12 13. Se dispone de un par de cada de una de estas plantillas elementales: PRISMA PENTAGONAL REGULAR ¿Con qué combinación(es) de ellas puede construirse un paralelepípedo?
Construya sendas plantillas para armar un tetraedro regular y un octaedro regular.
Pero si usted tiene prisa y desea acceder a plantillas de poliedros (incluidos los polie- dros regulares) ya confeccionadas y con sus correspondientes pestañas, como las que se muestran en la ?gura 8, puede entrar en la red, en la dirección http://www.kokone.com. mx/tareas/?guras/home.html 10 x 4 10 x 2 4 x 4 4 x 2 8 x 2 12 x 4 A B C D E F PARALELEPÍPEDO PIRÁMIDE HEXAGONAL REGULAR Fig. 8: Plantillas de algunos poliedros (Blanco, 2005) Con respecto a las plantillas de los po- liedros regulares, recordemos que los mo- saicos (embaldosados) planos que pueden hacerse con polígonos regulares, sólo ad- miten triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares, como veíamos en el Cuaderno 14:
Con triángulos equiláteros
Con cuadrados Con hexágonos regulares
Pero así como el mosaico de triángulos equiláteros puede utilizarse (debidamente acomodado) para elaborar la plantilla de un tetraedro, de un octaedro y de un ico- saedro, y el mosaico de cuadrados puede utilizarse (también debidamente acomoda- do) para elaborar la plantilla de un cubo, no ocurre lo mismo con el mosaico de hexágo- nos regulares: con él no puede elaborarse la plantilla de ningún poliedro regular. Y sin embargo, los pentágonos regulares, con los cuales no puede elaborarse un mosaico plano, sí pueden combinarse para crear la plantilla de un dodecaedro…
14. He aquí otro interesante ejercicio de observación. Fíjese en la siguiente tabla que debe mostrar, para cada poliedro conside- rado, el número de caras, de vértices y de aristas (complete los valores de las casillas vacías): Una vez que haya llenado todas las casillas de la tabla, observe bien los valores de cada ?la, es decir, de cada poliedro, y descubra qué relación existe entre los números de caras, de vértices y de aristas en cualquier poliedro (esta relación fue descubierta por Euler, un matemático alemán del siglo XVIII y lleva su nombre).
3. Sólidos de revolución
3.1. Concepto y clasi?cación de los sólidos de revolución
Como ya se dijo, los sólidos de revolución son cuerpos geométricos engendrados por la revolución completa de una ?gura plana alrededor de alguna de sus líneas.
Los sólidos de revolución se clasi?can, precisamente, tomando en cuenta la ?gura plana que rota una vuelta completa y el eje alrededor del cual se produce la rotación. Así, los más conocidos son:
a) La esfera: Generada por la rota- ción de un semicírculo alrededor de su diámetro:
13
b) El cilindro: Generado por la rotación de un rectángulo alrededor de un lado: c) El cono: (konos [piña, fruto del pino]) Generado por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de un cateto:
d) Otros sólidos de revolución: No resulta difícil construir otros sólidos de re- volución; basta con tomar cualquier ?gura plana y cualquier eje de rotación (una línea de esa ?gura, o cualquier otro segmento) y hacer un giro (completo o no).
Como ejercicio de aplicación, imagínese el sólido de revolución que resulta en cada caso al efectuar el giro de las siguientes ?- 14 guras, de acuerdo al eje de rotación indicado y a la amplitud del giro sugerido: 3.2. Elementos de los sólidos de revolución
a) Elementos de un cilindro
El lado del rectángulo, paralelo al que se toma como eje del giro que genera el cilin- dro, se denomina generatriz del cilindro. Una vez construido, en un cilindro se distinguen las dos bases, dos círculos congruentes que tienen el mismo radio. La distancia entre las bases es la altura del cilindro, cuya longitud coincide con la de su generatriz. La super?cie lateral del cilindro se denomina super?cie cilíndrica de revolución; extendida sobre un plano, tiene la forma de un rectángulo.
b) Elementos de un cono
La generatriz del cono es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo giro alrede- dor de uno de sus catetos genera el cono. La altura del cono es la distancia del vértice a la base y su longitud coincide con la del cateto que sirve de eje de giro para generar el cono. La base está formada por un solo círculo, con su radio y diámetro correspon- dientes. La super?cie lateral del cono se denomina super?cie cónica de revolución; extendida sobre un plano, tiene la forma de un sector circular.
Los cilindros y conos que se obtienen por rotación se denominan rectos; los ci- lindros y conos oblicuos no se generan por rotación sino por deformación de los correspondientes cuerpos rectos. También existen cilindros y conos truncados; en un cilindro truncado, las bases no son parale- las; sí pueden serlo en un cono truncado, que recibe entonces el nombre de cono truncado de bases paralelas.
c) Elementos de una esfera
En la esfera destacamos el centro de la esfera, punto que equidista de cualquier punto de la super?cie esférica (super?cie externa de la esfera). Un radio de la esfe- ra es un segmento que une el centro con cualquier punto de la super?cie esférica; un diámetro es un segmento que une dos puntos de la super?cie esférica y pasa por el centro de la esfera.
También sobre la super?cie esférica pueden considerarse circunferencias máxi- mas, caracterizadas porque su radio es el radio de la esfera; análogamente, pueden dibujarse circunferencias de radio menor al de la esfera.
Por ejemplo, en la Tierra considerada como una esfera, los meridianos y la línea del ecuador son ejemplos de circunferen- cias máximas; los paralelos (por ejemplo, los de los trópicos, o los de los círculos po- lares) son circunferencias menores.
Todavía sobre la super?cie esférica pue- den considerarse porciones de dicha super- ?cie que reciben nombres particulares (Ver Figura 9):
• Zona esférica: porción de super?cie esférica delimitada por dos planos paralelos que cortan a la esfera. Por ejemplo, en la super?cie terrestre, la llamada zona tórrida, o las zonas templadas.
• Casquete esférico: cada una de las porciones de la super?cie esférica que que- dan delimitadas cuando un plano corta a la esfera. Por ejemplo, en la super?cie terres- tre se habla de los casquetes polares.
• Huso esférico: porción de la super- ?cie esférica comprendida entre dos semi- circunferencias máximas que comparten su diámetro. Por ejemplo, la super?cie terres- tre está imaginariamente dividida en 24 hu- sos iguales llamados horarios, delimitados por meridianos; cada huso horario agrupa a los países o regiones del mundo que com- parten la misma hora legal.
Finalmente, pueden considerarse las si- guientes porciones sólidas de la esfera (Ver Figura 9):
• Segmento esférico de dos bases: por- ción de esfera delimitada por dos planos paralelos que cortan a la esfera; la parte super?cial es una zona esférica.
• Segmento esférico de una base: por- ción de esfera delimitada por un plano que corta a la esfera; la parte super?cial es un casquete esférico. Una semiesfera es un ejemplo de segmento esférico de una base.
• Cuña esférica: porción de esfera com- prendida entre dos semicírculos máximos que comparten su diámetro; la parte super- ?cial es un huso esférico.
• Sector esférico: porción de esfera comprendida entre un casquete esférico y una super?cie cónica cuyo vértice coincide con el centro de la esfera (como si fuera un helado de barquilla cónica, con algo de helado sobresaliendo…).
a) Zona esférica (super?cie) y Segmento esférico de dos bases (volumen) 15
Al igual que en el caso de los polie- dros, reúnase con sus colegas y hagan una relación de objetos naturales o artefactos culturales (envases, edi?caciones, escultu- ras, muebles, objetos de la vida diaria…) que ustedes conozcan y tengan la forma de esferas o de alguna de sus porciones, o la forma de cilindros y conos, sean com- pletos o truncados. ¿Conocen algún obje- to que tenga la forma de otro sólido de revolución?
Averigüe cuántos husos horarios se consideran en el continente americano, y qué países comprende cada uno de ellos. 3.3. Construcción de sólidos de re- volución
De una forma análoga al caso de los poliedros, es posible elaborar plantillas para construir con ellas algunos sólidos de revo- lución. Tal es el caso de los cilindros y de los conos. Para ello recordamos la forma que poseen las bases, y el desarrollo sobre un plano de la super?cie lateral de ambos tipos de cuerpos.
Las bases del cilindro y del cono son círculos. La super?cie lateral del cilindro, extendida sobre un plano, tiene la forma de un rectángulo, cuya base tiene como me- dida la longitud de la circunferencia de la base, y cuya altura es la altura del cilindro. Por su parte, la super?cie lateral del cono extendida sobre un plano, tiene la forma de un sector circular, cuyo radio es la ge- neratriz del cono, y cuyo arco tiene como medida la longitud de la circunferencia de la base. b) Casquete esférico (super?cie) y Segmento esférico de una base (volumen)
c) Huso esférico (super?cie) y Cuña esférica (volumen)
d) Sector esférico (volumen)
Fig. 9: Porciones super?ciales y sólidas de una esfera 16 No es difícil elaborar las plantillas co- rrespondientes. De todos modos, en la ?gu- ra 11 se muestran ambas plantillas (inclui- das las pestañas correspondientes):
CILINDRO
CONO
Fig. 10: Plantillas de algunos sólidos de revo- lución (Blanco, 2005)
Para calcular la longitud del segmento DG, debemos ubicarlo en un triángulo rectángulo. = 3 x10 3 = 10 cm. Y en general, 10 Ahora bien AG ?gura como hipotenusa en el ? ABG, que es rectángulo y cuyos ca- tetos AB y BG miden 6 y 4 cm, respectiva- mente. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: AG2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52; de donde, AG = 52 .
Volviendo al ? ADG, DG2 = AG2 + AD2 = 52 + 9 = 61. De donde, DG = 61 cm. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo, cuya arista tiene 10 cm de longitud?
La resolución de este problema puede apoyarse en la del problema anterior: sería como encontrar el valor de DG a partir de los datos: AB = BG = FG = 10 cm. De aquí, AG2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200; de donde, AG = 200 . Análogamente, DG2 = AG2 + AD2 = 200 + 100 = 300 = 3 x 100 = 3 x 102. De donde, DG = 3×10 2 = 3 x 2 la longitud de la diagonal de un cubo cuya arista mide a unidades, es a 3 u.
15. En una caja con forma de paralelepí- pedo, de dimensiones 3 x 4 x 12 unidades, ¿cabe, sin doblarse, una vara de 13,5 cm?
16. ¿Cuánto mide la altura de un cono si el diámetro de la base mide 10 cm y su generatriz mide 13 cm?
¿Cómo haría usted para obtener la me- dida del radio de una pelota de fútbol? 4.2. Medidas de ángulos
Con anterioridad se explicó la forma de medir los ángulos diedros de un poliedro: 17 Como es evidente, no puede elaborarse plantilla plana alguna para poder construir una esfera o alguna parte de ella.
Trate de averiguar la forma en que los escultores o los alfareros construyen objetos que tienen forma esférica. Y cómo se fabrican las pelotas de fútbol. ¿Cómo saben, los que hacen estos objetos, que su producto es perfectamente “redondo” por donde se le mire?
Probablemente todos hemos visto esos fuegos arti?ciales que, cuando explotan en el aire, forman una especie de bola con puntos brillantes y de colores, ubicados como si estuvieran a igual distancia del punto en que estalla el cohete. Trate de averiguar, si le es posible, cómo hacen los fabricantes para conseguir esa distribución esférica.
4. Medidas de los cuerpos geométricos
Hasta el momento hemos presentado una clasi?cación y una descripción de los cuer- pos geométricos y de sus elementos, así como hemos abordado su construcción a partir de plantillas planas. Es hora de entrar a medir los diversos elementos que con?guran los cuerpos geométricos. 4.1. Medidas de longitudes
Se incluyen aquí casos como los de las aristas, alturas y diagonales de un poliedro; de las apotemas de una pirámide; de los radios, diámetros, generatrices y alturas de ci- lindros y conos; de los radios, diámetros y circunferencias sobre una esfera. Algunas de estas medidas pueden hacerse directamente. Pero otras veces, en razón de la exactitud de las medidas y en función de los datos aportados, hay que acudir a ?guras auxiliares (como triángulos rectángulos) que nos permitan aplicar relaciones conocidas (teorema de Pitágoras).
Dado el paralelepípedo de la ?gura, de di- E F mensiones: AB = 6 cm, BG = 4 cm, FG = 3 cm, D C obtener la longitud de la diagonal DG. S G A B Este puede ser el ? ADG, cuya hipotenusa es DG. En este triángulo conocemos uno de los catetos, AD = FG = 3 cm, pero desconoce- mos la medida del cateto AG.
Se toma un punto cualquiera de la arista co- mas, paralelepípedos, pirámides, cilindros mún a las dos caras; en cada cara, se traza y conos, hablamos del área de las bases y una perpendicular a la arista en ese punto del área lateral (o super?cie de revolución, común. Así queda construido un ángulo en en el caso de cilindros y conos); y del área el nuevo plano formado por las dos perpen- total cuando se trata de la suma de las dos diculares: la medida de este ángulo es la anteriores. En el caso de la esfera, nos refe- medida del ángulo diedro. Por ejemplo, en rimos al área de la super?cie esférica (o de el cubo, todos los ángulos diedros miden alguna de sus porciones); de manera análo- 90o. ga, en los poliedros regulares se habla del área de su super?cie externa. Hay otros ángulos de interés en los po- liedros; por ejemplo, el que forman la altura No vamos a llenarnos de fórmulas; sim- y la generatriz de un cono recto; o la apote- plemente, en cada caso hay que evaluar la ma de una pirámide regular con una de sus ?gura en cuestión, precisar los polígonos o aristas o con su altura. Para la obtención de círculos que forman las bases, y los polígo- su medida hay que proceder en cada caso nos de las caras laterales, tomar en cuenta a partir de los datos que se suministren al los datos que se aportan, y hallar el área de respecto, y recurrir a alguna regularidad la super?cie solicitada. Tan sólo destacamos presente en el triángulo. como novedad que el área de una super?- cie esférica de radio r equivale al área de ¿Cuánto mide el ángulo que forman la cuatro círculos del mismo radio (4 círculos generatriz y la altura de un cono, si la pri- máximos); es decir, A = 4 x p x r2. mera mide 18 cm y el radio de la base mide 9 cm? ¿Cuál es el área total de un cubo si su diagonal interna mide 8 cm? Al construir el triángulo rectángulo que forman el radio de la base y la altura como El área total de un cubo es la suma de las catetos, y la generatriz como hipotenusa, áreas de sus seis caras, que son cuadrados. se observa que el radio mide la mitad que Si la arista mide a cm, al área total será: A = la hipotenusa; por consiguiente, el triángu- 6 x a2. No conocemos el valor de a, sino la lo rectángulo considerado es la “mitad” de medida de la diagonal del cubo, 8 cm. Pero un triángulo equilátero; el ángulo buscado como acabamos de ver, existe una relación mide 30o. entre la diagonal d y la arista a de un cubo: d = a 3 ; de aquí, d2 = (a 3 )2 = 3 x a2. 4.3. Medidas de super?cies Como necesitamos 6 x a2, basta multiplicar la igualdad anterior por dos: 2 x d2 = 6 x a2; Son diversas las super?cies de los cuer- y llegamos a: A = 6 x a2 = 2 x d2; luego A = pos geométricos, susceptibles de ser medi- 2 x 82 = 2 x 64 = 128 cm2. das (recuérdese que por área entendemos la medida de una super?cie). Así, en los pris- Un tubo para guardar planos tiene for- 18 ma de cilindro; su altura mide 70 cm y el diámetro de su tapa, 10 cm. Si se desea fo- rrarlo interiormente con una tela (sin incluir las tapas), ¿cuánta tela hará falta?
Nos están pidiendo calcular el área lateral del cilindro. Como sabemos, la su- per?cie lateral, extendida, tiene forma de rectángulo, cuya base b mide exactamente igual que la circunferencia de su base; y la altura a coincide con la del cilindro.
Así que, b = 2 x p x r = 2 x p x 5 cm = 10 x p cm; a = 70 cm. Y el área solicitada es la de un retal cuadrangular, cuya área es: (10 x p cm) x 70 cm; es decir, A = 700 x p cm2.
¿Cuál es el área lateral de un cono cuya altura mide 12 cm y el diámetro de su base, 10 cm?
El área lateral del cono equivale al área del sector circular que se obtiene al desple- garlo. Esta área (Cuaderno 15) viene dada por: A = ½ x r x l, donde r es la longitud del radio de la circunferencia a la que pertene- ce el sector (en nuestro caso, la longitud de la generatriz del cono), y l es la longitud del arco del sector (en nuestro caso, la longitud de la circunferencia de la base del cono).
Para obtener la longitud de la generatriz, acudimos al triángulo rectángulo formado por la altura y el radio de la base (catetos) y la generatriz g (hipotenusa). En él, aplican- do el teorema de Pitágoras, obtenemos: g2 = 122 + 52 = 169; de donde, g = 13 cm. Por otro lado, la longitud l de la circunferencia de la base es: l = 2 x p x 5 cm = 10 x p cm.
Finalmente, el área lateral del cono es: Al = ½ x g x l = ½ x 13 x 10 x p = 65 x p cm2. ¿Qué ocurriría si el área lateral de un cono fuera igual a su área total?
A veces conviene precisar el signi?cado de los términos; por ejemplo, cuando decimos que la medida o el valor de algo es “ilimitado”, fácilmente pensamos que es enorme, casi in?nito, algo que no se puede medir porque no hay valor que alcance para ello. Y sin embargo, ilimitado sólo signi?ca que “no tiene límites”, que no se puede colocar una línea que demarque exactamente los límites del objeto que se mide.
¿Puede haber algo que sea ilimitado pero que, a su vez, tenga un valor preciso, incluso pequeño? Sí; por ejemplo, la super?cie de una esfera. Esta super?cie no tiene límites: ¿dónde empieza y dónde termina? Y, sin embargo, tiene un valor ?nito: 4 x p x r2.
17. Calcule el área total de los siguientes cuerpos geométricos:
4.4. Medidas de volúmenes
a) ¿Cómo se mide el volumen de un cuerpo geométrico?
Medir el volumen de un cuerpo geométrico signi?ca asignar un valor al espacio ocu- pado por el mismo. Como en el caso de cualquier medición, esto se consigue comparan- do ese espacio ocupado con el de una unidad de volumen. La unidad de volumen es la de un cubo cuya arista mida 1 unidad (u) de longitud (puede ser 1 cm, 1 m, etc.). Se dice que este cubo unitario tiene un volumen de 1 unidad cúbica (1 u3).
Si se desea medir el volumen de un paralelepípedo como el de la ?gura, hay que averiguar cuántos cubos unitarios contiene; esto se puede conseguir dividiéndolo ade- cuadamente:
Luego, hay que contar ordenadamente el número de cubos unitarios. Para ello, procedemos a averiguar cuántos hay en un “piso”, por ejemplo, el de la base, que tiene cinco ?las de tres cubos (o tres ?las de cin- co cubos), lo que da un total de 15 cubos unitarios. Ahora, sólo falta contar cuántos “pisos” tiene el paralelepípedo: cuatro. Por consiguiente, el paralelepípedo de la ?gura contiene 60 cubos unitarios; su volumen es, pues, 60 u3.
De aquí podemos inferir que si las di- mensiones de las aristas del paralelepípedo son a, b y c, su volumen vendrá dado por: V = a x b x c. Como un caso particular, el vo- lumen de un cubo de arista a será: V = a3.
b) Las unidades para medir los volúme- nes
Ya hemos mencionado que la unidad básica siempre es un cubo cuyo lado mide una unidad de longitud. Así se forman las 19
unidades del sistema decimal de medidas de volumen. Las que se utilizan habitual- mente son:
La unidad fundamental de este sistema es el metro cúbico, es decir, el volumen de un cubo cuya arista mide 1 m. Sus múltiplos aparecen sobre él en la tabla y sus submúl- tiplos, por debajo de él. El carácter decimal de este sistema signi?ca que cada unidad de un orden dado equivale a 1.000 uni- dades del orden inmediatamente inferior; y que 1.000 unidades de cualquier orden equivalen a 1 unidad del orden inmediata- mente superior.
18. a) ¿A qué equivale la milésima parte de un Km3? b) ¿Es cierto que la décima parte de un m3 equivale a un dm3? c) ¿Por qué cantidad debe multiplicarse un Dm3 para obtener un m3? d) ¿Es cierto que 100 cm3 equivalen a 1 dm3? 20 Junto con las unidades de volumen contamos con las unidades de capacidad, propias para medir espacios “vacíos”, sus- ceptibles de ser llenados, por ejemplo, con líquidos. La unidad fundamental suele ser el litro (1 l), que equivale al espacio ocupa- do por un dm3. En contexto de medicinas suele utilizarse como unidad el centímetro cúbico (1 cm3, que también suele represen- tarse como 1 cc).
En la siguiente tabla se presentan las equivalencias entre las unidades de volu- men y de capacidad más frecuentemente utilizadas:
19. Complete la tabla siguiente: También deben conocerse y valorarse las unidades de medida de volúmenes y de capacidad propias de nuestras culturas lo- cales o regionales. Haga una recopilación de las más frecuentes y establezca su valor en términos de las unidades del sistema de- cimal.
Es muy importante saber estimar el vo- lumen de diversos espacios y objetos que están en nuestro entorno. Para ello hay que poseer, primero, la capacidad de visualizar el “tamaño” de las unidades básicas y aso- ciarlo a algún objeto familiar. Por ejemplo, la magnitud de 1 m3, como un gran cajón cúbico de 1 m de lado; 1 dm3, como el con- tenido de un empaque de 1 l de leche, agua o jugo; 1 cm3, como un dado pequeño de jugar…
21 Estime (en la unidad que considere más pertinente en cada caso) el volumen o la capa- cidad de los siguientes espacios u objetos, y verifíquelo después, si es posible:
a) el aula de clase b) algún armario presente en el aula c) el edi?cio más grande de su localidad d) un balde o tobo para cargar agua e) un borrador para la pizarra f) un estanque o pileta de agua g) un morral para los útiles escolares h) un autobús de alguna línea urbana i) una fruta propia de su entorno j) todo el ramaje de un árbol cercano k) el tanque de agua de un baño o sanitario l) el cuerpo de una persona determinada m) un cerro cercano a la escuela n) un dedal ñ) el agua que puede recoger en el cuenco de sus dos manos.
c) Volumen de prismas y cilindros
El procedimiento que hemos utilizado para calcular el volumen de un paralelepípedo se puede extender al caso de los prismas y de los cilindros, ya que éstos comparten con aquél la siguiente propiedad: cualquier plano que corte al cuerpo perpendicularmente a las aristas (en el prisma) o a la generatriz (en el cilindro), da como intersección una ?gura congruente con la base respectiva (trate de visualizarlo…).
Así, podemos imaginar que el espacio interior de estos cuerpos (prismas y cilindros) puede ser generado por la ?gura de la base moviéndose en un “ascensor” perpendicular a dicha base a lo largo de la altura, y llenando ese espacio a cada paso con su propia ?gura. De aquí surge la idea de considerar el volumen de esos cuerpos como el resultado de multiplicar el área de la base por la altura del cuerpo. Así, pues, para estos dos tipos de cuerpos, el volumen viene dado por: V = área de la base x altura.
20. Calcule el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: d) Volumen de pirámides y conos
He aquí un experimento interesante: Ahora que ya sabe hacerlo, elabore dos plantillas, una para construir un prisma re- gular de cualquier base y de la altura que usted desee, y otra para construir una pi- rámide con la misma base y la misma altu- ra del prisma anterior. Quite una base del prisma y también la de la pirámide. Llene la pirámide de arena o de otro material menu- do y vacíela dentro del prisma; hágalo dos veces más (tres veces en total).
¿Qué ha descubierto? Que con el con- tenido (volumen) de tres pirámides de ésas acaba de llenar el prisma. En términos geométricos, el volumen de una pirámi- de es la tercera parte del volumen de un prisma que tenga la misma base y la misma altura de la pirámide considerada. Es decir, V = (área de la base x altura)/3.
Indudablemente y por analogía, usted ha llegado ya a la siguiente conclusión: el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura del cono conside- rado. Es decir, V = (área de la base x altu- ra)/3. Pero si usted es como Santo Tomás, puede hacer la prueba para convencerse…
21. Calcule el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:
e) Volumen de la esfera
Aunque hay métodos matemáticos más avanzados para obtener la fórmula del vo- lumen de una esfera, podemos referirnos también a los primeros métodos históricos empleados con ese mismo ?n. Uno de ellos fue, como en los casos análogos de la cir- cunferencia y del círculo, observar en esfe- 22 ras de distinto tamaño las relaciones existentes entre el volumen y el cubo de la medida de sus radios respectivos.
Así, se descubrió que si una esfera tenía un volumen V y un radio de medida r, la razón entre V y r3 era constante en cualquier esfera y que el valor de esta razón era (4 x p)/3. De este modo se llega a la expresión que proporciona el volumen de una esfera conocido su radio: V = 4/3 x p x r3.
Si obtenemos el volumen de un cilindro cuya base tenga un radio r y una altura 4/3 x r, llegamos a: V = p x r2 x 4/3 x r expresión que, al ordenarse, nos lleva a: V = 4/3 x p x r3. Análogamente, si obtenemos el volumen de un cono cuya base tenga un radio r, y una altura 4 x r, llegamos a: V = (p x r2 x 4 x r)/3 expresión que, al ordenarse, nos lleva también El volumen de los sólidos oblicuos res- a: V = 4/3 x p x r3. ponde a la misma fórmula que se utiliza en el caso de los respectivos cuerpos rectos: Es decir, el volumen de una esfera de radio r es equivalente al volumen de: V = área de la base x altura (prismas y ci- lindros), o V = (área de la base x altura)/3 • un cilindro cuya base tenga un radio de medida r, y de altura 4/3 x r (pirámides y conos). En efecto, si los cuer- • un cono cuya base tenga un radio de medida r, y de altura 4 x r pos oblicuos fueran ?exibles y estuvieran llenos de arena o agua, podrían “enderezar- Vamos a descubrir una propiedad muy importante de la esfera. Para ello, elaboramos se” y colocarse como rectos, sin alterar su primero la siguiente tabla: volumen o capacidad interior. Si lo desea, puede veri?carlo…
Y en cuanto al volumen de los troncos de prismas y cilindros (las bases no son pa- ralelas) y al de los troncos de pirámides y conos de bases paralelas, dejamos al(a la) lector(a) que re?exione y llegue a la forma de calcularlos, cuando haga falta. Al comparar las áreas totales de los tres cuerpos se observa que en todas ellas se multiplica p x r2 por sendos coe?cientes: 4, 14/3 y 15 +1; el menor valor de los tres es 4 (verifíquelo). Esto signi?ca que la esfera es el sólido de revolución que “gasta” la menor cantidad de super?cie externa para contener un volumen dado.
Y si se hace un estudio similar con los poliedros, comparados con la esfera, se llega a la misma conclusión. En de?nitiva, la esfera es el cuerpo geométrico que “gasta” la menor cantidad de super?cie externa para contener un volumen dado. Esta propiedad puede
enunciarse también de esta manera: la esfera es el cuerpo geométrico que contiene la mayor cantidad de volumen para una super?cie externa dada.
Hable con algún profesor de física y averigüe por qué las gotas de agua tienen forma esférica. 4.5. Algunos problemas referentes a medidas de los cuerpos geométricos
Tres pelotas de tenis están empacadas en un tubo cilíndrico, como se muestra en la ?gura. ¿Qué fracción del volumen del envase ocupan las tres pelotas?
Llamemos r al radio de las pelotas, que es el mismo radio de las bases del cilindro. El volumen de las tres pelotas es: V1 = 3 x (4/3 x p x r3) = 4 x p x r3. El cilindro tiene una altura equivalente a tres diámetros, es decir, 6 x r; su volumen viene dado por: V2 = p x r2 x 6 x r = 6 x p x r3. La relación entre ambos volúmenes es: V1 / V2 = 4 x p x r3 / 6 x p x r3 = 2/3. Las tres pelotas ocupan los 2/3 del espacio del envase cilíndrico.
Se desea construir una tienda de campaña de forma cónica; para ello se utiliza una pieza de lona de forma semicircular, tal que el segmento recto de la tela ya cortada tiene 8 m. Una vez instalada, ¿qué altura tendrá la tienda?; ¿cuántos m3 de aire caben en ella?
Primero observamos la pieza de lona de forma semicircular; su radio mide 4 m y la longitud del semicírculo es 4 x p m (¿por qué?). Para pensar en cómo construir la tienda, hay que tomar en cuenta que el punto medio de ese segmento recto se va a convertir en el vértice del cono y, de esta forma, la generatriz tendrá 4 m; los dos extremos de la línea de la semicircunferencia se unen para cerrar la base del cono en una circunferencia completa (trate de visualizarlo, o construya un modelo de papel a escala…).
Esta circunferencia completa de la base del cono mide 4 x p m; su radio mide 2 m. En este momento se nos forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz, uno de los catetos es el radio de la base, y el otro cateto es la altura, cuyo valor necesitamos para calcular el volumen del cono. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos para la altura a: a2 = 42 – 22 = 12; de donde, la altura: a = 12 m.
El volumen de la tienda será: V = (p x 22 x 12 ) m3 = 43,5 m3. El volumen de una esfera es 36 x p u3. ¿Cuánto mide su super?cie? ¿Y una de sus cir- cunferencias máximas? En primer lugar, buscamos el valor del radio mediante la fórmula del volumen: V = 4/3 x p x r3. De aquí: 36 x p = 4/3 x p x r3, lo que nos lleva a r3 = 27 u3. Es decir, r = 3 u.
La super?cie esférica medirá: A = 4 x p x r2 = 4 x p x 9 = 36 x p u2. Por su parte, una circunferencia máxima medirá: L = 2 x p x r = 6 x p u.
El área lateral de un cilindro es la mitad de su área total. ¿Cuál es la razón entre su altura y el radio de su base?
Si denominamos con r el radio de la base y con a la altura, el problema nos está pidiendo hallar, no los valores de a y de r, sino el valor de la razón a/r. Según el enun- ciado del problema, At = 2 x Al; es decir: At = Al + Al. Pero como At = Al + Ab (Ab repre- senta el área de las dos bases), llegamos a: Al + Al = Al + Ab; es decir, Al y Ab deben ser iguales. Esto nos lleva a: 2 x p x r x a = 2 x p x r2 (¿por qué?) 2 x p x r x a = 2 x p x r x r (¿por qué?) a = r (¿por qué?)
O lo que es lo mismo, a/r = 1; es decir, la altura y el radio de la base deben medir lo mismo (verifíquelo con cualquier ejem- plo).
Si se dispone de 36 cubitos unitarios, ¿cuántos ortoedros, diferentes en su forma, pueden construirse con los mismos 36 cu- bitos? ¿Cuál de ellos tendrá la mayor área total? ¿Y la menor área total? ¿Y el menor volumen?
Este es un problema de divisibilidad… 23
1 3 a p 3 = Si se le dan cuatro cortes a un cilindro, . a V Al ¿se puede dividirlo en 12 partes congruen- Hay que ver todas las maneras de descom- tud de la generatriz del cono, y l es la longi- poner 36 en un producto de tres factores, tud de la circunferencia de la base del cono, entre los cuáles debe incluirse el 1. Estas según vimos en un problema anterior. diferentes maneras son: 1 x 1 x 36 (una ?la con los 36 cubitos alineados); 1 x 2 x 18; Para obtener la longitud de la generatriz, 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; acudimos al triángulo rectángulo formado 2 x 3 x 6; 3 x 3 x 4. Se pueden construir 8 por la altura y el radio de la base (catetos) ortoedros diferentes con los 36 cubos uni- y la generatriz g (hipotenusa). En él, apli- tarios. cando el teorema de Pitágoras, obtenemos: g2 = a2 + a2 = 2 x a2; de donde g = 2xa 2 El ortoedro 1 x 1 x 36 tiene la mayor = a x 2 . Por otro lado, la longitud l de la área total: 146 u2. Y el ortoedro 3 x 3 x 4 la circunferencia de la base es: l = 2 x p x a. menor: 66 u2. En cuanto al menor volumen, Finalmente, el área lateral del cono es: Al todos poseen el mismo: 36 u3. Estamos en = ½ x g x l = ½ x a x 2 x 2 x p x a = 2 presencia de una transformación (cambiar x p x a2. la forma de los ortoedros) que conserva el volumen, pero no el área total La razón entre el volumen y el área la- teral será: = 2pa2 3 2 tes? Tenemos un triángulo rectángulo cuyos Sí, si se hace bien. Por ejemplo, se pue- lados miden 3, 4 y 5 cm. Tomamos como eje den hacer tres cortes en forma paralela a la de giro el cateto de 3 cm y, mediante una generatriz del cilindro, de tal manera que rotación completa, generamos un cono. Ha- los círculos de la base queden divididos en cemos lo mismo con el cateto de 4 cm. ¿Son seis sectores circulares congruentes, cada iguales los volúmenes de los dos conos? ¿Y uno de ellos de 60o; con esto ya se tendrían las áreas laterales? ¿Y las áreas totales? 6 trozos congruentes del cilindro. Basta con hacer el cuarto corte paralelo a las bases, a En el primer caso, los datos son: r = 4 mitad de la altura del cilindro. cm; a = 3 cm ; g = 5 cm. Y en el segundo: r = 3 cm; a = 4 cm; g = 5 cm. Los volúmenes Si en un cono el radio de la base y la al- son: V1 = 1/3 x p x 42 x 3 = 16 x p cm3; V2 tura miden lo mismo, ¿cuál es la razón entre = 1/3 x p x 32 x 4 = 12 x p cm3. Por consi- el volumen y el área lateral? guiente, los volúmenes no son iguales.
Si llamamos a a esa medida común, ten- En cuanto a las áreas laterales, AL1 = ½ dremos: V = 1/3 x p x a2 x a = 1/3 x p x x g x l = ½ x 5 x 2 x p x 4 = 20 x p cm2; AL2 a3. Para calcular el área lateral utilizamos la = ½ x g x l = ½ x 5 x 2 x p x 3 = 15 x p cm2. fórmula: Al = ½ x g x l, donde g es la longi- Tampoco son iguales las áreas laterales. 24 Para calcular las áreas totales agregamos a las laterales el área de las bases respecti- vas y se obtiene: AT1 = 20 x p cm2 + 16 x p cm2 = 36 x p cm2; AT2 = 15 x p cm2 + 9 x p cm2 = 24 x p cm2. Tampoco son iguales las áreas totales.
Si en un paralelepípedo se duplica la longitud de todas sus aristas, ¿qué le ocurre a su área lateral? ¿Y a su volumen?
Puede tomar varios ejemplos para ayu- darse y verá que el área lateral se multiplica por 4, y que el volumen se multiplica por 8. ¿Qué ocurre con el área y el volumen si esas longitudes se multiplican por 3? ¿Y si se multiplican por n?
Un globo esférico que permanecía es- table se ha in?ado más, de manera que su super?cie se ha cuadruplicado. ¿Qué le ha ocurrido a su volumen?
Si el globo tenía inicialmente un radio r, su super?cie medía 4 x p x r2. Si ahora su super?cie se ha cuadruplicado, ha pasado a 16 x p x r2. La nueva esfera tiene un nuevo radio R; y su super?cie viene dada por 4 x p x R2 y mide 16 x p x r2. Al igualar estas dos expresiones llegamos a: R2 = 4 x r2; de ahí se sigue que R = 2 x r, es decir, el radio de la nueva esfera es el doble del de la inicial. Si el radio se ha duplicado, el volumen se habrá multiplicado por 8 (¿por qué?).
5. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
22. ¿Cuál es el área total de un cubo cuyo volumen es de 8 dm3?
23. El volumen de un cono es de 24 x p u3; si el radio de su base mide 3 u, ¿cuánto mide su altura?
Calcule el volumen de la moneda de tamaño más grande que se utiliza en su país.
24. ¿Cuántos cubos, de cualquier tamaño, hay en la ?gura, si todos los cubitos son iguales?
25. Si en un cilindro, a) el radio de las bases se duplica y la altura no varía, ¿qué le ocurre al área lateral?; ¿y al volumen? b) el radio de las bases no varía y la altura se duplica, ¿qué le ocurre al área lateral?; ¿y al volumen? c) el radio de las bases y la altura se duplican ambos, ¿qué le ocurre al área lateral?; ¿y al volumen?
26. De todos los paralelepípedos de 54 cm2 de área total, ¿cuál es el que tiene mayor volumen?
27. Considere un cilindro cuya altura mide igual que el diámetro de la base, y que está inscrito (encajado) dentro de una esfera. ¿Qué fracción del espacio interior de la esfera ocupa el cilindro? Suponga que la Tierra tiene forma esférica y que la línea del ecuador tiene 40.000 km. ¿Qué porcentaje de la super- ?cie de la Tierra representa la extensión de su país?
28. Un cubo hueco y abierto en una cara, de 6 cm de lado, se llena con para- lelepípedos de dimensiones 2 cm x 2 cm x 3 cm. ¿Con cuántos de éstos se puede llenar totalmente el cubo?
29. Seleccione la respuesta correcta: Si quiero duplicar el volumen de un ci- lindro:
a) duplico la altura y dejo igual el ra- dio de las bases;
b) duplico el radio de las bases y dejo igual la altura;
c) duplico la altura y el radio de las bases;
d) duplico el diámetro de las bases y dejo igual la altura.
30. Agrupando 27 cubitos del mismo tamaño se construye un solo cubo más grande. Si este cubo se pinta todo de ne- gro: a) ¿Cuántos de los cubitos no tendrán pintada de negro ninguna de sus caras? b) ¿Y una sola cara? c) ¿Y dos caras? d) ¿Y tres caras? e) ¿Puede haber algún cubito con más de tres caras pintadas?
31. Las tres caras diferentes de un or- toedro miden 24, 32 y 48 cm2, respectiva- mente. ¿Cuál es el volumen del ortoedro? 25
26 32. ¿Cuál es el orden en que no se pueden meter las piezas en la caja?
a) 2756413 b) 2751643 c) 2763451 d) 2765314 e) 2751634 1 5 4 6 7 3 2
33. Dos rombos congruentes dan una rotación de 180o alrededor del eje que se indica en cada ?gura. Precise el sólido que se genera en cada caso y determine cuál de ellos posee mayor volumen. 34. Un oso camina 1 km hacia el sur, luego 3 km hacia el oeste, y ?nalmente 1 km hacia el norte, llegando así a su punto de partida. ¿De qué color es el oso?
35. ¿Es posible construir una casa de planta rectangular que tenga sus cuatro fa- chadas orientadas hacia el sur? (a lo mejor tiene de vecino al oso del problema ante- rior…) 36. Un pez de 25 cm de longitud pesa 300 g. ¿Cuánto pesará otro pez de la misma especie que mide 50 cm de longitud?
¿Qué utilidad pueden encontrar las abe- jas en construir las celdas de sus panales con forma de prismas hexagonales? (disfrá- cese de abeja e intente averiguarlo…).
27 Lea primero la Postdata y luego trate de resolver este problema imaginario. Desde un punto de nuestro continente, un aviador está a punto de iniciar su vuelo; de repente se le acerca un amigo y le pide que lo lleve a… Sin darle tiempo de decir su destino, el aviador le contesta: “Sube; esa parada no me va a desviar de mi ruta”. ¿A dónde se dirige el aviador?
¿Qué sabe Ud. del cubismo como movimiento artístico del siglo XX?
He aquí una tarea interesante que puede realizar con sus alumnos. Se trata de fabricar una maqueta, a escala, del sistema planetario. Si construye la esfera de la Tierra con un diámetro de 1 cm, ¿qué diámetro debe asignarle a los otros planetas y al Sol? En esa mis- ma escala, ¿a qué distancia debe ir colocando (puede ponerlos en un alambre recto que parte del Sol) los sucesivos planetas?; ¿qué distancia habrá, en la maqueta, entre el Sol y Neptuno? Y, por si acaso, ¿hay algún local de la escuela en el que puedan guardar esa maqueta sin doblar el alambre…?
28 Referencias electrónicas
– Benito, B. y Sánchez, J.C. (s. f.). Áreas y volúmenes de ?guras geométricas. Dispo- nible en: http://www.bbo.arrakis.es/geom/ – Fendt, W. (2003). Applets Java de Ma- temáticas. Los Sólidos Platónicos. Disponi- ble en: http://www.walter-fendt.de/m11s/pla- tonsolids_s.htm – Blanco, G. (2005). Figuras geométri- cas. Disponible en: http://www.kokone. com.mx/tareas/?guras/home.html
29 Respuestas de los ejercicios propuestos
1. 14 caras, 36 aristas, 24 vértices, 36 ángulos diedros 2. 2 caras 3. 4 ángulos diedros; 270o 4. Los ángulos diedros no son todos congruentes 5. No 6. 18 pares 7. d), e) 8. 6 pirámides; no quedan espacios vacíos 9. 3 colores 10. 15 caras 11. Sí, con las tres 12. Sí 13. A, B y F 14. No caras + No vértices = No aristas – 2 15. No; la diagonal mide 13 cm 16. 12 cm 17. a) 340 cm2; b) 24 p cm2; c) 152 p cm2; d) 112 cm2; e) 400 p cm2 18. a) 1 Hm3; b) No; c) 0,001; d) No 19. a) 1.570.000; b) 3.000; c) 0,175; d) 0,1; e) dm3; f) 300; g) 10; h) Dm3; i) m3; j) 0,03; k) 0,005; l) 0,4; m) 0,25; n) cm3; ñ) 200 20. a) 136 cm3; b) 2,7 p dm3; c) 60 cm3 21. a) 64/3 cm3; b) 64 2 se duplica y V se cuadruplica; b) Al se duplica y V se duplica; c) Al se cuadruplica y V se 3 4 2 29. a) 30. a) 1 cubito; b) 6 cubitos; c) 12 cubitos; d) 8 cubitos; e) No 31. 192 cm3 32. c) 33. Izquierda: cilindro; derecha: dos conos unidos por la base. El sólido de la izquierda 34. Blanco 35. Sí, si el punto geográ?co del Polo Norte queda dentro de la casa 36. 2,4 kg
30 Postdata: ¿Hay más de una geometría?
Hasta ahora hemos visto una geometría (una “medida de la Tierra”) que versa sobre puntos, líneas, ángulos, planos, super?cies y cuerpos, con las relaciones que se dan entre ellos y las fórmulas correspondientes. Esta geometría se denomina euclídea en razón de que sus planteamientos, sus postulados y su forma de construirse se gestaron en buena medida dentro de la cultura griega y quedaron plasmados en los Elementos de Euclides.
Tres de los resultados “estrella” de esta geometría son: “dados dos puntos, sólo hay una línea recta que los une”, “por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a la misma” y “la suma de la medida de los ángulos de un triángulo es 180o”. Qui- zá parezca irreverente poner en duda estas a?rmaciones, pero no es nada descabellado: depende de dónde estemos parados.
Por ejemplo, si usted está en una de las esquinas de una manzana de viviendas en cualquier ciudad o pueblo y quiere hallar el camino más corto para ir a la esquina opuesta de esa manzana, no se le ocurrirá decir que va a ir en línea recta; el camino más corto va por la acera, bordeando la manzana. Y si la manzana tiene planta rectangular hay, no uno, sino dos caminos más cortos para unir esas dos esquinas. Este resultado es inconcebible en la geometría euclídea.
Ese tipo de geometría es el que nos rige en nuestra vida corriente como habitantes urbanos; es, por ejemplo, la geometría habitual de los conductores de taxis y carros, quie- nes se las ingenian a cada momento para resolver el problema de los caminos más cortos (es decir, los que consumen menos tiempo) para ir de un punto a otro en una ciudad. El espacio de una ciudad, para los efectos de desplazarse por ella, se rige por una geometría no euclídea.
Vayamos ahora a otro tipo de espacio, el de una super?cie esférica. Sobre ella no hay rectas, entendidas tal como las hemos estudiado en los Cuadernos anteriores, porque todas las líneas que trazamos se van curvando. Pero ¿qué líneas hacen aquí el papel de rectas, en el sentido de representar el camino más corto entre dos puntos de esa super- ?cie? Esas líneas son las circunferencias máximas (puede veri?carlo sobre una esfera…). Así, las distancias entre dos puntos se miden sobre una circunferencia máxima que pase por los dos puntos.
31 Más aún; si Ud. está en el Polo Norte (en la casa del Problema 35.) y desea irse al Polo Sur (en avión, claro), ¿cuál es la ruta más corta a seguir? Pues puede desplazarse por cualquier meridiano. ¿Cuántas “líneas rectas” o caminos más cortos unen los dos polos? Pues ya no hay “sólo” dos, como en el caso de la vuelta a la manzana, sino in?nitas. Este resultado también es inconcebible en la geometría euclídea.
Y hay todavía más. Por paralela a una recta entendemos cualquier otra recta que no corte nunca a la primera. También hemos visto que en una super?cie esférica, las “rectas” son las circunferencias máximas. Si ahora consideramos una recta como la línea ecua- torial, y un punto como el que puede representar a la ciudad de La Paz, ¿cómo se traza una “recta paralela” al ecuador por ese punto? Pues no se puede, porque las “rectas” que pasan por La Paz tienen que ser todas circunferencias máximas, y todas las que se pueden trazar cortan en algún punto al ecuador (haga la prueba sobre un globo terráqueo… Y ojo, el “paralelo” que pasa por La Paz no es un círculo máximo y, por lo tanto, no es la recta paralela que estamos buscando).Otro resultado inconcebible en la geometría euclídea.
Y otro más. Como es fácil de observar, el ángulo que forma cualquier meridiano con cualquier paralelo mide 90o. Sobre esta base, suponga que vuelve a salir del Polo Norte hasta Quito, toma ahora la línea ecuatorial y se desplaza como un cuarto de la circun- ferencia terrestre, y se regresa derechito al Polo Norte. Su trayectoria ha formado, sobre la super?cie esférica, un gran triángulo de líneas curvas. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? La respuesta es fácil: 90o. ¿Y la suma de sus medidas? No se asombre: 270o.
De estos dos casos de contextos o espacios, el de los desplazamientos y medidas en una ciudad y en una super?cie esférica, se desprende un hecho clave: todo “espacio” puede tener su propia geometría si en él se de?ne adecuadamente una medida, una for- ma de medir. En de?nitiva, en los Cuadernos hemos estudiado una geometría, la euclídea, pero hay otras muchas más. Ánimo…
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