en un mundo en el cual la aparición de de- terminados resultados está signada por la probabilidad.
Pues bien, al igual que sobre otros mu- chos aspectos de nuestra vida, la Matemá- tica tiene algo que decirnos acerca de todo esto. No nos va a proporcionar una segu- ridad absoluta para movernos en nuestra vida y garantizarnos siempre una perfecta toma de decisiones, pero sí nos va a ayudar a entender eso que llamamos probabilidad, va a tener la osadía de tratar de hallar cier- tas leyes y procesos que la rigen, y nos va a facilitar de alguna manera nuestra toma de decisiones.
Seguramente (o “muy probablemen- te”…) ya estamos percibiendo la utilidad y el interés por adentrarnos en los terrenos de lo que tiene que ver con la probabilidad. Utilidad e interés no sólo para nosotros, sino también para nuestros alumnos, pues sus vidas también están llenas de expectati- vas y en pleno proceso de adquirir y asimi- lar numerosas experiencias que, de alguna manera, estarán referidas a resultados que también ellos irán cali?cando de “seguros”, “imposibles”, “más o menos probables”…
Se trata, pues, de abordar los conceptos y los procesos de la teoría matemática de la Probabilidad sin temor. Se re?eren a cosas muy familiares de nuestra vida y no es algo difícil. El prerrequisito de entrada puede ser la curiosidad, el deseo de satisfacer la expectativa generada por la incertidumbre de los resultados de algunas situaciones, y las ganas de conocer qué tipos de leyes y procesos rigen a estas últimas. 2. ¿Cara o sello?, o la intervención del azar
Muy bien, lancemos una moneda (una moneda sin ningún truco, claro…) al aire. Si preguntamos de antemano el resultado de este lanzamiento, podemos optar por cualquiera de las dos respuestas: cara o sello (evitamos la situación surrealista de que caiga y se man- tenga de canto…). Pero nadie que dé alguna de esas dos respuestas puede estar seguro de que acierte.
Solemos decir que este es un suceso re- gido por el azar. También se le cali?ca como suceso aleatorio (del latín [alea] = dado; aleatorio = propio del juego de dados; y por extensión, lo que está regido por el azar]. Así son todos los juegos en los que intervienen los dados, las cartas de la baraja, los sorteos, las loterías (que ya no son un juego), etc.
Frente a lo aleatorio está el mundo del determinismo. Por ejemplo, si pregunto por el resultado de 2 + 2, ó de 7 x 8, o cómo se escribe 357 en el sistema de numeración maya, la respuesta es única y determinada; no hay otras opciones frente al resultado único. Y así con otros hechos naturales: un hijo no puede tener más años que sus progenitores vivos, etc.
Aclarado el signi?cado del azar, de lo aleatorio y de lo determinista, vamos a imagi- narnos por un momento en un escenario de ciencia ?cción y nos metemos en la moneda que se va a lanzar al aire. Y vamos a tomar nota muy precisa de los factores que van a intervenir en el proceso (trayectoria y resultado) de su lanzamiento al aire.
Entre estos factores están: la posición de la moneda sobre el dedo que la va a lanzar, la altura a la que se encuentra con respecto al piso, la fuerza exacta con la que va a ser impulsada, la altura que va a alcanzar, las fuerzas actuantes del ambiente (gravitatoria, electromagnética, corrientes de aire, etc.), la naturaleza de la super?cie sobre la que va a caer (dureza, inclinación, relieve, extensión, límites…), los objetos contra los cuales puede chocar (posición, tamaño, grado de movilidad, dureza…), los efectos de estos posibles choques, las fuerzas de equilibrio que actuarán en su recorrido sobre la super?cie de caída…, y quizá otros más. 7
Si nosotros, viajeros en esa moneda, tu- viéramos conocimiento de todos los factores actuantes, de la forma precisa en que van a actuar y de los resultados sucesivos y com- binados de su actuación, y si contáramos además con el tiempo su?ciente para hacer todos los cálculos pertinentes relativos a la trayectoria a seguir, llegaríamos a la respuesta de su posición ?nal antes de que la moneda detuviera su movimiento. Es más, ni siquiera necesitaríamos viajar en la moneda. Podría- mos saber de antemano el resultado del lan– zamiento.
En resumen, todo el proceso de lanza- miento de la moneda está regido por leyes bien precisas que actúan inexorablemente. No puede ocurrir, en ningún momento de la trayectoria de la moneda, ni en su posición ?nal, absolutamente nada que no esté regido poresasleyesfísicas.Estamosenpresenciade un evento físicamente determinista.¿Por qué, entonces, llamamos aleatorio a este suceso?
¿Porquédecimosqueelresultadodellan- zamiento de una moneda está regido por el azar? Por una simple razón: porque no tene- mos el conocimiento ni el tiempo para poder calcular de antemano y con toda precisión ese resultado.
¿Dónde está el azar? ¿En la moneda? ¿En el movimiento de la moneda? No: “está en nuestra torpeza, la inexperiencia o la ingenui- dad del que tira [la moneda]… o en el ojo del observador” (Ekeland, 1998, p. 16). En otras palabras, la presencia del azar es un indicio de la presencia de nuestra ignorancia, de nuestra incapacidad para predecir con exac- titud el resultado ?nal. 8 De modo que cuando hablamos de fenómenos o sucesos aleatorios es porque estamos incluyendo al observador como parte del fenómeno; es el observador el que desconoce el resultado ?nal, el que incluye el azar en el experimento, el que lo dota del cali?cativo de aleatorio. Los dados no juegan a los dados, porque para ellos no hay ningún misterio en ese resultado ?nal; ellos sólo se dejan llevar por las leyes actuantes, que siempre lo hacen de una forma determinada.
3. La búsqueda de seguridad y la aceptación del riesgo
Los escenarios a los que nos tenemos que enfrentar en cada momento son muy va- riados; algunos son los previstos; otros no lo son. Por ejemplo, hacemos una pregunta en clase y nos contesta un niño o una niña cuya participación no esperábamos (y quizá tam- poco la respuesta que nos da). O bien, inesperadamente nos interpela una persona; o nos encontramos con un grupo de personas ya conformado y que nosotros no convocamos…
Todos estos hechos son contingentes; es decir, ocurren (y son los únicos que ocurren en su momento), pero bien pudieron haber acaecido otros: responden otros niños, nos interpela otra persona, encontramos el grupo conformado por otras personas… Nuestra experiencia ya nos ha enseñado que la realidad es contingente: delante nuestro está lo que está: personas, objetos, situaciones, actividades, intenciones de la gente, objetivos…; pero podríamos estar enfrentando una realidad diferente. Y además, desconocemos la que viene.
Esa contingencia se mani?esta a cada momento. Frente a ella, nuestra reacción es- pontánea siempre consiste en buscarle sentido a lo contingente, porque todos intentamos vivir en armonía con nuestro mundo. En otras palabras, buscamos regularidades que nos den seguridad en nuestra toma de decisiones y orienten nuestra acción en respuesta a la realidad.
¿Cómo son estas regularidades? Son reglas validadas en el pasado, las que conforman nuestra experiencia, y que nosotros evocamos en el momento apropiado e intentamos proyectar hacia el futuro. Así juega nuestra experiencia; y debemos recalcar lo de “nues- tra”, porque generalmente la experiencia ajena no nos sirve de mucho.
Con este recurso a la experiencia intentamos enfrentar la incertidumbre y disminuir el riesgo ante la toma de decisiones. Pero de todas formas, no siempre encontramos
la respuesta satisfactoria en este recurso a la experiencia (esta insatisfacción también forma parte de nuestra experiencia acumu- lada…).
Entonces recurrimos a fuentes externas que le brinden soporte a nuestra búsqueda de seguridad. Las personas lo han hecho así desde los albores de la humanidad; han acudido a magos, adivinos, profetas, sacer- dotes, oráculos…; a herramientas que des- velan el azar (lo que salga en los dados, en las cartas, en las entrañas de las aves, en el poso del café, en el tabaco que se enciende y se consume, en el horóscopo… y tantas otras versiones locales). El uso de estos recursos cuenta inclu- so con la bendición divina. En el Antiguo Testamento se menciona el uso de “echar suertes” para elegir ¡nada menos que al primer rey de Israel, Saúl!; y se cuenta que se hizo por partida triple, para elegir suce- sivamente la tribu, la familia y, ?nalmente, la persona (I Samuel 10, 20-24). La justi- ?cación de este recurso se encuentra en este versículo de los Proverbios: “Se tira al cara o sello en la palma de la mano, ¡pero la decisión vie- ne de Yahvé!” (Proverbios 16, 33).
Y la validez del recurso de echar suertes persiste en el Nuevo Testamento. Por esta vía y precedida por la oración, se escoge a Matías entre dos can- didatos para comple- tar el grupo de los doce apóstoles, en una reunión pre- sidida por Pedro (Hechos, 1, 26).
En todos estos casos y guiados por la fe, los hombres se alivian del peso de la incertidumbre acudiendo a Dios; se deja en sus manos la decisión y se acepta lo que la suerte decida como una mani- festación de la voluntad divina, a la que se considera como guía de la historia perso- nal y colectiva.
Este es un ejemplo patente de la ase- veración de que la fe mueve montañas; en este caso, las montañas de la incerti- dumbre y del riesgo ante la toma de una decisión.
Claro que también hay otras actitu- des religiosas frente a los temas del azar, la incertidumbre y el riesgo. Ekeland ca- li?ca “la sonrisa de Buda”, su placidez, como una reacción ante los avatares de la vida. Para quien cree en un ciclo eterno de reencarnaciones no hay incertidumbre ni angustia ante una situación particular. No puede haberlas porque sé que “la vida que me toca hoy no es más que un epi- sodio de una historia in?nita en la cual desempeñaré todos los papeles, unos tras otros […]. El azar se disuelve en la dulce indiferencia del mundo” (Ekeland, 1998, p. 142).
Pues bien, mediante la utilización de la información, la invocación de la experien- cia, o el recurso a factores externos (perso- nas, instrumentos de adivinación, fe en la intervención de fuerzas trascendentes), lo que buscamos es superar la incertidumbre y disminuir el riesgo inherente a nuestra toma de decisiones, a la orientación que demos a nuestra acción.
En otros términos, buscamos convertir toda elección preñada de azar (por nuestra ignorancia) en una búsqueda de determi- nismos subyacentes. Todo por la necesidad de “identi?car y de construir oasis de regu- laridad en el desierto de la contingencia” (Ekeland, 1998, p. 73). No debe causarnos sorpresa que, dentro del racionalismo de la cultura occidental, el terreno en que se rastrea y se descubren los fundamentos de esos determinismos sea la Matemática. 9
absolutamente impredecibles; situaciones desconocidas, frente a las cuales no contamos con ningún apoyo de experiencias previas.
c) Finalmente, hay otro tipo de fenómenos cuyos resultados no son predecibles, pero tampoco son fortuitos. Hay en ellos cierta regularidad. Déjenme construir un ejemplo.
Desde que terminé el párrafo anterior hasta el momento en que he empezado éste, me he dedicado a un experimento: he efectuado 200 lanzamientos de una moneda (un buen ejercicio, se lo aseguro…); después de cada uno de ellos he anotado el resultado en términos de cara (C) o sello (S).
No voy a mostrar la secuencia completa de resultados de esos lanzamientos, pero sí la frecuencia relativa progresiva de caras (y el correspondiente porcentaje) en determinados momentos del experimento [denotaremos por frecuencia relativa el cociente entre el número de caras y el número de lanzamientos]: 4. La teoría matemática de la probabilidad
¿Por dónde puede empezar la Matemática a indagar acerca de las situaciones en las que intervienenelazarylaincertidumbre?Unavía puede ser preguntar por la naturaleza de las situaciones o fenómenos que debemos abor- dar. 4.1. Los tipos de fenómenos
a) Así, hay sucesos o eventos que son to- talmente predecibles, seguros; por ejemplo, que 2 + 2 es 4; que un hijo tiene menos años que sus progenitores vivos; que un objeto ex- puesto a una fuente luminosa ?ja produce una sombra;quedosobjetoscolocadosenelvacío caen a la misma velocidad; que en un plano la línea recta es el camino más corto para unir dos puntos; que, como decía nuestro inolvi- dable Mario Moreno, Cantin?as, “siempre que pasa igual, sucede lo mismo”; etc.
En todos estos eventos, puedo predecir el resultado con precisión, sin ninguna duda: si me preguntan por el resultado de 2 + 2, o si una persona tiene menos años que su proge- nitor vivo, o cuál es el camino más corto para unir dos puntos de un plano, o de qué color será una cinta que se extrae de una caja don- de todas las cintas son verdes; etc.: tengo una respuesta única para cada una de estas situa- ciones.
b) Hay otro tipo de fenómenos que son totalmente fortuitos y cuyos resultados son 10
Como podemos observar, la frecuencia re- lativa oscila (sobre todo al comienzo), pero a medidaquecreceelnúmerodecasostiendea estabilizarse alrededor de cierto valor (en este caso, alrededor de 0,5).
Reúnanse en grupo y efectúe cada quien 100 lanzamientos de una moneda, anotando los resultados obtenidos.
a) Elabore cada quien una tabla similar a la anterior (para el caso de obtener sello) y obtenga la frecuencia relativa correspon- diente a su serie completa de lanzamien- tos.
b)Obtenganlamediadelasfrecuencias relativas calculadas en a).
c) Si hubieran reunido en una sola serie el número de sellos obtenidos entre todos los participantes y hubieran calculado la frecuencia relativa correspondiente, ¿habría coincidido este valor con el obtenido en b)? ¿Por qué? (Calcúlenlo, para salir de dudas).
Si analizamos con cuidado este experi- mento de lanzar una moneda y preguntar por el resultado del lanzamiento, podemos desta- car las siguientes características:
• El experimento tiene más de un resulta- do posible, sin que exista ventaja de uno(s) de ellosrespectoalosdemás(ennuestrocasohay dos resultados posibles: C o S; y la moneda es normal).
• Para cualquier observador del experi- mento y a partir de sus conocimientos, el re- sultado es impredecible. • Se supone que el experimento se pue- de reproducir cuantas veces se desee, en las mismas condiciones.
• La secuencia de resultados obteni- dos en la repetición del experimento care- ce de un patrón que el observador pueda predecir (en nuestro caso, después de que salga cara no se puede asegurar que en el siguiente lanzamiento saldrá sello; no hay ningún patrón y pueden producirse rachas de caras o de sellos de cualquier tamaño).
• Las ?uctuaciones de las frecuencias relativas se hacen cada vez más estables a medida que aumenta el número de experi- mentos; y la amplitud de las variaciones de cada frecuencia relativa con respecto a la anterior, tiende a hacerse cada vez menor. En otras palabras, hay una estabilización, a largo plazo, de la frecuencia relativa.
Kolmogorov, un matemático ruso que vivió en el siglo pasado (1903-1987), con- sideró estas características como propias y singulares de ciertos fenómenos. Pues bien, los fenómenos que se rigen por estos princi- pios reciben el nombre de fenómenos alea- torios. Y ese valor, estabilizado a largo pla- zo, de la frecuencia relativa de un evento (por ejemplo, del evento “sacar cara en un lanzamiento”, o “sacar 3 caras en tres lan- zamientos seguidos”…) se denomina proba- bilidad del evento, o probabilidad asocia- da al evento. Esto es lo que se estudia en la teoría matemática de la probabilidad.
La historia de la matemática consi- dera a los matemáticos franceses Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1665) –otra vez nuestro amigo Fermat…- como los iniciadores del cálculo de probabilidades, al resolver un par de problemas propues- tos por el caballero De Meré a Pascal. Un par de problemas bien mundanos, cono- cidos como el problema de los dados y el problema de las partidas.
En el primero se planteaba si es más probable que salga un 6 en cuatro tiradas de un solo dado, o que salga un doble 6 en 24 tiradas de dos dados. En el segun- do, se deseaba averiguar la forma justa en que debía distribuirse el monto de la apuesta entre dos jugadores igualmente hábiles, si la partida se suspendía antes de tiempo y se conocían los puntos lo- grados por cada uno para el momento de la interrupción.
De modo que los primeros desa- rrollos matemáticos referentes a la teoría de la proba- bilidad nacieron al calor del juego y de las apuestas… Recordemos que eran los años de esplendor del rei- nado de Luis XIV (1638-1715), el Rey Sol, un siglo antes de la Revo- lución Francesa.
La costumbre de tomar como referen- cia los juegos de azar para estudiar la teoría matemática de la probabilidad no es, pues, 11
una concesión a los jugadores, apostadores y tahúres de o?cio. De hecho, representa un doble reconocimiento: a los orígenes históricos del establecimiento de esta teo- ría, y al hecho de que tales juegos ofrecen los mejores ejemplos para presentarla y en- tenderla. 4.2. Espacio muestral y eventos probabilísticos
Consideremos un experimento alea- torio (en el sentido de Kolmogorov) como el de arrojar un dado (no cargado) sobre una mesa y observar los puntos de la cara superior. Los posibles resultados son (en números que indican los puntos de cada cara): 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimen- to aleatorio recibe el nombre de espacio muestral; lo representaremos con la letra E. En nuestro caso el espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1. Considere el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire y observar el lado que queda a la vista. Determine su espacio muestral.
2. Considere el experimento aleato- rio consistente en extraer una bola de una bolsa que contiene bolas rojas (R), verdes (V) y negras (N). Determine su espacio muestral.
Volviendo a nuestro experimento con los dados, podemos imaginarnos diversas situaciones; por ejemplo, para una tirada del dado: obtener un 6; obtener un número 12 par; obtener un número primo; obtener un divisor de 12; etc. Cada una de estas situacio- nes recibe el nombre de evento o suceso.
Observemos que los resultados satisfactorios que pueden esperarse en cada caso son, respectivamente: {6}; {2, 4, 6}; {2, 3, 5}; {1, 2, 3, 4, 6}. Si nos ?jamos, estos cuatro grupos de números son subconjuntos del espacio muestral; es decir, conjun- tos formados por elementos que ?guran en el espacio muestral. Ahora podemos dar una de?nición más pre- cisa: Cada uno de los posibles subconjuntos del es- pacio muestral recibe el nombre de evento o suceso. Los designaremos con letras mayúsculas: A, B, etc., o con mayúsculas con subíndices: A1, A2, etc. Un evento puede ser descrito, pues, de dos maneras posibles: por medio de palabras, o como subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, para los cuatro casos citados anteriormente:
• “obtener un divisor de 12” y “ob- tener un 5” • “obtener un 1” y “obtener un nú- mero primo”
Por otro lado, los eventos pueden com- binarse unos con otros para formar eventos más complejos; siguiendo con el experi- mento del lanzamiento de un dado, pode- mos pensar en los eventos: • obtener un número que sea par o impar, • obtener un número que sea primo o compuesto, • obtener un número que sea primo y par, • obtener un número que sea par y divisor de 15, • obtener un número que no sea di- visor de 12, • obtener un número que no sea primo, etc.
Como puede observarse, los eventos se combinan por la vía de una disyunción (tal cosa o tal otra), de una conjunción (tal cosa y tal otra), o de una negación (que no sea tal cosa).
3. Determine los subconjuntos del es- pacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} correspon- dientes a cada uno de los 6 eventos que se acaban de mencionar.
Una palabra sobre las operaciones con conjuntos
Cuando tenemos dos conjuntos, A y B, podemos agrupar en un solo conjunto los elementos de ambos conjuntos, conser- 13 Dé una posible descripción de los siguientes eventos: {1, 3, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, { }. Estas pueden ser unas posibles respuestas:
Los eventos que coinciden con todo el espacio muestral reciben el nombre de eventos o sucesos seguros; por ejemplo, es seguro que al lanzar un dado se obtendrá un divisor de 60. Por el contrario, los eventos “vacíos”, sin ningún elemento del espacio muestral, reciben el nombre de eventos o sucesos imposibles; por ejemplo, es imposible que al lanzar un dado normal se obtenga una cara con 7 puntos. Finalmente, los eventos que constan de un solo elemento del espacio muestral, reciben el nombre de eventos o suce- sos elementales; por ejemplo, “obtener un 6”.
El conjunto vacío { } también se representa con la letra griega Ø (?).
Al comparar dos eventos podemos descubrir si son compatibles o incompatibles; se dice que son compatibles si el hecho de ocurrir uno de ellos no excluye la posibilidad de que ocurra el otro; e incompatibles cuando sí se da esa exclusión (por esta razón, también se llaman excluyentes). Por ejemplo, en el experimento que venimos estudiando, son sucesos incompatibles:
• “obtener un número par” y “obtener un número impar” • “obtener un 6” y “obtener un número menor que 4”
vando solamente los elementos distintos. El nuevo conjunto obtenido de esa manera recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B, y se representa así: A U B.
También podemos formar un nuevo conjunto con aquellos elementos que están simultáneamente presentes en ambos con- juntos. El nuevo conjunto obtenido de esa manera recibe el nombre de intersección de los conjuntos A y B, y se representa así: A B.
Finalmente, si A es un subconjunto de E, podemos hablar del conjunto complemen- to de A con respecto a E. En este conjunto están presentes los elementos de E que no ?guran en A. Lo representamos: A.
Por ejemplo, si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 4, 7, 10} y B = {1, 3, 5, 7, 9}, obtenemos: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} A B = {1, 7} A = {3, 5, 6, 8, 9}
14 Si tomamos en cuenta esta aclaratoria y los resultados del último ejercicio, pode- mos percatarnos de que:
• el subconjunto que se asocia a la dis- yunción de dos eventos, A o B, es A U B; • el subconjunto que se asocia a la con- junción de dos eventos, A y B, es A B; • el subconjunto que s e asocia a la ne- gación de un evento A es A; • si dos eventos A y B son incompati- bles, entonces A B = Ø ; • y viceversa, si A B = Ø, entonces los eventos A y B son incompatibles.
4. Si dos eventos incompatibles se com- binan por la vía de la disyunción, ¿se ob- tiene siempre el espacio muestral? Ayúdese con un ejemplo.
5. Si se combinan dos eventos –uno de los cuales es la negación del otro- por la vía de la disyunción, ¿qué subconjunto del espacio muestral se obtiene? Ayúdese con un ejemplo.
Cuando la combinación, por la vía de la disyunción, de dos eventos que no com- parten ningún elemento del espacio mues- tral genera el propio espacio muestral, los sucesos se denominan complementarios. En notación simbólica se expresará: si A B =Ø y si A U B = E, entonces A y B son complementarios.
Tal es el caso de la disyunción de dos eventos cuando uno de ellos es la negación del otro; por ejemplo, en nuestro experi- mento del lanzamiento de un dado, “obte- ner un número que sea par” y “obtener un número que sea impar”, son dos eventos complementarios. También lo son “obte- ner un número que sea divisor de 12” y “ob- tener un número que sea múltiplo de 5”.
Conviene no confundir algunas situa- ciones respecto a los eventos. Por ejem- plo, al escribir “obtener un número que sea divisor de 12” y “obtener un número que sea múltiplo de 5”, estamos mencio- nando dos eventos; pero al escribir “ob- tener un número que sea divisor de 12 y que sea múltiplo de 5”, estamos hablando de un solo evento (por cierto, imposible), combinación de los dos primeros.
Una segunda observación: que dos eventos sean incompatibles no siempre significa que sean complementarios. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado, los eventos A: “obtener un número menor que 3” y B: “obtener un número mayor que 3” son incompatibles. En efec- to, A = {1, 2} y B = {4, 5, 6}, de donde A B = Ø . Sin embargo, A U B = {1, 2, 4, 5, 6}, que es ? E.
Vamos a resolver ahora algunos ejer- cicios relativos a espacios muestrales y eventos correspondientes a diferentes ex- perimentos.
Consideremos el experimento lanzar una moneda tres veces consecutivas y ob- servar las ternas de lados que son visibles en los lanzamientos. ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente?
Si designamos con C el evento “salir cara” y con S el evento “salir sello” en
cada lanzamiento, el espacio muestral con- tará con 8 eventos elementales: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}. Como puede apreciarse, hemos seguido cierto or- den: todos los casos con 3 caras, con 2 caras, con 1 cara y, ?nalmente, con ninguna cara.
Escriba los subconjuntos que caracteri- zan a cada uno de los eventos siguientes:
a) A1: aparecen dos o más caras conse- cutivamente; b) A2: aparecen cuatro sellos; c) A3: aparecen sólo dos sellos; d) A4: aparecen tres lados iguales de la moneda; e) A5: aparecen al menos dos caras; f) A6: aparecen menos de dos sellos; g) A7: aparece sólo una cara. Estos son los subconjuntos:
a) A1 = {CCC, CCS, SCC} b) A2 =Ø c) A3 = {CSS, SCS, SSC} d) A4 = {SSS, CCC} e) A5 = {CCC, CCS, CSC, SCC} f) A6 = {CCC, CCS, CSC, SCC} f) A7 = {CSS, SCS, SSC} Tomando como base el ejercicio anterior:
a) determine todos los pares de eventos que son incompatibles; b) determine todos los pares de eventos que son complementarios; c) describa el evento formado por la conjunción de A1 y A4; d) describa el evento formado por la conjunción de A5 y A6; e) describa el evento formado por la f) Evento imposible Ø conjunción de A3 y A6; g) Evento imposible Ø f) describa el evento formado por la h) Aparecen dos o más caras consecutiva- conjunción de A7 y A4; mente, o sólo dos sellos {CCC, CCS, g) describa el evento formado por la SCC, CSS, SCS, SSC} conjunción de A1 y A3; i) El mismo evento A7 {CSS, SCS, SSC} h) describa el evento formado por la j) Aparecen tres lados iguales de la mo- disyunción de A1 y A3; neda o sólo una cara {SSS, CCC, CSS, i) describa el evento formado por la SCS, SSC} disyunción de A2 y A7; k) Aparecen sólo dos sellos o menos de j) describa el evento formado por la dos sellos; o bien, aparece cualquier even- disyunción de A4 y A7; to elemental, excepto el que tenga tres se- k) describa el evento formado por la llos {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, disyunción de A3 y A6; SSC } l) describa el evento formado por la ne- l) Aparece cualquier evento elemental, ex- gación de A3; cepto los que tengan dos sellos {CCC, m) describa el evento formado por la CCS, CSC, SCC, SSS} negación de A2; m) Aparece cualquier evento elemental n) describa el evento formado por la ne- {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, gación de A4; SSS} = E ñ) describa el evento formado por la ne- n) No aparecen tres lados iguales de la gación de A7. moneda {CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC} Antes de comenzar a responder las pre- ñ) Aparece cualquier evento elemental, guntas, conviene observar que los eventos excepto los que tengan una sola cara A3 y A7 son iguales (es lo mismo que “apa- {CCC, CCS, CSC, SCC, SSS} rezcan sólo dos sellos” o que “aparezca sólo una cara”). También son iguales los 6. Tenemos una bolsa que contiene 6 eventos A5 y A6 (es lo mismo que “aparez- bolas uniformes, 2 de cada uno de estos co- can al menos dos caras” o que “aparezcan lores: rojo (R), verde (V) y gris (G). Conside- menos de dos sellos”). re ahora el experimento de extraer 1 bola, anotar su color y devolverla a la bolsa, y a)A2 esincompatiblecontodoslosdemás hacer esto dos veces seguidas. sucesos; además, A3 y A7 son incompati- bles con A1, A4, A5 y A6. a) Determine el espacio muestral. b) No hay ningún par de sucesos comple- b) Escriba el subconjunto asociado al mentarios. evento “se extraen dos bolas del mismo c) Aparecen tres caras {CCC} color”. d) Cualquiera de los dos eventos, A5 o A6. c) Escriba el subconjunto asociado al e) Evento imposible Ø evento negación del anterior. 15
7. Sea ahora el experimento de lanzar juntos un dado y una moneda y observar la cara superior del dado y el lado de la moneda que queda a la vista.
a) Determine el espacio muestral. b) Escriba el subconjunto asociado al evento A1: “aparece una cara y un número par”. c) Escriba el subconjunto asociado al evento A2: “aparece un sello y un nú- mero primo”. d) Escriba el subconjunto asociado al evento A3: “aparece una cara y un nú- mero primo”. e) Escriba el subconjunto asociado al evento A4: “aparece un sello y un nú- mero impar”. f) ¿Son complementarios los eventos A1 y A4? g) ¿Son complementarios los eventos A2 y A3? h) Describa con palabras el evento que sea negación de A4 y determine el sub- conjunto asociado. i) Describa con palabras el evento que sea la conjunción de A2 y A4, y determi- ne el subconjunto asociado. j) Describa con palabras el evento que sea la disyunción de A1 y A2, y determi- ne el subconjunto asociado. k) Describa con palabras el evento que sea la disyunción de A1 y A4, y determi- ne el subconjunto asociado. l) Describa con palabras el evento que sea la conjunción de A2 y A3, y determi- ne el subconjunto asociado.
16 4.3. La probabilidad asociada a un evento
Como dijimos al hablar de los fenóme- nos aleatorios (en el sentido atribuido por Kolmogorov), cuando se realiza un experi- mento se observa que la frecuencia relativa de un evento (por ejemplo, del evento “sa- car cara en un lanzamiento de una mone- da”, o “sacar 3 caras en tres lanzamientos seguidos”…) tiende a estabilizarse a largo plazo; y precisamos que ese valor se deno- mina probabilidad del evento, o probabili- dad asociada al evento.
Esta es una de las formas de de?nir la probabilidad asociada a un evento en un fe- nómeno o experimento aleatorio (Batanero, 2005). Como se aprecia, junto a la claridad conceptual se presentan ciertas di?cultades prácticas, ya que se obliga a repetir el expe- rimento un gran número de veces; además, los valores de esas frecuencias relativas no tienen por qué coincidir al cabo de esa se- rie de repeticiones. Junto a esta forma de referirse a la pro- babilidad de un evento, basada, como se ve, en experimentos empíricos, se han de- ?nido otras a lo largo de la historia. Entre ellas destaca la que propuso Laplace, mate- mático y físico francés (1749-1827), en 1814, recogiendo muchas de las observaciones y formas de resolver problemas desarrolladas con anterioridad.
Antes de continuar, una observación. En todos los experimentos que hemos cita- do hasta ahora (lanzamiento de monedas, de dados, extracción de bolas de una bol- sa) y en otros similares, suponemos que la probabilidad de cada uno de los eventos elementales es la misma; es decir, que los eventos son equiprobables.
Laplace propuso la siguiente regla para calcular la probabilidad asociada a un evento, en un espacio de eventos equipro- bables: es la fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo deno- minador es el número de todos los casos posibles.
Hablando en los términos en que veni- mos re?riéndonos a los eventos, la regla se traduce así: la probabilidad de un evento A, en un espacio de eventos equiproba- bles, viene dada por una fracción cuyo numerador es el cardinal del subconjunto asociado al evento, y cuyo denominador es el cardinal del espacio muestral. Y se denota: P(A). P(A) = #(A) / #(E)
A partir de la acotación anterior se des- prende que:
17 a) la probabilidad de un evento seguro es 1: P(E) = 1. b) la probabilidad de un evento imposi- ble es 0: P(Ø) = 0. c) la probabilidad de cualquier otro evento A es un valor comprendido entre 0 y 1: 0 < P(A) < 1. d) la suma de las probabilidades de los eventos elementales de un experimento aleatorio debe ser igual a 1. e) si A es un evento comprendido den- tro de un evento B (es decir, si A es un sub- conjunto de B, lo que se representa así: A B), entonces P(A) < P(B).
Así, para el experimento de lanzar una moneda y observar el lado que queda a la vista, la probabilidad de los eventos “apare- ce cara” y “aparece sello” es 1/2 en ambos casos; y su suma, es 1. Y para el experimen- to de lanzar un dado y observar los puntos de la cara superior del mismo, la probabi- lidad del evento “aparece un 3” es 1/6; y la suma de las probabilidades de los seis eventos elementales es 1.
Siguiendo con el experimento de lanzar un dado y observar los puntos de la cara superior del mismo, calculemos la probabi- lidad de los siguientes eventos: A1: A2: A3: A4: A5: obtener un número par; obtener un número primo; obtener un número divisor de 60; obtener un 7; obtener un número mayor que 2. He aquí una manera de organizar la in- formación y llegar a las respuestas: Consideremos el experimento lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar las ternas de lados que son visibles en los lanzamientos. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes:
A1: aparecen dos o más caras consecutivamente; A2: aparecen cuatro sellos; A3: aparecen sólo dos sellos; A4: aparecen tres lados iguales de la moneda; A5: aparecen al menos dos caras; A6: aparecen menos de dos sellos; A7: aparece sólo una cara. Presentamos una tabla similar a la del ejercicio anterior; ahora el espacio muestral es: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.
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