Análisis de sensibilidad, árboles de decisión y punto de equilibrio

El análisis de sensibilidad, es un estudio realizado en general en unión con el estudio de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor (VP, VA, TR o B/C) y la alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un rango establecido de valores. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Este es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa solo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone independencia de cada parámetro.

Determinación de Sensibilidad de Estimaciones de Parámetros

Determine cuál parámetro o parámetros de interés podrían variar con respecto al valor estimado más probable.

Seleccione el rango probable de variación y su incremento para cada parámetro.

Seleccione la medida de valor que será calculada.

Calcule los resultados para cada parámetro utilizando la medida de valor como base.

Para interpretar mejor los resultados, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida de valor.

Análisis de Sensibilidad Utilizando Tres Estimaciones

Es posible examinar a cabalidad las ventajas y desventajas económicas entre dos alternativas o más tomando en préstamo, del campo de la programación de proyectos, el concepto de elaborar tres estimaciones para cada parámetro: una estimación pesimista, una muy probable y una optimista. Dependiendo de la naturaleza de un parámetro, la estimación pesimista puede ser el valor más bajo (la vida de la alternativa es un ejemplo) o el valor más grande (como el costo inicial de un activo).

Este enfoque nos permite estudiar la sensibilidad de la selección de las medidas de valor y de las alternativas dentro de un rango preestablecido de variación para cada parámetro. En general, cuando se calcula la medida de valor para un parámetro o alternativa particular se utiliza la estimación más probable para todos los demás parámetros.

Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VP es:

• 1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo.

• 2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión

• 3. E(decisión) = ( (estimación de resultado) P(resultado) donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión.

• 4. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión), el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos.

• 5. Continúe moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa.

• 6. Trace el mejor camino de decisiones de regreso a través del árbol.

Selección de Alternativas Utilizando Árboles de Decisión

La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir claramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones.

Un árbol de decisiones incluye:

• Más de una etapa de selección de alternativas.

La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa.

Resultados esperados de una decisión en cada etapa.

Estimaciones de probabilidad para cada resultado.

Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado.

Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP)

Para utilizar el árbol de decisiones a fin de evaluar y seleccionar alternativas, es preciso estimar la siguiente información adicional para cada rama:

Probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de una decisión.

Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tal como, inversión inicial y flujos de efectivo anuales.

Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VP es:

• 1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo.

• 2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión E(decisión) = ( (estimación de resultado) P(resultado) donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión.

• 3. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión), el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos.

• 4. Continúe moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa.

• 5. Trace el mejor camino de decisiones de regreso a través del árbol.

Valor del Punto de Equilibrio

Con frecuencia es necesario determinar la cantidad de una variable a la cual los ingresos y los costos son iguales con el fin de estimar la cantidad de utilidad o pérdida. Esta cantidad, denominada equilibrio, QPE se determina utilizando las relaciones para la estimación de ingresos y de costos como función de cantidades diferentes Q de una variable particular. El tamaño de Q puede estar expresado en unidades por año, porcentaje de capacidad, horas por mes y muchas otras dimensiones

Efecto sobre el Equilibrio cuando se reduce el costo variable por unidad

Para alguna cantidad de la variable, las relaciones de ingreso y de costo total se interceptarán para identificar el punto de equilibrio, QPE,. Si Q > QPE hay una utilidad predecible, pero si Q < QPE, hay una pérdida, siempre y cuando las relaciones se continúen estimando correctamente a medida que el valor de Q cambia. Si el costo variable por unidad disminuye, la línea CT también lo hará y el punto de equilibrio se reducirá en términos de valor; es decir, se requerirá menos para estar en equilibrio. Esta es una ventaja porque cuanto menor sea el valor de QPE más alta será la utilidad para un monto dado de ingreso. Para los modelos lineales de R y CV, cuanto más alta sea la cantidad real vendida, mayor será la utilidad.

Punto de Equilibrio entre dos Alternativas

En la mayoría de los análisis económicos, uno o más de los componentes del costo varían como función del número de unidades. Comúnmente, las relaciones de costo se expresan en términos de la cantidad (u otra variable), y se calcula el valor al cual las alternativas quedan en equilibrio. Para encontrar el punto de equilibrio, la variable debe ser común a ambas alternativas, tanto como costo de operación como costo de producción.

Para determinar el punto de equilibrio y seleccionar una alternativa pueden utilizarse los siguientes pasos:

Defina claramente la variable común y establezca sus unidades dimensionales.

Utilice el análisis VA o VP para expresar el costo total de cada alternativa como función de la variable común.

Iguale las dos relaciones de costos y resuelva para el valor de equilibrio de la variable.

Si el nivel anticipado de la variable está por debajo del valor del equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más alto (la mayor pendiente). Si el nivel está por encima del punto de equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más bajo.

Conclusión

El análisis de sensibilidad es una técnica de selección de alternativas, que permite evaluar la sensibilidad de la medida de una valor a la variación de un parámetro.

Cuando se comparan dos alternativas, se calcula y se representa gráficamente la medida de valor para valores diferentes del parámetro a fin de determinar cuándo es mejor cada alternativa. Cuando se espera que diversos parámetros varíen durante un rango predecible, puede representarse gráficamente la medida de valor versus cada parámetro en términos de una variación porcentual de la estimación más probable. Esto indica a simple vista dónde es sensible la decisión a un parámetro (graficación horizontal aproximada) y dónde hay una ha sensibilidad (pendientes más grandes y graficación no lineal). También, pueden utilizarse tres estimaciones para un parámetro —muy probable, pesimista y optimista— a fin de determinar cuál alternativa entre muchas es mejor. En todos estos análisis se supone que existe independencia entre los parámetros.

Punto de Equilibrio entre dos Alternativas

En la mayoría de los análisis económicos, uno o más de los componentes del costo varían como función del número de unidades. Comúnmente, las relaciones de costo se expresan en términos de la cantidad (u otra variable), y se calcula el valor al cual las alternativas quedan en equilibrio. Para encontrar el punto de equilibrio, la variable debe ser común a ambas alternativas, tanto como costo de operación como costo de producción.

Para determinar el punto de equilibrio y seleccionar una alternativa pueden utilizarse los siguientes pasos:

Defina claramente la variable común y establezca sus unidades dimensionales.

Utilice el análisis VA o VP para expresar el costo total de cada alternativa como función de la variable común.

Iguale las dos relaciones de costos y resuelva para el valor de equilibrio de la variable.

Si el nivel anticipado de la variable está por debajo del valor del equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más alto (la mayor pendiente). Si el nivel está por encima del punto de equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más bajo.

Conclusión

El análisis de sensibilidad es una técnica de selección de alternativas, que permite evaluar la sensibilidad de la medida de una valor a la variación de un parámetro.

Cuando se comparan dos alternativas, se calcula y se representa gráficamente la medida de valor para valores diferentes del parámetro a fin de determinar cuándo es mejor cada alternativa. Cuando se espera que diversos parámetros varíen durante un rango predecible, puede representarse gráficamente la medida de valor versus cada parámetro en términos de una variación porcentual de la estimación más probable. Esto indica a simple vista dónde es sensible la decisión a un parámetro (graficación horizontal aproximada) y dónde hay una ha sensibilidad (pendientes más grandes y graficación no lineal). También, pueden utilizarse tres estimaciones para un parámetro —muy probable, pesimista y optimista— a fin de determinar cuál alternativa entre muchas es mejor. En todos estos análisis se supone que existe independencia entre los parámetros.

4.1 Punto de equilibrio

Todo gerente necesita saber por anticipado, si un nuevo producto o una nueva empresa, va a producir utilidad o no y en qué nivel de actividad comienza esa utilidad. Para determinarlo se puede utilizar el análisis de punto de equilibrio (break even point). Este es un análisis eminentemente contable. Aunque los recursos ofrecidos por las hojas de cálculo hacen innecesario el cálculo por fórmulas, se presentan para ilustrar el concepto que hay detrás de la idea de punto de equilibrio. Cuando se tienen estados financieros proyectados y todos los resultados dependen de cierto número de variables, el punto de equilibrio es muy fácil de calcular. Se utiliza la opción Buscar objetivo de Herramientas en Excel, por ejemplo, y se define la utilidad igual a cero, cambiando la cantidad de bienes o servicios a vender. Esta forma de calcular el punto de equilibrio es mejor porque tiene en cuenta todos los cambios y no linealidades que puedan existir en el pronóstico. Para entender a cabalidad este aspecto, es preciso definir algunos costos, así:

• Costo variable total (CVT): es aquel cuyo valor está determinado, en proporción directa, por el volumen de producción, ventas o cualquier otra medida de actividad.

El costo variable unitario (CVU), es el valor asociado a cada unidad de lo que se produce o del servicio que se presta.

• Costo Marginal: es el costo de producir una unidad extra de un bien o servicio. El costo marginal puede ser el costo variable unitario, sin embargo, si los costos variables unitarios no son constantes y hay economías de escala, el costo marginal dependerá del nivel de operación en que se trabaje.

• Costo fijo (CF): es aquel costo de una determinada actividad que no varía durante un cierto período, independientemente del volumen de esa actividad.

Se deben tener en cuenta las siguientes variables: cantidad producida, precio de venta unitario, costos fijos y costos variables unitarios. Los ingresos estarán determinados por la cantidad vendida y el precio de venta unitario, los costos los determinan la cantidad producida y vendida, los costos fijos y los costos variables por unidad (Ver Figura 1).

4.1.2 Punto de equilibrio en dinero

Hasta aquí, el punto de equilibrio ha sido calculado en términos de unidades físicas. También se puede calcular en unidades monetarias. Esta manera de calcularlo es la recomendada cuando la actividad no es identificable en unidades o cuando hay varios bienes o productos. Aquí influye mucho la "mezcla de producto", es decir, la proporción en que se venden los diferentes productos y

esta mezcla debe mantenerse constante en la realidad, para que el punto de equilibrio calculado coincida con lo real. Más adelante se presenta una propuesta para calcular puntos de equilibrio individuales, cuando existen varios productos.

En caso de calcular el punto de equilibrio en dinero, se tiene lo siguiente:

Ingresos totales = Costos fijos + costos variables totales.

Los costos variables unitarios, se supone que son proporcionales al precio de venta, por lo tanto, así también lo serán los costos variables totales y los ingresos totales.

4.1.3 Punto de equilibrio para varios productos o servicios

Al principio se presentó la técnica de punto de equilibrio, para determinar a qué nivel de actividad se empieza a generar utilidades. Allí se supuso que existía un solo producto, por lo tanto, al calcular la cantidad a producir en el punto de equilibrio, automáticamente podía conocerse el valor total de las ventas. En realidad se tiene más de un producto o servicio y no es tan fácil encontrar el punto de equilibrio para la empresa como un todo. Aquí, como ya se dijo, la "mezcla de producto", o sea la proporción en que se venden los diferentes productos. Si esta proporción no se mantiene, el punto de equilibrio real discrepará con el proyectado.

Ejemplo 2 Caso I

Supóngase que una firma tiene dos productos A y B con las siguientes características:

4.1.6 Punto de Equilibrio no lineal

Hasta aquí se ha considerado que el punto de equilibrio es el resultado de relaciones lineales entre precio de venta, costo variable y costo fijo. La realidad es que esa relación es no lineal y se ve 15 afectada por varios parámetros tales como la elasticidad y que producen un comportamiento variable en los costos. Es decir, precios y los costos no son constantes en el tiempo. Esto inclusive podría conducir a encontrar más de un punto de equilibrio.

4.2 Análisis de sensibilidad

Una de las fortalezas del análisis de punto de equilibrio, es que permite evaluar las decisiones sobre precios y costos en términos de su efecto en las utilidades. Por ejemplo, considérese la necesidad de disminuir el punto de equilibrio para aumentar las ganancias, lo cual puede lograrse de varias formas:

• Aumentando los precios.

• Disminuyendo los costos fijos.

• Disminuyendo los costos variables.

• Una combinación de las anteriores.

Conviene estudiar el efecto de cada una de esas decisiones, en el resultado del ejemplo 1:

Introducción al análisis de sensibilidad

El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando se ha aplicado con éxito el método símplex para identificar una solución óptima. Una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del modelo (aij, bi y cj ) son constantes conocidas. En realidad, los valores de los parámetros que se usan en este modelo son sólo estimaciones basadas en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no existen, es por esta razón que los parámetros de la formulación original pueden representar poco más que algunas pequeñas reglas proporcionadas por el personal de línea el que tal vez se sintió presionado para dar su opinión. Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o pesimistas que protegen los intereses de los estimadores.

Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de operaciones mantendrán cierto escepticismo respecto a los valores originales entregados por el computador y, en los muchos casos, los considerarán solamente como un punto de inicio para el análisis posterior del problema. Una solución "óptima" es óptima nada más en lo que se refiere al modelo específico que se está usando para representar el problema real, y tal solución no se convierte en una guía confiable para la acción hasta que se verifica que su comportamiento es bueno para otras representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los parámetros del modelo (en particular bi) se establecen como resultado de decisiones por políticas gerenciales, y estas decisiones deben revisarse después de detectar sus consecuencias.

Estas son las razones por las cuales es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método símplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que afecten la optimalidad de la solución. Sin embargo, también existirán parámetros con valores probables que nos lleven a una nueva solución óptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, ¡o tal vez no factibles!

Por lo tanto, el objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima ). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo). En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de valores para el que la solución BF óptima (con los valores ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para permanecer factible).

La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero, identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles. Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los cambios al modelo original alterarían los números de la tabla símplex final (si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas que realizó el método símplex la primera vez). Por lo tanto, después de hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla símplex, se puede verificar con facilidad si la solución BF óptima original ahora es no óptima (o no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para comenzar de nuevo el método símplex (o el símplex dual ) para encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución básica inicial "avanzada".

Para describir este procedimiento con más detalle, considere la siguiente situación. Se ha empleado el método símplex para obtener una solución óptima para un modelo de programación lineal con valores específicos para los parámetros bi, cj y aij. Para iniciar el análisis de sensibilidad se cambian uno o más parámetros. Después de hacer los cambios, sean bi, cj y aij los valores de los distintos parámetros. Entonces, en notación matricial, para el modelo revisado.

Primer paso es actualizar la tabla símplex final para que refleje estos cambios. Usando la siguiente notación junto a las fórmulas que acompañan a la idea fundamental [ 1) t* = t + y*T y 2) T* = S*T ] , se ve que la tabla símplex final revisada se calcula a partir de y* y S* (que no han cambiado) y la nueva tabla símplex inicial, como se muestra en la tabla 1.1.

Resumen del procedimiento para análisis de sensibilidad

1. Revisión del modelo: se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar.

2. Revisión de la tabla simplex final: se emplea la idea fundamental para determinar los cambios que resultan en la tabla símplex final.

3. Conversión a la forma apropiada: se convierte esta tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario) eliminación de Gauss.

4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución verificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del lado derecho.

5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima (si es factible), comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos.

6. Reoptimización: si esta solución no pasa cualquiera de las pruebas, se puede obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla actual como tabla símplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex primal o el símplex dual.

La rutina interactiva llamada Sensitivity Analysis (análisis de sensibilidad) en el OR Courseware le permite practicar la aplicación de este procedimiento. Además, se proporcionará una demostración (bajo el mismo nombre) con otro ejemplo.

A continuación se presentará e la aplicación de este procedimiento a cada una de las categorías más importantes de cambios al modelo original. Esto incluye, en parte, la extensión sobre el ejemplo que se introdujo en este trabajo para investigar cambios en el modelo de la Wyndor Glass Co. De hecho, se comenzará por verificar individualmente cada uno de los cambios anteriores. Al mismo tiempo, se integrarán al análisis de sensibilidad algunas de las aplicaciones de la teoría de dualidad.

Aplicación del análisis de sensibilidad

Este análisis casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los valores de las bi, la cantidad del recurso i (i = 1, 2,. . . , m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo. La interpretación económica de las variables duales (las yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que se deben estudiar.

Primer caso: Cambios en las b i (columna lado derecho)

Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más de los parámetros bi (i = 1, 2, . . . , m). En este caso, los únicos cambios que resultan en la tabla símplex final se encuentran en la columna del lado derecho, por lo cual, se pueden omitir del procedimiento general tanto la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss como la prueba optimalidad.

Como se muestró en la tabla 1.1, cuando el vector de valores bi se cambia de b a b, las fórmulas para calcular la nueva columna del lado derecho en la tabla símplex final son

Lado derecho del renglón 0 final: Z* = y* b

Lado derecho de los renglones 1, 2, . . . , m: b* = S* b

(Vea al final de la tabla 1.1 la localización del vector y* y la matriz S* que no cambiaron, en la tabla símplex final.)

EJEMPLO. El análisis de sensibilidad para el problema original de la Wyndor Glass Co. comienza por examinar los valores óptimos de las variables duales yi (Y1* = 0, Y2* =3/2, Y3* = 1). Estos precios sombra dan el valor marginal de cada recurso i para las actividades (dos nuevos productos) bajo consideración, donde el valor marginal se expresa en las unidades de Z (miles de dólares de ganancia por semana). Se puede aumentar la ganancia total debida a estas actividades en $1500 semanales (y2* multiplicado por $1000 por semana) por cada unidad adicional del recurso 2 (hora de producción a la semana en la planta 2) que quede disponible. Este aumento en la ganancia es válido para cambios relativamente pequeños que no afecten la factibilidad de la solución básica actual (y por tanto, que no afecten los valores de yi*).

En consecuencia, el equipo de 10 ha investigado la ganancia marginal posible debida a los otros usos actuales de este recurso para determinar si alguna es menor que $1500 semanales. Esta investigación puso de manifiesto que uno de los productos antiguos es mucho menos redituable. La tasa de producción para este producto ya se redujo a la cantidad mínima que justifica sus gastos de comercialización, pero se puede descontinuar, lo que proporcionaría 12 unidades adicionales del recurso 2 para los nuevos productos. Entonces, el siguiente paso es determinar la ganancia que se podría obtener de los nuevos productos si se hiciera esta transferencia. Esto cambia b2 de 12 a 24 en el modelo de programación lineal. La figura 2 muestra el efecto gráfico de este cambio incluyendo el cambio en la solución en un vértice final de (2, 6) a (-2, 12). (Observe que esta figura es distinta a la 1 porque la restricción 3×1 + 2X2 < 18, no cambió en este caso.)

Autor:

Arbelaez Hosmary

Chávez Laudy

Ramírez Aurelis

Rojas Virma

Enviado por:

Iván José Turmero Astros

Universidad Nacional Experimental Politécnica

"Antonio José de Sucre"

Vice-rectorado Puerto Ordaz

Departamento de Ingeniería Industrial

INGENIERÍA ECONÓMICA

Profesor: Ing. Andrés Blanco

CIUDAD GUAYANA, AGOSTO DE 2004