Sistemas lineales (página 2)

c) Integrador

Un integrador tiene por salida la integral de la función de entrada. El diagrama de Bode de fases es constante en ?90º. Esto es lógico ya que la integral de un seno es un menos coseno, que está retrasado 90º respecto el seno.

(4)

El diagrama de Bode de ganancias es una recta con pendiente ?20 dB/década. La recta pasa por 0 dB en la frecuencia de 1 rad/s.

(fig.3)

d) Derivador

Un derivador tiene por salida la derivada de la función de entrada. El diagrama de Bode de fases es constante en 90º. Esto es lógico ya que la derivada de un seno es un coseno, que está adelantado 90º respecto el seno.

(5)

El diagrama de Bode de ganancias es una recta con pendiente 20 dB/década. Igual que los integradores, la recta pasa por 0 dB en la frecuencia de 1 rad/s.

(fig.4)

e) Polo simple

Un polo simple es un sistema de primer orden con ganancia estática igual a la unidad.

(6)

Las ganancias y fases de la ecuación (6) se van a particularizar para distintos casos. En la ecuación

(7) se observa cómo la ganancia a bajas frecuencias es aproximadamente 0 dB. Para altas frecuencias la ganancia se parece a un integrador, una recta de pendiente ?20 dB/década, que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo.

(7)

En la ecuación (8) se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para altas frecuencias ?90º.

(8)

El diagrama de la (fig.5) corrobora el comportamiento en ganancias y en fases.

(fig.5)

f) Cero simple

En este apartado se estudia el caso inverso del apartado anterior.

(9)

La ganancia a bajas frecuencias también comienzan en 0 dB, ecuación (10). En cambio, para altas frecuencias la ganancia se comporta como un derivador; una recta de pendiente 20 dB/década, que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo.

(10)

En fases, ecuación (11) para bajas frecuencias toma valores próximos a 0º y para altas frecuencias aproximadamente 90º.

(11)

El diagrama de Bode de la (fig.6) muestra el comportamiento en ganancias y en fases.

(fig.6)

g) Polo doble

Un polo doble es un sistema de segundo orden con ganancia estática igual a la unidad.

En la ecuación (8.14) se observa cómo la ganancia para bajas frecuencias es aproximadamente 0 dB y para altas frecuencias es una recta de pendiente ?40 dB/década que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la frecuencia natural.

En la ecuación (8.15) se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para altas frecuencias ?180º.

El diagrama de Bode de la Fig. 8.8 muestra el comportamiento en ganancias y en fases.

(fig.7)

En un rango de frecuencias próximo a la frecuencia natural, el diagrama de Bode se comporta de forma distinta en función del amortiguamiento. En la Figura (12) anterior se observa cómo aparece un máximo en el diagrama de ganancias. Se va a emplear la expresión (13) para determinar la magnitud de dicho máximo y a qué frecuencia se produce. En concreto, se va a derivar la expresión del denominador para buscar un mínimo ?que será un máximo de la ganancia?.

(15)

Si se estudiara el signo de la segunda derivada, se comprobaría cómo la primera solución, para frecuencia nula, se trata de un máximo del denominador y por tanto un mínimo del diagrama de Bode. La otra solución ωr, llamada frecuencia de resonancia, es el máximo del diagrama de Bode que se había observado.

Si se sustituye el valor de la frecuencia de resonancia en la expresión de la ganancia (13), se obtiene la magnitud del máximo, ecuación (16), que se suele denominar pico de resonancia.

(15)

El fenómeno de la resonancia no siempre existe. Sólo se da para un determinado rango de amortiguamientos. En concreto, aquellos amortiguamientos que hacen positivo el discriminante de la raíz cuadrada de la expresión (15).

(17)

En la ecuación (17) aparece el rango de amortiguamientos con pico de resonancia. Se trata siempre de sistemas subamortiguados, aunque no todos los sistemas subamortiguados poseen pico de resonancia. En la (Fig.8) se muestra cómo varía el diagrama de Bode con el amortiguamiento. Cuanto menor es el amortiguamiento mayor es el pico de resonancia y más próximo está a la frecuencia natural. También cuanto menor es el amortiguamiento más brusco es el cambio de fases en torno a la frecuencia natural.

 (fig.8)

En el caso concreto de amortiguamiento igual a uno, es decir, críticamente amortiguado y polo real doble, el diagrama de ganancias pasa por ?6 dB en la frecuencia natural.

h) Cero doble

Un cero doble es exactamente el caso inverso al anterior.

(18)

El desarrollo matemático es análogo al del apartado anterior, por lo que no se va a repetir. En el caso del cero doble también existe el fenómeno de la resonancia, sólo que se manifiesta en forma de mínimo en lugar de un máximo en el diagrama de ganancias.

(fig.9)

i) Polo simple con parte real positiva

Un polo con parte real positiva constituye, en sí mismo, un sistema inestable. Sin embargo, es posible representar matemáticamente su diagrama de Bode.

(9)

(20)

(21)

Su comportamiento en ganancias es igual que un polo con parte real negativa. Esto se debe a que el cambio de signo no afecto al módulo del número complejo. Sin embargo, su comportamiento en fases es igual que un cero simple.

(fig.10)

j) Cero simple con parte real positiva

Un cero con parte real positiva puede darse en un sistema estable, pero su presencia ya se mostró cómo convertía a una planta en un sistema de fase no mínima.

(22)

(23)

(24)

Su comportamiento en ganancias es exactamente igual que un cero con parte real negativa, mientras que su comportamiento en fases es igual que un polo simple.

(fig.11)

2) El Diagrama de Nyquist

• Definición.

El análisis de Nyquist, es un método de la respuesta de frecuencia, es esencialmente un procedimiento gráfico para determinar la estabilidad absoluta y relativa de los sistemas de control a circuito cerrado. La información sobre estabilidad está disponible directamente de un gráfico de la función de anillo abierto GH (U) de la respuesta de frecuencia, una vez que el sistema de la regeneración se haya puesto en forma canónica. Los métodos de Nyquist son aplicables a los sistemas continuos y del tiempo discreto de control, y el desarrollo metodológico para el análisis de Nyquist se presenta aquí para ambos tipos de sistemas, con un cierto énfasis dado a los sistemas continuos, para los propósitos pedagógicos.

Las técnicas de Nyquist son también útiles para obtener la información sobre funciones de la transferencia de componentes o sistemas de datos experimentales de la respuesta de frecuencia. El diagrama polar puede ser representado gráficamente directamente de medidas sinusoidales del estado constante en componer de los componentes función de anillo abierto de la transferencia. Esta característica es muy útil en la determinación de las características de la estabilidad del sistema cuando las funciones de la transferencia de los componentes del lazo no están disponibles en forma analítica, o cuando los sistemas físicos deben ser probados y ser evaluados experimental.

El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el funcionamiento de un sistema de lazo cerrado observando su comportamiento de lazo abierto. El criterio de Nyquist se puede utilizar para los propósitos de diseño independientemente de la estabilidad de lazo abierto (recuerde que los métodos de diseño de Bode asumen que el sistema es estable en lazo abierto). Por lo tanto, utilizaremos este criterio para determinar la estabilidad de lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran la información de un modo quizas confuso. La siguiente le ayudará a visualizar la relación entre el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist es básicamente un diagrama de G(j * w) donde G(s) es la función de lazo abierto de transferencia y W es un vector de frecuencias que incluye el semiplano derecho. En el dibujo se consideran tanto frecuencias positivas como negativas (de cero al infinito) Representaremos frecuencias positivas en rojo y negativas en verde. El vector de frecuencias usado para trazar el diagrama de Nyquist luce generalmente como se muestra (si usted puede imaginar el diagrama estirado hacia el infinito):

Sin embargo, si tenemos polos de lazo abierto o ceros en el eje jw, G(s) no estara definido en esos puntos, y debemos "esquivarlos" cuando estamos trazando el contorno. Tal contorno quedaria como sigue:

En el criterio de Nyquist se emplea un planteamiento distinto al utilizar los conceptos del estado permanente ceno en tal correspondientes a este estudio. Originalmente lo formuló en 1932 Harry Nyquist de los Bell Telephone Laboratories. Es importante observar que su utilidad en la práctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar a través de mediciones senoidales de rutina que es posible efectuar en el laboratorio.

La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Este documento presenta el criterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos matemáticos. Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 1. La función transferencia de lazo cerrado es :

 Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica

1 + G(S)H(S) = 0

estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto G(jω) H(jω) a la cantidad de ceros y polos de 1 + G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es ϊtil en ingeniería de control porque se puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el análisis de estabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analíticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque al diseñar un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresión matemática y solo se dispone de datos de su característica de respuesta de frecuencia.

El criterio de estabilidad de Nyquist esta basado en un teorema de la teoría de las variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los con tornos de transformación en el plano complejo.

Se supone que la función transferencia de lazo abierto G(s) H(s) es representable como una relación de polinomios en s. Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la función transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el limite de G(s) H(s) es cero o una constante para cualquier sistema físicamente construible, al tender s hacia infinito.

Estudio preliminar.

La ecuación característica del sistema es:

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0

Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no pasa por ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s).

La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F(s) por una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues mas adelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.

Sea, por ejemplo, la siguiente función transferencia de lazo abierto:

La ecuación caracteristica es .

= 0

La función F(s) es analítica en cualquier parte del plano s, excepto en sus puntos singulares. Para cada punto de analiticidad en el plano s, corresponde un punto en el plano F(s). Por ejemplo, Si s = 1 + 2j, entoces F(s) es :

Entonces el punto s = 1 + 2j en el plano s se transforma en el punto 1.1 2 ? 5,77j en el plano F(s).

Del análisis precedente, se puede ver que el sentido en el que se rodea el origen en el plano F(s) depende de si el contorno en el plano s incluye un polo o un cero. Se hace notar que la ubicación de un polo o cero en el plano s, sea en la mitad derecha o izquierda del plano s, no produce ninguna diferencia, pero si la produce el rodeo de un polo o un cero. Si el contorno del plano s incluye k ceros y k polos (k = 0, 1, 2, …), es decir igual cantidad de cada uno, la correspondiente curva cerrada en el plano F(s) no encierra el origen del plano F(s). La discusión precedente es una explicación gráfica del teorema de representación, que es la base del criterio de estabilidad de Nyquist.

Aplicación del teorema de la representación al análisis de estabilidad de sistemas de lazo cerrado

Para analizar la estabilidad de sistemas de control lineal, se hace que el contorno cerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho s. El contorno consiste en todo el eje ω desde (ω = – ∞ hasta ω = +∞) , y un paso semicircular de radio infinito en el semiplano s derecho. Este contorno recibe el nombre de recorrido de Nyquist. (El sentido del mismo es horario.) El recorrido de Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s y contiene todos los ceros y polos de 1 + G(s)H(s) con partes reales positivas. (Si no hay ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s, no hay polos de lazo cerrado alli y el sistema es estable.) Es necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquist no pase por ningún polo o cero de 1 + G(s)H(s). Si G(s) tiene un polo o polos en el origen del plano s, se hace indeterminada la representación del punto s = 0. En esos casos se evita el origen efectuando un desvio alrededor de él. (Más adelante se efectúa una discusión detallada sobre este caso especial.) Si se aplica el teorema de la representación al caso especial en que F(s) es igual a 1 + G(s)H(s) se puede afirmar lo siguiente: si el contorno cerrado en el plano s contiene todo el semiplano s derecho, como se muestra en la Fig. 3, la cantidad de ceros en el semiplano derecho de la función F(s) = 1 + G(s)H(s) es igual a la cantidad de polos de la función F(s) = 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s mas la cantidad de rodeos completos horarios al origen del plano 1 + G(s)H(s) de la curva cerrada correspondiente en este último plano. Debido a la condición supuesta de que

lim [1 + G(s)H(s)] =

la función 1 + G(s)H(s) permanece constante mientras s recorre el semicírculo de radio infinito. Debido a esto, se puede determinar si el lugar de 1 + G(s)H(s) Fig. 3.

Contiene o no el origen del plano 1 + G(s)H(s) analizando tan sólo una parte del contorno cerrado del plano s, el eje ωj. Si hay rodeos al origen, se producen únicamente cuando el punto representativo pasa de ?j∞ a +j∞ a lo largo del eje ωj, siempre que no haya ceros ni polos sobre el eje ωj.

Nótese que la porción del contorno de 1 + G(s)H(s) desde (ω = – ∞ hasta ω = +∞), es simplemente 1 + G(ωj)H(ωj). Como 1 + G(ωj)H(ωj) es el vector suma del vector unitario y el vector G(ωj)H(ωj), el tιrmino 1 + G(ωj)H(ωj) es igual al vector que va desde el punto – 1 + 0j hasta el extremo del vector G(ωj)H(ωj). Circunscribir el origen por el grafico 1 + G(ωj)H(ωj) equivale a hacerlo con el punto -1 +0j por el lugar de G(ωj)H(ωj). Entonces se puede estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado analizando los rodeos del punto – 1 + 0j por el lugar de G(ωj))H(ωj). Se puede determinar la cantidad de giros que incluyen el punto – 1 + 0j trazando un vector desde el punto – 1 + 0j hasta el lugar de G(ωj)H(ωj), comenzando en (ω = – ∞, pasando por (ω = 0, y llegando hasta ω = + ∞ mientras se cuenta la cantidad de rotaciones horarias del vector.

El trazado de G(jω)H(jω) para el recorrido de Nyquist es inmediato. La representaciσn del eje negativo jω es la imagen simétrica del eje positivo jω respecto al eje real. Es decir, el diagrama de G(jω)H(jω) y el de G(jω)H(-jω) son simιtricos respecto al eje real. El semicνrculo de radio infinito se transforma en el origen del plano GH o en un punto sobre el eje real del plano GH.

En la exposición precedente, se supuso que G(s)H(s) es la relación entre dos polinomios en s. De modo que ha quedado fuera del análisis el retardo de transporte e-T*s.

Sin embargo, a sistemas con retardo de transporte se les aplica un estudio similar, aunque no se incluye aqui su demostración. Se puede determinar la estabilidad de un sistema con retardo de transporte examinando en las curvas de respuesta de frecuencia la cantidad de veces que se rodea al punto – 1 + j0, Como en el caso de un sistema cuya función transferencia de lazo abierto es una relación entre dos polinomios en s.

3) Diagrama de Black ? Nichols:

• Definición.

Este tipo de representación se basa en el hecho de colocar sobre un mismo plano el módulo y la fase de la función de transferencia a partir de sus dos gráficas separadas. Se usa mucho si los diseños y cálculos se realizan a mano, pero en la actualidad, debido al uso de ordenadores, este tipo de diagrama está perdiendo importancia. Aún así veremos algún ejemplo.

%Ejemplo

num = [-4 48 -18 250 600];

den = [1 30 282 525 60];

H = tf(num,den)

Nichols(H);ngrid

Estabilidad según Nichols:

La traza de magnitud- fase es otra forma de gráfica en el dominio de la frecuencia, que tiene ciertas ventajas de análisis y diseño en el dominio de la frecuencia. La traza de magnitud-fase de una función de transferencia L(jw) se hace en el valor absoluto de |L(jw)| (dB) contra <L(jw) (grados).

El punto crítico es la intersección del eje o dB y el eje -180º.

• El cruce de fase es donde el lugar geométrico intercepta al eje -180º.
• El cruce de ganancia es donde el lugar geométrico intercepta al eje 0 dB.
• El margen de ganancia es la distancia vertical en dB medida del cruce de fase al punto crítico.
• El margen de fase es la distancia horizontal en grados medida del cruce de ganancia al punto crítico.

Otra ventaja de emplear la traza de magnitud ? fase es que para sistemas con realimentación unitaria, los parámetros del sistema en lazo cerrado, tales como Mr, r y BW se pueden determinar de la traza con la ayuda del lugar geométrico de M constante. Estos parámetros de desempeño en lazo cerrado no están representados en las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa de un sistema con realimentación unitaria.

Lugar geométrico de M constante en el plano G(jw)

El pico de resonancia Mr y el ancho de banda BW son difíciles de obtener para sistemas de orden superior, y las trazas de Bode proveen información sobre el sistema en lazo cerrado sólo en la forma de margen de ganancia y margen de fase. Es necesario desarrollar un método gráfico para la determinación de estos parámetros empleando la función de transferencia de la trayectoria directa de G(jw). Como veremos a continuación, el método es en directo aplicable sólo a sistemas con realimentación unitaria, aún cuando con algunas modificaciones también se puede aplicar a sistemas con realimentación no unitaria.

Consideremos que G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa de un sistema con realimentación unitaria. La función de transferencia de lazo es:

Para un estado senoidal permanente hacemos s=jw tenemos:

Así el módulo de M será:

Si consideramos M(jw)=M (por simplificar) tenemos:

y al operar nos queda:

Para un valor dado de M, esta ecuación representa un círculo de centro y radio .

Cuando M toma diferentes valores la ecuación anterior describe en el plano G(jw), una familia de círculos que se llaman lugar geométrico de M constante, o círculos de M constante; éstos son simétricos con respecto a la línea M =1 y al eje real.

Gráficamente, la intersección de la curva G(jw) y el círculo M constante da el valor de M en la frecuencia correspondiente sobre la curva de G(jw). Si se quiere mantenerle valor de Mr menor que cierto valor, la curva G(jw) no debe interceptar al círculo correspondiente de M en cualquier punto, y al mismo tiempo no debe encerrar al punto (-1,j0). El círculo M constante con el menor radio que es tangente a la curva G(jw) da el valor de Mr, y la frecuencia de resonancia se lee del punto tangente sobre la curva G(jw). El BW se encuentra en la intersección de la curva G(jw) y el lugar geométrico M =0.707.

Lugar geométrico de fase constante en el plano G(jw)

El lugar geométrico de fase constante de un sistema en lazo cerrado se puede graficar en el plano G(jw9 a través de un método similar al usado para graficar el lugar geométrico de M constante. En general, la información de fase del sistema en lazo cerrado rara vez se utiliza en el análisis y diseño, ya que la información sobre Mr, , y BW se obtiene de la curva de magnitud.

Los lugares geométricos de fase constante se llaman círculos de N constante y se describen por la ecuación:

La carta de Nichols:

Una de las mayores desventajas al trabajar en coordenadas polares de la traza de Nyquist de G(jw) es que la curva ya no retiene su forma original cuando una modificación simple tal como el cambio de ganancia de lazo se hacen al sistema. Frecuentemente, en situaciones de introducir controladores al sistema. Esto requiere una reconstrucción completa de la traza de Nyquist de la G(jw) modificada. APRA el trabajo de diseño que involucra a Mr y BW como especificaciones, es más conveniente trabajar con la traza de magnitud-fase G(jw), ya que cuando se altera la ganancia de lazo, la curva G(jw) completa se corre hacia arriba o hacia abajo en forma vertical, sin distorsión. Cuando las propiedades de fase de G(jw) se cambian de forma independiente, sin afectar la ganancia, la traza de magnitud-fase se afecta sólo en dirección horizontal.

Por la razón anterior, el lugar geométrico de M constate en las coordenadas polares se transfiere a las coordenadas magnitud-fase, y el lugar geométrico resultante forma una carta de Nichols.

Veamos un ejemplo:

Recordemos que la simulación hay que hacerla con realimentación unitaria.

Probaremos para varios valores de K: K = 7.348, K = 14.5, K = 181.2, K = 273.57.

%Ejemplo

s=tf('s') %defino la función de transferencia de la planta

num=15000000

den=s*(s+400.26)*(s+3008)

Planta=(num/den)

open1=7.348*planta %creo los cuatro sistemas en lazo abierto con los open2=14.5*planta distinta K

open3=181.2*planta

open4=273.57*planta

close1=feedback(open1,1) %creo cuatro sistemas en lazo cerrado close2=feedback(open2,1) mediante los sistemas en lazo abierto definidos close3=feedback(open3,1) antes

close4=feedback(open4,1)

nichols(close1,'b',close2,'r',close3,'g',close4,'y') %pinta los diagramas de Nichols de los cuatro sistemas

Si ahora analizamos su respuesta al escalón:

step(close1,?b?) step(close2,'r')

step(close3,?g?) step(close4,'y')

Se puede observar que tanto el primer sistema como el segundo son estables, el tercero es marginalmente estable (su diagrama de Nichols pasa por el punto (-1,j0)), y el cuarto es inestable.

4) SISTEMA DE FASE MÍNIMA:

• Definición

Hemos visto que un sistema es de fase mínima cuando todos sus polos y ceros están en el semiplano izquierdo, si tiene algún cero en el semiplano derecho se dice que es de fase no mínima y si tiene algún polo en este último semiplano se tratará de un sistema inestable.

Ambos tipos de sistemas tienen la misma característica de amplitud pero no de ángulo de fase,  ya que los sistemas de fase no mínima tienen un atraso grande de fase a altas frecuencias.

Por ejemplo:

Las curvas de ángulo de fase son:

Una forma experimental de determinar si un sistema es de fase mínima o no, es a partir del diagrama de Bode. Así, si un sistema cumple las dos siguientes condiciones, será de fase mínima:

1) La pendiente de la curva del logaritmo de la amplitud cuando w® ¥ es -20(q-p) dB/déc, donde 'q' y 'p' son los grados de los polinomios denominador y numerador de la función de transferencia respectivamente.

2) El ángulo de fase en w® ¥ es -90º(q-p).

Los sistemas con retardo son sistemas de fase no mínima porque tienen un atraso de fase excesivo a altas frecuencias:

El logaritmo de la amplitud del retardo es 0dB, sin embargo el ángulo de fase varía linealmente con la frecuencia como podemos ver en el siguiente gráfico:

Efecto de los ceros.

Pese a que en las secciones anteriores se ha hecho énfasis en el efecto que tiene sobre la respuesta natural la ubicación de los polos en el plano, no debe desconocerse que los ceros también influyen en la respuesta.

Supóngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real:

La respuesta al escalón del sistema definido por (4.10) es :

Es importante resaltar que para ceros en el semiplano derecho (este es el caso en la figura 4.28) la respuesta al escalón presenta en sus inicios valores de signo contrario a los de la respuesta de estado estacionario; este fenómeno, conocido como subpico (en inglés undershoot) puede llegar a ser muy peligroso en algunos sistemas físicos, y constituye una gran dificultad para su control.

Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mínima, o simplemente minifase

La presencia de subpicos ante una entrada escalón es fácil de demostrar para un sistema de segundo orden con polos reales y un cero real, tal como

La respuesta al escalón será:

L

5) Márgenes de ganancia y de fase.

1. márgenes de ganancias de a través de la carta de nichols.

• Compensación del factor de ganancia

Se desea que la máxima ganancia del sistema realimentado dado por la siguiente ecuación, sea de 2db:

En primer lugar se realiza la grafica de magnitud contra fase del sistema:

Fig 4. Representación de magnitud Vs fase

Después de esto esta misma grafica se sobrepone en la Carta de Nichols, de la misma forma como se hizo en el ejemplo anterior:

Fig 5. Superposición sobre la carta de Nichols

A partir de esta superposición se puede apreciar que la máxima amplitud del sistema se da a una frecuencia de 1.1Hz, y cuyo valor es aproximadamente 1db.

Como lo que se desea es que la máxima amplitud del sistema sea de 2db, la grafica de magnitud vs fase de la función de transferencia se desplaza hacia arriba hasta lograr que esta curva sea tangente al contorno M constante de 2db (Ver figura 6).

En la grafica 6 se aprecia el desplazamiento que se le tuvo que hacer a la grafica para lograr su tangencia a la curva M de 2db, la medida de ese desplazamiento fue de aproximadamente 4.5db en dirección positiva. Con este valor se puede encontrar el valor de la ganancia adicional que se debe sumar al sistema original para que su respuesta cumpla con las especificaciones del circuito.

Fig 6. Desplazamiento para la compensación de ganancia

Para determinar el valor de la ganancia del sistema compensado se toma la siguiente ecuación:

Donde Ki es el factor de ganancia del sistema original, Kb es el nuevo factor de ganancia que se desea hallar y  es el desplazamiento (en db) que tuvo la grafica magnitud contra fase. Para los valores del ejercicio, ki=2.04 y  =4.5db. Despejando kb para los valores dados se tiene que el nuevo factor de ganancia es de 3.43

Entonces la función de transferencia del sistema ya compensado es:

De la grafica 6 se puede sacar la grafica magnitud contra fase del nuevo sistema realimentado:

Fig 7. Respuesta del circuito.Compensado y sin compensar

En el anterior grafico se puede observar el cambio de la respuesta en frecuencia del sistema compensado y del original, viéndose claramente que el sistema compensado cumple con una ganancia máxima de 2db. Sin embargo también se observa que la frecuencia de resonancia también cambia con la compensación de ganancia.

La respuesta en frecuencia de lazo cerrado con la ganancia ajustada, puede tener una frecuencia de resonancia muy diferente a la que se tenia con el sistema original (como se observa en la grafica anterior), y esto puede que no cumpla con las especificaciones que se quieren para el sistema. El siguiente paso en el diseño del sistema es el de compensar el sistema para mejorar la respuesta espectral.

• Márgenes de fase y de ganancias en bode y nyquist

El diagrama de Nyquist, además de permitir determinar si un sistema es estable o inestable, nos puede indicar el grado de estabilidad de un sistema, que es lo que se conoce como estabilidad relativa.

Si, por ejemplo, tenemos un sistema con la siguiente función de transferencia de lazo abierto:

Al aumentar la ganancia k, el diagrama de Nyquist se va abriendo, es decir, se aproxima al punto crítico -1+j0:

– Para k = k1: el sistema es estable.

– Para k = k2: el sistema es estable pero más cercano al punto crítico.

– Para k = kcrítica: el sistema se convierte en oscilante ya que tendremos un polo en el eje jw.

– Para k > kcrítica: el sistema es inestable y rodea al punto -1+j0.

El grado de estabilidad relativa de un sistema se define con dos conceptos denominados margen de ganancia y margen de fase, que a continuación vemos:

a) Margen de ganancia

El margen de ganancia (Mg) es el inverso de |G(jw)| a la frecuencia de cruce o de transición de fase(w1), que es a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es -180º. Si la realimentación es unitaria (H(jw)=1), podemos expresarlo como:

Un margen de ganancia positivo (en decibelios) significa que el sistema es estable; y si es negativo (en dB), será inestable. Si es nulo (en dB), el sistema es críticamente estable, es decir, tiende a la inestabilidad.

Para un sistema de fase mínima estable, el margen de ganancia indica en cuánto se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema se haga inestable.

Para un sistema de fase mínima inestable, el margen de ganancia nos dice en qué cantidad hay que reducir la ganancia para hacer al sistema estable.

 b) Margen de fase

Es la cantidad de retardo de fase adicional necesaria para que el sistema quede al borde de la inestabilidad a la frecuencia de corte o de transición de ganancia, que es aquella frecuencia para la cual |G(jw)| es la unidad. El margen de fase Mf es 180º más el ángulo de fase  de la función de transferencia de lazo abierto a la frecuencia de cruce de ganancia:

En el diagrama de Nyquist, se puede trazar una recta desde el origen al punto de cruce de la curva de Nyquist con el círculo de radio unidad. El ángulo desde el eje real negativo a esta recta es el margen de fase.

Para que un sistema de fase mínima sea estable, el margen de fase debe ser positivo; si es negativo, el sistema será inestable.

Para el caso de los sistemas de fase no mínima, se cumple que serán estables si los márgenes de ganancia y fase son negativos.

 c) Margen de ganancia y de fase en el diagrama de Bode

En el diagrama de Bode, el margen de ganancia se entiende como el número de decibelios que se puede aumentar la ganancia del sistema hasta hacer que la curva de amplitud corte al eje de frecuencias, a la frecuencia en el que el ángulo de fase es -180º.

El margen de fase es el número de grados que le faltan a la curva del ángulo de fase para cortar a la horizontal de desfase -180º cuando la curva de amplitudes corta al eje de frecuencias (0 dB).

En la práctica, para que un sistema de control tenga un funcionamiento adecuado, el margen de ganancia debe ser superior a 6dB y el margen de fase estar entre +30º y +60º. Con estos márgenes, queda garantizada la estabilidad del sistema a pesar de que las constantes de tiempo de los componentes varíen dentro de ciertos límites.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Ejercicio del diagrama de bode

• Considere el sistema que se muestra en el que una señal de entrada x(t) es procesada por un sistema con función de transferencia G(s) para obtener y(t) que luego es amplificada por una ganancia K para obtener z(t).

La función de transferencia del sistema es:

y

2. Dibuje el Diagrama de Bode de Magnitud y determine el ancho de banda y el punto de cruce de la ganancia
3. ¿Qué sucede con el ancho de banda y el punto de cruce si la ganancia se aumenta en 10 y se disminuye en 10?
4. ¿En qué caso es sistema es más rápido?

1.-La función de transferencia puede ser reescrita como:

Por lo que en el diagrama de Magnitud de Bode vamos a tener cambios de pendiente en w=1 y w=10.

Quedandonos el siguiente diagrama:

-Para hallar el punto de cruce igualamos la ecuación de la recta de pendiente -20 a "0".

Ec. de la recta:

20log(5)-20log(w)=0, la solución a esta ecuación es w=5.

-Para hallar el ancho de banda igualamos la ecuación de la recta dependiente -20 a 20log(5)-3

20log(5)-20log(w)=20log(5)-3, por lo tanto 20log(w)=3, y esta igualdad se cumple para w=1.413 que corresponde al ancho de banda.

Consideramos para el primer caso una ganancia 10, entonces la funcion de transferencia quedaría:

El diagrama de Bode es muy parecido al de la parte A, con la diferencia de que este último empieza en 33.98 dB. El ancho de banda es EL MISMO. Esto se debe a que la caida de 3 dB con relacion a la ganancia en o se da en el mismo punto w=1.41 . Para el punto de corte, en éste caso debemos usar la ecuación de la recta de pendiente 13.98-60log(w/10)=0, w=16.98

Para el segundo caso, tomamos la ganancia reducida en 10 veces:

De nuevo el diagrama es muy parecido, pero en esta ocasión comienza en el semiplano inferior, específicamente en -6dB. La frecuencia de ancho de banda es la misma(w=1.41). Este diagrama no corta con el punto de ganancia 0, ya que esta es siempre negativa.

Al comparar los diagramas de fase se observa que el más rápido es el de la ganancia aumentada en 10, ya que para frecuencias mas altas todavía tiene una ganancia considerable cuando los otros ya la han bajado en gran proporción.

2) Ejercicio del diagrama de nyguist.

Considere el sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

Determine la estabilidad del sistema y el diagrama de nyguist para dos casos:

(1) la ganancia K es pequeña, y

(2) K es grande.

Las trazas de Nyquist de la función de transferencia en lazo abierto para un valor pequeño de K y un valor grande de K aparecen en la figura que tenemos mas adelante. El número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s es cero. Por tanto, para que este sistema sea estable, es necesario que

N = Z = 0 o que el lugar geométrico G(s)H(s) no encierre el punto -1 + jo.

3) Ejercicio del diagrama de nichols

Con las reglas de Nichols, determinar y para el sistema de control demostrado en el siguiente figura:

Para este problema, el cómputo será hecho sin trazar el diagrama de bode; sin embargo, el lector puede desear hacer el problema con tal diagrama. Primero obtenemos la frecuencia de cruce aplicando el criterio de la estabilidad de bode:

Los radianes del valor 57.3 los convertiremos a los grados. Solucionar esta ecuación por ensayo y error da para la frecuencia de cruce, wco = 2 rad/Min. El cociente de la amplitud (AR) en la frecuencia de cruce para el lazo abierto puede ser escrito

Donde hemos utilizado Eq.

Para el sistema de primer orden y el hecho de que el cociente de la amplitud para un retraso del transporte es 1. Según el criterio de bode, el AR es 1.0 en la frecuencia de cruce cuando el sistema está en el borde de la inestabilidad. Insertando AR = 1 en la ecuación antedicha y solucionando para K, da K, = 2.24. De las reglas de Nichols de la tabla 17.1:

Obtenemos:

Y

4) Ejercicio de sistemas de fase mínima

Supóngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real:

La respuesta al escalón del sistema definido por (4.10) es :

La figura 4.28 muestra la gráfica de (4.11), para tres valores distintos de es decir, lo que se está modificando es la posición del cero de la función de transferencia. Alli puede verse que la ubicación del cero afecta directamente la forma de la respuesta.

Más importante aún es resaltar que para ceros en el semiplano derecho (este es el caso en la figura 4.28) la respuesta al escalón presenta en sus inicios valores de signo contrario a los de la respuesta de estado estacionario; este fenómeno, conocido como subpico (en inglés undershoot) puede llegar a ser muy peligroso en algunos sistemas físicos, y constituye una gran dificultad para su control.

Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mínima, o simplemente minifase.

La presencia de subpicos ante una entrada escalón es fácil de demostrar para un sistema de segundo orden con polos reales y un cero real, tal como

La respuesta al escalón será:

CONCLUSIÓN

Este trabajo se realizo con la finalidad de ampliar conocimientos acerca de los diagramas desarrollados anterior mente, por ejemplo el de Bode se uso con éxito en la segunda guerra mundial y contribuyo al rápido desarrollos de servomecanismos para dispositivos electrónicos de control de disparo, como seguimiento se toco varios puntos de interés tales como: ganancias del sistema, retraso en el tiempo, integrador, derivador. También se trato el diagrama de Nyquist. Este criterio que tiene el mismo objetivo que el de Routh-Hurwitz pero con la diferencia de que se emplea un planteamiento distinto al utilizar los conceptos del estado permanente ceno en tal correspondientes a este estudio.

También nos referimos al diagrama de Nichols que este mejoro el teorema de Nyquist y Bode. Este presenta la ventaja de mostrar en una sola grafica la fase y la magnitud de la función que se analiza.

Como se puede observar tocamos en amplia margen los lineamientos y objetivos que se trazaron para su invastigacion , esperamos que sea explicito y de total comprensión así como también se halla cubierto todas las expectativas expuestas.

Bibliografía

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Integrante:

Tiapa Jonatan

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL ESPERIMENTEL DE LA FAN

NUCLEO-ZULIA

Maracaibo, abril del 2007