Tenemos una baraja española de 40 cartas. Consideramos el experimento de sacar una carta y observarla. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:
A1: sacar una carta de espadas; A2: sacar un rey; A3: sacar una ?gura (sota, caballo o rey); A4: sacar una carta de copas que no sea ?gura; A5: sacar una carta que no sea bastos; A6: sacar una ?gura de oros. Como el espacio muestral es más grande, vamos a referirnos a los totales de casos favorables y de posibles:
8. Tomemos ahora el calendario de un año no bisiesto, en el que el 1o de enero cae en martes. En un bombo se colocan 365 bolitas, cada una de las cuales corresponde a un día diferente del año. Sea el experimento de sacar al azar una de esas bolitas. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:
A1: sale un día del mes de agosto; A2: sale un miércoles; A3: sale un día de ?n de semana (sábado o domingo); A4: sale un día del último trimestre del año; A5: sale un viernes del mes de marzo; A6: sale un día de un mes que tiene un número par de días; A7: sale un día de ?n de mes que cae en domingo. 18 Hasta ahora, los ejemplos y ejercicios propuestos se han referido a experimentos aleatorios con espacios muestrales confor- mados por eventos equiprobables, cuyos casos favorables pueden contarse. ¿Y cómo se hace en un experimento aleatorio cuan- do estas condiciones no se cumplen? La so- lución debe salir del análisis de la situación particular.
Por ejemplo, consideremos el siguiente experimento. Una máquina lanza dardos aleatoriamente (es decir, de acuerdo con los lineamientos especi?cados por Kolmo- gorov) sobre una diana circular de 40 cm de diámetro y se supone que todos los lan– zamientos caen sobre ella. ¿Cuál es la pro- babilidad de que la diana caiga en la zona rectangular (de dimensiones 20 cm x 10 cm) que se indica en la ?gura?
Como se ve, el dardo marca un punto (aunque sea gordo…) en la diana. Como la máquina funciona aleatoriamente, el dardo puede caer en cualquier punto, lo que ga- rantiza que todos los eventos son equipro- bables. Los casos “favorables” correspon- den a la situación de caer el dardo dentro del rectángulo; y los casos “posibles”, caer en cualquier punto de la diana.
Ahora bien, no es posible contar todos los puntos de la diana, así como tampoco los del rectángulo. Pero si no se pueden “contar”, sí se pueden comparar medidas similares de ambas ?guras geométricas: estamos hablando de las áreas correspon- dientes.
La probabilidad del evento indicado vie- ne dada, justamente, por el cociente de las áreas de las dos ?guras. Como se recorda- rá, el área del círculo se obtiene aplicando la fórmula Ac = p x r2 = p x (20 cm)2 = 400p cm2. Y el área del rectángulo: Ar = b x a = 20 cm x 10 cm = 200 cm2. La probabilidad solicitada es: P = 200 cm2 / 400p cm2 = 1 / 2p = 0,16 (aprox.).
Veamos este otro caso: Tres caballos, A, B y C, participan en una carrera. A partir de experiencias de carreras anteriores se asigna tibles (excluyentes), entonces P(A U B) = al caballo C el doble de posibilidades de ga- P(A) + P(B). nar que al caballo A; y al caballo A, el triple de posibilidades de ganar que al caballo B. Por ejemplo, en el experimento de ex- ¿Cuál es la probabilidad de ganar que po- traer una carta de una baraja española, con- see cada caballo? sideremos los eventos A: sacar una ?gura de copas; y B: sacar una carta que no sea Lo que sabemos de antemano es que las ?gura. Como se ve, ambos sucesos son ex- posibilidades se dan en términos de propor- cluyentes; por consiguiente, la probabilidad cionalidad (el doble, el triple…). Entonces, del evento “sacar una ?gura de copas o una designamos con la letra p la probabilidad carta que no sea ?gura” será igual a la suma de ganar correspondiente al caballo menos de ambas probabilidades aisladas: P(A U B) veloz, B; de ahí, la probabilidad de ganar = P(A) + P(B) = 3/40 + 28/40 = 31/40. correspondiente al caballo A será 3p; y la de C, 6p. b) Si un evento es la negación de otro evento A, entonces P(A) = 1 – P(A). Ahoranosapoyamosenelhechodeque la suma de las tres probabilidades debe ser Siguiendo con el ejemplo anterior, P(A) igual a 1; de donde: p + 3p + 6p = 1 10p = 1 – 3/40 = 37/40; esta es la probabilidad = 1. Lo que signi?ca que p debe ser 1/10. de sacar cualquier carta que no sea una ?- Ya podemos determinar las probabilidades gura de copas. Haga lo mismo para el even- de ganar de cada uno de los caballos: P(A) to B. = 3/10; P(B) = 1/10; P(C) = 3/5. Hemos visto que dos eventos de un 4.4. La probabilidad asociada a mismo espacio muestral pueden estar rela- eventos que son combinación de cionados entre sí como compatibles o in- otros eventos compatibles, o también como complemen- tarios. Ahora vamos a establecer otro tipo Hasta ahora hemos calculado la proba- de relación. bilidad de eventos elementales; pero sabe- Se dice que dos sucesos o eventos A y mos que tales eventos pueden combinarse B de un mismo espacio muestral son inde- entre sí, bien sea por la vía de la disyunción pendientes, si el hecho de que uno de ellos o de la conjunción; y que también pode- suceda no está in?uenciado por el hecho mos derivar nuevos eventos por la vía de de que el otro evento haya sucedido o no. la negación de un evento dado. Vamos a En caso de que esa in?uencia exista, se dice ocuparnos del cálculo de la probabilidad de que uno de los eventos (el in?uenciado) los eventos combinados. está condicionado por el otro evento.
a) Si dos sucesos o eventos A y B de Por ejemplo, en el experimento de lan- un mismo espacio muestral son incompa- zar una moneda tres veces y observar el 19
Los principios que rigen el cálculo de las probabilidades de un evento
Resulta oportuno presentar agrupados los principios que han ido apareciendo a medida que hemos ido calculando la pro- babilidad de los diversos eventos. He aquí los fundamentales para un experimento cuyo espacio muestral es E: 1. La probabilidad de cualquier evento A es un valor comprendido entre 0 y 1: 0 = P(A) = 1.
2. La probabilidad de un evento seguro es 1: P(E) = 1.
3. La probabilidad de un evento im- posible es 0: P(Ø) = 0. 20 lado que queda a la vista, los eventos A: 4. La suma de las probabilidades de los eventos elementales de un experimento alea- “que salga cara en el primer lanzamiento” torio debe ser igual a 1. y B: “que salga cara en el segundo lanza- miento” son independientes; lo que ocurra 5. Si A es un evento subconjunto de otro evento B, entonces P(A) < P(B). en el primer lanzamiento no condiciona lo que pueda ocurrir en el segundo. 6. Si dos sucesos o eventos A y B de un mismo espacio muestral son incompatibles (excluyentes), entonces P(A U B) = P(A) + P(B). c) Si dos sucesos o eventos A y B de un mismo espacio muestral son independien- 7. Si un evento es la negación de otro evento A, entonces P(A) = 1 – P(A). tes, entonces P(A B) = P(A) x P(B). 8. Si dos sucesos o eventos A y B de un mismo espacio muestral son independientes, En el ejemplo que acabamos de mostrar, entonces P(A B) = P(A) x P(B). A = {CCC, CCS, CSC, CSS} y B = {CCC, CCS, SCC, SCS}; de donde: P(A) = ½ y P(B) = ½ Todos estos principios nos sirven de soporte para el cálculo de la probabilidad de (recordemos que el espacio muestral tiene 8 eventos de ese espacio muestral. eventos elementales). Por otro lado, el even- to conjunción de A y B es “que salga cara en el primero y en el segundo lanzamiento”; es decir, A B = {CCC, CCS}; de donde P(A B) =¼. Y se comprueba que P(A B) = P(A) x P(B), ya que½ x½ = ¼. babilidad de un evento Como en otras oportunidades, presentamos el enunciado de diversos problemas; se sugiere al (a la) lector(a) que intente resolverlos por su cuenta, antes de revisar el proceso de resolución que se presenta posteriormente.
a) Se lanzan dos dados equilibrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos que aparecen sea impar?
b) Una caja contiene 6 tarjetas amarillas y 4 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una tarjeta roja?
c) Dos chicos (M) y dos chicas (F) van al cine y ocupan cuatro asientos consecutivos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas? ¿Y de que los chicos y chicas se sienten alternadamente?
d) Un grupo de estudiantes presenta Matemáticas e Inglés; 60% de ellos aprueban Matemáticas, y 70% Inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, haya aprobado las dos asignaturas?
e) La directora de la escuela tiene dos hijos y sabemos que no son ambos varones. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos hembras?
f) Lanzamos dos dados equilibrados. Si la suma de los puntos de ambos es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados muestre 2 puntos.
Vamos a mostrar algunas vías para re- solver los problemas propuestos.
a) El espacio muestral del experimento “lanzar dos dados y anotar los puntos ob- servados” es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),…}. En seguida se descu- bre que hay 36 eventos elementales en E, formados por las parejas (a, b), en las que a y b representan cualquier puntaje (de 1 a 6) del primero y segundo dados, respecti- vamente.
En cuanto al evento A: “que la suma de los puntos sea impar”, también descubri- mos que en E la mitad de esas sumas es par y la otra mitad, impar; es decir, P(A) = 18 / 36 = 1/2.
b) El caso es muy sencillo: # (E) = 10 y # (A) = 4. Luego P(A) = 4/10 = 2/5.
c) El espacio muestral está formado por todas las agrupaciones posibles de las cuatro personas. Estas agrupaciones pue- den tener estos formatos: MMFF, MFMF, MFFM, FMFM, FFMM, FMMF. Como se puede apreciar, en 3 de ellos las dos chicas se sientan juntas; y en 2 de ellos se sientan alternándose con los chicos. Por consiguiente, P(las dos chicas se sientan juntas) = 3/6 = 1/2; y P(las dos chi- cas se sientan alternándose con los chicos) = 2/6 = 1/3.
d) Los eventos A: “aprobar Matemáti- cas” y B: “aprobar Inglés” son independien- tes. Nos piden la probabilidad de la con- junción de ambos eventos, es decir, P(A B); pero, por ser independientes, P(A B) = P(A) x P(B). Ahora bien, P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7 (¿por qué?). Por consiguiente, P(A B) = 0,6 x 0,7 = 0,42.
e) El espacio muestral para el género de dos hijos, en general, es el siguiente: E = {FF, FM, MF, MM}, donde M y F re- presentan a alguien del género masculino o femenino, respectivamente. Ahora bien, en nuestro caso debemos excluir de ese conjunto el elemento MM (no hay dos va- rones). Por consiguiente, E = {FF, FM, MF}. El evento A: “tener dos hijas” consta de un solo elemento: A = {FF}. Por consiguiente, P(A) = 1/3.
f) Observemos que el espacio muestral del evento A: “aparece un 2” está forma- do por aquellos eventos del experimento “lanzar dos dados y sumar los puntos de las caras superiores” cuyo resultado es 6. Este espacio muestral es: E = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}. Y ahí observamos que A = {(2, 4), (4, 2)}. Por consiguiente, P(A) = 2/5.
Hay ciertos problemas cuyo enunciado nos remite a la repetición sucesiva de un experimento, o bien a la secuencia de ex- perimentos diferentes. En este caso resulta provechoso utilizar una representación grá- ?ca del problema denominada diagrama de árbol, que nos permite:
• visualizar la secuencia de progresión de los eventos bajo la forma de las bifurca- ciones de las ramas de un árbol, • asignar un valor de probabilidad a cada una de esas ramas, • calcular la probabilidad de cada tra- yectoria, y • calcular la probabilidad de ciertos eventos.
Veamos el proceso con los siguientes problemas.
g) En un salón hay 25 estudiantes, de los cuales 10 son varones. ¿Cuál es la probabili- dad de que al seleccionar al azar un comité de 3 alumnos, sean todas hembras?
La selección de un grupo de tres estu- diantes puede ser pensada como si se eli- giese al primero de ellos, se le descartase de la lista y se eligiese al segundo, se des- cartase a este último de la lista y se eligiese al tercero; es decir, como si se tratara de la repetición, por tres veces consecutivas, del experimento de seleccionar al azar a un estudiante del salón. 21
P(H) x P(H) x P(H) = 15 x14 x13 = 273 , Hemos visualizado los ocho caminos posibles; de arriba abajo: VVV, VVH, VHV, VHH, HVV, HVH, HHV, HHH. Este es el espacio muestral, pero los eventos ahora no son equiprobables. ¿Cómo se calcula la probabilidad de cada uno de esos eventos? 22 10/25
15/25 V
H 9/24
15/24
10/24 14/24 V
H
V H 13/23 15/23
9/23
14/23
9/23
14/23
10/23 Claro que las tres selecciones no se dan en las mismas condiciones. Por ejemplo, la probabilidad de elegir un varón en la primera ronda, es de 10/25; pero si efectivamente sale elegido un varón, la probabilidad de elegir de nuevo un varón en la segunda ronda será ahora de 9/24, ya que nos quedan 9 varones (casos favorables) entre 24 estudiantes (casos posibles). En cambio, la probabilidad de elegir a una hembra en la segunda ronda sería de 15/24.
Pues bien, todas estas alternativas pueden visualizarse en un diagrama de árbol como el que se muestra (las probabilidades de elegir varón P(V) y de elegir hembra P(H) en la primera ronda son, respectivamente 10/25 y 15/25) :
V (VVV) 8/23 H (VVH) V (VHV)
H (VHH) V (HVV)
H (HVH) V (HHV) H (HHH) La observación más importante en este momento es percibir que los resultados de cada ronda son independientes de lo ocu- rrido en la ronda anterior, en el sentido de que si ahora se elige al azar V (por ejemplo, lanzando una moneda), en la siguiente ron- da las posibilidades de elegir V o H son las mismas (se vuelve a lanzar la moneda). Al ser independientes los eventos sucesivos, la probabilidad de su conjunción es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos; por ejemplo, P(HHH) = P(H H H) = P(H) x P(H) x P(H). Así, para calcular la probabilidad de que el comité esté formado por tres hembras, P(HHH), seguimos el camino correspon- diente (el camino inferior en el diagrama) y multiplicamos las probabilidades de cada una de sus ramas: P(HHH) = P(H H H) = 25 24 23 1380 fracción que tiene un valor aproximado de 0,2.Esdecir,laprobabilidaddeelegirunco- mité formado sólo por tres hembras es casi de 1/5; de cada cinco selecciones al azar de ternas de estudiantes, probablemente una estará formada por tres hembras. h) En el problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos varones y una hembra?
10 9 15 El evento “se eligen al azar dos varones y una hembra” está formado por la disyunción de los eventos elementales: {VVH}, {VHV}, {HVV} (por cualquiera de esas tres vías se llega al resultado deseado). Estos eventos, comparados entre ellos, son incompatibles. Por con- siguiente, para el primer evento se tendrá: P({VVH, VHV, HVV}) = P(VVHUVHVUHVV) = P(VVH) + P(VHV) + P(HVV).
Pero como ya sabemos, los eventos V y H son independientes en cada ronda con res- pecto al resultado de la ronda anterior, de modo que, en su camino correspondiente: • (2do camino): P(VVH) = P(V) x P(V) x P(H)= x x 25 24 23 = 9 92 = 0,098 • (3er camino): P(VHV) = P(V) x P(H) x P(V) = € 9 23 15 24 10 25 x x = 9 /92 =0,098 • (5to camino): P(HVV) = P(H) x P(V) x P(V) = 15 x 10 x 9 = 9 =0,098 25 24 23 92 Y ahora: P({VVH, VHV, HVV}) = 0,098 + 0,098 + 0,098 = 0,294 cuyo valor aproxi- mado es 0,3. Es decir, la probabilidad de elegir un comité formado sólo por dos varones y una hembra es casi de 3/10; de cada diez selecciones al azar de ternas de estudiantes, probablemente tres estarán formadas de esa manera. En el primer experimento los eventos elementales son equiprobables: cada caja tiene la misma probabilidad 1/3 de ser ele- gida. En el segundo experimento, las pro- babilidades de los dos posibles eventos, A: “sacar una pila dañada” y B: “sacar una pila no dañada” varían así: i) Tenemos tres cajas con pilas (baterías). La 1a contiene 5 pilas, de las que 2 están dañadas; la 2a contiene 6 pilas, de las que 1 está dañada; y la 3a contiene 8 pilas, de las que 2 están dañadas. Escogemos al azar una caja y, en un segundo paso, una pila de esa caja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa pila no esté dañada?
En este caso se nos presenta la secuencia de dos experimentos aleatorios diferentes: elegir una caja de entre tres y elegir una pila dentro de la caja. Podemos visualizar la secuencia de los dos experimentos y las posibles alternativas con el siguiente diagrama de árbol (D y ND signi?can dañada y no dañada, respectiva- mente): 1/3
1/3
1/3 Caja 1
Caja 2
Caja 3 2/5
3/5
1/6
5/6
1/4
3/4 D
ND D
ND D ND
La probabilidad de elegir al azar una pila que no esté dañada se obtiene a lo lar- go de los caminos 2o, 4o y 6o del diagrama (los que terminan en ND). Cualquiera de los tres caminos es válido, lo que indica que se 23
Así tendremos: P(ND) = = = + + = + + 131 1 5 1 3 1 5 1 3 1 x x x 0,73 (aprox.). Es decir, + x x x 1 6 3 2 1 1 3 2 1 1 1 . se da o no en el blanco): SI N SI NO Sólo uno da en el blanco SI M NO H Ninguno da en el blanco trata de una disyunción de eventos, que además son incompatibles (extraer una pila ND de una caja es incompatible con extraerla de cualquiera de las otras dos cajas).
Por consiguiente, la probabilidad de extraer una pila no dañada vendrá dada por la suma de las probabilidades de esos tres caminos. Ahora bien, en cada camino, la elec- ción de una pila dañada o no dañada, es independiente de la caja elegida; de ahí se sigue que la probabilidad de cada camino es igual al producto de las probabilidades de cada una de las dos ramas que lo integran.
3 5 3 6 3 4 5 18 4 180 la probabilidad de elegir una pila no dañada es casi de 3/4 (0,75); de cada cuatro selec- ciones al azar de una caja y, después, de una pila de esa caja, probablemente tres veces conseguiremos una pila no dañada.
j) Ahora se trata de dos cazadores, M y N. La probabilidad de que M dé en el blanco es 1/4, y la de N es 1/3. Si ambos disparan, ¿cuál es la probabilidad de que se dé en el blanco?
Este es un tipo de problemas engañosos a primera vista; en efecto parece que la solución consiste en sumar ambas probabilidades (1/4 + 1/3). Esto sería cierto si ambos eventos A: “M da en el blanco” y B: “N da en el blanco”, fueran incompatibles. Pero no lo son, puesto que ambos pueden dar en el blanco.
Podemos imaginar el experimento “M y N disparan contra un blanco y se anota el resultado” como una secuencia de estos dos: “M dispara contra un blanco” y “N dispara contra un blanco” (o al revés; es indiferente para el cálculo).
Podemos, pues, utilizar un diagrama de árbol para representar la secuencia de los dos eventos, así como las probabilidades asociadas a cada rama (sí y no signi?can que Los dos dan en el blanco 1/3 2/3 1/4 Sólo uno da en el blanco 3/4 1/3 2/3 NO
24 Por consiguiente, la probabilidad de que se dé en el blanco, signi?ca realmen- te la disyunción de los tres primeros cami- nos (que sí son excluyentes entre sí, pues- to que si se da uno de ellos, no pueden darse los otros dos caminos). Procedien- do como antes, la probabilidad de que se dé en el blanco viene dada por la suma: + = + + = = 4 3 4 3 4 3 12 12 12 12 2
También puede verse la situación como la negación del cuarto camino (ninguno da en el blanco); la probabilidad de este cuarto camino viene dada por: 3 x 2 = 1 . Y la pro- 4 3 2 babilidad de su negación es 1 –½ =½. Este resultado signi?ca que, en las con- diciones dadas, probablemente se dará en el blanco la mitad de las veces que ambos cazadores disparen. Como puede verse, este evento es similar al de obtener cara o sello en el lanzamiento de una moneda…
k) Un examen consta de tres preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabi- lidad de aprobar el examen si se contesta cada pregunta al azar?
Aquí se trata de un mismo experimento, contestar una pregunta al azar (lanzando, por ejemplo una moneda) con dos alternativas: si salecaraseanotaV,ysisaleselloseanotaF.En cadacaso,lasposibilidadessondeacertar(A)y de no acertar (N). De modo que tenemos cua- tro posibles eventos para cada pregunta: {VA, VN, FA, FN}. Como se aprecia, la probabilidad de acertar corresponde a los eventos VA y FA, de donde se sigue que P(A) = 2/4 = 1/2.
Si se hacen tres preguntas y se contestan por la misma vía, el espacio muestral será: E = {AAA, AAN, ANA, NAA, NNA, NAN, ANN, NNN}. El evento B: “aprobar el examen” signi?ca, en este caso, acertar en dos o tres preguntas; es decir, B = {AAA, AAN, ANA, NAA}. De donde se sigue que P(B) = 4/8 = 1/2.
El proceso de resolución del problema también puede seguir la vía de un diagrama de árbol, en tres pasos consecutivos, en cada uno de los cuales hay una bifurcación en dos ramas (A y N), cuyas probabilidades son de 1/2 cada una (hágalo si lo desea).
l) Si un examen consta sólo de pregun- tas de verdadero o falso y se contesta cada pregunta al azar, ¿puede ocurrir que la pro- babilidad de aprobar el examen sea alguna vez menor que 1/2?
En el problema anterior la probabilidad fue de 1/2. Se puede veri?car (hágalo cuan- do la prueba contenga cinco preguntas) que cuando el número de preguntas de la prueba es impar, la probabilidad de apro- bar contestando cada pregunta al azar es siempre 1/2.
En cambio, si el número de preguntas es par, la probabilidad de aprobar (ahora hay que responder correctamente sólo la mitad de las preguntas, no la mitad de las pre- guntas más 1) contestando cada pregunta al azar es mayor que 1/2. Veámoslo para el caso de una prueba con cuatro preguntas.
El espacio muestral es: E = {AAAA, AAAN, AANA, ANAA, NAAA, AANN, ANAN, ANNA, NANA, NNAA, NAAN, NNNA, NNAN, NANN, ANNN, NNNN}. El evento B: “aprobar el examen” signi?ca acertar dos o más preguntas; es decir, B = {AAAA, AAAN, AANA, ANAA, NAAA, AANN, ANAN, ANNA, NANA, NNAA, NAAN}. De aquí se sigue que P(B) = 11/16 = 0,69 (aprox.).
Es decir, la probabilidad de aprobar un examen compuesto por cuatro preguntas de verdadero o falso, contestando al azar cada una, es algo más que 2/3 (0,6); esto signi?- ca que de cada tres exámenes respondidos de esa manera, existe la probabilidad de aprobar en dos.
Moraleja: Si usted es estudiante…, estu- die y no se apoye en estas elucubraciones. Y si es profesor, evite colocar pruebas de verdadero o falso, y más todavía las que contengan un número par de preguntas…
6. De cómo evitar algu- nas falacias… Ya hemos visto algunas formas de cal- cular las probabilidades de ciertos eventos. Evidentemente, no estamos haciendo un estudio exhaustivo del tema de la probabili- dad; apenas nos estamos introduciendo en el tema. Pero queremos llamar la atención y prevenir acerca de ciertas falacias que a veces pueden llevarnos a engaño.
6.1. Por ejemplo, la llamada falacia del jugador, que consiste en creer que la suce- sión de ciertos eventos puede condicionar el evento siguiente, aun cuando se trata de sucesos independientes. De acuerdo con este modo de pensar, un jugador tiende a considerar que si ha habido una racha de 25
Algunas personas aplican esta falacia a situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, hay quienes creen que en una familia que ha tenido dos o más hijos varones seguidos, la probabilidad de que el siguiente hijo sea niña es mayor que la de que sea varón, lo cual no es cierto; ambas probabilidades son iguales cada vez. 26 caras al lanzar una moneda, la probabilidad Incluso hay personas que llevan como una cierta contabilidad en sus vidas en cuanto de que la siguiente salga sello es mayor que a éxitos y fracasos, cosas que salen bien y otras que salen mal; y que piensan que si algo la de salir cara de nuevo. me salió mal, enseguida se verá compensado por algo que me saldrá bien… Sin embargo, si los sucesos son independientes unos de otros, nada nos garantiza esa compensación; Psicológicamente tendemos a pensar lo único que sabemos es que nos tenemos que esforzar para “construir” el éxito (que, a que eso es cierto y tratamos de encontrar veces, ni siquiera llega por esa vía del trabajo). su fundamento en el hecho de que la pro- babilidad del evento salir sello es 1/2 y que, 6.2. Veamos este otro ejemplo (citado en Batanero, 2005): por lo tanto, una racha de caras debe com- pensarse (sin mayor pérdida de tiempo) con una racha de sellos.
En este tipo de razonamiento se confun- den dos cosas: la probabilidad del evento “salir sello” es teóricamente 1/2 (1 caso fa- vorable entre dos posibles); también lo es desde el punto de vista empírico: hay una estabilización, a largo plazo, de la frecuen- cia relativa de las apariciones de un sello en los lanzamientos, y esta estabilización se da en torno al valor 1/2. En un hospital maternal se lleva un registro del sexo de los recién nacidos. ¿Cuál de los sucesos siguientes te parece que tiene más probabilidad? Pero una cosa es la probabilidad de un evento y otra el carácter de dependientes A. Que entre los próximos 10 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas. o de independientes que tienen los even- B. Que entre los próximos 100 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas. tos que se repiten en secuencia. Y sabemos C. Las dos cosas me parecen igual de probables. que si estos sucesos son independientes, la probabilidad en cada nuevo lanzamiento La opción que se nos viene espontáneamente es la C, por cuanto en A y en B no se sigue intacta, 1/2, sin que tenga nada que altera la magnitud del porcentaje al que se hace referencia: en ambos casos se habla de ver la forma de la secuencia anterior de re- “más de un 70% de niñas”. Sin embargo, la opción correcta es la A: es más probable que sultados. entre los próximos 10 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas. ¿Por qué razón? Porque la frecuencia relativa tiende a estabilizarse a largo plazo al- rededor de la probabilidad habitual, que es 1/2 (50% de niños y 50% de niñas). Por eso, al aumentar el número de casos de 10 a 100, la tendencia es a acercarse al valor de la probabilidad, al porcentaje del 50%. La desviación hacia “más del 70% de niñas” es más propia en el caso de pocos nacimientos.
La falacia re?ejada en este último ejemplo proviene de no tomar en cuenta la nece- sidad del largo plazo asociada a la estabilización de la frecuencia relativa, es decir, a la
construcción empírica de la probabilidad de un evento (Moore, 1998).
Este hecho es uno de los centros neurál- gicos de la Teoría de la Probabilidad (y de la Estadística) y se ha plasmado en enun- ciados que se conocen como el Teorema central del límite y la Ley de los grandes números, establecidas y re?nadas por ma- temáticos insignes como Jacques Bernouilli (1654-1705), suizo, y Tchebycheff (1821- 1894), ruso.
La gran conclusión que se deriva de todo esto es que basta un número limitado de experiencias para obtener un máximo de información acerca de la probabilidad; claro que ese número limitado no debe ser pequeño.
Esta advertencia acerca de los distintos valores de las frecuencias relativas según sea el número de casos considerados (sobre todo si son pocos), y la tendencia a largo plazo de esas frecuencias relativas hacia el valor teóri- co de la probabilidad de un evento, es muy pertinente. Y sirve para aclarar el signi?cado de las cosas.
Enesteordendeideasvamosarevisarotro de los ejemplos propuestos anteriormente. Probablemente, algún(a) lector(a) esté rumian- do todavía la artimaña de responder al azar unapruebaconsistenteenpreguntasdeverda- dero y falso, artimaña aparentemente exitosa, ya que la probabilidad de aprobar el examen por esa vía es siempre mayor o igual a 1/2.
Por lo que acabamos de decir, esto no signi?ca que si se responden así unos pocos exámenes, el “promedio” de las notas en ellos va a ser del 50% de las cali?caciones, es decir, un “aprobado”. No. Lo que sí sa- bemos es que ese promedio de exámenes aprobados por esta vía se acerca a la mitad sólo si se responde un número relativamen- te grande de pruebas de este estilo.
De todos modos, en estos cálculos no entra la ética. Responder un examen re- quiere del estudio previo del contenido abarcado, y no tanto de consideraciones probabilísticas (aunque éstas nunca están de sobra). El estudio de la matemática, como cualquier otra actividad, debe estar orientado hacia objetivos válidos desde el punto de vista ético…
6.3. Consideremos este ejemplo:
Rosaura es una muchacha que, durante los años de estudiante, participó en comités a favor de los intereses estudiantiles. Ahora trabaja en una empresa. ¿Cuál de estos dos eventos le parece más probable?
A. Que Rosaura sea una trabajadora de la empresa. B. Que Rosaura sea una trabajadora de la empresa y participe en actividades sin- dicales.
Usted probablemente está pensando que el evento B es más probable, dada la historia de Rosaura como estudiante… Pues no; es más probable el evento A. ¿Y por qué? Porque el evento B es un subconjunto de A; el evento A es más “extenso” que el B. En efecto, la condición de “ser una tra- bajadora de la empresa” posee más gene- ralidad que cualquiera de estas otras: “ser una trabajadora de la empresa y formar parte del sindicato”, “ser una trabajadora de la empresa y ser defensora de los dere- chos de la mujer”, “ser una trabajadora de la empresa y ser soltera”, “ser una trabaja- dora de la empresa y ser a?cionada al cine”, “ser una trabajadora de la empresa y seguir estudiando”, y un etcétera tan largo como se quiera.
Es decir, los eventos del tipo “ser una trabajadora de la empresa y…”, son subcon- juntos del evento “ser una trabajadora de la empresa”. Y como veíamos en uno de los principios citados anteriormente, si B es un evento subconjunto de otro evento A, entonces P(B) = P(A). Sólo si Rosaura llega a participar efectivamente en actividades sindicales, ambos eventos tendrán la misma probabilidad; pero nunca el evento B será más probable que el A.
La revisión de las falacias anteriores tiene por objeto prevenirnos ante ciertas tendencias intuitivas que nos pueden llevar a error. No es que el estudio de la probabi- lidad se convierta en una panacea para re- solver todas nuestras incertidumbres, pero sí puede orientarnos en algunos casos.
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7. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
9. Se lanzan dos dados y se suman los puntos de las caras que aparecen. ¿Cuál de estos dos eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir: “obtener 9 ó 12”, o bien “obtener 10 u 11”?
10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 puntos o menos de 3 al lanzar un dado?
11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar dos dados y sumar los puntos de las caras que salen?
12. Tenemos una caja con cinco varillas de alambre de longitudes 15, 30, 40, 60 y 90 cm. Se toman tres al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que con esas tres pueda construirse un triángulo?
13. Una moneda se lanza cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan al menos dos caras?
14. Una bolsa contiene tres bolas verdes y otras tres rojas. Si se extraen dos bolas al azar, hallar la probabilidad de extraer una de cada color.
15. En un juego de azar participan cinco jugadores; el juego se repite tres veces ¿Cuál es la probabilidad de que uno determinado de ellos no gane ninguno de los tres juegos?
Invente una situación (un experimento o un juego) en el que la probabilidad de un evento sea: a) 1/7; b) 3/4; c) 5/12; d) 0; e) 1/8. [Como una pequeña ayuda, recuerde que puede fabricar dados con la forma de los poliedros regulares…].
16. En el piso del patio de la escue- la está pintado el dibujo que se presen- ta a la derecha. Si llueve, ¿cuál es la probabilidad de que una gota de agua que cae dentro del cuadrado, caiga en el círculo, cuyo diámetro es la mitad del lado del cuadrado?
28 17. Tenemos de nuevo una bolsa en la que hay igual número de bolas grises y blancas. Si la probabilidad de extraer al azar 2 bolas blancas es 1/5, ¿cuántas bolas contiene la bolsa?
18. Tenemos dos bolsas A y B. A con- tiene 3 bolas rojas, 2 grises y 5 verdes; B contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Lanzamos un dado y procedemos así: si sale un 1 ó un 6, escogemos la bolsa A; en caso contrario, la bolsa B; y luego extrae- mos al azar una bola de la bolsa seleccio- nada. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?; b) ¿y de que sea verde?; c) ¿y de que sea gris?
19. Se lanza una moneda cargada, de tal forma que la probabilidad de que salga sello es el doble de la probabilidad de que salga cara. Si sale cara, se escoge al azar un número del 1 al 9; y si sale sello, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja un número par?
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30 • Batanero, C. (2005). Signi?cados de la probabilidad en la educación secundaria. En J. Lezama, M. Sánchez y J. G. Molina (Eds.), Acta Latinoamericana de Matemáti- ca Educativa, Vol. 18 (pp. 27-33). México: CLAME. Disponible en: http://www.ugr.es/~batanero/publica- ciones.htm • Ekeland, I. (1998). Al azar. La suerte, la ciencia y el mundo. Barcelona: Gedisa. • La Biblia. Latinoamérica (1995). Ma- drid: San Pablo, 14a ed. • Moore, D. (1998). Incertidumbre. En L. Steen (Ed.), La enseñanza agradable de las matemáticas, pp. 103-148. México: Li- musa. Referencias bibliográ?cas y electrónicas
31 Respuestas de los ejercicios propuestos 1. E = {C, S} 2. E = {R, V, N} 3. a) E; b) {2, 3, 4, 5, 6}; c) {2}; d) Ø ; e) {5}; f) {1, 4, 6} 4. No 5. E 6. a) {RR, RV, RG, VV, VR, VG, GG, GR, GV}; b) {RR, VV, GG}; c) {RV, RG, VR, VG, GR, GV} 7. a) E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S}; b) A1 = {2C, 4C, 6C}; c) A2 = {2S, 3S, 5S}; d) A3 = {2C, 3C, 5C}; e) A4 = {1S, 3S, 5S}; f) No; g) No; h) A4: “no aparecen juntos un sello y un número impar”; A4 = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 2S, 4S, 6S}; i) A2 y A4: “aparece un sello y un número primo impar”; A2 A4 = {3S, 5S}; j) A1 o A2: “aparece una cara y un número par, o un sello y un número primo”; A1 U A2 = {2C, 4C, 6C, 2S, 3S, 5S}; k) A1 o A4: “aparece una cara y un número par, o un sello y un número impar”; A1 U A4 = {2C, 4C, 6C, 1S, 3S, 5S}; l) A2 y A3: “aparece un número primo y una cara, y un número primo y un sello”; A2 A3 = Ø. 8. P(A1) = 31/365; P(A2) = 52/365; P(A3) = 104/365; P(A4) = 92/365; P(A5) = 5/365 = 1/73; P(A6) = 148/365; P(A7) = 2/365 9. Los dos tienen la misma probabilidad: 5/36 10. 2/3 11. 15/36 12. 3/10 13. 11/16 14. 3/5 15. 64/125 16. p/16 ˜ 0,2 17. 6 18. P(R) = 11/30; P(V) = 17/30; P(G) = 1/15 19. 56/135
4 EQUIPO EDITORIAL Beatriz Borjas y Carlos Guédez Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Cuaderno N° 18 Introducción a la Probabilidad Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y Diagramación: Moira Olivar Ilustraciones: Corina Álvarez Concepto grá?co: Juan Bravo Corrección de textos: Carlos Guédez y Martín Andonegui Edita y distribuye: Federación Internacional de Fe y Alegría. Esquina de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7 Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela. Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048 / 5647423. Fax: (58) (212) 5645096 www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito legal: lf 60320075192629 Caracas, Julio 2007 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis – Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) – Corporación Andina de Fomento (CAF)
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