Puede hacerse atendiendo a diversos criterios:
a) Según el número de caras: En ge- neral, se habla de un poliedro de “tantas” caras. Pero, como en el caso de los polí- gonos, algunos de ellos tienen un nombre particular:
7 A B C D E F G H a) Caras: Son los polígonos que limi- tan al poliedro; por ejemplo en la ?gura, GHDC, HFBD, GHFE… Hay 6 caras en la ?gura.
b) Aristas: Son los lados de los polígo- nos que conforman las caras del poliedro; por ejemplo en la ?gura: AE, HF, CD… Hay 12 aristas en la ?gura.
c) Vértices: Son los vértices de los po- lígonos que conforman las caras del polie- dro; por ejemplo en la ?gura: A, E, B… Hay 8 vértices en la ?gura.
d) Ángulos diedros: Son los formados por dos caras contiguas, es decir, que com- parten una arista común; por ejemplo en la ?gura, el ángulo formado por las caras EFBA y GEAC. Hay 12 ángulos diedros en la ?gura, tantos como aristas.
e) Ángulos triedros: Son los formados por tres caras que concurren en un vértice; por ejemplo en la ?gura, el ángulo formado por las caras GHDC, GEAC y CDBA, que concurren en el vértice C. Hay 8 ángulos triedros en la ?gura, tantos como vértices [En ?guras más complejas puede hablarse Fig. 2: Algunos sólidos de revolución (?guras tomadas de Benito y Sánchez, s. f.)
2. Poliedros
2.1. Concepto y elementos de un poliedro
Como se ha dicho, los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras externas son todas polígonos.
Tomando como referencia la ?gura de un cubo, vamos a precisar los elementos de un poliedro.
a) b) Fig. 3: Poliedros: a) convexo; b) cóncavo
1. ¿Cuántas caras, aristas, vértices, y ángulos diedros tiene el poliedro b) de la ?gura anterior? 2. ¿Cuántas de esas caras son polígonos cóncavos? 3. ¿Cuántos de esos ángulos diedros son cóncavos? ¿Cuánto mide cada uno de ellos?
c) Según la congruencia de sus caras y ángulos diedros. Si todas las caras de un po- b) Según la medida de los ángulos die- liedro son polígonos regulares congruentes entre sí, y también son congruentes todos sus dros: Para calcular la medida de un ángulo ángulos diedros, el poliedro se denomina regular. E irregular en caso contrario. diedro se toma un punto cualquiera de la Sólo hay cinco poliedros regulares: arista común a las dos caras; en cada cara, se traza una perpendicular a la arista en ese punto común. Así queda construido un án- gulo en el nuevo plano formado por las dos perpendiculares: la medida de este ángulo es la medida del ángulo diedro. Por ejem- plo, en el cubo, todos los ángulos diedros miden 90º. Figura 4: Poliedros regulares Sus características y elementos se muestran en la siguiente tabla: Si la medida de cada uno de los ángu- los diedros del poliedro es menor de 180º, el poliedro se denomina convexo; en caso contrario, cóncavo. Dicho de otra manera, si al tomar dos puntos cualesquiera del in- terior del poliedro, el segmento que los une queda todo él en su interior, hablamos de un poliedro convexo, es decir, sin “entran- tes”. Un poliedro se cali?ca como cóncavo cuando presenta algún entrante, es decir, algún ángulo diedro de medida mayor que 180º. En la ?g.3, el dibujo b) representa un poliedro cóncavo. 8
9 Observe que en el tetraedro, cubo y dodecaedro se presentan ángulos triedros (en cada vértice concurren tres caras), mientras que en el octaedro hay ángulos tetraedros (en cada vértice concurren cuatro caras) y en el icosaedro, ángulos pentaedros (en cada vértice concurren cinco caras).
Los poliedros regulares son conocidos como sólidos pitagóricos o platónicos. El primer cali?cativo se debe a que ya los pitagóricos conocían su existencia y que no había más poliedros regulares. Además asociaron el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro a los elementos básicos de nuestro planeta: fuego, tierra, aire y agua, respectivamente. El segundo cali?cativo se debe a que Platón terminó de asociar el dodecaedro al universo, bajo el supuesto de que este poliedro era diferente a los de- más y, por lo tanto, debía referirse a la materia del universo, concebida también como diferente a la de la Tierra.
[Si desea una visualización dinámica de cada uno de los poliedros regulares, puede acudir a la red en la dirección http://www.walter-fendt.de/m11s/platonsolids_s.htm].
4. ¿Por qué al acoplar exactamente por sus bases dos tetraedros regulares del mis- mo tamaño no se forma un poliedro regular de seis caras? 2.3. Otros poliedros de interés
a) Prismas
Son poliedros que poseen dos caras congruentes (bases) ubicadas en planos paralelos y con sus aristas homólogas paralelas, de tal modo que las demás caras (caras laterales) son paralelogramos.
Cuando las aristas de esas caras laterales son perpendiculares a las bases, se habla de prismas rectos; en caso contrario, se trata de prismas oblicuos. Las caras laterales de los prismas rectos son rectángulos; la de los prismas oblicuos, romboides (o rombos). Se denomina altura del prisma a la distancia entre las dos bases. En la ?gura anterior encontramos: a) un prisma oblicuo de bases cuadran- gulares; b) un prisma recto de bases pentagona- les c) un prisma recto de bases triangula- res.
Un prisma se cali?ca como regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares; en la ?gura anterior no aparece ningún prisma regular; un cubo sí lo es.
b) Paralelepípedos (paralelepípedo = paralellos [paralelos] + epipedon [plano])
Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos; por consiguiente y como su nombre lo indica, poseen dos pares de caras laterales paralelas y con- gruentes. Las bases pueden ser rombos, romboides o rectángulos. En este último caso –que incluye también el de las bases cuadradas-elparalelepípedorecibeelnom- bre de ortoedro (ortoedro = orto [recto] + hedra [cara]), prisma que posee todas sus caras rectangulares; el ortoedro debe ser, pues, un paralelepípedo recto, no oblicuo. El cubo viene a ser un ortoedro regular, pero no es el único.
c) Pirámides Son poliedros con una sola base poli- gonal y caras laterales triangulares, que se unen en un punto denominado vértice de la pirámide. El número de lados del polí- gono de la base –o, lo que es lo mismo, el número de caras triangulares laterales- de- termina el tipo de pirámide: triangular (lla- a) b)
Fig. 5: Algunos prismas c)
En la ?gura anterior encontramos: a) un tronco de prisma; b) un tronco de pirámide de bases pa- ralelas; c) un tronco de pirámide de bases no paralelas.
Reúnase con sus colegas y hagan una relación de objetos naturales o artefac- tos culturales (envases, edi?caciones, muebles, objetos de la vida diaria…) que ustedes conozcan y tengan la forma de prismas, paralelepípedos o pirámides, sean completos o truncados. ¿Conocen algún objeto que tenga la forma de al- guno de los poliedros regulares? ¿Y al- guno que posea la forma de un poliedro cóncavo? 2.4. Algunos problemas referentes a poliedros
¿Es posible colocar cuatro puntos en el espacio de tal forma que cada uno equidiste de todos los demás? Pues si lo piensa un poco y se ?ja en lo que hemos expuesto hasta ahora, llegará sin duda a la respuesta: Sí, colo- cándolos en los vértices de un tetraedro regular. ¿Es posible hacer esto en el pla- no? No; en el plano sólo es posible colo- car ternas de puntos equidistantes entre sí: en los vértices de cualquier triángulo equilátero.
5. ¿Y es posible colocar en el espacio cinco puntos equidistantes entre sí?
6. ¿Cuántos pares de aristas paralelas tiene un cubo? mada tetraedro), cuadrangular, pentagonal, etc. Se denomina altura de la pirámide a la distancia entre el vértice y la base.
Una pirámide se cali?ca como regular si el polígono de la base lo es y los triángulos laterales son todos isósceles y congruentes. El tetraedro regular es un caso particular, ya que los cuatro triángulos son equiláteros.
a)
b)
A c)
B M Fig. 6: Algunas pirámides
En la ?gura anterior encontramos:
a) una pirámide triangular (tetraedro) irregular; b) una pirámide pentagonal irregular; c) una pirámide cuadrangular regular. 10 En este último caso, el pie de la altura AB de la pirámide, es decir, el punto B, es el centro del polígono de la base. También se destaca otro elemento, la apotema, que es la altura de cualquiera de los triángulos isósceles de las caras laterales; en la ?gura c), AM es una apotema de la pirámide.
d) Los troncos…
Si un prisma se intersecta con un pla- no no paralelo a las bases, se obtiene un objeto llamado tronco de prisma (en rea- lidad se obtienen dos troncos de prisma…) o prisma truncado. Igual ocurre con una pirámide; pero en este caso, si el plano de intersección es paralelo a la base, el cuerpo resultante se denomina tronco de pirámi- de (pirámide truncada) de bases paralelas; sus caras laterales son trapecios; la altura de este objeto es la distancia entre las dos bases. a)
b)
c)
Fig. 7: Troncos de prisma y de pirámides
F C 11 En el centro del piso de una habitación está depositado un cubo. Si por el techo puede moverse libremente un foco de luz, ¿qué formas puede adoptar la sombra del cubo en el piso de la habitación? 2.5. Construcción de poliedros
Una de las actividades ligadas al estudio de los poliedros es la de su construcción. A este respecto, es muy importante advertir 7. ¿Con cuáles de los siguientes grupos de vértices del cubo de la ?gura se puede construir un triángulo equilátero? E H a) A, B, F b) A, D, G G c) A, C, H d) A, C, E D e) F, D, H A B 8. ¿Cuántas pirámides regulares cuya base sea la cara de un cubo dado, y cuya altura sea la mitad de la arista del mismo cubo, caben en dicho cubo? ¿Queda alguna porción de espacio del cubo sin ocupar?
9. Se desea pintar un cubo de tal for- ma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color. ¿Cuál es el menor número de colores que se necesitan para ello?
10. Se acaba de pintar la parte exterior (lateral y superior) de estos cuatro cubos apilados. ¿Cuántas caras se han pintado? que todos los poliedros huecos pueden “abrirse” y colocarse sobre un plano, en forma de plantilla. Para ello, nada mejor que tomar cualquier caja y sin romperla, despegar sus junturas y extenderla sobre la mesa, para ver su con?guración y las “pestañas” que, al aplicarles el pegamento correspondiente, sirven para armar el cuerpo.
También podemos proceder en sentido contrario: partir de una plantilla y construir el poliedro correspondiente. En este caso, el problema consiste en elaborar esa plantilla. El primer paso debe ser el de dibujar sus caras y el de ubicar adecuadamente las bases. Un segundo paso será el de colocar las pestañas en los lugares pertinentes pensando en que, al recortar de una sola vez la plantilla y colocar el pegamento en los lugares indicados, pueda armarse adecuadamente el poliedro.
Esta es una tarea muy interesante e importante, ya que con ella se ofrece la oportuni- dad de desarrollar la capacidad de visualizar las cosas antes de hacerlas y, por consiguien- te, el sentido espacial.
Esta es una plantilla para armar un cubo, aunque todavía no están ubicadas las pesta- ñas. ¿Puede construir usted otras dos plan– tillas diferentes, con las cuales también se pueda construir un cubo?
11. Determine si, aun antes de colocar las pestañas, se puede construir un cubo con las siguientes plantillas: c) a) b)
12. Con la plantilla de la dere- cha, ¿puede construirse el paralele- pípedo de la izquierda?
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