Consideraciones sobre la impartición del Álgebra Lineal – Geometría Analíticas
Enviado por Andy Willian Mesa Mederos
- Introducción
- Metodología Propuesta
- Tratamiento de la Circunferencia y las cónicas
- Bibliografía
- Anexo
Con la puesta en práctica del Plan D en las Carreras de Ciencias Técnicas, se introduce por primera vez la Asignatura: Algebra Lineal – Geometría Analítica, aunque ya algunas Carreras la contemplaban en esa forma desde el anterior Plan de Estudio, por lo que nos encontramos ante un programa que puede parecer conformado por dos asignaturas y que en un momento dado pudiera una tener más peso que la otra de acuerdo a la forma en que la planifiquemos y la abordemos metodológicamente. En este sentido la idea de nuestro trabajo va encaminada a sugerir algunas variantes metodológicas que contribuyen a la integración de los contenidos y mejorar la forma en que la reciben los alumnos, aprovechando en todo momento, el carácter teórico y general del Algebra Lineal y su aplicación práctica en espacios bidimensionales y tridimensionales, que contribuyen a la visualización geométrica de los conceptos tratados con toda generalidad y abstracción en el Algebra Lineal.
Iniciaríamos nuestro trabajo con las temáticas correspondientes a las Matrices, Operaciones con matrices, matriz inversa, sistemas de ecuaciones lineales ( en este momento en la clasificación, pueden utilizarse en la interpretación geométrica las rectas paralelas, rectas que se cortan y rectas coincidentes, en forma natural e intuitiva, una vez impartido más adelante todo lo relacionado con los planos, puede retomarse esta clasificación y volver a ilustrarla en forma geométrica como se hace alusión mas adelante) .
A continuación trabajaríamos los aspectos correspondientes a los Espacios Vectoriales como estructura algebraica y haríamos una concreción a la representación geométrica en el plano y el espacio de vectores bidimensionales y tridimensionales, aunque ya hemos aclarado en forma general que hay conceptos como las matrices y funciones que son consideradas como vectores que tienen la estructura del Espacio Vectorial, con las operaciones de suma y producto por un escalar, definidas, también los conceptos de generador y base se pueden materializar al trabajar los sistemas coordenados cartesianos del plano y el espacio.
Por lo tanto antes de iniciar el estudio de la Geometría Analítica en el plano y el espacio se procedió a impartir todo lo relativo al Calculo Vectorial, formalizado como la Estructura Algebraica de Espacio Vectorial, pues en definitiva se definen las operaciones y propiedades necesarias, así mismo pudiera añadirse para facilitar todas las deducciones posteriores de ecuaciones de rectas y cónicas, una métrica euclidiana, y un producto escalar haciéndose referencia a los espacios métricos y normados.
En resumen lo que más se utilizaremos posteriormente son las operaciones definidas de suma de vectores, producto de un escalar por un vector, igualdad de vectores, producto escalar de dos vectores y norma de un vector, en los espacios Ry R
aunque se trabajaron espacios mas generales R
en el Alg. Lineal), así como las condiciones de ortogonalidad y paralelismo entre vectores. Se insiste que la generalidad del Algebra Lineal aquí en la parte de Geometría se concreta a espacios bidimensionales y tridimensionales, cuestión que es necesaria para el tratamiento vectorial de la Geometría
Los conceptos de recta y plano no se definen, sólo se parte las ideas intuitivas tomadas de la realidad circundante y ahora se obtendrán los modelos matemáticos que las caracterizan, es decir sus ecuaciones.
En el caso de las cónicas se utilizan las definiciones de las mismas como lugares geométricos de puntos del plano que cumplen a través de la distancia, diferentes condiciones y la genérica relativa a seccionar un cono por planos que tienen diferentes inclinaciones. (Ver material sobre Secciones Cónicas y el texto Geometría Analítica de Charles Lehmann).
Ahora ilustraremos el tratamiento para algunos de los elementos analíticos a utilizar.
Esta forma de tratamiento puede verse en la Geometría Analítica de Reguera de la UH. Texto que es utilizado en la asignatura Geometría Analítica del primer año de la Carrera de Licenciatura en Matemática.
En el caso de la recta en el plano se puede proceder como sigue pero considerando puntos de dos componentes como es obvio, el tratamiento de la recta en el espacio debe ser posterior al trabajo con el plano en el espacio.
El tratamiento de este aspecto debe ser anterior al trabajo con la recta en el espacio, pues en un momento se hace referencia a la intersección de dos planos para la ecuación general del plano.
Nota:
Estos aspectos pueden ser utilizados al deducir en el Análisis Matemático, las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a una curva tomando como vector director de la recta el vector tangente unitario a la curva en el punto y para el plano normal a la curva tomar este vector tangente unitario como vector normal al plano.
En el caso de la recta normal y el plano tangente a una superficie se puede tomar como vector director de la recta normal el gradiente en el punto y así mismo como vector normal al plano normal a la superficie en el punto dado.
En este momento podemos hacer referencia a la interpretación geométrica que pueden tener los sistemas de ecuaciones lineales estudiadas, en tres variables y su clasificación en sistemas compatibles determinados, compatibles e incompatibles, de la siguiente forma:
Sistemas incompatibles. Dos planos paralelos.
Sistemas compatibles determinados: tres planos que se cortan en un punto.
Sistemas compatibles indeterminados, dos planos que se cortan en una recta.
Tratamiento de la Circunferencia y las cónicas
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto P(x
yes constante e igual a r.
Sea Q (x, y) un punto genérico del plano podemos decir que 
Ecuación vectorial de la circunferencia., de aquí desarrollando obtenemos
Ecuación cartesiana de la circunferencia de centro en P y radio r.
Esfera Se utiliza P(xyzy Q (x, y, z) y se sigue el mismo desarrollo.
Para las cónicas, se utilizan las definiciones como lugares geométricos y se plantean la suma o diferencia de las distancias a puntos fijos llamados focos según sea elipse o hipérbola y utilizando norma de vectores se deducen las ecuaciones cartesianas. En el caso de la parábola también la igualdad de la distancia de un punto de la parábola a un punto fijo llamado foco y la distancia del mismo punto a una recta fija llamada directriz.
Puede encontrar las demostraciones en el Libro Geometría Analítica de Reguera, Universidad de La Habana, texto que se utiliza para impartir esta asignatura en el Primer Año de la Licenciatura en Matemática
Después de observar los ejemplos anteriores con posibilidad de integración, es necesario proponer un orden en la impartición de contenidos que posibiliten el tratamiento anterior. Este pudiera ser:
Matrices, operaciones con matrices.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Espacio Vectorial. Distancia y norma. Dependencia e Independencia lineal, Generador y base.
Geometría Analítica del plano, recta y secciones cónicas.
Geometría Analítica del espacio. Planos, rectas y superficies de segundo grado.
Aplicaciones Lineales.
Valores y vectores propios. Diagonalzación.
Superficies y curvas de segundo grado, reducción a la forma canónica, empleando aspectos del Algebra Lineal (Complemento y profundización Ver Anexo)
Dejamos abierta la posibilidad de continuar esta integración con el trabajo relacionado con los valores y vectores propios, las curvas y superficies de segundo grado, su clasificación, y transformación de la forma general a la canoníca, que pueden completar las ideas expuestas en nuestro trabajo y para lo cual anexamos una síntesis con ideas fundamentales.
Conclusiones:
El trabajo de integración propuesto, las ideas y ejemplos expuestos, pueden iniciar un trabajo de perfeccionamiento de la asignatura Algebra Lineal – Geometría Analítica, que puede llegar a nuestros estudiantes en forma más clara, evitando algún tipo de rechazo que pueda producir, sin descuidar la generalidad y abstracción de los métodos del Algebra Lineal y la concreción en espacios Bidimensionales y Tridimensionales de la Geometría Analítica. Esta propuesta evitaría tratar la asignatura como dos asignaturas en una, aprovechando la posibilidad de vincular los conceptos, concretar las ideas y métodos y hacer un uso más racional del tiempo de impartición de la misma.
Calderón, ISPJAE: Complementos de Geometría Analítica.
Lehman, Charles: Geometría Analítica.
Reguera, UH, Geometría Analítica.
Suarez, Margarita: Algebra.
Varela, María Virginia: Algebra Lineal.
Rashevski, P.K. Algebra Lineal y algunas de sus aplicaciones.
Teoría general de las curvas y superficies de segundo grado.
Esta teoría complementa y profundiza la Geometría Analítica sin pretender nunca sustituirla. En todos los casos se considera primero el espacio euclídeo dimensional (el plano) con la métrica corriente (euclídea), después se considera el espacio euclídeo tridimensional para el trabajo con las superficies.
Tomemos en el plano un sistema cartesiano rectangular de coordenadas y consideremos la ecuación general de segundo grado:
F(x, y) = 
(1)
Como se sabe, para algunos valores determinados de los coeficientes de esta ecuación, representa una elipse (, una hipérbola ( 
1), o una parábola (, sin contar los casos degenerados, es decir, un par de rectas, un punto, o un conjunto vacio.
Indiquemos por 
los vectores unitarios de los ejes del sistema rectangular de coordenadas escogido. Llamemos grupo de los términos principales a la expresión: 
xy + 
de la ecuación (1) puede ser considerado como una forma cuadrática de las coordenadas x e y del vector (x, y) y puede reducirse en una base 
también orto normal a la suma de cuadrados 
donde 
son los valores propios de la matriz: A = 
y 
son los vectores propios correspondientes.
Se llama invariante de una curva a toda expresión formada por los coeficientes de su ecuación que no varía al cambiar de sistema cartesiano rectangular de coordenadas, por otro sistema del mismo tipo, es decir no varía al realizar rotaciones y traslaciones paralelas de los ejes coordenados (ver Cap. 1. De Complementos de Geometría Analítica de Calderón).
Son invariantes de una curva de segundo orden (1):
La suma de los coeficientes de los cuadrados de las coordenadas:
s = 
El determinante formado por los coeficientes de los términos principales
Y el determinante de tercer orden:
= 
La invariancia de las expresiones: s, 
facilitan la reducción de la ecuación de la curva a la forma canoníca. Así por ejemplo, en el caso de una curva central, es decir, para 
una vez determinados los valores propios 
la ecuación de la curva se reduce como ya hemos visto a la forma:
Para esta ecuación tenemos: 
= 
de donde resulta que 
es decir c = 
. Por consiguiente la ecuación canónica, es decir, simplificada, de una curva central se segundo grado es:
= 0
Donde se puede obtener la siguiente clasificación:
Ejemplo: Determine el tipo de curva y dedúzcase a la forma canónica.
2xy + 32x – 4y + 1 = 0
Tipo elíptico.
Po otro lado 
= 
de aquí:
4 
luego la ecuación canónica de la curva será:
4
= 0 ó 
La curva es una elipse.
Superficies de segundo grado: No ocuparemos de reducir la ecuación general de segundo grado a la forma canónica. Para ello, haremos un trabajo parecido al desarrollado con las curvas.
Supongamos que en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares del espacio tridimensional se tiene la ecuación:
F(x, y, z) = 
(2)
Consideramos la forma cuadrática en tres variables:
En una base determinada, también ortonormal, esta forma se reduce a la suma de cuadrados: 
La ecuación (2) se reduce, entonces a la forma:
Se pueden dar tres casos
Todos los 
son diferentes a cero
Uno de los valores de 
es igual a cero.
Dos de los valores de 
son iguales a cero.
Considerando el
Caso 1, podemos deshacernos de los términos de primer grado, realizando una traslación paralela a los ejes coordenados (ver Complementos de Geometría Analítica de Calderón, Cap. 1) hacemos las sustituciones:
Obtenemos la ecuación: 
Esta es la ecuación de una superficie de segundo grado con centro en el nuevo origen de coordenadas. Tomado c < 0, de lo contrario podemos multiplicar por -1
Se pueden obtener los siguientes casos:
Caso a). 
Un elipsoide.
Caso b). 
Un hiperboloide de una hoja
Caso c). 
Un hiperboloide de dos hojas.
Caso d). 
Un conjunto vacio de puntos
Si c = 0 y todos los 
son des mismo signo se tiene un punto, si c = 0 y los 
son de diferentes signos, resulta un cono.
Caso 2. Uno de los coeficientes 
es igualo a cero. Supongamos por ejemplo 0, realizando la traslación podemos reduci2r la ecuación a:
aquí podemos analizar dos casos, 
y 
Si 
la ecuación es de la forma 
esta es la ecuación de una superficie cilíndrica. Cuya forma se determina por su directriz en el plano (cilindro elíptico, cilindro hiperbólico, dos planos que se cortan, una recta, dos planos imaginarios que se cortan a lo largo de esta recta real, un conjunto vacio de puntos o un cilindro elíptico imaginario).
Si 
la ecuación se reduce a 
donde si el producto 
se tiene un paraboloide elíptico y si 
se tiene un paraboloide hiperbólico.
Caso 3. Dos de los números 
son iguales a cero, por ejemplo 
, la ecuación se reduce a la forma:
De donde se obtiene un cilindro parabólico en el caso de que uno de los coeficientes 
sea diferente de cero.
Para la transformación de la ecuación de una superficie de segundo grado, en forma similar que lo estudiado en las curvas se emplean las invariantes, que en este caso son las siguientes:
Estos números coinciden, salvo el signo, con los coeficientes del polinomio característico de la matriz:
Y el determinante 
y la ecuación se reduce a:
, el determinante 
se anula, si y sólo si la superficie es cónica o cilíndrica.
NOTA. Las ideas expuestas en forma sintética, pertenecen al Capítulo VII del Manual: Algebra Lineal y algunas de sus aplicaciones, basadas en los apuntes sobre Conferencias dictadas por la autora P.K. Rashevski, en la Facultad de Química – Física Universidad de Moscú.
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Autor:
MSc. José Luis González Amador
MSc. Gustavo Vicente Rojas
MSc. María Milena Rodríguez Fernández