x ?1?t?? f1?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t? x ?n?t?? fn?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t? ? las variables internas pueden ser variables externas: p. ej. las salidas son variables internas y externas a la vez. VARIABLES DE ESTADO – versión ecuaciones diferenciales Conjunto de variables internas cuyo valor en un instante t0 es suficiente para calcular cualquier otra variable interna en t ? t0 (conjuntamente con las señales u[t0, t] ). ECUACIONES DE ESTADO: CONCENTRAN LA DINÁMICA. ECUACIONES DE SALIDA : ECUACIONES ESTÁTICAS. MODELO EN EL ESPACIO DE ESTADOS (tiempo continuo)
Ecuación (Vectorial) de Salida: y?t?? g?x?t?,u?t?,t? x(t): Vector de Estado, n-dimensional u(t): Vector de Entrada, m-dimensional y(t):Vector de Salida, p-dimensional ? Por componentes:
x2?t?? f2?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t? . . . . . . y1?t?? g1?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t? y2?t?? g2?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t?
yp?t?? g p?x1?t?,?,xn?t?,u1?t?,?,um?t?,t? ? La notación anterior permite describir modelos alineales ( f y g alineales en x y/o u ) e inestacionarios (la dependencia directa de f y g respecto del tiempo permite representar la presencia de parámetros variables). El modelo estacionario y alineal: x?t?? f?x?t?,u?t?? y?t?? g?x?t?,u?t?? Si las funciones f y g son lineales en x y u el modelo se dice Lineal y se escribe:
y?t?? C?t??x?t?? D?t??u?t? Para el caso inestacionario donde A(t),B(t),C(t),D(t) son matrices reales de dimensiones: A: n x n B: n x m C: p x n D: p x m El modelo es Lineal y Estacionario sii estas matrices son independientes del tiempo .
PROCEDIMIENTO DE MODELADO DEL ESTADO A partir del modelo físico de un sistema dinámico, se utiliza el siguiente método para derivar el modelo de estado: 1. Realizar una descomposición del sistema. Identificar componentes: trazando diagramas de cuerpo libre, mostrar todas las variables, entradas, interacciones, convención de signos, elementos separados dinámicos y estáticos, y escribir las relaciones que rigen el comportamiento de cada elemento. 2. 3. Asignar variables de estado; a los componentes dinámicos como primer intento. Escribir la ecuación de estado para cada variable independiente de estado. Utilizar las relaciones del paso 1 y cualquier otra relación adicional entre variables. Usar el formato para las ecuaciones de estado. 4. Con base en las consideraciones de los objetivos del modelo, escriba las ecuaciones de salida y/o modifique las ecuaciones de estado. Especificar lo que constituye el modelo final del sistema.
II.4. Ejemplos de modelado de sistemas Sistema Internacional de Unidades (Sistema Estándar S.I.)
UNIDADES BASICAS S.I. UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. PREFIJOS QUE SE EMPLEAN EN EL S.I . II.4.1. Sistemas eléctricos. Para elaborar modelos matemáticos y poder analizar la respuesta de los sistemas eléctricos, se dará un repaso de carga, corriente, voltaje, potencia, energía, seguido de una explicación de los tres elementos básicos de los sistemas eléctricos: elementos resistivos, capacitivos e inductivos. INTRODUCCIÓN. La carga es la unidad fundamental de materia responsable de los fenómenos eléctricos. En el sistema métrico la carga se mide en Coulombs (C). Un coulomb es la cantidad de carga
transferida en un segundo por una corriente de un ampere; en unidades métricas, un coulomb es la cantidad de carga que experimenta una fuerza de un newton en un campo eléctrico de un volt por metro. Coulomb = ampere?segundo = newton?metro / volt La carga sobre un electrón es negativa e igual en magnitud a 1.602?10-19C. La carga en movimiento da como resultado una transferencia de energía. La carga eléctrica es la integral de la corriente con respecto al tiempo. t2 t1 Un circuito eléctrico es una interconexión de elementos eléctricos en una trayectoria cerrada. El circuito eléctrico es el conducto que facilita la transferencia de carga desde un punto a otro. La Corriente es la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo. Si una carga de dq coulombs cruza un área dada en dt segundos, entonces la i se expresa como: i?t?? dt En una corriente de un ampere, la carga es transferida a razón de un coulomb por segundo: Ampere = coulomb / segundo El Voltaje (fuerza electromotriz o potencial). Trabajo o energía necesarios para hacer pasar por un elemento una carga de un Coulomb. O bien, es la fuerza electromotriz requerida para producir un flujo de corriente en un alambre, es como la presión que se requiere para producir un flujo de líquido o gas en una tubería. Se expresa como: v?t?? dq Potencia es la razón de entrega o absorción de energía en cierto tiempo. Se expresa por: p?t?? dt Las unidades del SI de energía y potencia son el joule y el watt, respectivamente. ? segundo segundo segundo
? y la corriente es la razón ? dw dq ? dt ? dq dt Energía es la capacidad de realiza un trabajo. La cantidad total de energía que ha entrado a un elemento durante un intervalo de tiempo t0 ? t ? t f es: t f t f t0 t0 Convención de signos pasiva. V(t) se define como el voltaje a través del elemento con la referencia positiva en la misma terminal en que i(t) entra. El producto de v•i, con sus signos correspondientes, determinará la magnitud y signo de la potencia.
? Si p+, la potencia está siendo absorbida por el elemento. ? Si p -, la potencia está siendo entregada por el elemento.
Elementos y circuitos: a) Activos ? Son capaces de generar energía. Ejemplos: baterías, generadores, modelos de transistores, etc.
b) Pasivos ? no generan energía pero son capaces de almacenarla. Ejemplos: resistencias, capacitores e inductores.
FUENTES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES ELEMENTOS BÁSICOS DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Resistencia. La resistividad se define como el cambio de voltaje requerido para producir un cambio unitario en la corriente V A cambioenvoltaje cambioencorriente ? Resistencia R ? Los resistores no almacenan energía eléctrica en forma alguna pero en su lugar la disipan en forma de calor. Adviértase que los resistores reales pueden ser no lineales y pueden también presentar algunos efectos capacitivos e inductivos. El inverso de la resistencia se llama conductancia y su unidad es el siemens. ELEMENTOS DE ALMACENAMIENTO DE ENERGIA Inductancia es la capacidad de la bobina para oponerse a cualquier cambio de la corriente y su unidad de medida es el Henrio (H). El voltaje en la bobina se obtiene: vL?t?? L dt Alrededor de una carga en movimiento o corriente hay una región de influencia que se llama campo magnético. Si el circuito se encuentra en un campo magnético variante con respecto al tiempo, se induce una fuerza electromotriz en el circuito. La relación entre el voltaje inducido y la razón de cambio de la corriente (que significa cambio en corriente por segundo) se define como inductancia o weber ampere V A s ? ? cambio en voltajeinducido cambio en corrienteporsegundo Inductancia ? La bobina o inductor es un elemento de circuito que consiste en un alambre conductor, generalmente en forma de rollo o carrete. A causa de que la mayor parte de los inductores son bobinas de alambre, éstos tienen una considerable resistencia. Las pérdidas de energía debidas a la presencia de la resistencia se indican en el factor de calidad Q, el cual muestra la relación entre la energía almacenada y la disipada. Un valor de Q alto generalmente significa que el inductor posee poca resistencia. Se considera al inductor como un corto circuito para corriente directa. Capacitancia. Es el cambio en la cantidad de carga eléctrica requerido para producir un cambio unitario en el voltaje
C V ? cambio en cantidad de carga eléctrica cambio en voltaje Capacitancia ? Dos conductores separados por un medio no conductor (aislante o dieléctrico) forman un capacitor. De modo que dos placas metálicas separadas por un material eléctrico muy delgado forman un capacitor. La capacitancia es una medida de la cantidad de carga que puede almacenarse para un voltaje dado entre las placas. (Al acercarse las placas entre si la capacitancia se incrementa y se puede almacenar carga adicional para un voltaje dado entre placas). La capacitancia de un capacitor puede darse entonces por q vC Capacitancia ? donde q es la cantidad de carga almacenada y vc es el voltaje a través del capacitor. La unidad de capacitancia es el farad (F), donde ? volt volt dvC?t? dt Por lo que iC?t?? C LEYES BASICAS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS La ley de Ohm establece que el voltaje a través de una resistencia es directamente proporcional a la corriente que fluje a largo de ésta.
1ª. Ley de corriente de Kirchoff (LCK). Establece que la suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es CERO. Es decir, la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. ? I entrada = ? I salida
2ª. Ley de voltajes de Kirchoff (LVK). Establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla es CERO. Es decir, la suma algebraica de las subidas y caídas de tensión en torno a un circuito cerrado es CERO.
El teorema de superposición establece que la respuesta de corriente o voltaje en cualquier punto de un circuito lineal que tenga más de una fuente independiente se puede obtener como la suma de las respuestas causadas por las fuentes independientes que actúan en forma individual.
ELABORACION DE MODELOS MATEMATICOS Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS II.4.2. II.4.3. II.4.4. II.4.5. II.4.6. II.4.7. II.5. Sistemas mecánicos Sistemas electromecánicos Sistemas de niveles de líquidos Sistemas hidráulicos Sistemas neumáticos Sistemas térmicos No linealidades, linealización. CODIGO DE MATLAB 1. EJEMPLO No. 1 Ejer1.m———————————– %MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS %Ejercicio No.1 %————————————– %Se utiliza la ecuacion caracteristica de los sistemas de segundo orden en %un ejemplo y se obtienen sus graficas correspondientes de los casos: %subamortiguado, no amortiguado, sobreamortiguado y criticamente %amortiguado %————————————– close all, clear, clc t=0:0.001:20; %tiempo en (segundos) zi=0.1; %factor de amortiguamiento: 0< z< 1. Caso 2) SUBAMORTIGUADO. %Raices complejas y conjugadas wn=3; %frecuencia natural (rad/seg). Magnitud fasorial th=20; %angulo de fase (grados). Fase de un fasor, leida conforme %a las manecillas del reloj desde 180. for i=1:9, z=zi*i; y(i,:)=1-(exp(-z.*wn*t)/sqrt(1-z^2)).*sin(wn.*sqrt(1-z^2)*t+th); end plot(t,y), title('Caso SUBAMORTIGUADO'); legend('z(0.1)','z(0.2)','z(0.3)','z(0.4)','z(0.5)','z(0.6)','z(0.7)','z(0.8)','z(0.9)'); %————————————– z=0; %factor de amortiguamiento: z=0. Caso 1)NO AMORTIGUADO %Raices imaginarias figure y=1-(exp(-z.*wn*t)/sqrt(1-z^2)).*sin(wn.*sqrt(1-z^2)*t+th); subplot(211) plot(t,y), title('NO AMORTIGUADO, utilizando sol.Subamortiguada'); y=1-cos(wn.*t); subplot(212) plot(t,y), title('NO AMORTIGUADO, utilizando sol.No amortiguada'); %————————————— z=2; %factor de amortiguamiento: z>1. Caso 4) SOBRE AMORTIGUADO
%Raices reales y diferentes figure y=1-(exp(-z.*wn*t)/sqrt(1-z^2)).*sin(wn.*sqrt(1-z^2)*t+th); plot(t,y) % r1=-z*wn+wn*sqrt(z^2-1); % r2=-z*wn-wn*sqrt(z^2-1); % b=1; % figure % y=1-b*((exp(-r2.*t)/r2)-(exp(-r1.*t)/r1)); plot(t,y), title('SOBRE AMORTIGUADO, utilizando sol.Subamortiguada'); %————————————— z=1; %factor de amortiguamiento: z=1. Caso 3) CRITICAMENTE AMORTIGUADO %Raices reales y diferentes figure y=1-(exp(-z.*wn*t).*(1+wn.*t)); %y=1-(exp(-z.*wn*t)/sqrt(1-z^2)).*sin(wn.*sqrt(1-z^2)*t+th); %DIVISION ENTRE CERO plot(t,y), title('CRITICAMENTE AMORTIGUADO'); %————————————— 2. EJEMPLO No. 2 Ejer2.m————————————————————— %MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS %Ejercicio No.2 %————————————– %Se emplean las instrucciones del toolbox de control: tf(funcion de transferencia) y step(respuesta %al escalon), para comparar las respuestas obtenidas en los ejercicios 1 y 2 %————————————– close all, clear, clc zi=0.1; %factor de amortiguamiento: 0< z< 1. Caso 2) SUBAMORTIGUADO. %Raices complejas y conjugadas wn=3; %frecuencia natural (rad/seg). Magnitud fasorial th=20; %angulo de fase (grados). Fase de un fasor, leida conforme %a las manecillas del reloj desde 180. figure hold on for i=1:9, z=zi*i; sys=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2]); step(sys) end hold off legend('z(0.1)','z(0.2)','z(0.3)','z(0.4)','z(0.5)','z(0.6)','z(0.7)','z(0.8)','z(0.9)'); %Se puede observar que ambas respuestas son muy similares 3. EJEMPLO No. 3 flecha.m———————————— %Modelo de la figura 3.2(pagina 83). Utilizado con el archivo fig3-2.m function xdot=flecha(t,x) km=0.12/0.12; bm=0.6/0.12; xdot=zeros(2,1); xdot(1)=x(2); xdot(2)=-bm.*x(2).*abs(x(2)); if x(1)< =0 xdot(2)=xdot(2)-km.*x(1); end
fig3_2.m————————————
close all, clear, clc %Texto para generar la figura 3.2(pagina 83) %Usa el archivo-M de la funcion, flecha.m % t0=0; tf=100; %intervalo de tiempo x0=[-.1 0]'; %condiciones iniciales [t,x]=ode45('flecha',[t0,tf],x0); % subplot(211); %ventana grafica dividida plot(t,x); title('(a) Movimiento en el dominio del tiempo'); ylabel('DESPLAZAMIENTO(m)'); xlabel('TIEMPO(segundos)'); text(17,.04,'VELOCIDAD(m/seg)'); %
subplot(212); plot(x(:,1),x(:,2)); title('(b) Movimiento en el espacio de estados'); axis([-.3 .9 -.3 .3]); %escala directa de los ejes ylabel('VELOCIDAD(m/seg)'); xlabel('DESPLAZAMIENTO (m)'); hold on; plot([-.3 .9],[0 0],'-.'); plot([0 0],[-.3 .3],'-.'); hold off; 4. EJEMPLO No. 4 f_pasivo.m———————————— %Modelo de la figura 3.19(pagina 116). Utilizado con el archivo pag116.m function xdot=f_pasivo(t,x) Ent=1; %Entrada=>Escalon Rs=1; L1=2; C1=3; L2=4; C2=5; Rl=6;
%km=0.12/0.12; bm=0.6/0.12; xdot=zeros(4,1); xdot(1)=(Ent-Rs*x(1)-x(3))/L1; xdot(2)=(x(3)-x(4))/L2; xdot(3)=(x(1)-x(2))/C1; xdot(4)=(x(2)-x(4)/Rl)/C2; pag116.m———————————— close all, clear, clc %Texto para generar la figura 3.19(pagina 116) %Usa el archivo-M de la funcion, f_pasivo.m %MATLAB Version 6.5.0.180913a (R13) %Modelo de un filtro pasivo Butterworth de pasa bajos de 4o. orden.
t0=0; tf=35; %intervalo de tiempo x0=[0 0 0 0]'; %condiciones iniciales [t,x]=ode45('f_pasivo',[t0,tf],x0); % subplot(211); %ventana grafica dividida plot(t,x); title('(a) Dinamica (I y V) en el dominio del tiempo'); legend('x(1)','x(2)','x(3)','x(4)'); ylabel('CORRIENTES Y VOLTAJES'); xlabel('TIEMPO(segundos)'); text(27,.2,'Estados'); %
subplot(212); plot(x(:,1),x(:,2)); title('(b) I1 E I2 en el espacio de estados'); %%axis([-.3 .9 -.3 .3]); %escala directa de los ejes ylabel('CORRIENTE 2(A)'); xlabel('CORRIENTE 1(A)'); hold on; plot([-.3 .9],[0 0],'-.'); plot([0 0],[-.3 .3],'-.'); hold off;
%COMPROBACION %REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADOS Y SU RESPUESTA AL ESCALON Ent=1; Rs=1; L1=2;C1=3;L2=4;C2=5;Rl=6; A=[-Rs/L1 0 -1/L1 0; 0 0 1/L2 -1/L2; 1/C1 -1/C1 0 0; 0 1/C2 0 -1/(C2*Rl)]; B=[1/L1; 0; 0; 0]; C=[0 0 0 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D) figure step(sys); title('Respuesta al escalon vs. salida del modelo x(4)'); hold on; plot(t,x(:,4)) 5. EJEMPLO No. 5 ********** Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas se recurre a su modelado. MODELOS Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la experimentación sobre el mismo. Un modelo es una representación siempre simplificada de la realidad (Sistema Físico existente ), o de un prototipo conceptual (proyecto de Sistema Físico). CLASIFICACIONES ? Modelos Físicos Son representaciones a escala de los sistemas originales. El resultado de los experimentos sobre los modelos se transfiere a los originales en base a la Teoría de Semejanza (Ejs.: túnel de viento para el estudio de fenómenos aerodinámicos; reproducción a escala del lecho de un río para estudios hidrológicos). ? Modelos Abstractos Mentales: imagen (inconsciente) del funcionamiento de un proceso (Ej.: Aún sin saber absolutamente nada de la Física correspondiente, o sin pensar en la misma, la gente permanentemente aplica conceptos de la Mecánica en el manejo del cuerpo, particularmente con mucha destreza los deportistas). Verbales/Textuales: descriptivos de constitución, de comportamiento. (Ejs.: “viento del este, llueve como peste”; “si la bolsa cae, aumenta la tasa de interés”; "instrucciones de operación y/o descripción de funcionamiento de una máquina"). Técnicos: Muy comúnmente dados como planos, gráficos, etc., representan con simbología específica y determinada la constitución de sistemas ingenieriles (Ejs.: "planos de un sistema de acondicionamiento de aire de un edificio"; "planos mecánicos del sistema caldera-turbina de una central de generación de energía eléctrica"; "planos eléctricos de la misma central, con su conexión a la red de transmisión de energía eléctrica"; "plano de un circuito impreso / de un amplificador operacional"). Matemáticos: duros (se expresan con variables a valores numéricos), blandos/difusos (en general se expresan con variables a valores linguísticos).
MODELOS MATEMÁTICOS (MM): Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes caracterizantes del sistema.
Los modelos matemáticos pueden ser: ? ? ? Sistemas de ecuaciones Inecuaciones Expresiones lógico-matemáticas Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales en el sistema, obtenidas a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas. ¨ SEÑAL: Representación de una información a través de (un conjunto de) valores de una magnitud física. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Tiempo Continuo vs Tiempo Discreto Un modelo matemático se dice de tiempo continuo cuando las variables y las relaciones entre ellas están definidas para todo instante de tiempo (en el intervalo de validez o definición del modelo). En cambio para los modelos matemáticos de tiempo discreto las relaciones entre las variables y entre ellas están definidas sólo en determinados instantes discretos de tiempo (modelos matemáticos de Sistemas Muestreados; modelos matemáticos de tiempo continuo discretizados a los efectos de su resolución numérica). Estáticos vs Dinámicos Si existe un vínculo instantáneo entre las variables, el modelo se dice estático (ecuaciones con expresiones algebraicas, trascendentes, o funciones en general). En la sección sobre Causalidad se precisará mejor este concepto. Si el vínculo entre las variables requiere no sólo su valor presente sino también sus valores pasados, el modelo se dice dinámico (ecuaciones diferenciales / en diferencias con el tiempo como variable absoluta -ver más adelante, en la sección sobre Clasificación de las Variables) Determinísticos vs Estocásticos Un modelo es determinístico si expresa matemáticamente sin incertidumbre las relaciones entre las variables. El modelo asigna unívocamente valores y/o funciones ciertas y determinadas a la información que procesa (señales, i.e., otros valores y/o funciones determinadas). Un modelo es estocástico si expresa las relaciones con incertidumbre entre las variables mediante conceptos probabilísticos usando variables aleatorias. Dichas relaciones son descriptas usando variables o procesos estocásticos. Parámetros Distribuidos vs Parámetros Concentrados Las magnitudes que caracterizan a los fenómenos físicos toman valores en el tiempo y en el espacio. Si un modelo matemático conserva la dependencia espacio-temporal en la representación matemática de dichas magnitudes, el modelo se dice de parámetros distribuídos, ya que en general los coeficientes o parámetros del sistema están distribuidos en el espacio (Ejs.: la densidad del fluido compresible en un gasoducto; resistividad, inductividad y capacidad por unidad de longitud en una línea de transmisión). Los modelos dinámicos son, típicamente ecuaciones en derivadas parciales. Se tiene un modelo a parámetros concentrados cuando se reemplaza la dependencia espacial de las variables por su promedio en la región del espacio donde están definidas. El espacio desaparece como variable absoluta del modelo y los parámetros pasan a ser variables extensivas del modelo, se concentran en la región en cuestión. Los modelos dinámicos son, típicamente, ecuaciones diferenciales ordinarias. Paramétricos vs No Paramétricos Los Modelos Matemáticos Paramétricos se caracterizan completamente con un número finito de paramétros (Ejs.: una función transferencia; una ecuación diferencial). Los Modelos Matemáticos No Paramétricos no pueden caracterizarse completamente con un número finito de paramétros (Ejs.: La curva de la respuesta a un escalón de un sistema dinámico; la curva de respuesta en frecuencia de un amplificador). Lineales vs No Lineales En los Modelos Matemáticos Lineales vale el principio de superposición, i.e., causas superpuestas (p. ej., distintas entradas y/o condiciones iniciales) originan la superposición de los correspondientes efectos. En los Modelos Matemáticos No Lineales el principio de superposición no vale.
Estacionarios vs Inestacionarios Un modelo matemático es estacionario si responde al principio de desplazamiento temporal, i. e., toda acción sobre el sistema produce el mismo efecto (la misma respuesta del sistema) independientemente del momento en que comienza a ejercerse, si en ese momento el sistema se encuentra en las mismas condiciones. UTILIZACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Los modelos matemáticos pueden ser utilizados para estudiar propiedades y/o predecir el comportamiento del sistema ante diferentes situaciones. Existen dos grandes grupos de técnicas para tal fin: ¨ Análisis Teórico de los modelos matemáticos : Métodos matemáticos de análisis cualitativo (estabilidad, etc.) y cuantitativo (resolución de ecuaciones, etc.) ¨ Análisis Experimental de los modelos matemáticos: Estudio de propiedades cuantitativas y cualitativas del MM mediante experimentos en equipos de cómputo programables: Simulación o Matemática Experimental. SIMULACION: Digital / Analógica / Híbrida SIMULACION (general): Investigación del comportamiento de un sistema sobre un segundo, reemplazante del primero. La SIMULACIÓN DIGITAL involucra: · Representación Discreta de Variables Continuas · Aproximación de Funciones · Métodos Numéricos · Errores de Cómputo MODELADO O CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS Existen dos grandes grupos de técnicas, conceptualmente diferentes, pero de uso complementario en la práctica ingenieril: · MODELIZACIÓN ANALÍTICA O FÍSICA · MODELIZACIÓN EXPERIMENTAL O IDENTIFICACIÓN MODELIZACIÓN ANALÍTICA O FÍSICA · Primera Etapa: · Definición del problema a resolver, · Determinación de los fenómenos (físicos) relevantes al problema, asignación de las magnitudes físicas que los cuantifican, delimitación del sistema, · Descripción de la interacción, y descomposición en estructura y componentes (usualmente subsistemas). Resultado Etapa 1: esquema funcional / energético de principio, indicativo de la interacción de los subsistemas a través de sus variables vinculantes. · Segunda Etapa: · Descripción formal de las estructuras ? Relaciones Estructurales (RelEsts) · Descripción formal de los componentes ? Relaciones Constitutivas (RelaCs) · Relaciones Constitutivas (RelaCs): Relaciones entre las magnitudes de cada componente de un sistema, exclusivamente determinadas por las propiedades intrínsecas del componente (físicas, geométricas, etc). · Relaciones Estructurales (RelEsts): Relaciones entre las magnitudes (externas) de los componentes de un sistema, determinadas por su disposición en el mismo, i.e., por la estructura del sistema. Resultado Etapa 2: Sistema Físico Idealizado (SFI): Especificación refinada del Resultado Etapa 1 mediante algún tipo de representación usualmente gráfica, con componentes normalizados que tienen a las relaciones constitutivas (RelEsts) y relaciones estructurales (RelaCs) como atributos. · Tercera Etapa: · Manipulación Formal del Sistema Físico Idealizado (formulación de tipos alternativos de modelos, p. ej. diagramas de bloques, funciones transferencias, ecuaciones diferenciales, etc.) · Análisis Cualitativo · Análisis Experimental (Simulación) Resultado Etapa 3: Modelos matemáticos, predicciones sobre comportamiento. · Cuarta Etapa:
· Validación (contraste con datos empíricos, correcciones, simplificaciones) Resultado Etapa 4: Modelo adecuado a los requerimientos del problema original. MODELIZACIÓN EXPERIMENTAL O IDENTIFICACION Es la técnica de la formulación y/o parametrización de modelos a partir de datos de mediciones / experimentales. Una clasificación elemental (Ljung, Lennart & Torkel Glad, "Modeling of Dynamic Systems", Prentice Hall, 1994, Englewood Cliffs, USA.) distingue tres tipos:
1) Análisis cualitativo de transitorios ante excitaciones aperiódicas (típicamente escalones). Experimentos tendientes a orientar la Primera Etapa del Modelado Analítico. Ayudan a establecer las variables importantes, el tipo de interdependencia (estática, dinámica, ninguna), la organización/descomposición en subsistemas, etc.
2) Formulación de modelos paramétricos o no paramétricos. a) Análisis cuantitativo de respuestas al escalón (la técnica más usada en la industria), respuestas al impulso, respuestas en frecuencia. Produce modelos (en general) lineales arbitrarios (sin estructura predeterminada). b) Ajuste de modelos autoregresivos. Parametriza modelos (en general) lineales, pero establecidos previa o independientemente de la identificación. 3) Estimación de parámetros físicos de modelos obtenidos mediante modelado analítico, y/o de parámetros sistémicos resultantes de parámetros físicos. Al igual que en el modelado analítico, es fundamental la Validación del modelo identificado, mediante el contraste de sus predicciones con datos ajenos a los de la identificación !
CLASIFICACIÓN DE VARIABLES INVOLUCRADAS EN LOS SISTEMAS VARIABLES FUNDAMENTALES: ? Espacio, Tiempo ? En el escenario espacio-temporal existen los sistemas, ocurren los procesos y fenómenos, y toman valores las señales. VARIABLES DESCRIPTIVAS: son todas las variables que representan a las magnitudes físicas asociadas al sistema. · PARÁMETROS: Constantes o Variables con ley predeterminada independiente de los procesos que puedan ocurrir en el sistema (Constantes del Sistema, Parámetros de Diseño). · ENTRADAS / VARIABLES INDEPENDIENTES / CAUSAS: Variables Descriptivas cuyas señales son independientes de otras señales en el sistema, y no están prefijadas. Representan acciones externas del ambiente sobre el sistema. ? ? ? ENTRADAS MANIPULADAS PERTURBACIONES. VARIABLES DEPENDIENTES / EFECTOS: Variables descriptivas cuyas señales dependen de otras variables descriptivas del sistema. SALIDAS: Variables dependientes de interés. CAUSALIDAD RELACIÓN CAUSAL: Una señal y(·) depende causalmente de otra señal u(·) si: i) y(·) depende de u(·) ii) y(·) no depende de valores futuros de u(·) RELACIÓN CAUSAL ESTÁTICA: Relación causal en la que para todo instante genérico t , el valor del efecto y(t) depende solamente del valor de la causa u(t), es decir, no hay dependencia de valores pasados de u(·). y(t) = g [ u(t) ] , g [·]: función
RELACIÓN CAUSAL CON MEMORIA O DINÁMICA: Relación causal en la que el valor del efecto y(t) en algún instante genérico t depende de al menos algún valor pasado de la causa u(·). y(t) = g [ u(-?, t] ] , g [·]: funcional SISTEMA DINÁMICO: Sistema en el cual para alguna variable dependiente y(·) y alguna entrada u(·) existe una relación causal con memoria.
****************** 4.1 Modelos Físicos Son representativos de sistemas físicos, su construcción es costosa, consume tiempo y es improductiva. Características estáticas: modelos a escalas (por ejemplo: carros, edificios, etc.) Características dinámicas: ? hidráulicos, de presión, uso de monos y ratas para el estudio de nuevos fármacos, etc. ? de diferentes plantas industriales. En general son difíciles de construir y costosos. 4.2 Modelos mentales Tienen características heurísticas o intuitivas y existen solamente en la mente humana, se encuentran entre ellos los modelos fuzzy y los modelos que son representados para sistemas expertos. 4.3 Modelos simbólicos Son menos difíciles de manipular y construir que los modelos físicos, pueden ser subclasificados en: ? o o o No matemáticos Lingüísticos: Descripciones de eventos en forma verbal o escrita. Gráficos: Dibujos, imágenes, gráficos. Esquemáticos: Diagramas de flujo, diagramas circuitales, cartas de registros. Tienen la desventaja que la información puede ser muy difícil de obtener con precisión. ? Matemáticos Tienen las características que son precisos, no son ambiguos y solamente interpretables, mientras su manipulación y evaluación de las alternativas son relativamente baratas.
4.3.1 Clasificación de los modelos matemáticos Lineales: Son aquellos que pueden ser escritos utilizando estructuras matemáticas lineales, matemáticamente cumplen con el principio de superposición. No lineales: Son estructuras matemáticas que no cumplen con el principio de superposición. Todos los sistemas reales son inherentemente no lineales, pueden tener un mayor o menor grado de alinealidad, esto se puede observar mediante técnicas de linealización alrededor de un punto de operación. Ejemplo 1.2: La ecuación que modela el comportamiento del nivel de un líquido que se almacena en un tanque de sección transversal constante en función del tiempo: )()( )( thKtQ dt t dh Ai -= Parámetros concentrados: Son aquellas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden ser lineales o no lineales y hay una única variable independiente. Parámetros distribuidos: Para sistemas en donde las variables son significativamente dependientes en coordenadas espaciales en cierto momento del tiempo deben utilizarse modelos de parámetros distribuidos descritos por ecuaciones diferenciales parciales. Modelos estacionarios: Son aquellos donde su respuesta es independiente del instante en que se apliquen los disturbios o entradas, son invariables en el tiempo. Modelos no estacionarios: Son modelos variantes en el tiempo como es el caso de los vehículos
donde el combustible representa una parte significativa de la masa total, en este caso las ecuaciones diferenciales tienen coeficientes que varían con el tiempo: )()(2 2 t f Kx dt dx f dt xd tm =++ Ecuación que describe el sistema masa, resorte, amortiguador, donde la masa varia con el tiempo. Modelos de tiempo continuo: Modelos que tienen sus variables dependientes sobre un rango continuo de variables independientes. Modelos de tiempo discreto: Son los que tienen sus variables dependientes definidas solo para algunos valores de sus variables independientes, se describen utilizando ecuaciones de diferencias. Ejemplo 1.3: ) 2 ( ) 1 ( ) ( – + – = i i i t z t z t z , ecuación que representa un modelo discreto, no existe información del modelo entre instantes 2y1– iitt . Modelos determinísticos: Son aquellos en los cuales la probabilidad de eventos no hace parte del modelo, estos pueden ser: Paramétricos: Ecuaciones diferenciales o algebraicas donde los parámetros de las estructuras matemáticas deben determinarse. No paramétricos: Se obtienen directamente de la respuesta del sistema o indirectamente a través de análisis experimental. NOTA: Los modelos paramétricos pueden obtenerse de modelos no paramétricos con la ayuda de técnicas de identificación. Modelos estocásticos: Las relaciones entre las variables se dan en términos de valores estadísticos. Ejemplo 1.4: Los ARMA son modelos estocásticos empleados en el modelamiento de series de tiempo: 1121)2()1()(-++-+-= ttiiitztztzeqeff donde t e es una serie de ruido blanco que representa el componente aleatorio del sistema. BIBLIOGRAFIA BASICA Dinámica de sistemas y control, Eronini Umez-Eronini, México: Thomson Learning, 2001, ISBN 970686041X Dinámica de sistemas, Katsuhiko Ogata, México: Prentice Hall, 1987, ISBN 968-880-074-0 Ingeniería de control moderna, Katsuhiko Ogata, Cuarta edición, México: Prentice Hall, 2003. COMPLEMENTARIA Sistemas de control en ingeniería, Paul H., Clang Yang, España: Prentice Hall, 1999.
ISBN 84-8322-124-1 Sistemas de control automático, Bemjamin C. Kuo, México: Prentice Hall Hispanoamericana, 1996, ISBN 968-880-723-0
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