y 10. Funciones para series uniformes. Además, incluimos dos funciones financieras utilizadas en la evaluación financiera de proyectos: VAN y TIR.
29. Funciones para conversión de tasas de interés
Dentro de este grupo clasificamos dos funciones que sirven para convertir tasas de interés efectivas en nominales y viceversa. Los argumentos que utilizan las funciones financieras para conversión de tasas son los siguientes:
Núm_per: Es el número de períodos de interés compuesto por año. (Cuando operamos con TASA.NOMINAL).
Núm_per_año: Es el número de períodos de interés compuesto por año. (Cuando operamos con INT.EFECTIVO).
Int_nominal: Es la tasa de interés nominal anual expresada en términos decimales.
Tasa_efectiva: Es la tasa de interés efectiva anual, es decir, la rentabilidad efectiva que recibiríamos si los intereses fueran reinvertidos en las mismas condiciones por el tiempo que resta del año.
Período de interés compuesto: Entendemos el tiempo transcurrido entre dos fechas de pago de interés. En el caso de estas funciones suponemos que el interés pagado no es retirado ni consumido, si no reinvertido por el tiempo restante del año.
Devuelve la tasa efectiva del interés anual si conocemos la tasa de interés anual nominal y el número de períodos de interés compuesto por año. De aplicación cuando los períodos de pago son exactos.
Sintaxis
INT. EFECTIVO (int_nominal;núm_per_año)
Si alguno de los argumentos es menor o igual a cero o si el argumento núm_per_año es menor a uno, la función devuelve el valor de error #¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en términos decimales y debe expresarse en formato de porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de estas funciones.
Esta función proporciona la tasa efectiva de interés del pago de intereses vencidos. Para intereses anticipados debe calcularse la tasa efectiva aplicando la fórmula.
El argumento núm_per_año trunca a entero cuando los períodos son irregulares, hay que tener especial cuidado con esta función, sólo produce resultados confiables cuando la cantidad de períodos de pago en el año (núm_per_año) tiene valores exactos; por ejemplo: mensual (12), trimestral (4), semestral (2) o anual (1).
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
Ejemplo 1: Cuando los períodos de pago son exactos y el resultado es confiable:
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto trimestralmente
Solución:
n = (15/03/2004 – 15/06/2004) = 90/30 = 3, m = (12/3) = 4
Aplicando ambos métodos:
Ejemplo 2: Cuando los períodos de pago son inexactos y por lo tanto el resultado es irreal.
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto cada 2.20 meses
Solución:
n = (15/03/2004 – 21/05/2004) = 66/30 = 2.2, m = (12/2.2) = 5.2174
Aplicando ambos métodos:
Observando ambos resultados, constatamos que son diferentes. En estos casos es recomendable el uso de las fórmulas, sus resultados son más reales.
Devuelve la tasa de interés nominal anual si conocemos la tasa efectiva y el número de períodos de interés compuesto por año.
Sintaxis
TASA.NOMINAL(tasa_efectiva; núm_per)
El argumento núm_per se trunca a entero, hay que tener especial cuidado con esta función, sólo produce resultados confiables cuando la cantidad de períodos de pago en el año (núm_per) tiene valores exactos; por ejemplo: mensual (12), trimestral (4), semestral (2) o anual (1).
Si alguno de los argumentos es menor o igual a cero o si el argumento núm_per es menor a uno, la función devuelve el valor de error #¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en términos decimales y debe expresarse en formato de porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de estas funciones.
Esta función proporciona la tasa nominal del pago de intereses vencidos. Para el interés anticipado debe calcularse la tasa nominal aplicando la fórmula (B):
30. Funciones para el manejo de series uniformes
Presenta las funciones que sirven para resolver problemas en los cuales entre el valor inicial y el valor final de un negocio existen pagos de cuotas o valores recibidos.
En todas las funciones de series uniformes suponemos que los valores recibidos o pagados durante el tiempo del negocio son reinvertidos razón por la cual debe restase del plazo total, en las mismas condiciones existentes para la inversión original.
Un problema es de series uniformes cuando reúne las siguientes condiciones en su totalidad:
a) El monto de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante
b) La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante
c) La tasa de interés de liquidación de pagos dentro del tiempo de la inversión es constante.
Los argumentos utilizados por las funciones financieras de series uniformes son los siguientes:
VA: Es el valor actual de la serie de pagos futuros iguales. Si este argumento es omitido, significa que es 0.
Pago (C): Es el pago efectuado periódicamente y no cambia durante la vida de la anualidad. El Pago incluye el capital y el interés pero no incluye ningún otro cargo o impuesto. Este argumento debe tener signo contrario al de VA, para conservar las condiciones del flujo de caja: expresamos los ingresos con signo positivo y los egresos con signo negativo.
Nper: Es la cantidad total de períodos en una anualidad; es decir, el plazo total del negocio.
Tasa (i): Es la tasa de interés por período. Tener en cuenta que no es la tasa anual, si no la tasa nominal del período de pago expresada en términos decimales. Es importante mantener la uniformidad en el uso de las unidades con las que especificamos Tasa y Nper.
VF: Es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograrse después de efectuar el último pago. Si el argumento VF es omitido, asumimos que el valor es 0.
Tipo: Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencida y anticipada.
Defina tipo
Es cero (0) o omitido, cuando el pago de la cuota es vencida.
Ponemos 1, cuando el pago de la cuota es anticipada.
Período Especifica el número ordinal de la cuota y debe encontrarse en el intervalo comprendido entre 1 y Nper.
Per_inicial y Per_final Especifica el número ordinal de la primera y la última cuota del período en el cual analizaremos las cuotas pagadas.
Estimar Es la tasa de interés estimada para que Excel empiece las iteraciones en el cálculo de la tasa de interés de series uniformes. Si el argumento Estimar es omitido, suponemos que es 10%.
Permite calcular VF a partir de C o de VA. También sirve para calcular el valor de VF indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si lo que queremos calcular es VF a partir de VA omitimos el valor de C; si la cuota es vencida, omitimos el valor tipo.
Devuelve el valor futuro de la inversión, equivalente a los pagos periódicos uniformes a una tasa de interés constante.
Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
Por ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3 años en un banco que paga el 18% nominal anual y deseamos saber cuánto dinero tendremos ahorrado al final de los 3 años:
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015 (0.18/12); VF = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
Ingresamos los datos en los argumentos de función en el orden indicado en el cuadro de la sintaxis:
En la solución de los ejemplos y ejercicios en el presente libro, utilizaremos el formato simplificado indicado en el cuadro de la Sintaxis, cuando operemos con la herramienta Funciones Financieras de Excel. Esta metodología de ingresar los datos es aplicable a todas las funciones de Excel, utilizadas en la obra, desde luego, cada con su propia persiana de argumentos de función.
Hay tres aspectos a considerar en este ejemplo:
- El interés incluido en el argumento Tasa debe estar en la misma unidad de tiempo utilizada para el argumento Nper. En este caso, como son cuotas mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, es necesario dividir por doce la tasa anual nominal.
- VA puede omitirse como apreciamos en el asistente para funciones y en la barra de fórmulas automáticamente deja el espacio en la función, asumiéndolo como cero.
- Si deseamos que las cifras en la hoja de cálculo sean positivas, introducimos el argumento Pago con signo negativo, como apreciamos en el asistente para funciones (-350, en C2).
Permite calcular VA a partir de C o de VF. También sirve para calcular el valor de VF indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Para calcular VA a partir de VF, omitir el valor de C; y cuando operemos con cuotas vencidas, omitir el valor tipo. Devuelve el valor actual de la inversión. El valor actual es la suma de una serie de pagos a futuro. Por ejemplo, cuando pedimos dinero prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista.
La versión XP de Excel, recomienda el empleo de fx insertar función de la barra de fórmulas. Al oprimir fx aparece el menú de funciones y escogemos la función buscada.
Esta función conserva las mismas observaciones efectuadas para VF.
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
Por ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3 años en un banco que paga el 18% nominal anual y deseamos saber cuánto representan estas mensualidades al día de hoy.
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015 (0.18/12); VA = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y con la tasa de interés constante.
Sintaxis:
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Sugerencia: Para encontrar la cantidad total pagada durante el período del préstamo, multiplique el valor devuelto por PAGO por el argumento nper.
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
Por ejemplo:
Obtenemos un crédito de UM 10,000 para su pago en 24 cuotas trimestrales iguales, a la tasa nominal anual de 36% por trimestre vencido:
Solución:
VA = 10,000; n = 24; i = (0.36/12) = 0.03; C = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
En algunos casos puede darse la necesidad de requerir tanto el VA como el VF; como en el caso del leasing, en el cual, además del valor inicial de un equipo tenemos cuotas mensuales iguales y al final del pago existe la opción de compra para que el usuario adquiera el bien.
Por ejemplo:
En un leasing de UM 50,000 a 24 meses con la tasa de interés del 2.87% mensual y la opción de compra del 12%, la función Pago para calcular la cuota mensual a pagar operaría de la siguiente forma:
Solución:
VA = 50,000; i = 0.0287; n = 24; VF = 12%; C = ?
30.4. TASA, calcula la tasa del período
Devuelve la tasa de interés por período de la anualidad. La TASA es calculada por iteración y puede tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!.
Con esta función es posible calcular la tasa de interés, combinando no sólo VA y VF, sino también VA y C, C y VF y VA, C y VF.
Por ser la tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva, para convertir ésta tasa en tasa anual debe tenerse cuidado con la fórmula utilizada, dependiendo de qué tasa queremos calcular: la tasa nominal o la tasa efectiva anual (TEA).
Sintaxis
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
Por ejmeplo:
VA = 5,000; n = 5; C = 1,250; i =?
Función utilizada para calcular la tasa periódica de las anualidades. No existen fórmulas para obtener la tasa de las anualidades.
Devuelve la cantidad de períodos que debe tener la inversión para que sea equivalente a la serie de pagos periódicos iguales.
Sintaxis
NPER(tasa, pago, va, vf, tipo)
La unidad de tiempo consignada en la función Nper debe ser la misma que la utilizada en la tasa de interés.
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con las siguientes fórmulas, según los casos:
Por ejemplo:
i = 0.06; C = 14,000; VA = 93,345.50; n =?
31. Funciones de Evaluación de proyectos
La evaluación financiera de proyectos consiste en la aplicación de algunos indicadores de conveniencia económica al flujo de caja estimado de un negocio. En esta parte presentaremos solamente las funciones financieras del Excel utilizadas en el presente libro como indicadores de conveniencia económica (VAN y TIR). En Excel existen otras funciones financieras para este propósito.
En un proyecto real el flujo de efectivo resultante no obedece a las series conocidas (anualidades, gradientes, etc.), puesto que depende de cantidad de variables, por lo tanto no existe una fórmula para calcular el valor presente neto o la tasa de retorno (las fórmulas del VAN y la TIR insertos en el presente libro son solamente ilustrativas). Es necesario trabajar cada componente del flujo como elemento independiente. Es aquí donde el Excel presenta un gran aporte para la evaluación financiera de proyectos. Marcando la opción aceptar, obtenemos el VA del flujo. Para el cálculo del VAN sumamos la celda donde está la inversión con signo negativo.
Los argumentos que utilizan las funciones de evaluación de proyectos VAN o VNA y TIR, son los siguientes:
Tasa : Es la tasa de descuento utilizada para calcular el valor presente. Debe expresarse en el mismo período que empleamos para la serie de datos.
Valor1, valor2: Son los rangos que contienen los valores (ingresos y egresos) a los cuales calcularemos el valor presente. La función acepta hasta 29 rangos.
Valores: Rango que contiene los valores (flujo de caja) a los cuales deseamos calcular la tasa interna de retorno. El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno. Estos flujos de caja no tienen por que ser constantes, como es el caso en una anualidad; sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares.
Estimar: Es el número estimado por el usuario que considera aproximará al resultado de TIR.
Calcula el valor actual neto de la inversión a partir de la tasa de descuento y pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos).
Sintaxis
VNA(tasa;valor1;valor2; …)
Los valores incluidos en el flujo de caja no tienen que ser constantes. Esta es la principal diferencia frente a la función VA, conserva la condición de que tanto la tasa de interés como la periodicidad son constantes; es decir, todo el flujo de caja descuenta a la misma tasa y los valores incluidos en él ocurren a intervalos iguales.
Dentro del rango del flujo de caja excluimos el valor presente ubicado en el período cero (0), dicho valor está en UM de hoy. La inversión inicial de la celda con período 0 no ingresa en el argumento valores, posteriormente restamos del resultado que arroje la función.
La fórmula relacionada con ésta función es:
Por ejemplo:
Tenemos los siguientes flujos netos de un proyecto
Aplicando la función VNA y con un costo de oportunidad del capital de 15% calculamos el VAN del flujo precedente:
El valor actual neto es un indicador sobre la conveniencia económica de la inversión, involucra la subjetividad del inversionista, que debe seleccionar la tasa de interés para descontar el flujo de caja. Al calcular con dos tasas diferentes obtenemos dos resultados, para evaluar estos casos debe tenerse en cuenta que la respuesta esta expresada en UM del período cero y su significado puede interpretarse de la siguiente manera:
- VNA > 0, un resultado positivo indica que el negocio estudiado arroja rentabilidad superior a la exigida por el inversionista, deducida la inversión, luego es conveniente llevar a cabo el negocio.
- VNA = 0, en caso de presentarse, un resultado igual a cero indica que el negocio arroja rentabilidad igual a la exigida por el inversionista, la ejecución del proyecto es opcional.
- VNA < 0, valor presente neto negativo no significa que el negocio estudiado arroje pérdidas, únicamente la rentabilidad es inferior a la exigida por el inversionista y para él, particularmente, no es conveniente el negocio.
De lo anterior concluimos cuando anunciemos el VNA de un proyecto debe aclararse cuál fue la tasa de descuento utilizada para calcularlo, es decir, cuál fue el valor ingresado en el argumento Tasa.
Devuelve la tasa interna de retorno (tasa de rentabilidad) de los flujos de caja representados por los números del argumento valores. Estos flujos de caja no son constantes, como en las anualidades. Sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares, como meses o años. La tasa interna de retorno equivale a la tasa de interés producida por un proyecto de inversión con pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos) que ocurren en períodos regulares.
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
Para el cálculo de la función TIR incluimos en el rango de valores todo el flujo de caja y es necesario que existan valores positivos y negativos. El argumento Estimar es opcional. En caso de omitirse, el Excel asume la tasa inicial del 10%.
La fórmula relacionada con ésta función es:
Por ejemplo:
Tenemos el siguiente flujo de caja de un proyecto:
Aplicando la función calculamos la TIR del proyecto:
La TIR sólo involucra las condiciones particulares de un proyecto y no está afecta por la subjetividad del inversionista. Sin embargo, dificultades de orden matemático llevan a desconfiar de los resultados que arroja. Para ilustrar el caso presentamos el siguiente flujo.
Aplicando la función calculamos la TIR del proyecto:
Con el argumento estimar = 6%
Con el argumento estimar = 35%
Como apreciamos, ante el mismo flujo de caja la función TIR arroja dos resultados diferentes, dependiendo del valor utilizado en el argumento Estimar. Es recomendable tener cuidado al utilizar esta función, puede llevarnos a conclusiones erróneas.
Por otra parte, la TIR no toma en cuenta los costos de financiación ni la reinversión de utilidades generadas al realizar la inversión. Es decir sólo está mostrando la rentabilidad por mantener en un negocio el saldo no recuperado de la inversión inicial. Para resolver esta dificultad utilizamos otra forma de calcular la TIR llamada la Tasa Verdadera de Rentabilidad (TVR) o la Tasa Interna de Rendimiento Modificada (TIRM).
La TIRM: Devuelve la tasa interna de retorno modificada para una serie de flujos de caja periódicos. TIRM toma en cuenta el costo de la inversión y el interés obtenido por la reinversión del dinero.
Sintaxis
TIRM(valores;tasa_financiamiento;tasa_reinversión)
Valores es una matriz o una referencia a celdas que contienen números. Estos números representan el flujo de caja, expresado en una serie de pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos) efectuados en períodos regulares.
El argumento valores debe contener por lo menos un valor positivo y uno negativo para poder calcular la tasa interna de retorno modificada. De lo contrario, TIRM devuelve el valor de error #¡DIV/0!
Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.
Tasa_financiamiento es la tasa de interés que se paga por el dinero utilizado en los flujos de caja.
Tasa_reinversión es la tasa de interés obtenida por los flujos de caja a medida que se reinvierten.
Esta función en el presente libro es referencial, todos los casos son resueltpos aplicando la función TIR.
La tabla de amortización indica cómo el pago de una deuda está dividida entre interés y abono o amortización de la deuda. Con la tabla de amortización podemos también establecer el saldo pendiente al final de cada período. Igualmente podemos operar con la tabla de capitalización; la diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir la deuda), los ahorros y los intereses que ellos producen capitalizan luego, es posible calcular también el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.
Con la ayuda de Excel, las tablas de amortización pueden elaborarse con variados esquemas de pago, el límite lo impone la imaginación y capacidad del usuario. Algunos ejemplos son las cuotas escalonadas del pago de deudas. La clave para manipular estos esquemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la primera cuota y construir el «modelo» en función de esa primera cuota; hecho esto, hay que encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldo final. Esto es posible lograrlo con la opción de Excel que está en Herramientas del menú, llamada Buscar objetivo.
Ajustar el valor de una celda para obtener un resultado específico para otra celda.
- En el menú Herramientas, haga clic en Buscar objetivo.
- En el cuadro Definir celda, escriba la referencia de la celda que contenga la fórmula (fórmula: secuencia de valores, referencias de celda, nombres, funciones u operadores de la celda que producen juntos un valor nuevo. Una fórmula comienza siempre con el signo (=).) que desee resolver.
- En el cuadro Con el valor, introduzca el resultado que desee.
- En el cuadro Para cambiar la celda introduzca la referencia de la celda que contenga el valor que desee ajustar. A esta celda debe hacer referencia la fórmula en la celda especificada del cuadro Definir celda.
- Haga clic en Aceptar.
Lo más conveniente al construir la tabla de amortización es su estructura básica, así:
1º Caso cuando fijamos la cuota o pago
Por ejemplo: Un préstamo de UM 10,000 al 4.5% mensual, cuyos 6 pagos, se duplican cada dos meses.
Solución:
VA=10,000; i = 0.045; n = 6; C1…6 = ?
La primera cuota puede ser cualquier valor; lo importante es que las demás cuotas (de la segunda en adelante) dependan de la primera; de modo que cuando cambie la primera, las demás cuotas y el resto de la tabla también cambien. Habrá que cambiar el valor de la primera cuota hasta cuando el saldo final sea cero. Es posible hacer esto a mano, pero el computador lo hace más rápido con la opción Buscar objetivo ya mencionada. Definimos la celda donde está el saldo final del último período con el valor cero y pedimos que cambie la celda donde está la primera cuota.
Operando con Buscar Objetivo de Excel.
- Elaboramos la tabla de amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja de Excel.
En la columna E4 (Pago), ingresamos 10 un valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E4 10 [Ingresamos a la celda sin poner el signo (=)]
Celda E5 =E4
Celda E6 =E5*2 (de acuerdo a la condición del problema).
Celda E7 =E6
Celda E8 =E7*2
Celda E9 =E8
Cuando la tabla es de muchos períodos (filas) y no exista la condición doble o UM X más cada 2, 3, etc. cuotas; la forma más rápida de operar, es ingresar a la primera celda (PAGO) cualquier número, luego ingresamos a la segunda celda (PAGO) el signo (=) y hacemos clic con el mouse en la primera celda PAGO. Finalmente, colocamos el puntero en la 2º celda PAGO y del ángulo inferior arrastramos el puntero en forma de cruz hasta la celda PAGO final de la tabla.
Aplicando la opción buscar objetivo obtenemos el valor de cada cuota:
INTERES = SALDO INICIAL x 0.045
PAGO = BUSCAR OBJETIVO
AMORTIZACION = PAGO – INTERES
(=E3 – C3) … (=E8 – C8)
2º Caso cuando fijamos el abono o amortización
Caso que confirma que la suma de las amortizaciones es igual a la deuda.
Considerando el ejemplo anterior con amortización constante:
Elaboramos la Tabla de Amortización
INTERES = SALDO INICIAL x 0.045
AMORTIZACION = 10,000/6 = 1,666.67
PAGO = Amortización + Interés
(=C3 + D3) … (=C8 + D8)
El ejemplo anterior con pagos en cuotas uniformes:
Solución:
VA = 10,000; i = 0.045; n = 6; C = ?
El pago C también es calculado aplicando la fórmula [25], la función financiera PAGO o Buscar Objetivo de Excel:
Elaboramos la tabla de amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja de Excel. Aplicamos el proceso ya conocido y obtenemos la siguiente tabla:
Ejemplo de cuota o pagos escalonados es la liquidación de un préstamo de UM 5,000 a la tasa del 3.8% mensual con cuotas que crecen UM 30 cada mes. El primer esquema sería:
Solución:
VA = 5,000; i = 0.038; n = 5; C =?
En la celda E3 (Pago), ingresamos un valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E3 10 Celda E6 =E5+30
Celda E4 =E3+30 Celda E7 =E6+30
Celda E5 =E4+30 Celda E8 =E7+30
En buscar Objetivo:
Definir la celda : Con el mouse hacemos clic en la celda F8
con el valor : 0
para cambiar la celda : Con el mouse hacemos clic en la celda E3
Aplicando este procedimiento obtenemos la siguiente tabla:
Con estos ejemplos demostramos que es posible construir tablas de amortización con cualquier esquema de pagos y siempre podremos encontrar el saldo final igual a cero. El esquema de pagos puede ser tal que la cuota sea menor que los intereses que deben pagarse; en este caso el saldo final aumentará en lugar de disminuir.
