Acumulación de tolerancias (página 2)

Ii = [Vi – Ti, Vi] o Ii = [Vi, Vi + Ti].

Por lo general, uno especificaría un intervalo de la tolerancia Ii = [ci, di] con ci = vi = di

Al ocuparse de un intervalo simétrico o unilateral de la tolerancia, Ti se le denomina valor de la tolerancia. Para el intervalo bilateral más general de la tolerancia Ii = [ci, di] tendríamos dos tolerancias, a saber T1i = Vi – Ci y T2i = di – vi. El principio de acumulación de tolerancias se aplica también en el caso asimétrico, pero el análisis y la exposición tienden complicarse, por lo tanto nos centraremos en el caso simétrico.

En ocasiones se encuentra el término "Rango de la Tolerancia" el cual se refiere a la dimensión íntegra de el intervalo de la tolerancia, es decir, Ti" = di – ci.

La función f que muestra la relación de A con X1. . ., Xn se asume que sea lineal. Para las perturbaciones pequeñas Xi-Vi de Xi del nominal Vi, asumimos que f (X1. . ., Xn) es aproximadamente lineal en esas perturbaciones, es decir

Con los coeficientes conocidos a0, a1. . . .an.

Observamos que no todas las funciones f son lineales. Una función muy simple f y no lineal esta dada de la siguiente forma:

Esta función se puede ver como la distancia de un centro del agujero del origen nominal (0, 0).

El objetivo de los análisis de una acumulación de tolerancias es descubrir en qué medida la dimensión A del ensamble se diferenciará del valor nominal VA, mientras que Xi no puede variar sobre Ii.

El análisis siguiente se da la vuelta al problema para solucionarlo. En este caso especificamos la cantidad de variación que se puede tolerar para A y la tarea es la de encontrar las tolerancias de la dimensión de la pieza, Ti, de modo que la tolerancia deseada para el ensamble para A sea conocida.

MODELO ARITMÉTICO Y ESTADÍSTICO

4.1 Modelo Aritmético

El modelo aritmético para las acumulaciones de tolerancias utiliza los valores mínimos de dimensiones y de tolerancias para calcular el máximo y la distancia mínima (separación o interferencia) entre dos características o porciones. Éste modelo asume que las dimensiones de la pieza pueden hacer que cualquier valor dentro del rango de la tolerancia y de las tolerancias aritméticas acumuladas describan la gama de todas las variaciones posibles para el criterio del montaje de interés.

4.2 Modelo Estadístico

Por otra parte, las acumulaciones estadísticas de la tolerancia evalúan el máximo y los valores mínimos basados en el cálculo aritmético absoluto para establecer la probabilidad de obtener los valores máximos y mínimos, esto apoyándose en el método del cuadrado (RSS) o de Monte Carlo de la suma de la raíz, el cual trataremos más adelante.

Además asume que la dimensión de la pieza varía aleatoriamente según una distribución normal, centrada en el punto mediano del intervalo de la tolerancia y con su ±3s (s =desviación estándar, la cual describe la extensión de una distribución estadística para la parte de la variación) para cubrir el intervalo de la tolerancia. Para las tolerancias dadas de la dimensión de la parte esta clase de análisis conduce típicamente a tolerancias mucho más reducidas de la del ensamble, o en otros casos para la tolerancia dada del ensamble requiere de tolerancias considerablemente menos rigurosas de la dimensión de la parte.

Para cualquier trabajo en el que se incluyan tolerancias se deberán utilizar los dos modelos sin excepción: aritmético y estadístico

4.3 Modelos Adicionales

Ya que la experiencia ha demostrado que generalmente los resultados no son tan precisos como se dice, se ha optado por minimizar las suposiciones distribucionales antes mencionadas en varias maneras.

Una de las formas es permitir, con excepción de las distribuciones normales las cuales sólo cubren el intervalo de la tolerancia con una extensión más amplia, pero que aún se centran en el punto mediano del intervalo de la tolerancia. Esto da lugar a aumentos menos optimistas que los que se obtienen generalmente bajo parámetros de normalidad, pero mucho mejor que aquellos dados por tolerancias aritméticas, especialmente para cadenas más largas de la tolerancia.

Otra disminución se refiere a centrar la distribución dentro del punto medio del intervalo de la tolerancia. Esto se torna difícil de realizar por el hecho de que no es fácil centrar cualquier proceso exactamente donde uno quisiera que estuviera, dicha desventaja ha conducido a cambiar a varios modelos, en los cuales la distribución se puede centrar en cualquier lugar dentro de cierta cercanía alrededor del punto medio, así se considera que la distribución es normal en el rango de ±3s y que aún está dentro de los límites de la tolerancia.

Esto significa que mientras permitamos un cierto cambio en el rango requerimos una reducción simultánea en variabilidad. Entonces los cambios se apilan en la peor manera. La variación correspondientemente reducida de las distribuciones que se cambiaron de lugar se acumula estadísticamente. La tolerancia total del montaje se convierte entonces en una suma de dos porciones (en el peor de los casos), consistiendo en un cambio aritméticamente acumulado y en un término que refleja las distribuciones estadísticas acumuladas que describen la variación de las piezas.

Resulta que las tolerancias aritméticas y estadísticas son sub partes de este modelo más general, el cual fue requerido para unificar materias. Sin embargo, hay otra manera de lidiar con los cambios que aparentan ser nuevos, al menos en la forma presentada aquí. Se aprovechan las distribuciones estadísticas de las piezas y estadísticas en el peor de los casos con la distribución estadística de la variación reducida en la parte distribución dimensional. Sin embargo, allí fue precisado que conduce a resultados optimistas. La razón de esto era un defecto en la manipulación de la reducción de la variación de la dimensión de la pieza causada por los cambios al azar. Cuando se trata de una tolerancia acumulada bajo un cambio, con alguna de ellas se tiene que tener especial cuidado, ya que pudiera no lograrse el ensamble.

Entendiendo las tolerancias, los conceptos, y los límites creados por estos estándares es necesario realizar cálculos muy precisos.

MEAN SHIFTS O CAMBIOS NEGATIVOS

Hasta ahora hemos supuesto que la dimensión XI debe estar centrada respecto al valor nominal Vi. Esto usualmente resulta difícil y costoso. Tales cambios se realizan deliberadamente (enfocados a la condición máxima de material MMC). En otras ocasiones el desgaste de la herramienta, provoca que a menudo uno no pueda hacer que el centro nominal de Vi quede exactamente en la pieza. Un cambio en la distribución del XI lejos de los centros nominales respectivos causará otro cambio, también en el criterio A del ensamble. Esto aumentará el riesgo del no ensamble, puesto que cambiará de posición la curva normal más hacia un final del requerido por diseño en el ensamble [-K0, K0].

Este problema se ha intentado resolver introduciendo factores de la inflación c, con el único requisito de mantener una distribución para XI que siga siendo simétrica alrededor de Vi. Esto resulta perjudicial si se asume una variación más alta, pero todavía obligando a XI a estar en el intervalo de la tolerancia Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti].

Este factor c de inflación explica una variación más alta dentro de Ii, como efecto secundario, y también se ocupa de los cambios negativos, puesto que causa un ajuste de tolerancias en dicha parte de un diseño.

Un cambio negativo se presenta persistentemente, lo que hace que su efecto sea esencial, mientras que una variación inflada expresa la variación que cambia de sección en sección, y permite así corregir el error.

Esto va a producir otro cambio excéntrico, este re centralizado agregará variabilidad total del proceso, es decir, los cambios del medio se transforman físicamente en variabilidad. Es cuestionable el hecho de que lo anterior sea una buena estrategia. Un cambio producirá típicamente partes rechazadas solamente en un lado del intervalo de la tolerancia, mientras que la variabilidad debido al re centralizado ocasionará rechazos en ambos lados de la parte.

El tratamiento de los cambios negativos está dado por ?i = µi – Vi. Debemos tener en cuenta la posibilidad de cambios perjudiciales, así que mantendremos la idea de un intervalo de la tolerancia, es decir, el ith de la dimensión de la pieza XI aún será contenido en el intervalo Ii de la tolerancia. Si se asume que la distribución de XI es normal, entonces su rango de ±3si queda dentro de Ii.

Fig. 2 Distribuciones normales cambiadas sobre el intervalo de tolerancia

(Tolerance stack analysis methods a critical review, pág 22, Noviembre 1995)

En la Fig. 2 se muestra como cuando si decrece, |?i| consigue el rango más grande. Para los intervalos fijos de la tolerancia esto significa que se pueden producir cambios negativos más grandes teniendo una variación más ajustada. Esto significa que la distribución de XI está cambiada de posición para Vi -Ti o Vi +Ti, sin variación.

En realidad no es fácil ajustar la variación de un proceso de producción de la pieza. Es más práctico ensanchar el intervalo Ii de la tolerancia de la dimensión de la pieza o aumentar el Ti. Para realizar un mejor análisis de acumulación de tolerancia se realiza s en términos crecientes de Ti, el efecto será el mismo desde el punto de vista del método. Con el incremento de Ti, si parecerá haber sido reducido con respecto a Ti.

Los cambios negativos generalmente no son prioritarios, ya que son poco realistas y nos conducen de nuevo al peor caso de la tolerancia. Para evitar esto, la cantidad de los cambios perjudiciales se toman en cuenta con un rango del límite de tolerancia.

Dichos límites se toman en cuenta para el error en la fabricación y se deben fijar. Lo siguiente es útil referente a |?i| como ?i de la fracción de Ti, es decir, |?i| = ?i Ti con 0 = ?i = 1. Los límites comprendían a |?i|, ahora la equivalencia se expresa como los límites en ?i, a saber ?i = ?0i o dicho de otra forma:

|?i| = ?0iTi

Generalmente es más razonable indicar los límites comprendiendo |?i| en proporcionalidad a Ti. Una razón de esto es que el Ti captura hasta cierto punto la variabilidad

La variabilidad es también responsable de la variación negativa de µi, es decir, que hay una cierta proporcionalidad entre los dos fenómenos de la variación. Una vez que tales límites negativos de se expresen en términos proporcionales a Ti, entonces se asume un límite común para estos factores de proporcionalidad, sabiendo que ?01 =. . . = ?0n = ?0.

Tener un límite común ?0 para todas las dimensiones de la parte XI no es necesario, pero ayuda a simplificar el ajuste según cambios perjudiciales.

Ahora vemos la dimensión XI de la pieza como la suma de dos o tres contribuciones:

Donde µi es el cambio alrededor las dimensiones individuales de la pieza, ith, y donde se juntan; ?i es la cantidad por la cual XI se desvía de µi cada vez que la parte se produce. El término ?i varía según una cierta distribución con el cero y la variación Podemos pensar que los términos en ?i + ?i son la desviación total de XI con respecto del valor nominal Vi. Sabiendo que µi se diferencia de Vi por el cambio negativo ?i, entonces cada dimensión de la parte tendrá su propia desviación ?i de µi.

Sin embargo, esta última desviación será diferente a partir de la dimensión XI. Por lo tanto los ensambles resultantes experimentarán diversas desviaciones, esto cada vez que se. Sin embargo, el ?i será igual de ensamble a ensamble.

Lo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Y así obtenemos:

Donde:

µA = Cambio de A.

VA= Ensamble nominal.

?A =Cambios negativos en el ensamble.

?A =Captura la variación de A de ensamble a ensamble, teniendo la siguiente variación:

Acumulación aritmética de cambios negativos

La variación de A con respecto ensamble nominal VA es el conjunto de dos contribuciones, nombrado el cambio negativo del ensamble ?A = µA – VA y la variación del ensamble ?A que representa a la suma de "n" contribuciones al azar y d esta manera susceptible a la acumulación de tolerancias.

La cantidad por la cual el µA difiere de VA se representa:

(5)

Esto es exactamente lo que sucede con los cambios negativos, en donde asumimos que todos estos cambios suceden en la dirección más desfavorable. La desigualdad de la ecuación (5) puede ser una igualdad para que todo ai ?i tenga el mismo signo.

Se puede utilizar el método CLT para tratar el ?A como aproximación normal y variación de esta manera se puede esperar un 99.73% de las variaciones del ensamble de ?A y así queden en el rango ±3s?A. Así el 99.73% de las dimensiones del ensamble quedarán dentro de:

µA ±3s?A

La ecuación (5) limita la cantidad por la cual el µA difiere de VA, así que se junta este aditamento con el límite anterior de 99.73% de los intervalos y se espera que las dimensiones A del ensamble estén en el rango siguiente:

(6)

Debido a que se incluye en método del peor caso en los cambios negativos, generalmente se considera bueno sí el 0.27% de los criterios del ensamble quedan fuera del intervalo de la ecuación (6). Ese porcentaje está correcto cuando el cambio del el ensamble es cero. Puesto que el µA cambia de posición a la derecha o a la izquierda de VA, sólo uno de estos extremos estará fuera de los rangos del intervalo de tolerancia.

Se asume que si debe disminuir a la vez que|?i| aumenta, para mantener el requisito XI ? Ii. Si asumimos una distribución normal para XI, significa que requerimos que el rango ±3si alrededor de µi esté contenido dentro de Ii. La capacidad Cpk satisface a la ecuación:

Sí tenemos la cantidad más alta de variación, es decir, Cpk = 1, tenemos:

3si = (1 – ?i) Ti (7)

Debido a que la ecuación 3si = Ti no ha sufrido alteraciones se puede interpretar de dos maneras, las cuales son:

• 1. si necesita ser reducido por el factor (1-?i)

• 2. Ti necesita ser aumentado en el factor 1 (1-?i) para acomodar un cambio de ± 3?i Ti.

De esta manera obtenemos:

Con esta representación de 3s?A por lo menos 99.73% de todas las dimensiones A del ensamble estarán en el rango:

(8)

En la ecuación (8) ith de la fracción ?i aparece en dos lugares, en la suma (aumentando ?i) y bajo la raíz (disminuyendo ?i). Entonces:

Seguido de esto, ?i hará más grande el intervalo de la ecuación (8). Si todas las fracciones cambiadas ?j son limitadas por ?0, podemos limitar así la variación del criterio A del ensamble a:

La ecuación anterior se reduce a:

Es una combinación cargada de acumulación de tolerancias Ti tanto aritméticas como y estadísticas. Se pueden ver como un acercamiento unificado, Greenwood sugirió en (1987) que sí ?0 = 0 sería tolerancia estadística pura y sí ?0 = 1 entonces sería tolerancia puramente aritmética.

Se puede ver fácilmente que:

Esta desigualdad, contrasta la diferencia entre acumulación aritmética y el método RSS.

Mientras ?0 > 0 encontramos que este tipo de acumulación Ti de las tolerancias esté en orden n. Esto se ve lo más claramente posible cuando |ai|Ti = T y |ai| = 1 todo el Ii. Entonces:

El cual está relacionado con n pero es reducido por el factor ?0. Así el aumento posible de conformidad serial del 99.73% al 99.865%. Este incremento en el ensamble se podría convertir de nuevo a 99.73% poniendo el factor 2.782/3 = 0.927 frente a la raíz cuadrada en la ecuación (9). El valor 2.782 representa el 99.73% de la distribución normal estándar.

Sí nos preocupáramos únicamente por que la distribución normal no exceda los límites de la acumulación de tolerancias, entonces podemos reducir nuestro factor acostumbrado 3 en 3s?A a 2.782. La acumulación de tolerancias que resulta del intervalo entonces será:

(10)

La variación de ?i es normal, con el medio cero y la variación Esta estimación de la normalidad se puede reducir como antes si se asume que existe una distribución simétrica sobre un intervalo finito, Ji, centrado en cero. Este intervalo finito, después de centrarlo en µi, quedará dentro del intervalo Ii de la tolerancia. Así Ji será más pequeño de Ii. Esta reducción en variabilidad es la contraparte de reducir si conforme |?i| incrementa.

En la Fig. 3 se muestran los intervalos de tolerancias y las distribuciones cambiadas con la reducción de variabilidad.

Si Ii está en el centro de Ti y si su cambio perjudicial es |?i|, entonces el intervalo reducido Ji sería:

La distribución fi sobre el intervalo Ji, tiene variación . Esto nos lleva a lo siguiente:

En el cual, el factor c depende del tipo de la distribución, el dato se obtiene de la tabla 1. Usando la formula (6):

Fig. 3 Intervalos de tolerancia y las distribuciones cambiadas

((Tolerance stack analysis methods a critical review, pág 29, Noviembre 1995)

La ecuación (8) cambia a:

11)

Pero aún no se indica si ?i aumento el intervalo en (11) o no. Si se deriva, se obtiene:

Sí:

Sólo sí c = 1 y mientras (1 – ?j)2no sea la contribución a:

Si ?i ?0 entonces:

En la mayoría de los casos las derivaciones son negativos y que la anchura máxima del intervalo conforme a ?i = ?0 está en ?i = ?0 para i = 1. . . , n. Entonces tendríamos A dentro de:

(12)

De esta manera se tiene un 99.73% (o 99.865%) de éxito asegurado. Este último porcentaje se deriva otra vez del método CLT aplicado a ?A. Aprovechando el 99.865% podríamos incluir el factor 0.927 de la reducción dentro de (12)

(13)

Con menos del 99.73% de aseguramiento.

APILADO ARITMÉTICO DE LA TOLERANCIA (PEOR CASO)

Este tipo de análisis asume que todas las dimensiones de la parte Xi están limitadas a Ii. Analiza qué gama de la variación se puede inducir en A variando todas las dimensiones n de la pieza de X1,…, Xn independientemente (en el sentido no estadístico) sobre los intervalos respectivos de la tolerancia. Claramente, el valor más grande de

Se obtiene tomando el valor mas grande (mas pequeño) de Xi ? Ii = [ci, di] siempre que: ai > 0 (ai < 0). Por ejemplo si a1 < 0, entonces el término a1(X1 – V1) se convierte en el positivo mas grande cuando tomamos X1 < V1 y así en el punto final mas bajo ci of Ii. De esta manera el valor máximo posible para A es:

De forma similar obtenemos el valor mínimo para A:

Si los intervalos de tolerancia Ii son simétricos alrededor del valor nominal Vi, tenemos que: Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti] o di – Vi = Ti, y ci – Vi = -Ti, encontramos:

Donde:

(1)

Esto es la acumulación simétrica para el ensamble. Por otra parte, los coeficientes |ai|, son, de todas formas, una suma directa de las Ti, de donde se toma el nombre de acumulación de tolerancias aritmético.

El valor calculado paradebe ahora ser comparado con QA, de esto depende el éxito del ensamble. Si todas las partes de la pieza satisfacen sus requerimientos de tolerancias individualmente Xi ? Ii y si es calculada con la ecuación (1) y satisface a QA, entonces se espera que todas las piezas involucradas van a ensamblar a la perfección.

En el caso donde |ai| = 1 y Ti = T para i = 1,., n, entonces nT, esto se da, por ejemplo, si la tolerancia dl ensamble crece linealmente con un número "n" de dimensiones. Si el propio ensamble requiere que QA = .004", entonces las tolerancias comunes de la pieza deben ser .

Cuando se tiene un "n" grande de piezas se puede dar lugar a que los requisitos sean excesivamente reducidos para la tolerancia de la parte, lo cual resulta costoso. Ésta es la característica que suele restarle valor a este tipo de análisis para la acumulación de tolerancias.

Lo anterior es el resultado del acercamiento excesivamente conservador de acumular las desviaciones del "peor caso" de las medidas nominales de las piezas .En realidad este Peor caso debería ocurrir muy rara vez, puesto que solo sucede cuando se realiza deliberadamente.

No se debe asumir que todos los requisitos para la tolerancia Xi ? Ii serán cumplidos. Si pasa esto no se puede garantizar el 100% del ensamble. Esta suposición requiere de la inspección de todas las piezas. Casi siempre esto se lleva a cabo realizando una simple evaluación. Esta forma de inspección es mucho más simple que lo requerida para tolerancia estadística. Al final, las medidas Xi de la pieza van a ser requeridas, por lo menos para las muestras, para demostrar la estabilidad del proceso. Las muestras de las medidas de la parte son más favorables individualmente que sobre el comportamiento del ensamble completo. Para las muestras de los datos del pasa-no pasa esto sería mucho más difícil. Puede haber una compensación del costo.

MÉTODO DE MONTE CARLO

El método Monte Carlo estima la variación dimensional en un ensamblaje, debido a las variaciones dimensionales y geométricas de los distintos componentes del mismo.

Conocida o estimada la distribución de las variables de entrada, podemos estimar la variable de salida (en el ensamblaje), de forma estadística y la distribución que sigue, siempre y cuando se conozca la función de ensamblaje.

La simulación consiste en seleccionar valores aleatorios para las dimensiones de entrada independientes, de sus respectivas distribuciones probabilísticas, y calcular las dimensiones resultantes de la función ensamblaje. El proceso se realiza de forma iterativa si la función es implícita.

Si la función vectorial de ensamblaje es explícita además de utilizar el método de Monte Carlo, se puede utilizar el método de DLM (Direct Linearization Method), que utiliza las matrices algebraicas y restricciones cinemáticas, para estimar la variación de las variables cinemáticas o de ensamblaje y predecir el número de piezas rechazadas.

Si se utiliza el método Monte Carlo, estimamos la media, la desviación típica y coeficiente de curtosis, pudiendo compararse las características del ensamblaje a las de una muestra.

Los ensamblajes rechazados por estar fuera de los límites, pueden ser contados durante la simulación, o sus percentiles en las salidas del método de Monte Carlo, pudiendo estimar los rechazos. La distribución más utilizada es la normal o de Gauss, cuando no se conoce su distribución. El número requerido para el muestreo es función de la exactitud en la variable de salida.

Gao (1995) realizó un estudio de siete mecanismos en 2D, uno en 3D, incluyendo en dos de ellos control de tolerancias geométricas, además de las dimensionales. Comparó el método Monte Carlo con el método DLM, obteniendo los siguientes resultados:

• El método DLM es preciso estimando la variación del ensamblaje. Es también preciso en predecir los rechazos de ensamblajes, en la mayoría de los casos, excepto cuando el número de restricciones cinemáticas no lineales es alto.

• El tamaño de la muestra tiene gran influencia en predecir los ensamblajes rechazados en el método Monte Carlo, pero el efecto es pequeño en la simulación de las variaciones del ensamblaje, para tamaño de muestreo mayor de 1.000 simulaciones.

• Las restricciones no lineales en los ensamblajes, pueden causar un cambio significativo en el resultado de las dimensiones cinemáticas del ensamblaje y en la simetría de la distribución.

• Para muestreo superior a 30.000, es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir la variación del ensamblaje.

• Para muestreo superior a 10.000 es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir los ensamblajes rechazados. Por debajo de este muestreo la predicción de rechazos da peor resultado.

• Para muestreo de 100.000 o superior los resultados son razonablemente precisos.

Posteriormente Cvetko (1998) comprueba la influencia del tamaño de la muestra en la simulación por el método Monte Carlo, comparando el error cometido en un ensamblaje entre muestras de 1.000 y 10.000 ensamblajes, con intervalo de confianza de 68%. Comprobando que:

– Las medias y las variaciones son suficientemente próximas.

– Los momentos de tercer y cuarto orden (simetría y curtosis), pueden no ser próximos.

MÉTODO RSS PARA EL TOLERADO ESTADÍSTICO

Presentaremos el método bajo cierto sistema del estándar de suposiciones, primero se asume que una distribución normal describe la variación de la pieza, después llevando esto a otras distribuciones se aborda el teorema de límite central (CLT), y finalmente se trata la aplicación para la determinación del riesgo del no-ensamble.

Tolerado Estadístico Con Variación Normal

Las siguientes suposiciones estándares son hechas a menudo al principio del método de tolerado estadístico. Esto no se debe aceptar necesariamente en el valor de cara.

Aleatoriedad

Más que asumir que Xi puede bajar dondequiera en el intervalo Ii de la tolerancia, incluso al punto que alguien seleccionó deliberadamente, en este caso asumiremos que Xi varía aleatoriamente según algunas distribuciones con las densidades fi (x), i = 1. . . , n, y funciones de distribución acumulativas:

La idea es que la mayor parte de las Xi ocurrirán dentro de Ii, es decir, la mayor parte de el área bajo densidad fi (x) ocurre entre los puntos finales de Ii. Por lo tanto es aceptable cierta fracción de las dimensiones que quedan fuera de Ii. Esto nos libera de tener que examinar cada dimensión de la parte para saber si hay conformidad con el intervalo Ii.

En lugar de eso, asumimos que los procesos que producen las dimensiones de la pieza son estables (en control estadístico) y que estas dimensiones de la parte estas dentro de los límites de tolerancia. Esto es comprobada muestreando solamente cierta porción de piezas y midiendo los Xi.

Independencia

La suposición de la independencia es probablemente la más esencial del tolerado estadístico. Permite una cierta cancelación de la variación del valor nominal.

Si se trata a Xi como variables al azar, también exigimos que estas variables al azar sean independientes. Esto significa que la desviación Xi – Vi no tiene nada hacer con la desviación de Xj – Vj para i ? j. Las desviaciones no serán predominante positivo o predominante negativa, de hecho, esperamos conseguir una mezcla de desviaciones negativas y positivas que permitirán una cierta cancelación de la variación.

La aleatoriedad por sí sola no garantiza tal cancelación, especialmente no cuando toda la variación de la dimensión de la parte va en la misma dirección. Este último fenómeno es exactamente lo que la suposición de la independencia intenta excluir.

La suposición de la independencia es razonable cuando las dimensiones de la parte pertenecen a diversos procesos de fabricación o maquinado. Sin embargo, se pueden presentar situaciones donde esta suposición sea cuestionable. Por ejemplo, piezas similares o que vengan del mismo proceso, se podrían utilizar en el mismo ensamble. La dilatación también puede afectar de forma diferente a las piezas.

Distribución

Nos gustaría tener datos sobre la variación de la dimensión de la pieza, pero generalmente se carece de esta en la etapa del diseño. Por esa razón uno asume a menudo que el fi es una distribución normal o de Gauss sobre el intervalo Ii. Ya que este último es un intervalo finito y la densidad de Gauss se extiende sobre la línea real R= (-8, 8), uno de ellos debe adoptar un compromiso. Consiste en preguntar que el área bajo densidad fi sobre el intervalo Ii debe representar la mayor parte del área total bajo fi, es decir:

Fig. 4 Distribución normal por encima del intervalo de tolerancia

(Tolerance stack analysis methods a critical review, pág. 11, Noviembre 1995)

De hecho, la mayoría propone:

Esta probabilidad (~1) resulta de escoger fi para ser una densidad de Gauss µi = Vi en el centro del intervalo de la tolerancia con desviación estándar si = Ti/3, es decir:

Donde

Es la distribución normal estándar, de esta manera tenemos: Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti] = [µi – 3si, µi + 3si]

Y:

Donde:

Es la función de distribución acumulativa normal estándar.

De esta manera 0.9973 es el resultado de tres suposiciones:

• i) La distribución de Gauss fi.

• ii)  Vi = µi, es decir, el proceso de la dimensión de la pieza se centra en el valor nominal.

• iii) Ti = 3si.

Las primeras dos suposiciones hacen posible que el factor 3 en 3si produce la probabilidad 0.9973. Esto es una opción extensamente aceptada aunque hay otras. Por ejemplo, Mansoor (1963) prefiere el factor 3.09 dando por resultado una probabilidad de 0.999 para la conformidad con la tolerancia de la dimensión de la pieza.

El teorema de límite central se utiliza para demandar normalidad para la suma de los contribuidores. Se asume que la persona que produce la pieza apuntará la dimensión nominal de la parte, pero por varias razones habrá desviaciones del nominal, las cuales se acumulan en la desviación total del nominal, entonces se sostiene que es normal. Así los valores XI se juntarán con mas frecuencia alrededor del Vi nominal y darán menos lugar a obtener valores lejanos.

Siguiendo las suposiciones anteriores, podemos tratar el criterio de ensamble:

A = a0 + a1X1 +. . . + anXn

Como una variable aleatoria de Gauss

µA = a0 + a1µ1 +. . . + anµn = a0 + a1V1 +. . . + anVn = VA

Y con una variante:

La primera ecuación establece que el significado de µA con A coincide con el valor nominal VA de A. Este resultado de una dependencia lineal de A en la dimensión de la parte Xi y del hecho de que el significado de todas las dimensiones de la parte coinciden con sus respectivos valores nominales. La formula anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

Si llamamos obtenemos la conocida fórmula de RSS para acumulación de tolerancia estática:

(2)

Ya que A es una distribución, podemos contar con que un 99.73% de todos los criterios de ensamblaje A van a están en el rango cercano a o a su valor nominal VA, así que se espera que sólo el 0.27% de los ensambles fallen.

8.2 Tolerado estadístico usando CLT

La distribución de Gauss para todas las dimensiones de la parte XI se ha cuestionado mucho basándose en que

• Los datos de la parte contradicen la normalidad.

• Los cambios dan lugar a una mezcla total de las distribuciones normales.

• El ensamblaje tiene mas altas probabilidades de fallar que las predichas con el tolerado estadístico.

En este método se permiten distribuciones más generales para las variaciones de la pieza XI. Sin embargo, insistiremos que el µi de XI aún coincide con el calor nominal Vi.

El teorema del límite central (CLT) se utiliza para moderar las suposiciones de la normalidad para las dimensiones de la pieza XI. Se utilizan las suposiciones siguientes:

1. Cuando XI, i = 1. . . , n, es estadísticamente independiente.

2. La distribución fi que gobierna a la distribución de XI tiene µi = Vi y la desviación estándar si.

3. Las contribuciones de la variabilidad de todos los términos en la combinación lineal A son insignificantes cuando "n" es muy grande, es decir:

Bajo estas condiciones, el método de CLT establece que la combinación lineal:

A = a0 + a1X1 +. . . + anXn

Tiene una distribución aproximadamente normal con:

µA= a0 + a1µ1 +. . . + anµn = a0 + a1V1 +. . . + anVn = VA

Con la siguiente variación:

La suposición 3 elimina las situaciones donde una pequeña cantidad de términos en la combinación lineal tienden a variar tanto que hunden por completo la variación de los términos restantes. Si estos pocos términos dominantes tienen distribuciones anormales, no se pude esperar que la combinación lineal tenga una distribución aproximadamente normal.

A pesar de las suposiciones distribucionales para las dimensiones de la pieza tenemos que el criterio A del ensamble está aproximadamente distribuido normalmente y su µA coincide con el VA deseado del valor nominal (porque nos ocupamos de una combinación lineal, y puesto que asumimos µi = Vi). De la normalidad aproximada de A podemos contar en cerca del 99.73% de todos los criterios del ensamble para quedar dentro de [VA – 3sA, VA + 3sA].

Éste es casi el mismo resultado que antes, excepto por un punto. Anteriormente asumimos una relación entre el si de la dimensión de la pieza y el Ti de la tolerancia, conociendo esto, decimos que Ti = 3si. Esto es por el hecho de que bajo la suposición de normalidad casi todas las piezas (99.73%) van a estar dentro del rango de ±3si del valor nominal Vi = µi. Sin la suposición de normalidad dicho rango no se podría asegurar. Sin embargo, la desigualdad de Camp-Meidell establece que para las distribuciones simétricas y unilaterales fi con variación finita si2 tenemos:

Aquí la simetría significa que si fi (Vi + y) = fi (Vi – y) para toda y, de esta manera µi = Vi. Un modalidad significa que fi(Vi +y) = fi(Vi +y") para todo 0 =|y| =|y"|, es decir, la distribución baja conforme nos alejamos del centro, o por lo menos no aumenta. Aunque esto cubre una amplia gama de distribuciones razonables, el número 0.9506 no lleva con él el mismo grado de certeza que 0.9973.

Aún no tenemos un vinculo entre la desviación estándar si y la tolerancia de la dimensión Ti. Si la distribución de Xi tiene un rango finito, entonces se podría igualar ese rango finito con un rango de tolerancia ±Ti cercano a Vi. En el caso de la fi de Gauss esto no es posible, pero se resuelve optando por el rango de ±3si = ±Ti. Cuando se unifica el rango finito con el rango de la tolerancia [Vi – Ti, Vi + Ti], encontramos la conexión entre TA y Ti. Puesto que 2Ti es un rango finito, la distribución puede ser manipulada por un simple cambio, el cual también afecta la desviación estándar de la distribución por el mismo factor y si y Ti serán proporcionales entre si. Es decir, se puede estipular lo siguiente:

cTi = 3si.

Donde "c" es un factor específicamente para el tipo de distribución. La opción de unir esta proporcionalidad de nuevo a 3si facilita la comparación con la distribución normal, para la cual tendríamos c = cN = 1.

Asumiendo que el tipo de distribución (más no necesariamente su localización y escala) es igual para todas las dimensiones de la pieza, tenemos:

Esto nos lleva a las fórmulas para la acumulación de tolerancias, que coinciden con la ecuación (2), excepto por le factor de inflación c. Si el tipo de la distribución cambia de parte en parte tendremos diversos factores C1. .. Cn, entonces necesitamos utilizar una la siguiente fórmula para acumulación de tolerancias más complicadas:

(3)

Donde c = (c1,. . ., cn).

La figura 5 muestra los diferentes tipos de distribución:

Fig. 5 Intervalos de tolerancia, distribuciones y factores

(Tolerance stack analysis methods a critical review, pág 17, Noviembre 1995)

En la siguiente tabla se indican los valores para el factor "c" para las distribuciones anteriores:

Tabla 1. Factores de distribución

(Tolerance stack analysis methods a critical review, pág 18, Noviembre 1995)

Evaluación del riesgo de acumulación usando tolerado estadístico

Aquí analizaremos el riesgo de ensamblaje, es decir, la probabilidad de que un ensamble no se lleve a cabo por no satisfacer sus requerimientos. Anteriormente asumimos que todas las dimensiones Xi poseen distribuciones simétricas centradas en sus valores nominales µi = Vi y sus variaciones si2, respectivamente.

El requisito para que un ensamble sea exitoso es |A – VA| =K0, donde K0 es un número predeterminado basado en el diseño. Entonces tenemos que evaluar P (|A-VA| > K0). De acuerdo con el método de CLT, (A-VA) /sA = (A-µA) /sA es aproximadamente una variable estándar. Así el riesgo de ensamble se toma como:

(4)

Cuando K0 es igual a el riesgo de no ensamble seria:

El resultado de esta ecuación es el mismo valor obtenido anteriormente, el cual complementa al valor 0.9973, que como se mencionaba anteriormente es el porcentaje de éxito para el ensamble.

9. CONCLUSIÓN

Después de analizar y estudiar en que consiste cada uno de los métodos utilizados en acumulación de tolerancias, se puede concluir que la parte mas importante de todo diseño es el dibujo de ingeniería, en el cual se debe dimensionar correctamente cada parte de la pieza, así como incluir tolerancias precisas para que en el proceso de producción sean fáciles de interpretar y reducir el fallo del ensamble. La forma de lograr eso y evitar el desperdicio, tanto de tiempo, esfuerzo y recursos es utilizando correctamente los métodos descritos.

10. APLICACIONES

Las acumulaciones de tolerancias sirven a los ingenieros para:

• Estudiar relaciones dimensionales dentro de un ensamble.

• Dar medios para calcular tolerancias de la parte.

• Comparar ofertas del diseño.

• Producir dibujos completos.

Además de que debemos de tener en cuenta los siguientes factores al realizar un diseño o un ensamble:

• Temperatura operacional de las piezas o del ensamble.

• Desgaste.

• Desviación de componentes después del ensamble.

• La posibilidad o la probabilidad que las piezas estén levemente fuera de especificación (solamente de inspección pasajera).

• La sensibilidad o la importancia de la acumulación (qué sucede si las condiciones del diseño no se cumplen).

11. REFERENCIAS

Dygdon, John Thomas & Murrieta Murrieta Jesús Elmer

Dibujo y comunicación gráfica

Editorial Pearson Educación

Fritz Scholz Research and Technology Boeing Information & Support Services

Tolerance Stack Analysis Methods: A Critical Review http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf

November 1995

García, José Isidro

Fundamentos del diseño mecánico

Publicado por Universidad del Valle

Autor:

Diana Alejandra Rivas Olivas

Catedrático: Prof. Pedro Zambrano

Instituto Tecnológico de Chihuahua

04/05/2009