Dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios

Introducción

La investigación científica es un proceso libre y creativo. Sin embargo, esto no significa que carezca de sistematicidad y organización. Mucho menos si se trata de la etapa de planificación, la cual se concreta en el proyecto de investigación.

El trabajo de investigación se denomina Dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º grado en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios el cual tiene como propósito identificar.

1.1 Tema de investigación.

"Dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios".

1.2 Definición del proyecto.

El proyecto tiene como objeto de investigación Las Dificultades que presentan los estudiantes del nivel de octavo grado en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios, razón por la cual es de gran interés investigar dichas dificultades, puesto que es una problemática que se presenta en casi todos centros educativos de promedia de nuestro país, viéndose afectados en niveles de enseñanza superiores.

1.3 Justificación e importancia.

El tema "Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios", es un tema importante, ya que a través de dicha investigación se puede detectar las diferentes dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º, en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios, puesto que se ha observado que son muchos los estudiantes que presentan dificultades en el desarrollo de este tipo de operaciones; razón por la cual es interesante conocer las causas por las cuales el estudiante presenta dichas dificultades al resolver de forma procedimental y efectiva un determinado ejercicio de este tipo y de esta manera crear planes o estrategias adecuadas que permitan llevar a cabo un proceso de enseñanza más efectivo y dinámico en el desarrollo de estos temas y de esta forma contribuir a disminuir estas dificultades en las futuras generaciones.

Esta investigación a realizar sobre las Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios abarcará específicamente en un C.E.B.G. de la provincia de Veraguas, Distrito de Santiago.

Para los efectos de la investigación se cuenta con el recurso financiero, humano y material, así como acceso a los lugares donde se investigará; por lo tanto existe la posibilidad de llevar a cabo esta investigación que tomará un tiempo de 4 a 6 meses aproximadamente.

1.4 Objetivos.

1.4.1 Objetivo General.

Investigar cuáles son las diferentes dificultades que presentan los estudiantes, del nivel de 8º grado, en el desarrollo de operaciones básicas de monomio y polinomios.

1.4.2 Objetivos específicos.

• Diagnosticar mediante pruebas las diferentes causas y dificultades más frecuentes que presentan los estudiantes del nivel de 8º, en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios.

• Identificar en que tipos de operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación) de monomios y polinomios presentan mayor dificultad los estudiantes del nivel de 8º?

• Describir las causas y dificultades que presentan los estudiantes, del nivel de 8º, en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomio y polinomios.

• Sugerir posibles métodos de enseñanza para disminuir las dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º, en el desarrollo de de operaciones fundamentales de monomio y polinomios.

1.5 Preguntas de investigación.

• ¿Cuáles son las dificultades más frecuentes que presentan los estudiantes del nivel de 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios?

• ¿En qué tipo de operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación) de monomios y polinomios presentan mayor dificultad los estudiantes del nivel de 8º?

• ¿Cuáles son las causas que llevan a que los estudiantes, del nivel de 8º grado, presenten dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomio y polinomios?

• ¿Cuáles son posibles soluciones para disminuir las dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º grado, en el desarrollo de de operaciones fundamentales de monomio y polinomios

1.6 Hipótesis

Hipótesis Nula.

Los estudiantes del nivel de 8o grado no presenta dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios.

Hipótesis alterna.

Los estudiantes del nivel de 8o grado presenta dificultades en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios.

1.7 Muestra.

Para llevar a cabo esta investigación se elegirá una muestra con un número menor a treinta estudiantes escogidos al azar, en dos a tres C.E.B.G. de la provincia de Veraguas.

1.8 Fuentes y Metodología.

Para llevar a cabo la investigación de éste proyecto investigativo se realizará una minuciosa revisión de documentos sobre las Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios, a través de libros, tesis, Revistas, periódicos, y artículos publicados en Internet o encuestas – pruebas que contengan información accesible y concreta para el desarrollo efectivo de este trabajo de investigación.

Se elegirán grupos de estudiantes al azar, para que el resultado de la investigación no sea objeto de sesgo.

Para el análisis de los datos se utilizara el estadígrafo t studen, ya que la muestra que se tomará es de un numero menor a treinta estudiantes.

1.9 Cobertura.

Esta investigación a realizar sobre las Dificultades que presentan los estudiantes del nivel 8º en el desarrollo de operaciones fundamentales de monomios y polinomios abarcará específicamente dos a tres C.E.B.G. de la provincia de Veraguas, Distrito de Santiago, donde se persigue conocer las principales causas y dificultades que presentan los estudiantes del nivel de 8º y así crear planes o estrategias adecuadas que permitan llevar a cabo un proceso de enseñanza más práctico y dinámico en el desarrollo de estos temas y de esta forma contribuir en la disminución de estas dificultades en las futuras generaciones.

1.10 Alcances y limitaciones.

1.10.1 Alcance.

• Proporcionar información valiosa sobre el tema, a interesados en realizar estudios posteriores de tal forma puedan coadyuvar en el desarrollo eficaz de este tipo de dificultades.

• Contribuir con información bibliográfica en la Hemeroteca para futuras generaciones que deseen profundizar más en este tipo de investigación de la especialidad.

1.10.2 Limitaciones.

• La falta de experiencia en el desarrollo de este tipo de proyectos de investigación, sobre todo en la redacción y concordancia de las ideas claves en la trascripción de lo que se piensa y se escribe.

Marco teórico

2.1 Antecedentes

Son muy pocos los trabajos que hablan de este tema debido que es un problemas poco estudiado , pero al hacer un revisión minuciosa se pudo encontrar un trabajo que habla sobre este tema el cual es "Dificultades, Obstáculos y Errores en el Aprendizaje de la Matemática en la Educación Secundaria, Resolución de problemas algebraicos" por arroyo Pedro M.

2.2 Origen del algebra.

La palabra Árabe al – jebr se convirtió en "álgebra" al transcribirla al latín, mientras que al – mugabala fue desechada, lo cual explica el termino moderno "álgebra" para esta disciplina.

El origen de este término responde muy bien al contenido real de la ciencia misma. El álgebra es en ciencia, la doctrina de las operaciones matemáticas consideradas formalmente desde un punto de vista general, con abstracción de los números concretos. Sus problemas están relacionados fundamentalmente con las reglas formales para la transformación de expresiones y la solución de ecuaciones.

2.3 Etapas del algebra.

El desarrollo del Algebra pasó por tres etapas: La Retórica, La Sincopada y La Simbólica.

Alegra Retórica.

Se caracterizaba por la ausencia total de cualquier signo, aunque naturalmente, la excepción del hecho que las palabras mismas estuviesen utilizadas en sentido simbólico.

El álgebra Babilónica es reconocida como un álgebra retórica, ya que en ella los problemas algebraicos se enuncian y se solucionan sin utilizar de manera sistemática notaciones algebraicas o simbólicas.

El álgebra egipcia, por su similitud con la Babilónica según lo demuestra el papiro RHIND también es conocida un álgebra retórica. En el se encuentran resueltos problemas que se traducen en ecuaciones. Desde luego, todos los procesos están expresados en palabras y no hay evidencia de símbolo alguno.

Algebra Sincopada.

Los griegos herederos de la matemática egipcia tenían métodos parecidos a los nuestros cálculos algebraicos elementales; pero sus sistema de numeración por medio de las letras del alfabeto Jónico era de una rigidez incompatible con el calculo.

La primera aparición del simbolismo se debe a dos grandes sabios griegos: Aristóteles y Euclides quienes por primera ves usaron, si bien en forma esporádica, ciertas letras para presentar cantidades. Sin embargo, fue con Diofanto de Alejandría cuando apareció una obra en la que se encuentra un gran número de problemas resueltos por medio de ecuaciones en que la incógnita viene representada sistemáticamente por la letra S griega. También se encuentra en esta obra la adición, la sustracción y la multiplicación de monomios y polinomios (de forma distinta).

Aquí palabra de uso frecuente sufrían cambios a medida, que pasaba el tiempo, de nombres a abreviaturas a así hasta llegar a símbolos. Los números negativos se interpretan como corrimientos a lo largo de una recta en la dirección opuesta a los positivos, entre otras cosas.

La historia de los símbolos + y – puede servir de ejemplos. En la Europa Meridional, el signo –, fue durante largo tiempo expresado por la palabra minus, la que se sustituyó con la letra m con una raya encima () poco después fue desapareciendo y quedo sólo el signo -.

ALGEBRA SIMBÓLICA

El traspaso de forma sincopada del algebra a la forma simbólica (actual) tuvo lugar en los siglos XV. XVI y XVII de nuestra era.

Grandes progresos en la teoría de las ecuaciones fueron logrados en los siglos XV y XVI por los famosos algebristas Italianos Luca Pacioli, Scipione Dal Ferros, Nicolo Tartaglia, Ludovico Ferrari y Girolamo Carcomo. También Miguel Stiefel empleó con frecuencia letras para representar cantidades y números. Sin embrago, el álgebra, tal como hoy la concebimos, nació de manera clara y definitivamente con la obra de Francisco Viete (Francés 1540-1630) en la que empleó sistemáticamente letras mayúsculas para representar las cantidades, dando lugar con ello al nacimiento del calculo literal.

El uso generalizado de los números negativos se debe a Tomas Harriot (francés 1560-1621). El francés Renato Descartes da la regla para restar dos números negativos. El alemán Widman (1480) introdujo los signos + y – para indicar suma y resta. El inglés Oughtred (1575) utiliza el signo x para indicar multiplicación. El matemático alemán Guillermo Leibniz (1646-1716) utilizo por primera vez el signo ÷ para indicar la división y el inglés Reanato Recorde (1510-1558) utilizo por primera vez el signo = para indicar la igualad.

2.2 CONCEPTOS BÁSICOS.

2.1 Algebra

Es la rama de la matemática que generaliza la aritmética. Unos de sus conceptos fundamentales, es la idea de un "número general"; es decir que los números serán representados por letras; indicando estas letras cualquier posible valor.

Se ha dicho que el algebra se preocupa de las expresiones que de manera general nos dan la información sobre algún hecho. Por esto se puede pasar a definir lo que es una expresión algebraica.

2.1.1 Expresión algebraica.

Una expresión algebraica, es toda combinación de números o letras ligadas entre sí por cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción multiplicación división).

En una expresión algebraica a las letras se les denomina variables, puesto que estas pueden tomar cualquier valor, mientras que a los números se les utiliza para representar cantidades conocidas o determinadas.

2.1.1.1 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican en los siguientes grupos.

Monomio: un monomio, es toda expresión algebraica que consta de un solo término que se liga a las letras o variables solamente con la operación de multiplicación.

Polinomio: un polinomio es toda expresión algebraica que consta de dos o más monomios. A los polinomios de dos términos se denomina binomios y a los polinomios de tres términos se les denomina trinomios.

Grado absoluto de un monomio: se le llama grado absoluto de un monomio a la suma de los exponentes de las variables presentes en él.

Grado relativo de un monomio: se llama grado relativo de un monomio, respecto a una variable, al exponente de la variable en el monomio.

Grado absoluto de un polinomio: se llama grado absoluto de un polinomio al mayor grado absoluto de sus monomios.

Grado relativo de un polinomio: se llama grado relativo de un polinomio respecto a una variable, al mayor exponente de la variable en el polinomio. Así el polinomio

2.1.1.2 ORDEN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Resulta muy útil y practico al efectuar cálculos en donde intervienen expresiones algebraicas, que estén ordenadas, de acuerdo a un criterio ó de una misma manera.

En general los términos de una expresión algebraica pueden ser ordenados de acuerdo a diversos criterios.

Los más utilizados, y que simplifican ó hacen más fácil los cálculos con expresiones algebraicas son:

a) Ordenar en orden creciente o ascendente una expresión algebraica.

Para ordenar una expresión algebraica en forma creciente o ascendente, se siguen los siguientes pasos:

• 1) Se escoge una de las variables que aparecen en la expresión algebraica.

• 2) Se ordenarán los términos de la expresión algebraica, comenzando con el término en donde la variable escogida tenga el menor exponente, siguiendo con el término en donde el exponente de la variable escogida aumente en una unidad y así sucesivamente.

b) Ordenar decreciente o descendente, una expresión algebraica.

Para ordenar una expresión algebraica en forma decreciente o ascendente, se seguirán los siguientes pasos:

• 1) se escoge una de variables que aparecen en la expresión algebraica.

• 2) Se ordenan los términos de la expresión algebraica, comenzando con el término en donde la variable escogida tenga mayor exponente, siguiendo con el término en donde el exponente de la variable escogida disminuya en una unidad y así sucesivamente.

2.1.1.3 VALORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Valorizar una expresión algebraica no es más que sustituir las variables de expresión, por los valores específicos ó dados, y efectuar las operaciones indicadas:

2.1.1.4 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Al igual que en los conjuntos numéricos, en el conjunto de las expresiones algebraicas, podemos definir las cuatro operaciones fundamentales; esto es: adición, sustracción, multiplicación y división de expresiones algébricas.

Se iniciara el desarrollo de la adición de expresiones algebraica.

ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al sumar expresiones algebraicas cualquiera, es importante no violar la regla que dice:

"en una suma de expresiones algebraicas, solamente se podrán sumar, los términos semejantes".

Como cada término de una expresión algebraica es en realidad un monomio, se vera la adición de monomios semejantes.

A) ADICIÓN DE MONOMIOS SEMEJANTES.

Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes, observando las reglas para la adición escritas anteriormente, manteniendo la parte literal común.

B ADICIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios una manera que resulta más fácil es colocándolos uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en una misma columna, luego se suman los términos de cada columna, para obtener los términos del polinomio suma.

SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGÉBRICAS.

Al igual que en la adición de expresiones algebraicas, en la sustracción subsiste la regla que dice: "en una diferencia de expresiones algebraicas, solamente se podrán restar, los términos semejantes".

Por ello se pasa a estudiar la regla para la sustracción de monomios.

• a) SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS SEMEJANTES.

Para restar dos monomios cualesquiera, se le cambia al signo al monomio sustraendo teniendo en cuenta la ley de los signos para la multiplicación y luego lo sumaremos atendiendo a la regla de la adición de monomios semejantes.

B) SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS SEMEJANTES

Para restar dos polinomios, se escribe el polinomio sustraendo debajo del polinomio minuendo, de manera tal que los términos semejantes queden en una misma columna, luego, se le cambia el signo a todos los términos del polinomio sustraendo atendiendo a la ley de los signos mencionada anteriormente, para finalmente sumarlos atendiendo a la regla de la adición de polinomios.

OPERACIONES COMBINADAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En variadas ocasiones se presentan, algunos problemas con expresiones algebraicas, en donde intervienen dos ó más operaciones.

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN.

Cuando una expresión se va a considerar como un solo número, se encierra en los llamados símbolos de agrupación. (Paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { })

También se recuerda, que al resolver este tipo de problemas, se elimina los símbolos de agrupación interiores para luego pasar a eliminar los exteriores.

Ahora bien, esta regla se aplica en el caso de operaciones combinadas con expresiones algebraicas.

Solo se debe recordar que al eliminar un signo de agrupación precedido del signo positivo (+), la expresión en el interior permanece exactamente igual, mas, cuando el símbolo está precedido por el símbolo negativo (-), al eliminar el signo de agrupación, todos los términos de la expresión encerrada en él, cambiaran de signo.

MULTIPLICACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Antes de iniciar el estudio de las "reglas" que rigen la multiplicación de expresiones algebraicas, se hace imprescindible el estudio de las "leyes de los exponentes" para la multiplicación.

Por ello, se inicio con dicho estudio.

LEYES DE LOS EXPONENTES:

PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE.

Del ejemplo anterior se deriva que "El producto de potencias de igual base, es una potencia de la base común, con un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores".

Luego de manera general el producto de potencias de igual base lo podemos expresar de la siguiente manera:

POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE UN PRODUCTO

Del ejemplo anterior se deriva que "La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

Luego de manera general, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias así:

Una vez finalizado el estudio de las "leyes de los exponentes", para la multiplicación, se inicia el estudio del producto de expresiones algebraicas que se dividen en los siguientes casos:

• a) Multiplicación de dos monomios.

• b) Multiplicación de un monomio por un polinomio.

• c) Multiplicación de dos polinomios.

A) MULTIPLICACIÓN ES DOS MONOMIOS:

Para multiplicar dos ó mas monomios, se multiplica primero sus coeficientes, y luego sus partes literales.

B) MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO.

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

C) MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios se seguirán los siguientes pasos:

• a) Ambos (multiplicando y multiplicador) se ordenarán en la misma forma (ascendente o descendente) y respecto a la misma variable.

• b) Se multiplica cada término del polinomio multiplicador por el polinomio multiplicando.

• c) Se colocaran los "productos parciales" uno debajo del otro de manera que los términos semejantes queden bajo una misma columna.

• d) Se suman los "productos parciales", sumando los columnas con términos semejantes.

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al igual que en la multiplicación, para el estudio de la división de expresiones algebraicas se hace imprescindible revisar las "leyes de los exponentes", para la división.

LEYES DE LOS EXPONENTES: (para la división)

Al estudiar la división de potencias de igual base se debe estudiar los posibles casos a presentarse:

• a) El exponente de la potencia en el numerador (dividendo) es mayor que el exponente de la potencia en el denominador (divisor).

• b) El exponente de la potencia en el denominador (divisor) es mayor que el exponente de la potencia en el numerador (dividendo).

a) El exponente de la potencia en el numerador (dividendo) es mayor que el exponente de la potencia en el denominador (divisor).

Del ejemplo anterior se deriva que (en este caso) "El cocientes de dos potencias de igual base, es igual a una potencia de la base común con un exponente igual a, a la diferencia del exponente de la potencia en el numerador, menos exponente de la potencia en el denominador.

Luego de manera general, el cociente de potencias igual base (en este caso) se puede expresar de la siguiente manera:

• b) El exponente de la potencia en el denominador (divisor) es mayor que el exponente de la potencia en el numerador (dividendo).

Del ejemplo anterior se deriva que (en este caso): "El cociente de potencias de igual base, es igual a una fracción cuyo numerador es uno (1) y cuyo denominador es una potencia de la base común, con un exponente igual a la diferencia del exponente de la potencia en el denominador, menos el exponente de la potencia en el numerador.

Luego de manera general, el cociente de potencias de igual base en (este caso) podemos expresarla de la siguiente manera:

POTENCIA DE UN COCIENTE

Del ejemplo anterior se deriva que:

"La potencia de un cocientes de dos números, es igual al cocientes de las potencias de dichos números"

Revisadas ya las "Leyes de los exponentes" dividirá el estudio de la división de las expresiones algebraicas en los siguientes casos:

• a) División de dos momios.

• b) División de un polinomio entre un monomio.

• c) División de dos polinomios.

Para dividir dos monomios, dividiremos primeros sus coeficientes y después sus partes literales.

B) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios, se siguen los siguientes pasos:

• a) Ordenar tanto dividendo como divisor, en orden creciente ó decreciente de las potencias de una misma variable.

• b) Para obtener el primer término del cociente divídase el primer término del polinomio dividendo por el primer término del polinomio divisor.

• c) Multiplíquese el divisor por el primer término del cociente y réstese el producto del dividendo.

• d) Si hubiere residuo, considerase como nuevo dividendo, y repítase el procedimiento anterior.

• e) La división terminara cuando el residuo sea cero (0), ó cuando el residuo tenga grado menor, que el polinomio divisor.

• f) En caso que el residuo de la división se diferente de cero, el resultado final será igual; al cociente encontrado al efectuar la división, más un fracción cuyo numerador es el residuo, y cuyo denominador es el polinomio divisor.

Bibliografía

• Elaboración de los proyectos de investigación – Monografias_com.mht

• Algebra General universidad de Panamá.

• Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de a matemática en la educación secundaria Arroyo Pedro M.

• Dificultad que confrontan los estudiantes de segundo año de enseñanza media al iniciase al aprendizaje de algebra. Gonzales T. Dalvis Gonzales T. Doraneet.

Autor:

Ángel García Sanjur

PROFESORA:

EDILMA MENDIETA

AÑO III

II SEMESTRE 2010.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS

FACULTAD DE LAS CIENCIAS NATURALES Y EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ASIGNATURA:

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN