El álgebra lineal y el cálculo (página 2)

Teorema

Si es un punto de extremo local de una función y en dicho punto están definidas todas las derivadas parciales de primer orden de entonces .

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de puntos de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos críticos estacionarios.

Análogamente al caso de una variable existen en el caso de dos o más variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

Entonces, ¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que:

Si A es una matriz cuadrada de orden nXn con elementos en un cuerpo K e I es la matriz identidad del mismo orden que A entonces al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces pertenecientes a K se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A. En el caso de matrices reales simétricas sus valores propios son siempre reales .Que sea un valor propio de A significa que existe al menos un vector no nulo tal que .

De igual manera que una matriz cuadrada de orden nXn define una función lineal (endomorfismo u operador lineal) del espacio vectorial en sí mismo pues toda matriz real simétrica define una forma cuadrática real a la cual representa en la base canónica. Dicha forma cuadrática es una función definida por .En el caso de funciones reales de varias variables las cuales tengan segunda derivadas parciales continuas pues la segunda diferencial es una forma cuadrática en la cual admite como representación en la base canónica la llamada matriz hessiana de la correspondiente función de varias variables. En Algebra Lineal se estudian clasificaciones de las formas cuadráticas según el signo de los valores propios de la matriz canónica correspondiente. Pues bien según el signo de la forma cuadrática que constituye la segunda diferencial de una función con segundas derivadas parciales continuas se logran enunciar condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de extremos locales o relativos. Este teorema solo lo enunciaremos para el caso de tres variables pero perfectamente puede ser enunciado en forma general. Hágalo!

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local)

Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario .

Sea la matriz llamada Hessiana de

en . Entonces:

1. Si todos los valores propios de M son positivos es un punto de mínimo local.
2. Si todos los valores propios de M son negativos es un punto de máximo local.

   de extremo local.

3. Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o no es un punto

   de extremo local.

4. Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto
5. Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces

no es un punto de extremo local

Notas:

Este teorema puede ser enunciado en términos del determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales lo cual desde el punto de vista algebraico no es otra cosa que la aplicación del Criterio de Sylvester para determinar el signo de una forma cuadrática.

Obsérvese que el teorema solo permite determinar el carácter de un punto crítico estacionario por lo que si el punto crítico no es estacionario hay que recurrir a investigaciones complementarias.

Ludwig Otto Hess (1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig Otto Hess se sabe que nació precisamente en Konigsberg, Alemania (aunque actualmente es Rusia) el 22 de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó primero como maestro de física y química y posteriormente como profesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes de tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.

A continuación muestro algunos ejemplos en cada uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado que:

• El dominio de la función es todo
• La función es diferenciable por lo que los únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios pues no habría extremos locales.

a)

En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos que resolver el sistema lineal de ecuaciones:

Este sistema es compatible determinado y su solución es .

Investiguemos el cumplimiento de las condiciones suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus entradas o elementos diagonales. Como los valores propios son no nulos y de diferente signo pues el punto estacionario encontrado no es punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos de extremo local se denominan puntos de ensilladura.

b)

En este caso .Resolviendo el sistema compatible determinado obtenemos el punto estacionario . La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a 2(Compruébelo!!) por lo que el punto es un punto de mínimo local.

c)

En este caso mas tenemos que resolver el sistema el cual tiene exactamente dos soluciones las cuales son . Las matrices Hessianas son y .Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras que los de son -6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es un punto de mínimo local y segundo no es ni de mínimo ni de máximo.

Te proponemos investigues en los incisos siguientes(algunos de los cuales se resuelven) la existencia de extremos locales.

d)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales primeras.

Para hallar los puntos críticos estacionarios resolvemos el SEL obtenido a igualar a cero las derivadas parciales y simultaneando las ecuaciones obtenidas obteniéndose un SEL compatible determinado cuya solución es (1; 0;-1).

¿Será este punto estacionario un punto de extremo relativo?

Hallemos las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto estacionario y conformemos la Matriz Hessiana obteniéndose la matriz cuyo polinomio característico tiene las raíces o ceros: por lo que todos los valores propios de esta matriz son positivos o sea es una matriz simétrica real definida positiva lo que implica que el punto estacionario es un punto de mínimo local.

e)

f)

g)

h)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales primeras.

Para hallar los puntos críticos estacionarios resolvamos el sistema obtenido a igualar a cero las derivadas parciales y simultaneando las ecuaciones obtenidas obteniéndose (1/2; -2; 0).

¿Será este punto estacionario un punto de extremo relativo?

Procediendo en forma análoga para conformar la Matriz Hessiana se obtiene la matriz cuyo polinomio característico tiene las raíces o ceros: por lo que todos los valores propios de esta matriz son no negativos pero uno de ellos nulo o sea es una matriz simétrica real semi definida positiva lo que implica que el punto estacionario o es un punto de mínimo local o es de silla.

i)

j)

Considero conveniente resaltar que en muchos casos la investigación del cumplimiento de estas condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la complicación algebraica de la expresión analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores propios sea nulo para poder decidir habría que recurrir a otros recursos entre los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su vez involucran derivadas parciales de orden superior al segundo.

Conclusiones

Con este material he pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos o más variables reales y que tienen una estrecha relación con tópicos del Algebra Lineal.

Autor:

Alejandro Martínez Catellini

Datos del Autor: Graduado de Lic. en Educación, Especialidad Matemática(1993)

Profesor de Matemática del ISPJAE y en prestación de servicios por 4 cursos en la Universidad de Ciencias Informáticas.

Jefe de colectivo de la disciplina Matemática en la facultad 7 en la UCI.

Durante 12 cursos impartió clases en la enseñanza pre universitaria.

Cuba.

Universidad de Ciencias Informáticas

Facultad 7

La Habana

– 2008-