Interpolación y aproximación de Funciones

2. Contenido
3. Lenguaje utilizado
4. Páginas Web consultadas
5. Bibliografía consultada

Introducción:

La interpolación y la aproximación de funciones se aplican en la informática en diversos campos:

Tratamientos de imágenes mediante una animación interpolada:

La animación se crea mediante el cambio del contenido de imágenes sucesivas. Puede hacer que un objeto se desplace, aumente o disminuya de tamaño, gire, cambie de color, aparezca o desaparezca, o cambie de forma. Los cambios pueden ocurrir por separado o combinados entre sí.

• Interpolación de movimiento, se definen propiedades como la posición, el tamaño y la rotación de una instancia, un grupo o un bloque de tipos en un punto en el tiempo, y estas propiedades se cambian en otro punto.
• Interpolación de forma: se dibuja una forma en un punto del tiempo y se cambia o se dibuja una nueva en otro punto. Al interpolar formas se crea un efecto similar al de transformación y las formas parecen cambiar en el transcurso del tiempo.

La animación interpolada es una forma eficaz de crear movimiento y cambios a lo largo del tiempo y de reducir al mínimo el tamaño del archivo. Al contrario de la animación imagen a imagen, sólo necesita almacenar los valores de los cambios de la imagen, no la imagen completa.

Mediciones de temperaturas y precipitaciones

Los datos iniciales utilizados en este trabajo son las medias mensuales de temperatura (máxima, mínima y media) y precipitaciones. Para realizar la interpolación de los valores de las estaciones hacia una rejilla de 15 minutos latitud/longitud (Figura 1), se utilizó un Sistema de Visualización y Análisis en Rejilla (GrADS), un software desarrollado por el Centro para Estudios del sistema Tierra-Océano-Atmósfera de la Universidad de Maryland de los Estados Unidos. El esquema de interpolación incorporado en GrADS es el método de Cressman, el cual ha sido ampliamente utilizado en aplicaciones de la meteorología.

La disminución del número de estaciones reduce la calidad de las interpolaciones y esta variación en el número de puntos puede introducir movimientos irreales en las series temporales de los campos generados, con independencia del método de interpolación que se utilice; así los campos interpolados con menos estaciones no serán capaces de captar todas las características espaciales del fenómeno. Este inconveniente hizo necesario que se utilizara una estrategia para garantizar que los campos de temperatura y precipitación interpolados, pudieran representar las características espaciales y temporales de ambas variables durante todo el período considerado. De esta forma las series de tiempo en rejilla se estimaron utilizando el método propuesto por Willmott y Robeson (1995). Este método, denominado por esos autores como Interpolación Climatológicamente Asistida (ICA), parte de la idea de realizar la interpolación, separando las componentes espaciales y temporales.

Tratamiento de imágenes:

La interpolación es el método por el que se calculan más puntos de muestra, de acuerdo con un algoritmo del software de imágenes –programa de escaneado, para compensar las limitaciones de la resolución óptica. Por lo tanto, si la resolución óptica es de 1000 dpi, la interpolación sólo se utilizará si resoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es especialmente útil al escalar imágenes para erradicar trazos que no se quieren y que parecen como efectos de eslabones en los contornos de la imagen.

Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía y doblar el tamaño de salida de la imagen sin perder detalles, la imagen tiene que contener el mismo nivel de detalles que la fotografía original. Si la imagen se aumenta sin interpolación, el espacio entre los puntos o las líneas será doblado. Esto significa que el mismo números de puntos se tendrán que situar en un área dos veces mayor dando a la imagen una calidad granulada inconsistente. Con la interpolación, la densidad de la imagen se preservara introduciendo el número de puntos que se requieran en el espacio abierto, dando así a la imagen resultante una mejor calidad. La interpolación se realiza durante los procesos tanto de reducción como de aumento.

Reconstrucción de una señal a partir de sus muestras usando interpolación:

La interpolación es un proceso de empleo común en la reconstrucción aproximada o exacta de una señal a partir de sus muestras. Para una señal de banda limitada, si los instantes de muestreo están bastante cerca, entonces la señal puede reconstruirse exactamente, es decir, mediante el empleo de un filtro se puede efectuar la interpolación exacta entre los puntos de muestreo. La interpretación de la reconstrucción de una señal como un proceso de interpolación se hace evidente cuando se considera el efecto en el dominio del tiempo del filtro.

La utilización de la interpolación como una técnica tiene un amplio espectro de utilización tanto es así que es reformulada en cada campo que aplica. La interpolación también es usada en:

Topografías, tecnologías de comunicación, genética, biotecnologías, reconstrucción tridimensional de imágenes medicas, etc.

Contenido:

Este manual cumple con el objetivo de enseñar la instalación y utilización del lenguaje PDL – Perl data Language – en su versión 2.3.4, utilizando la interpretación de PERL con el paquete ActivePerl versión 5.8.0.805.

Partiendo desde una base teórica se intenta familiarizar a el usuario con los conceptos fundamentales para su desarrollo. Se hace referencia de como utilizar los comandos para solucionar un determinado problema, además se incluyen ejemplo de su resolución, así como también de la puesta en marcha de los mismos.

Requerimientos Mínimos

Nota:

Los siguientes componentes mencionados deben estar presentes en el equipo:

* Perl versión 5.6.1

* Perl ISAPI: Compatible con

servidores Web IIS 4.0+ o

PWS 4.0+

* PerlScript: ActiveX scripting host

como IE 4.0+, o Windows

Scripting Host

* Windows 95: DCOM para Windows 95

* Windows NT: Service Pack 5+ y Windows Installer

1.1+

* Espacio disponible en disco: aproximadamente 55 Mb para la instalación típica.

En todas las versiones Windows debe estar presente Windows Installer 2.0+

Lenguaje utilizado

1.1 .- Conocimientos Básicos

PDL es un lenguaje de programación orientado tratamiento numérico de datos. Sus siglas significan Perl Data Language, y como su nombre indica está basado en el lenguaje de programación Perl, esto quiere decir que es un modulo del programa, por lo tanto es necesario tenerlo ya instalado a la hora de colocar PDL. Perl es gratuito y además es Software Libre, esto quiere decir que el código fuente está disponible para que cualquiera lo pueda ver o modificar.

Perl es la abreviación de Practical Extraction and Report Language. Es lo que se conoce como un lenguaje script, es decir, uno en el que no hace falta compilar el programa escrito.

El fuerte de PDL es la posibilidad de manipular matrices n-dimensionales y además de poder resolver cálculos numéricos matriciales de una forma rápida.

Una de las características centrales de PDL es poder relacionarse fácilmente con el sistemas.

Tal como hemos mencionado, PDL es un lenguaje de cálculo numérico basado en Perl Está disponible en múltiples plataformas y sistemas operativos. De hecho funciona en diferentes versiones de Unix, Linux y todo tipo de Windows. Un programa que se escriba teniendo en cuenta la compatibilidad puede ser escrito en una plataforma y ejecutado en otra.

Se pueden conseguir el modulo para cálculo numérico de PDL y otros a través de el CPAN -Comprehensive Perl Archive Network.

El proyecto PerlDL apunta a convertir Perl en un eficiente lenguaje numérico para computadoras. El modulo PDL le da al Perl estándar la habilidad de manipular rápidamente y guardar compactamente matrices de N-dimensiones. Uno puede escribir expresiones simples en PERL y manipular cadenas numéricas enteras todo de una sola vez.

PDL convierte a PERL en un lenguaje numérico gratuito similar al paquete comercial MATLAB.

Con el paquete es provisto un SHELL llamado PERLDL el cual se usa en la líneas de comando y un modulo llamado PDL para el uso en los SCRIPT de PERL.

La distribución PDL para PERL es gratuita y proporciona una amplia funcionalidad numérica con soporte para visualización de dos y tres dimensiones, así también como una gran variedad de rutinas de entrada/salida. El objetivo de PDL es permitir una interactividad con una gran variedad de paquetes numéricos, gráficos y de sistemas de visualización.

A continuación se proporcionará una breve reseña sobre el manejo de operadores relacionales y lógicos, así como también de las funciones que competen al lenguaje.

1.2 .- Instalación en Linux / Unix

Puedes utilizar el modulo CPAN de Andreas König para que automáticamente ejecute los procesos de descompresión y instalación.

1.2.1 .- Instalación de archivos comprimidos

tar.gz

A)- Descompresión

Descomprimir el archivo con

gzip -d moduloPDL.tar.gz

Puedes obtener el descompresor gzip de

ftp://prep.ai.mit.edu/pub/gnu.

O puedes combinar este paso con el

siguiente para guardar en disco

gzip -dc moduloPDL.tar.gz | tar -xof

B)- DESEMPAQUETANDO

Desempaquetar el resultado con

tar -xof moduloPDL.tar

C)- COMPILANDO

Entrar en el directorio nuevo y escribir:

perl Makefile.PL

make

make test

D)- INSTALANDO

Sin salir del directorio, escribimos:

make install

Asegurese de tener los permisos apropiados para instalar en el directorio de la librería de PERL. Después necesitara ser el root.

Esto es todo lo que necesitas hacer con las conexiones dinámicas.

Muchos sistemas Unix tienen conexiones dinámicas, si usted no las tiene o si por cualquier razón tiene conexiones estáticas en PERL, y el modulo requiere ser

compilado, usted necesitara una versión binaria que incluya el modulo. De nuevo usted necesitara ser el root

1.2.2 .- Instalando los paquetes RPM

Instalación del paquete Perl

rpm –install -nodeps ActivePerl-5.8.0.805-i686-linux.rpm

Instalación del paquete MESA

rpm –install -nodeps Mesa-3.4-13.i386.rpm

Instalación dl paquete PGPLOT

rpm –install -nodeps pgplot-5.2.0-2.i386.rpm

Instalación del paquete OPENGL

rpm –install -nodeps oss-opengl-glu-20000925-1.i386.rpm

Instalación del paquete PDL

rpm –install -nodeps pdl-2.2.3-1.i386.rpm

Compilación / instalación de PDL

Utilizar los pasos de compilación e instalación anteriormente ya descriptos (sección 1.2 Instalación de archivos comprimidos tar.gz)

1.3 .- Instalación en Windows

Descomprimir el archivo

Usar el manejador de paquetes para instalar PDL:

ppm install –localización=. PDL

Los documentación de PDL en HTML son instalados en el directorio html. Casi siempre debido a un defecto del la versión actual del manejador de paquetes (ppm), no son reflejados en el índice de la documentación de perl. Por favor copia en el directorio html/lib/pdl los archivos. Las referencias cruzadas en el los archivos html son actualmente borradas. El script de post instalación es necesario par corregir esto en el futuro.

Ante cualquier consulta dirigirse a:

pdl-porters[arroba]jach.hawaii.edu

Interpolación de funciones

Los valores de las funciones polinomiales se pueden determinar efectuando un numero finito de sumas y multiplicaciones. Sin embargo, existen otras funciones, tales como la logarítmica, la exponencial y las funciones trigonométricas , que no se pueden evaluar tan fácilmente. En esta sección demostraremos que muchas funciones se pueden calcular en forma aproximada por polinomios y que puede usarse el polinomio en vez de la función original, para los cálculos, cuando la diferencia entre los valores de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.

 Interpolación

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

1 .- Polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton

1.1 .- Interpolación lineal:

1.1.1 .- Enunciado Teórico:

Teniendo dos puntos como datos X0 ^ X1 la interpolación lineal consiste en conectarlos con un polinomio de primer orden (una recta)

f1 (x) = f(x0) + f(x1) – f(x0) * (x – x0)

x1 – x0

f1 (x) = b0 + b1 (x – x0)

Antes de explicar la interpretación geométrica, comenzaremos resolviendo un ejemplo:

Ejemplo1:

Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0,∏], con:

Calcule sen 1 con cada una de las curvas encontradas y compare con el valor verdadero.

1.1.2 .- Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Newton

.

Figura 3: Interpretación grafica de la función a evaluar ( f(x)=sen x ).

1.1.3 .- Código Fuente

# EJEMPLO 1 – INTERPOLACION LINEAL DE NEWTON

use PDL;

use PDL::Graphics::TriD;

#defino los valores iniciales

print "nn Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";

$coeficiente = <STDIN>;

print "n Ingrese el primer numero: ";

$x0 = <STDIN>;

print "n Ingrese el segundo numero: ";

$x1 = <STDIN>;

print "n Ingrese el tercer numero: ";

$x2 = <STDIN>;

print "n Ingrese el cuarto numero: ";

$x3 = <STDIN>;

#calculo las funciones

$resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);

$original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);

#calculo la función aproximada

$f1= sin $x0 + ((sin $x1-sin $x0)/($x1-$x0))*($coeficiente-$x0);

$f2= sin $x1 + ((sin $x2-sin $x1)/($x2-$x1))*($coeficiente-$x1);

$f3= sin $x2 + ((sin $x3-sin $x2)/($x3-$x2))*($coeficiente-$x2);

$aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3] ]);

print "nn";

print "La matriz resultante es: n";

print $resultado;

print "n n";

print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente nn";

print " 1 – Resultado del intervalo n";

print " 2 – Resultado Aproximado del intervalon";

print " 3 – Función Original n";

print " n";

print "Presione ENTER para continuar …";

<STDIN>;

imag3d ([$resultado]);

imag3d ([$aproximado]);

imag3d ([sin $original]);

hold();

1.2 .- Interpolación cuadrática:

1.2.1 .- Enunciado Teórico:

Teniendo tres puntos como datos X0, X1 ^ X2. La interpolación cuadrática consiste en conectarlo con en polinomio de segundo orden (una parábola) de la siguiente manera:

f2 (x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x1)

b0 = f(x0) b1 = f(x1) – f(x0)

x1 – x0

f(x2) – f(x1) – f(x1) – f(x0)

b2 = x2 – x1 x1 – x0

x2 – x0

1.2.2 .- Interpretación geométrica

Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación cuadrática de Newton entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 4: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática de Newton

1.2.3 .- Código Fuente

# EJEMPLO 2 – INTERPOLACION CUADRATICA DE NEWTON

use PDL;

use PDL::Graphics::TriD;

#defino los valores iniciales

print "nn Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";

$x = <STDIN>;

print "n Ingrese el primer numero: ";

$x0 = <STDIN>;

print "n Ingrese el segundo numero: ";

$x1 = <STDIN>;

print "n Ingrese el tercer numero: ";

$x2 = <STDIN>;

print "n Ingrese el cuarto numero: ";

$x3 = <STDIN>;

#calculo las funciones

$resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);

$original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);

#calculo la función aproximada

#calculo f0(x)

$b0 = sin $x0;

$b1 = (sin $x1 – sin $x0) / ($x1-$x0);

$b2 = ((sin $x2 – sin $x1) – (sin $x1 – sin $x0))/($x2-$x0);

$f0 = $b0 + ($b1*($x – $x0)) + ($b2 * ($x – $x0) * ($x – $x1));

#calculo f1(x)

$b0 = sin $x1;

$b1 = (sin $x2 – sin $x1) / ($x2-$x1);

$b2 = ((sin $x3 – sin $x2) – (sin $x2 – sin $x1))/($x3-$x1);

$f1 = $b0 + ($b1*($x – $x1)) + ($b2 * ($x – $x1) * ($x – $x2));

$aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f0,$f1] ]);

print "nn";

print "La matriz resultante es: n";

print $resultado;

print "n n";

print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente nn";

print " 1 – Resultado del intervalo n";

print " 2 – Resultado Aproximado del intervalon";

print " 3 – Función Original n";

print " n";

print "Presione ENTER para continuar …";

<STDIN>;

imag3d ([$resultado]);

imag3d ([$aproximado]);

imag3d ([sin $original]);

hold();

2 .- Polinomio de interpolación de Lagrange:

Es una reformulación del polinomio de Newton, este polinomio de interpolación evita el cálculo de las diferencias divididas y vine dado por:

2.1 .- Forma general:

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

  Este es el único polinomio de n-esimo orden que pasa exactamente por los n + 1 puntos.

Si tenemos n=1 2 puntos  

2.2 .- Forma lineal:

2.2.1 .- Enunciado Teórico:

f1 (x) = x – x1 f (x0) + x – x0 f (x1)

x0 – x1 x1 – x0

l0 (x) = x – x1 l1 (x) = x – x0

x0 – x1 x1 – x0

2.2.2 .- Interpretación geométrica

Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación lineal de lagrange entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 5: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Lagrange.

2.2.3 .- Código Fuente

# EJEMPLO 3 – INTERPOLACION LINEAL DE LAGRANGE

use PDL;

use PDL::Graphics::TriD;

#defino los valores iniciales

print "nn Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";

$x = <STDIN>;

print "n Ingrese el primer numero: ";

$x0 = <STDIN>;

print "n Ingrese el segundo numero: ";

$x1 = <STDIN>;

print "n Ingrese el tercer numero: ";

$x2 = <STDIN>;

print "n Ingrese el cuarto numero: ";

$x3 = <STDIN>;

#calculo las funciones

$resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);

$original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);

#calculo la función aproximada

$f1 = (($x – $x1)/($x0 – $x1) * sin $x0) + (($x – $x0)/($x1 – $x0) * sin $x1);

$f2 = (($x – $x2)/($x1 – $x2) * sin $x1) + (($x – $x1)/($x2 – $x1) * sin $x2);

$f3 = (($x – $x3)/($x2 – $x3) * sin $x2) + (($x – $x2)/($x3 – $x2) * sin $x3);

$aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3] ]);

print "nn";

print "La matriz resultante es: n";

print $resultado;

print "n n";

print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente nn";

print " 1 – Resultado del intervalo n";

print " 2 – Resultado Aproximado del intervalon";

print " 3 – Función Original n";

print " n";

print "Presione ENTER para continuar …";

<STDIN>;

imag3d ([$resultado]);

imag3d ([$aproximado]);

imag3d ([sin $original]);

hold();

2.3 .- Forma cuadrática:

2.3.1 .- Enunciado Teórico:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

2.3.2 .- Interpretación geométrica

Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación cuadrática de Lagrange entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 6: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática de Lagrange

2.3.3 .- Código Fuente

# EJEMPLO 4 – INTERPOLACION CUADRATICA DE LAGRANGE

use PDL;

use PDL::Graphics::TriD;

#defino los valores iniciales

print "nn Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";

$x = <STDIN>;

print "n Ingrese el primer numero: ";

$x0 = <STDIN>;

print "n Ingrese el segundo numero: ";

$x1 = <STDIN>;

print "n Ingrese el tercer numero: ";

$x2 = <STDIN>;

print "n Ingrese el cuarto numero: ";

$x3 = <STDIN>;

#calcuo las funciones

$resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);

$original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);

#calculo la función aproximada

$f1 = (((($x – $x1)*($x – $x2)) / (($x0 – $x1) * ($x0-$x2))) * sin $x0) + (( (($x – $x0)*($x – $x2)) / (($x1 – $x0) * ($x1-$x2)) ) * sin $x1) + (( (($x – $x0)*($x – $x1)) / (($x2 – $x0) * ($x2-$x1)) ) * sin $x2);

$f2 = (((($x – $x2)*($x – $x3)) / (($x1 – $x2) * ($x1-$x3))) * sin $x1) + (( (($x – $x1)*($x – $x3)) / (($x2 – $x1) * ($x2-$x3)) ) * sin $x2) + (( (($x – $x1)*($x – $x2)) / (($x3 – $x1) * ($x3-$x2)) ) * sin $x3);

$aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2] ]);

print "nn";

print "La matriz resultante es: n";

print $resultado;

print "n n";

print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente nn";

print " 1 – Resultado del intervalo n";

print " 2 – Resultado Aproximado del intervalon";

print " 3 – Función Original n";

print " n";

print "Presione ENTER para continuar …";

<STDIN>;

imag3d ([$resultado]);

imag3d ([$aproximado]);

imag3d ([sin $original]);

hold();

Paginas Web Consultadas:

Pagina Oficial:

• http://pdl.perl.org/

Lista de Archivos para descargar:

• http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=612

Paquete para la versión de Linux Debian:

• http://packages.debian.org/pdl
• http://fink.sourceforge.net/pdb/package.php/pdl

Servidor CVS (cvsweb):

• http://cvs.sourceforge.net/cgi-bin/viewcvs.cgi/pdl/

Paginas relacionadas:

• http://glub.ehu.es/recursos–castellano/ Linux_en_castellano-6.html
• http://www.perl.com
• http://aspn.activestate.com/ASPN/CodeDoc/PDL/Basic/Pod/Tips.html
• http://www.met.inf.cu/sometcuba/Boletin/v07_n01/art_abel04.htm
• http://www.servicios-graficos.com/home/Usuarios/Tutoriales/TeoCol/interpol/body_interpol.html
• http://www.mappinginteractivo.com/plantilla-ante.asp?id_articulo=128
• http://itzamna.uam.mx/pilar/rec_3d.html

Bibliografía consultada

• "El calculo con geometría Analítica" – Luis Leithold – Sexta edición

Petersen Alberto Matías

pdl-porters[arroba]jach.hawaii.edu