Para Aristóteles, la belleza era simetría. Los sólidos platónicos estaban estrechamente vinculados a los cuatro elementos y al cosmos. Para los antiguos griegos, en la naturaleza y en las obras de arte estaba presente la proporción áurea o divina proporción, cuyo valor es 1.618, obtenida a través de relaciones geométricas entre el pentágono y el hexágono. Los griegos consideraban que el rectángulo cuyas bases tuvieran esta proporción poseían una belleza intrínseca. Se han hecho estudios recientes donde se afirma haber encontrado esta relación en la música, la pintura, la escultura, la poesía y la arquitectura. En el brahmanismo y el budismo, la belleza y la simetría se ponen de manifiesto en el simbolismo de los mandalas, figuras geométricas que representan las fuerzas que regulan el universo y sirven de soporte para la meditación, al igual que el Yin y el Yang en el taoísmo. En la naturaleza observamos numerosos ejemplos de objetos con formas geométricas hermosas, las cuales pueden ser representadas por medio de fórmulas matemáticas.
Así como un jugador de ajedrez aprecia la belleza de una excelente combinación de jugadas o un aficionado al futbol disfruta de un hermoso gol, así también un matemático goza con la demostración de un teorema o la forma de resolver un problema. Las matemáticas poseen también una elegancia, la cual se manifiestan no sólo en las relaciones abstractas, sino en la comprensión de las leyes naturales. Minkowsky, por ejemplo, expuso matemáticamente de manera elegante, la fusión del espacio y el tiempo en la teoría de la relatividad restringida, en un solo concepto, el espaciotiempo, al introducir la unidad imaginaria , como una cuarta coordenada temporal en un continum espaciotemporal de cuatro dimensiones. El enigmático
, fue un verdadero dolor de cabeza para los matemáticos. Hubo que esperar hasta Gauss, uno de los más notables matemáticos de todos los tiempos, para darle una formulación matemática dentro de los números complejos, de importancia fundamental en el análisis matemático. La unidad imaginaria tiene aplicaciones no sólo en la teoría de la relatividad, sino también en hidrodinámica y aerodinámica, y aparece en las ecuaciones de onda de Schödinger y Dirac en la mecánica cuántica.
Existe un profundo vínculo entre las matemáticas y las leyes naturales, y el sentido de la estética subyacente en ellas es captado por la mente humana. Muchas de las relaciones de carácter abstracto están presentes en la naturaleza. Tal es el caso del número e, la base de los logaritmos neperianos, cuyo valor es aproximadamente 2.7182.
Se trata, al igual que el número π, que es el cociente entre la circunferencia y su diámetro y cuyo valor aproximado es 3.1416, de un número trascendente, es decir, no puede ser expresado como la división de dos números enteros ni como una raíz. Aparece en diferentes procesos físicos y químicos, en estadística y crecimiento poblacional, y una gran variedad de leyes naturales, sin mencionar el análisis matemático donde juega un rol muy importante. La curva de probabilidades de Gauss, la distribución de Poisson, la fórmula de emisión espectral de radiación del cuerpo negro de Planck, la geometría no euclidiana de Lobachevsky, las funciones elípticas e hiperbólicas, son sólo algunos ejemplos en los que interviene el importante número e.
Si graficamos en un eje de coordenadas cartesiano la función exponencial e, donde x es una variable, obtendremos una curva ascendente. Esta curva posee una propiedad muy especial: si en cada punto de ella trazamos una tangente y graficamos sus valores correspondientes, obtendremos una curva exactamente igual a la original, es decir, la misma función e. Esto le confiere una singularidad y belleza intrínsecas, que se ponen de manifiesto en diversas relaciones matemáticas y leyes naturales. Existen otras funciones notables de gran belleza, como la función sinosoidal sen x, donde x es el ángulo expresado en radianes. Esta función describe el comportamiento ondulatorio de un amplio abanico de procesos físicos y probablemente estemos más familiarizados con ellas.
Al igual que la función exponencial, posee una propiedad singular: si graficamos los valores de la tangente en cada punto de la función, obtendremos la función cosinusoidal cos x, que es precisamente la función sen x desplazada 90º o π / 2 hacia la izquierda. Si repetimos la operación cuatro veces, volvemos a la función original sen x. Lo mismo ocurrirá con la función cos x. Si comparamos las gráficas de la función exponencial con la de las funciones sinusoidales o cosinusoidales no encontraremos ninguna relación aparente o similitud. No obstante, existe una estrecha relación entre estas funciones, descubierta por Euler, en la que interviene la unidad imaginaria i, y cuya expresión es . Si reemplazamos el valor de x por π, obtendremos
. Notable igualdad, que relaciona la base de los logaritmos neperianos, la unidad imaginaria, el número π, la unidad negativa y el cero, sin duda, una de las fórmulas más bellas creadas por el intelecto humano.
El concepto de simetría, como mencionamos anteriormente, representa un elemento esencial para el desarrollo de la ciencia contemporánea. Hemos mencionado algunos ejemplos, siendo el de la teoría de la relatividad uno de los más emblemáticos. Si bien esta teoría ha salido airosa de todas las pruebas experimentales a las que ha sido sometida, no tuvo inicialmente la aceptación de algunos eminentes científicos de la época. Michelson, el primer norteamericano en recibir el Premio Nobel por su famoso experimento que comprobó la constancia de la velocidad de la luz, no estuvo de acuerdo con la interpretación de Einstein con relación a su experimento. Otro tanto ocurrió con Mach, cuya explicación sobre el origen de la inercia en las lejanas galaxias, enunciado en un principio que lleva su nombre, fue incorporada con entusiasmo por Einstein en su teoría general de la relatividad. Mach tampoco aceptó la teoría de la relatividad.
No obstante, a pesar de sus logros y la belleza de sus ecuaciones, la relatividad general nos conduce en su extremo límite, cuando la densidad de la masa es infinita, a una singularidad espaciotemporal, un agujero negro donde la fuerza de gravedad y la energía potencial gravitatoria se hacen infinitas. Cuando en física aparecen cantidades infinitas en las ecuaciones, se considera que hay una falla en la teoría. Hawking y Penrose realizaron notables avances teóricos en su estudio de los agujeros negros, combinando la mecánica cuántica con la relatividad general. Sin embargo, algunos físicos consideran que la presencia de infinitos representa un serio obstáculo en la teoría, llegando incluso a proponer el abandono del modelo einsteniano. El problema es que, a diferencia de la electrodinámica cuántica, la relatividad general no es una teoría renormalizable. El concepto de renormalización lo abordaremos más adelante.
En un intento por superar el problema del infinito, elaboramos un modelo alternativo de la gravedad. Basados en el principio de equivalencia entre las masas inercial y gravitatoria, enunciado por Einstein y comprobado experimentalmente, proponemos que la gravedad tiene su origen en la fuerza expansiva del universo o energía oscura, que constituye aproximadamente el 70% del universo observable. No se trataría de fuerzas opuestas, como en el modelo einsteniano, sino de una misma fuerza. Al expandirse el universo, las masas producen una deformación en la estructura espaciotemporal. Nuestras ecuaciones determinan con exactitud la naturaleza de esta deformación, en una estructura espaciotemporal con propiedades elásticas. Para cuerpos gravitantes que se encuentran a distancias relativamente grandes, como los satélites y planetas del sistema solar, las ecuaciones conducen a la fórmula de Newton de la gravitación universal. No obstante, para masas de extrema densidad o densidad infinita, las ecuaciones determinan un valor finito para la fuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con la energía gravitatoria, que tiende a un valor finito en una función gamma que depende de la masa M del cuerpo, la constante de gravitación universal G, la base de los logaritmos neperianos e y el número π. Cabe mencionar que, cuando elaboramos nuestro modelo de un universo en expansión acelerada, la cosmología vigente consideraba al universo en expansión no acelerada. Varios años después, observaciones astronómicas de unas supernovas situadas a grandes distancias, confirmaban que nuestro universo se expande aceleradamente.
Mencionamos anteriormente que la relatividad es una teoría no renormalizable. Daremos una breve explicación de lo que se entiende por renormalización. Los quarks son partículas elementales que conforman los hadrones, que son partículas compuestas que, al igual que los quarks, reaccionan ante la fuerza fuerte, es decir, aquella fuerza que mantiene unido al átomo, neutralizando la repulsión electrostática de los protones que tienen carga positiva, y por tanto, tienden a separarse. Los hadrones a su vez se presentan en dos variedades: los mesones, constituidos por dos quarks, y los bariones, integrados por tres quarks, como los protones y neutrones que conforman el núcleo del átomo. Los quarks junto con los electrones, que son leptones, es decir, partículas que no reaccionan ante la fuerza fuerte, son considerados partículas sin estructura interna. Los físicos llegaron a esta conclusión debido a la naturaleza repulsiva de la fuerza electrostática que haría despedazar las partículas, lo cual no sucede.
Esta particularidad, sin embargo, crea un serio problema al momento de calcular la energía del campo electrostático de la partícula. Un simple cálculo muestra que la energía disminuye en razón inversamente proporcional a la distancia al centro de la partícula. Como la partícula es puntual, a medida que la distancia se aproxima al centro, la energía se dispara hacia el infinito. Nuevamente el infinito; enfrentarse a él ha sido una experiencia dura para matemáticos y físicos, y no digamos de filósofos y teólogos. Ahora bien, la teoría especial de la relatividad establece que la masa y la energía son equivalentes, como se expresa en la famosa ecuación de Einstein, , donde E es la energía, m la masa de la partícula y c la velocidad de la luz. En consecuencia, si la energía se dispara al infinito, debe ocurrir lo mismo con la masa, haciendo que la partícula se torne infinitamente pesada. De hecho, no ocurre así, ya que al medir la masa del electrón se obtienen valores muy pequeños. Algo anda mal en la teoría.
Para superar el problema, los físicos optaron por modificar la escala de medida, ignorando el infinito que surgía en los cálculos y estableciendo como nuevo marco de referencia el valor medido experimentalmente. Es lo que se conoce con el nombre de renormalización. A partir de los valores obtenidos experimentalmente, los físicos prosiguieron con sus cálculos, obteniendo resultados con una exactitud asombrosa. Prácticamente todos los avances de la ciencia y tecnología contemporáneas, se debe a la extraordinaria precisión de los cálculos y la concordancia con los experimentos de la electrodinámica cuántica. No obstante, a nivel conceptual, el problema subsiste. En principio, no debería haber discordancia entre los cálculos teóricos y lo observado experimentalmente.
A fin de proporcionar a la teoría un fundamento conceptual consistente, elaboramos un modelo matemático basado en las propiedades del vacío cuántico. Creemos que en el vacío cuántico, que en realidad es un mar de partículas virtuales altamente energético, está la clave de la solución al problema. La polarización cuántica de los positrones y electrones virtuales, producen una mutua cancelación del campo electrostático a distancias muy cortas, neutralizando el campo a una distancia casi nula de la partícula. Nuestros cálculos nos conducen de manera natural a valores finitos para la energía, haciendo totalmente innecesaria la renormalización. Se trata de una ecuación en la que intervienen, entre otras variables, la base de los logaritmos neperianos e, el número π, la constante de Planck h y la velocidad de la luz c. Es una hermosa ecuación que nos produce el placer de la contemplación de una obra de arte. La intuición y el sentido de lo bello nos señalan que la ecuación es correcta.
Una de las consecuencias de este modelo, es que matemáticamente se deduce la presencia de un sumidero por el cual desaparece el flujo del campo electrostático y cantidades inconmensurables de energía, aquella que precisamente pierde la partícula, haciendo que ésta conserve apenas una pequeña cantidad de energía, que es la observada en los experimentos. Este inconmensurable caudal de energía se derivaría hacia el vacío cuántico y acaso sea el origen de la energía oscura del universo.
En otro modelo que desarrollamos paralelamente, representamos las cargas de color de los quarks y la electrostática, por medio de vectores. Resulta estimulante comprobar que el álgebra de vectores y su disposición simétrica describen adecuadamente el comportamientos de dichas cargas en un campo vectorial de tres dimensiones. Al igual que la suma de los colores de las cargas de los quarks da blanco, la suma de los tres vectores da cero, y la suma del producto escalar de un vector con los otros dos da un valor negativo, es decir que la fuerza entre los quarks es siempre atractiva. Igual sucede con las cargas electrostáticas positiva y negativa de protones y electrones y otras partículas, cuya suma es nula y su producto escalar negativo, es decir que se atraen mutuamente. Si las cargas son del mismo signo, su producto escalar es positivo y éstos se repelen. En este modelo, el producto escalar de las cargas vectoriales de color y electrostática es nulo, y se ha comprobado experimentalmente que ambas cargas no interactúan entre ellas. Una vez más, la belleza subyacente en las ecuaciones nos muestra el estrecho vínculo estético entre las matemáticas y la naturaleza. No podemos, no obstante, afirmar si estos modelos corresponden a una descripción aproximada de la realidad. Si estamos equivocados o no, el tiempo lo dirá.
CONCLUSIÓN
La simetría y belleza de las matemáticas, representa una guía para el hombre de ciencia al elaborar una teoría que intenta explicar los fenómenos de la naturaleza. A medida que avanza su investigación, guiado por este sentido de lo estético, descubre nuevas y poderosas simetrías que describen de manera más completa los secretos de la naturaleza.
BIBLIOGRAFÍA
Alexandrov A.D. Kolmogorov A.N., Laurentiev M.A. y otros, La Matemática: su contenido, métodos y significado, tomos I, II y III, Madrid, Alianza Editorial, S.A., 1981
Davis P., Superfuerza, Barcelona , Salvat Editores, S.A., 1985
Haaser N., La Salle J., Sullivan J., Análisis Matemático, tomos I y II, México, Editorial Trillas
S.A., 1972
Miro Quesada F., Las Supercuerdas, Lima, Empresa Editora El Comercio S.A., 1992
Autor
Enrique Alvarez Vita
Foro de Filosofía y Ciencia La Serpiente de Oro
Ó 2007, Lima – Perú
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