Aleatorio o No Aleatorio… (página 2)

Alentadoramente, se ha diseñado un experimento. "Se corren pruebas para determinar el tiempo de llegada a la escuela, se debe escoger el número de repeticiones o réplicas. Se seleccionan los tiempos para iniciar de manera aleatoria de entre los tiempos posibles de inicio. Digamos que normalmente es posible iniciar en cualquier momento dentro de los primeros 10 minutos entre las 8 a las 8:09 a.m., es posible usar una "tabla" o cuadro de datos con números aleatorios" para elegir el tiempo de inicio del experimento".

En el Cuadro 1 anexo, tenemos lo que se conoce como un arreglo de números aleatorios. Este consiste de dígitos, números del 0 al 9, colocados en tal forma que no importa donde se inicie, el número que aparezca puede ser cualquiera de los dígitos y con la misma posibilidad de aparecer con respecto a los 9 restantes. El siguiente digito, sin importar en que dirección se elija ir, puede también ser cualquiera y con una posibilidad igual de aparecer. Así, si iniciamos en la primera columna de la fila 31 y observamos al primer arreglo de dígitos en la izquierda, encontraremos los números 40603 16152 83235…. y así sucesivamente (Ver cuadro 1).

El primer dígito es el número cuatro, así el primer día se iniciará la prueba a las 8:04 a.m. (nótese que el número 4 esta siendo usado como el número de minutos después de las 8:00 en punto, en este caso 4 minutos después de las 8:00 a.m. El segundo dígito de la lista es un 0, y este representa el número de minutos después de las 8 en punto en el segundo día, o 8:00 a.m. El tercer día iniciará a las 8:06 a.m., y así sucesivamente. Si seguimos este procedimiento estaremos seguros de que el tiempo de inicio no este sesgado o influenciado por alguien en su selección. Han sido escogidos de forma totalmente aleatoria, y asegurar la aleatoriedad al escoger nuestras muestras es vital.

Respondiendo a nuestra pregunta planteada en el inciso b. tenemos:

Primero identificamos a las ratas de forma conveniente y las numeramos del 1 al 19; Nos ubicamos en un punto de partida en el cuadro de números aleatorios; una conveniente regla es la de iniciar donde nos quedamos la última vez que usamos esta herramienta. Una manera sencilla, pero no siempre la más eficiente, consiste en rechazar todos los números mayores que 20 (establecer que 00 cuenta como mayor que 20) y tomar los primeros cinco restantes, rechazar cualquier repetición. Suponga que nuestra selección se inicia al principio de la primera columna; leemos los pares de dígitos en las columnas 1 y 2, hacia abajo, este procedimiento da como resultado 20, 16, 4, 3, 1; las ratas con estos números son entonces nuestra muestra aleatoria.

Un segundo método más elaborado y eficiente es presentado a continuación. Divida cada par de dígitos entre 19 y tome el residuo (si el residuo es igual a cero para este propósito es considerado como 19); estos residuos son entonces los números aleatorios requeridos. Debido a que 19 no es un submúltiplo exacto de 10. Debido al tamaño del grupo, los pares de dígitos 1, …, 19; 20, …, 38; 39, …, 57; 58, …, 76; 77, …, 95 todos dan residuos de 1, …, 19, pero los pares 96, …, 00 producen un arreglo incompleto de residuos 1,…, 5 y por esta razón deben ser excluidos debido a que su uso alteraría las frecuencias de los residuos. Iniciando de arriba abajo a partir de la primera columna entonces seleccionaríamos los números 20, 74, 98, 22, 93, 45 y 44 que al ser divididos entre 19 (nótese la exclusión del 98) obtenemos aquellos individuos numerados con 1, 17, 3, [17], 7, 6. A menos que el muestreo sea requerido con reemplazo ignoraríamos el segundo 17.

En otro ejemplo, suponga que tenemos 40 latas de sopas deshidratadas para acampar, y que deseamos tomar una muestra de tamaño n = 4 para estudiar su condición.

Nuestro primer paso es numerar las cajas de 1 a 40 o apilarlas en algún orden de tal forma que puedan ser identificadas. En el Cuadro 1 adjunto de números aleatorios, los dígitos deben escogerse de a dos a la vez porque la población de tamaño N =40 es un número de dos dígitos. Empezamos seleccionando arbitrariamente una página, una fila, y una columna de la tabla. Suponga que nuestra selección es la fila 46, y la columna 9. Leemos los pares de dígitos en las columnas:

31 76 78 48 74 27 37 37 99 96 66 81 79 52 19

Ignoramos los números mayores que 40 y también cualquier número repetido cuando aparezca una segunda vez, como el 37. Se continúa leyendo pares de dígitos hasta que cuatro unidades diferentes hayan sido seleccionadas.

31 27 37 19

Entonces se examinan los contenidos de las latas seleccionadas.

Otra forma de resolver este problema, para el caso específico de seleccionar aleatoriamente un miembro de una lista de N personas, se genera o escoge un número aleatorio r dividido entre 100, se puede demostrar que el elemento seleccionado será el que ocupe la posición dada por el resultado de multiplicar el número aleatorio r por el número de elementos de la lista N, sumarle uno y tomar la parte entera del resultado, es decir, la posición J seleccionada será la parte entera de la siguiente expresión: J = [N r + 1]. Si usáramos este procedimiento para los números aleatorios escogidos (0.31, 0.27, 0.37 y 0.19) las latas a muestrear serían las correspondientes a los números [40×0.31+1, 40×0.27+1, 40×0.37+1 y 40×0.19+1]

= [13.4, 11.8, 15.8 y 8.6] = [13, 11, 15, y 8].

Por supuesto, podemos ampliar el uso de los números aleatorios para incluir un mayor arreglo de dígitos. Por ejemplo, podemos asignar un número de 000 a 999 para cada estudiante de los 1000 estudiantes de nuestra población de estudiantes a fin de aplicarles un cuestionario. A continuación escogemos los números aleatorios tomando grupos de 3 dígitos, los cuales servirán como el número de estudiante a elegir. Así, si observamos en la primera columna de la Fila 32 del mismo arreglo de dígitos, y encontramos los números 409.

De esta forma el primer estudiante en ser entrevistado será el estudiante número 409. El siguiente estudiante será el 415, el tercero 358, el cuarto 569, y el siguiente 958. De esta forma seleccionaremos a nuestros estudiantes completamente al azar.

Para muestreos a gran escala o aplicaciones frecuentes, se recomienda usar la tabla con valores que vienen de una fuente más grande de número aleatorios llamados Un millón de números aleatorios con

100,000 Desviaciones Normales, por la Corporación Rand o un generador de número aleatorios de un computador, adecuadamente probado.

Regresando a nuestro diseño de experimentos, se debe notar que se pudieron tener problemas más complicados por resolver. Por ejemplo, un biólogo puede estudiar los niveles de azúcar en sangre de ratas macho y hembras de diferentes edades, en diferentes dietas, y a diferentes tiempos del día, usando un simple arreglo de roedores para contestar todas estas preguntas al mismo tiempo. El diseño de este experimento exige y va más allá de la estadística elemental, obviamente se debe estar consciente del alcance de las situaciones que pueden ser analizadas con técnicas estadísticas modernas (Diseños experimentales).

Finalmente, tenemos los datos tipo encuesta. Aquí entre los muchos puntos que son importantes, debemos considerar el hecho de que el cuestionario debe estar preparado apropiadamente y previamente validado, los individuos deben ser elegidos de manera adecuada y aleatoria. La información recabada deberá reflejar a la población en la que estamos interesados entender; por lo tanto, es necesaria una cuidadosa y extensiva planeación.

"Nótese que si afirmamos que una muestra es representativa de la población quiere decir que conocemos las características de la población, entonces no tendría sentido hacer un estudio por muestreo"

En este momento tal vez el lector diga ¿Qué…? es posible ¡!!!!, motivo por el cual vale la pena aclarar algunos puntos.

¿Qué son los números aleatorios?

Son números que deben de cumplir los requisitos de ser equiprobables, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.

¿Cuál es su aplicación?

En la vida cotidiana se utilizan números aleatorios en situaciones como pueden ser los juegos de azar, Matemática Aplicada, Análisis Numérico, Criptografía (comprobar la cantidad de información filtrada por algoritmos criptográficos), estudios de Simulación de sistemas físicos o matemáticos (como el Método Monte Carlo para Cálculo Integral) para reproducir otra serie de fenómenos o variables aleatorias, para modelar y estudiar resultados de experimentos científicos en los sistemas electrónicos de telecomunicaciones. Los sistemas que usamos en los ordenadores actuales se basan en una semilla de base aleatoria (mover el ratón sin sentido mientras se realiza el cálculo)

Si escogemos números de nuestra mente se tenderá enfatizar a ciertos números y no incluir suficientemente a otros. ¿Cierto o Falso?

Para responder a la pregunta anterior. Escoja un número de un dígito al azar (0 a 9) y anótelo. Vuelva a hacer lo mismo tres veces más, cada vez olvidando o ignorando lo previamente realizado. De esta forma cada dígito es aleatorio y usted tendrá un arreglo de 4 dígitos aleatorios. Repita este proceso o procedimiento 25 veces más. Tendrá un total de 100 dígitos en grupos de 4.

a. Cuente el número de veces que usted anotó cada dígito. Debería tener aproximadamente 10 de cada uno. ¿Qué tan cerca estuvo?

b. Examine cada uno de los 25 grupos de 4. Determine cual grupo tiene

2 (o más) de los mismos dígitos (p.ej.: 8, 6, 1, 8 tiene 2 "ochos"). ¿Qué porcentaje de sus grupos tiene dígitos repetidos?

25 arreglos de 4 dígitos. ¿Qué porcentaje de sus grupos tiene dígitos repetidos?

¿Qué comentarios puede hacer?

¿Cómo se generan?

El método usado para producir verdaderos números aleatorios es sumamente difícil y requiere de técnicas especiales, que no cualquiera posee. Un requisito es el de tener un comportamiento caótico, como la desintegración radiactiva o el ruido térmico en los transistores, impredictibles para cualquier tipo de aplicación práctica.

Se denomina generador de números aleatorios a cualquier procedimiento que produzca números entre cero y uno. Los números generados, además de distribuirse uniformemente, deben ser independientes, de tal forma que los fenómenos que reproduzcan no estén correlacionados entre sí. Se busca generar secuencias de números que no caigan dentro de una rutina, es decir, un ciclo de elementos no debe acabar repitiéndose.

Póngamelos para llevar…

Esta sección cubre la parte complementaria de proponer algunos problemas para que el lector sopese las nuevas habilidades adquiridas.

• Para investigar irregularidades electorales, una muestra aleatoria simple de tamaño 60 es tomada de una lista de 1024 votantes inscritos en un barrio particular. ¿Como procedería a hacer su elección?, garantizando aleatoriedad

• Un estudio de nutrición es dirigido para determinar la calidad de la comida ingerida por niños en una escuela primaria. De un total de 1500 niños en escuelas primarias en una ciudad en particular, se debe seleccionar una muestra aleatoria simple de 80. ¿qué procedimiento emplearía? ¿por qué?

• Un guardabosque desea estimar la proporción de árboles en un bosque de tierras bajas que tienen infecciones de madera mojada. Estas infecciones pueden descubrirse por la presencia de una bacteria particular en el jugo extraído de los Se decide muestrear 400 árboles, para realizarles las correspondientes pruebas. ¿De qué forma se llevaría a cabo el muestreo? ¿Garantiza ser aleatorio?

• Los errores que se presentan en las cuentas por cobrar son de importancia vital para los interventores. Un interventor que trabaja para una compañía de transportes desea estimar la proporción de casos en los que clientes reciben facturas defectuosas. Suponga que durante un periodo dado de tiempo, se archivan 2325 cuentas por cobrar en la oficina del interventor. Se elije muestrear a 500 de estas cuentas. Indique el procedimiento.

• Suponga que 588 granjas localizadas en un área particular constituyen una población y que el gasto de capital de su último año en maquinaria y en equipo de la hacienda es la característica a ser estudiada. Se escogen 60. Usando los números aleatorios correspondientes señale el método que emplearía para llevar a cabo semejante tarea.

Bibliografía

ESTUDIOS DE MUESTREO 1Traducción del capítulo 16 "Sample Surveys" del libro "Statistical Concepts And Methods", Gouri K. Bhattacharyya and Richard A. Johnson. John Wiley and Sons, Inc. 1977. Traducción por parte de estudiantes del curso de "Estadística Matemática I" (semestre 02 de 2000) del Departamento de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia, con la recopilación, corrección y adaptación del profesor Bernardo A. Calderón C. http://siona.udea.edu.co/~bcalderon/5_preguntamuestreo.html (Revisado en mayo del 2008)

Campbell, R. C. 1975. STATISTICS FOR BIOLOGISTS. Second Edition. Cambridge University Press. p. 5-6; 343-344. ISBN 0-521-09836-x

Un gaditano en Silicon Valley. Un millón de números aleatorios. http://folksonomy.com/un-millon-de-numeros-aleatorios/ (Revisado en mayo del 2008)

Ullman, Neil R. 1978. Elementary Statistics. An Applied Approach. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-02105-9

Triola, Mario F. 2006. Estadística. Novena Edición Traducida al Español. Pearson Educación. México. p.24. ISBN 970-26-0519-9

Cochran, William G. 1992. Técnicas de Muestreo. Primera Edición. 9a Reimp. Traducida al Español. CECSA.México. p. 42-43. ISBN 968-26-0151-7.

Cuadro 1. Números Aleatorios. Sin importar el punto de inicio a partir del cual se elijan o la dirección en la cual se continué seleccionando valores. El modelo en que está basada la tabla de números aleatorios asegura que todos los dígitos simples tienen la misma probabilidad de ocurrencia de 1/10, que todos los pares de dígitos 00, 01,…,99 tienen una probabilidad de ocurrencia igual a 1/100, y así sucesivamente. Es posible ir hacia la derecha, izquierda, arriba, abajo y/o diagonalmente. Se presentan en grupos de cinco meramente por conveniencia. Aquellos marcados con gris, responden a ejemplos señalados en el cuerpo del texto.

De: RAND Corporation, Un Millón de Números Aleatorios con 100,000 Desviaciones

Normales, publicadas en 1955 por la Free Press.

Autor:

Lourdes Hernández Hernández, PA Universidad Politécnica de Puebla.

Santiago Daniel Markwalder Benítez, PA Universidad Realística de

México.