Análisis de las estrategias significativas, que ponen en práctica los alumnos en la etapa de ejecutar el plan (página 2)

De aquí se desprende que algunas investigaciones hechas sobre la resolución de problemas, giren en torno a: la dificultad de los problemas, identificar buenos y malos resolutores de problemas, la instrucción en la resolución de problemas y más recientemente la metacognición al resolver problemas.

Otro aspecto del que se han hecho estudios, son los tipos de problemas, se debe admitir que no existe un consenso claro en su clasificación por las diferentes postura que lo abordan, pero aquí consideraremos la siguiente: "… tipos de actividades en relación con la resolución de problemas en la enseñanza de las Matemáticas: 1) Ejercicios de reconocimiento; 2) Ejercicios algorítmicos o de repetición; 3) Problemas de traducción simple o compleja; 4) Problemas de procesos; 5) Problemas sobre situaciones reales; 6) Problemas de investigación matemática; 7) Problemas de puzles; 8) Historias matemáticas".(Blanco,1993).

En esta revisión de la literatura se puede deducir que la estrategia de resolver problemas matemáticos parte de mostrar las bondades de la estrategia en sí, pero no se dice nada del proceso que el sujeto experimenta al resolver problemas, la manera de cómo estructura su pensamiento para responder a situaciones problemáticas, de qué recursos cognitivos se vale para ello y por que los usa, y sobre todo, que sucede con la construcción de conceptos matemáticos, basados en sus propias concepciones o conocimientos previos.

De ahí que la tarea principal de este trabajo sea encontrar los procesos lógicos que los alumnos utilizan el resolver problemas de proporcionalidad. El apoyo teórico directo será de Piaget y la construcción del pensamiento lógico matemático. "El conocimiento lógico-matemático es el que no existe per se en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos." (Hernández, 1997).

Las acciones que los alumnos plasmen en sus estrategias para resolver los problemas de matemáticas mostraran características que permitan analizar la lógica que siguieron. El desarrollo de las diferentes actividades que realicen los alumnos mostrará los razonamientos de que se valen para buscar soluciones.

Se partirá de considerar al aprendizaje como una adaptación del individuo con sus respectivas invariantes de asimilación y acomodación, así como sus equilibraciones sucesivas, al estilo de Piaget, para interpretar las acciones que realicen los sujetos al interactuar con el objeto de conocimiento que en este caso será mediado por la resolución de problemas y los objetos de conocimiento a mostrar serán los conceptos matemáticos.

Para esto, debemos considerar la definición que Arturo Rodríguez proporciona "Los conceptos matemáticos constituyen un tipo especial dentro de los conceptos formales: Son generalizaciones de las relaciones entre cierta clase de "datos", haciendo abstracción total de los objetos y fenómenos particulares en que se presentan."(Rodriguez,1997)

De esta manera analizando los datos que presenten los alumnos en sus estrategias buscaremos categorizar el conocimiento de los conceptos matemáticos. Dichos conocimientos deberán considerarse en un contexto dinámico y procesual determinado por los diferentes sentidos que se le puedan asignar.

Con ello explorar la relación que se establece entre el desarrollo del pensamiento lógico del alumno y el aprendizaje de contenidos de matemáticas, que hasta el momento no se ha considerado en una forma importante.

Para buscar la manera de evitar que los aprendizajes de los alumnos solo respondan a las necesidades administrativas de la escuela y procurar que los conocimientos sean transferidos a situaciones diferentes. En otras palabras lo que aprende en la escuela lo puedan aplicar fuera de ella.

La información teórica en cuanto a la génesis del conocimiento es amplia y muy específica, sin embargo en el aula no se ha traducido en acciones que busquen, por medio del aprendizaje de las matemáticas desarrollar el pensamiento de las personas y no llenarlos de conocimientos que en muy poco le servirán por ser arbitrarios y memorísticos.

El punto de partida será el planteamiento de preguntas que den dirección a la investigación, tales como:

• 1. ¿Es posible identificar un proceso lógico en el alumno o el nivel operatorio que utiliza al resolver un problema de matemáticas?

• 2. ¿Existe una relación entre las estructuras cognitivas del pensamiento de los alumnos y los contenidos de matemáticas?

• 3. ¿Los conceptos, relaciones y procesos matemáticos pueden ser aprendidos significativamente por los alumnos?

• 4. ¿Las propiedades matemáticas tienen relación con la formación de estructuras mentales de los alumnos?

La resolución de problemas matemáticos ha sido planteada por los teóricos de diferentes perspectivas. Polya propone cuatro pasos: comprender el problema, concebir un plan, ejecución del plan y el examen de lo realizado.

Esto muestra un enfoque instruccional que requiere ser puesto en práctica, aunque no necesariamente en el orden establecido para que la estrategia mejore los aprendizajes de los alumnos en el área de matemáticas.

En los trabajos de Schoenfeld se destacan cuatro aspectos que intervienen en la solución de problemas los recursos (entendidos como conocimientos previos, o bien, el dominio del conocimiento), las heurísticas (estrategias cognitivas), el control (estrategias metacognitivas) y el sistema de creencias. (Schoenfeld,1985).

Aunque se marcan algunas diferencias en ambas postura con respecto a la estrategia de resolución de problemas, coinciden en dar mayor énfasis al recurso didáctico para lograr los aprendizajes de los contenidos de matemática.

Pero no mencionan qué sucede cuando un alumno entiende de manera diferente los problemas y esto le ocasiona llegar a resultados erróneos, en este sentido hay una aproximación en uno de los aspectos de Scheonfeld cuando se refiere a la metacognición y Polya al último de los pasos la revisión de lo realizado.

Sin embargo no hay claridad en la relación de esta estrategia didáctica y los aprendizajes que realizan los alumnos que afecten sustancialmente sus estructuras mentales.

Por otro lado, el uso de la resolución de problemas se utiliza para comprobar el eficiente uso de algoritmos previamente aprendidos, donde el planteamiento de la estrategia solo sirve como medio para comprobar si algunos algoritmos han sido correctamente memorizados.

Pero la postura que nos ocupa está encaminada a la parte cognitiva de los alumnos, a la manera de cómo se mueven sus estructuras mentales en los aprendizajes; cómo organizan sus pensamientos para resolver una situación problémica en matemáticas y cómo muestran sus estrategias para buscar resultados.

Para establecer un vínculo entre la resolución de problemas matemáticos como estrategia didáctica y la postura psicogenética de Jean Piaget, nos apoyaremos en los aportes de Gerard Vergnaud :

"…el funcionamiento cognitivo de un sujeto o de un grupo de sujetos en situación reposa sobre el repertorio de esquemas disponibles, anteriormente formados, de cada uno de los sujetos considerados individualmente. Al mismo tiempo los niños descubren nuevos aspectos, y eventualmente nuevos esquemas, en situación. Como las conductas en situación se basan en el repertorio inicial de los esquemas disponibles, no se puede teorizar válidamente sobre el funcionamiento cognitivo sin tener en cuenta el desarrollo cognitivo." (Vergnaud, 1981)

Desde esta perspectiva, la resolución de problemas en matemáticas, aparte de promover aprendizajes específicos, indaga sobre el desarrollo genético de los alumnos para partir de sus conocimientos previos y promover conocimientos basados en estructuras más complejas y desarrolladas de los sujetos que aprenden.

Los conocimientos previos no son los que el alumno memorizó de clases anteriores, sino los que verdaderamente responde a su particular forma de entender el contexto que le rodea, los que surgen de adaptaciones anteriores producto de la asimilación y la acomodación propuesta por Piaget

Esas adaptaciones forman sus esquemas mentales, desde este punto de vista la resolución de problemas en matemáticas debe considerar estructurar las actividades didácticas que permitan desequilibrios y equilibraciones sucesivas en los alumnos. "El esquema, la totalidad dinámica organizadora de la acción del sujeto para una clase de situaciones específicas…"(Vergnaud, 1981).

Por ello el planteamiento de problemas matemáticos deben ser abordados para que los alumnos aprendan matemáticas y para que construyan sus propios conocimientos vinculando nueva información con la que ya han estructurado previamente. "En la resolución de problemas aritméticos llamados elementales, los niños encuentran numerosas dificultades conceptuales. En términos de esquemas es como se debe analizar la elección de buenas operaciones y buenos datos para resolver un problema en el cual existen varias posibilidades de elección".(Vergnaud, 1981)

Esta unidad organizadora que utiliza el sujeto que aprende, es lo que mantiene nuestra atención; cómo se enfrenta el alumno ante un problema de matemáticas, qué tipo de estrategias o herramientas cognoscitivas utiliza, para determinar con qué esquemas observa un problema y entender por qué actúa con esa lógica, que puede llegar a resultados verdaderos o no.

"Esta unidad de organización en el sujeto cognoscente Piaget la ha denominado esquemas. Estos son precisamente los ladrillos de toda la construcción del sistema intelectual o cognitivo, regulan las interacciones del sujeto con la realidad y a su vez sirven como marcos asimiladores mediante los cuales la nueva información (producto de las interacciones S-O) es incorporada." (Hernández, 1997)

Con todo esto se busca utilizar la estrategia de resolución de problemas para el aprendizaje de los contenidos matemáticos, y conocer el proceso lógico del alumno para plantear situaciones que promuevan su desarrollo cognitivo asimilando y acomodando información conceptual de la disciplina a sus saberes.

Así aprenderá los contenidos y además desarrollará su pensamiento lógico. Es preciso mencionar que el trabajo de investigación apenas comienza, y que se requiere de mayor información para apoyar estas ideas en el terreno teórico y también su contrastación de la realidad práctica.

Conclusión

Es importante considerar los procesos de razonamiento de los alumnos, además de conocer las características del objeto de conocimiento para que en el transcurso diario de la clase, el proceso enseñanza aprendizaje resulte una verdadera experiencia de aprendizaje que oriente con nuevos conocimientos a los sujetos que aprenden, pero que a la vez, encuentren la oportunidad de desarrollar su pensamiento para que sea cada vez más crítico, reflexivo y busque la participación para transformar su entorno y continuar transformándose así mismo, bajo principios claros de armonía con el contexto que le rodea.

Por ello es imprescindible conocer cómo razona el alumno para partir de su postura y provocar razonamientos más profundos, que le permitan construir de manera sólida y duradera sus conocimientos

Indagar sobre la naturalidad del aprendizaje obliga a reorientar la enseñanza que busque propiciar el desarrollo libre de las personas y no la obediencia ciega al conocimiento que se muestra por la arbitrariedad con que se enseña y aprende dentro de las aulas.

Aprendizajes que poco o nada sirven al individuo para su desarrollo porque solo cumplen con propósitos muy limitados y en la mayoría de los casos, dentro de la escuela, fuera de ella, ya no tienen utilidad real.

Bibliografía

AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN .Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México (1983)

Blanco, L.J. (1993). Una clasificación de problemas matemáticos. Épsilon n. 25.Sevilla. 49-60.

Castorina, José A. Las epistemologías constructivistas ante el desafío de los saberes disciplinares. UBA – CONICET. (1998)

Hernández, Rojas Gerardo. Módulo Fundamentos del Desarrollo de la Tecnología Educativa (Bases Psicopedagógicas). Coordinador: Frida Díaz Barriga Arceo. México: Editado por ILCE- OEA 1997.

Piaget Jean, La epistemología genética, A. Redondo, Barcelona 1970

Pólya, G. (1954). Mathematics and plausible reasoning (Volume 1, Induction and analogy in mathematics; Volume 2, Patterns of plausible inference). Princeton: Princeton University Press.

Rodríguez, A. Concreción presentada en el Congreso de Córdoba Diciembre-97

Schoenfeld, A. (1985a). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.

Vergnaud, G. (1993). Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro.

p. 1-26.

Vergnaud, G. (1996c). Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.

Autor:

Jorge Romero Balanzar[1]

[1] Estudiante de la Maestría en Ciencias de la Educación con especialidad en desarrollo de habilidades intelectuales. Centro de Estudios de Postgrado “Lev S. Vigotsky”, Sede Cópala; Guerrero