Investigación ex-aula sobre la discriminante o hessiano (matriz hessiana)

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo explica de manera detallada el discriminante, hessiano o matriz hessiana.

Primero se da a conocer una reseña histórica y biográfica del creador o inventor de las matrices hessianas y luego se presenta paso a paso la forma de resolver ejercicios de 2 o más variables haciendo uso de matrices hessianas.

Al final se resuelve un ejercicio completo de 3 variables y se explica detalladamente cada uno de los procesos realizados.

También se presenta en este trabajo 7 pasos a seguir para encontrar máximos y mínimos utilizando matrices hessianas, lo cual será útil para la solución de cualquier ejercicio de este tipo.

DISCRIMINANTE O HESSIANO (MATRIZ HESSIANA)

Ludwig Otto Hess (1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig Otto Hess se sabe que nació precisamente en Konigsberg, Alemania (aunque actualmente es Rusia) el 22 de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó primero como maestro de física y química y posteriormente como profesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes de tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.

NOTACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES

Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas parciales:

MATRIZ HESSIANA DE DOS VARIABLES

Si tenemos un ejercicio con dos variables, obtendremos una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres variables, la matriz gesiana será 3 x 3, y así sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:

En este trabajo se estará usando la notación que aparece en el miembro izquierdo de las ecuaciones por considerarlo más sencillo de comprender a primera vista.

MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Antes de presentar ejemplos, se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda de esta forma:

SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a y nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a z nuevamente.

NOTA: Es bueno tomar en cuenta que:

, , , …

MATRIZ HESSIANA DE "N" VARIABLES

Ya se presentó la matriz hessiana de 2 variables y de 3 variables. Sin embargo podemos enfrentarnos a problemas en los que hayan más de tres variables, para lo cual se presenta a continuación lo que se tiene que hacer cuando se tengan matrices hessianas de cuatro variables o más, osea matrices 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6, etc.

La manera de resolver este tipo de problemas de más de dos variables se presenta con la siguiente matriz, y funciona para cualquier problema donde se utilice matriz hessiana con más de dos variables:

Antes de continuar se debe decir que para ser capaces de resolver problemas utilizando matrices hessianas se debe poder resolver sin problemas determinantes cuadradas, pues es algo que se utiliza al trabajar con matrices. En este trabajo no se explica cómo resolver determinantes cuadradas pero se aclara que es algo indispensable en el trabajo y resolución de problemas utilizando matrices hessianas.

PASOS A SEGUIR PARA ENCONTRAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS UTILIZANDO MATRICES HESSIANAS

1. Tener la función original que se va a trabajar.

2. Calcular las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que se tiene la función original.

3. Igualar a cero las primeras derivadas que se calcularon en el paso 2.

4. Simultanear las ecuaciones generadas en el paso 3 para encontrar el valor de cada una de las variables. Esos valores encontrados para cada una de las variables serán las coordenadas de los puntos críticos.

5. Teniendo los puntos críticos que se encontraron en el paso 4, se tiene que calcular las segundas derivadas parciales en el punto crítico de modo que asignemos los valores de cada elemento de la matriz hessiana, ya sea matriz 2 x 2 (si la función es de 2 variables), 3 x 3 (si la función es de 3 variables), 4 x 4 (si la función es de 4 variables), n x n (si la función es de n variables).

6. Resolver la matriz hessiana normalmente como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada. El resultado que se obtenga de la matriz hessiana es la respuesta.

7. Se sacan conclusiones de la respuesta obtenida en el paso 6 de la siguiente manera:

CASO DE DOS VARIABLES O MATRIZ HESSIANA 2 X 2:

Si el determinante de la matriz hessiana es mayor que cero, entonces se procede a ver si es positivo o negativo. Si es positivo o mayor que cero entonces la función tiene un MÍNIMO en el punto crítico. Si es negativo o menor que cero entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico.
Si el determinante de la matriz hessiana es menor que cero entonces se concluye que la función tiene un PUNTO DE SILLA en el punto crítico.
Si el determinante de la matriz hessiana es cero entonces se concluye que NO HAY INFORMACIÓN o EL CRITERIO NO ES CONCLUYENTE.

CASO DE TRES O MÁS VARIABLES O MATRIZ HESSIANA 3 X 3 O N X N:

Si todos los determinantes de la matriz hessiana tienen signo positivo, entonces la función tiene un MÍNIMO en el punto crítico.
Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico.
Si no se cumple lo dicho en los literales a) y b), osea en cualquier otro caso se concluye que HAY DUDA, NO HAY INFORMACIÓN o EL CRITERIO NO ES CONCLUYENTE.

NOTA: En el caso de tener funciones de tres o más variables significa que comenzaremos trabajando la matriz hessiana f(x) o de 1 x 1, luego f(x,y) o de 2 x 2, luego f(x,y,z) o de 3 x 3,… hasta llegar a f(x,y,z,…n) o de n x n. Así llegaremos finalmente a concluir si se trata de máximo, mínimo o si no se sabe, de acuerdo a los tres literales anteriores.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ HESSIANA

Encontrar los máximos y mínimos (si los hay) de la función:

f(x,y,z) = x² + y² + 7z² – xy

Solución:

Calculando las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:

Igualando a cero las primeras derivadas:

22x – y = 0

2y – x = 0

14z = 0

Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:

Al simultanear las ecuaciones obtenemos que los valores de x, y y z (osea los puntos críticos) son:

x = 1/3

y = 2/3

z = 0

Esto significa que las coordenadas del punto crítico son: f(1/3,2/3,0).

Calcular las segundas derivadas en el punto crítico para generar la matriz hessiana:

Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada:

H(x,y,z) = -6

Sacar conclusiones de la respuesta obtenida:

La determinante de la matriz hessiana H(x) o de 1×1 da como resultado – 2 (resultado negativo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2×2 da como resultado 3 (resultado positivo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y,z) o de 3×3 da como resultado -6 (resultado negativo).

Anteriormente se explicó que "Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico." Tal como se acaba de ver, los signos se alternan porque tenemos -2, +3 y -6, lo cual significa que la función la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico.

Conclusión de la resolución del ejercicio:

La función f(x,y,z) = x² + y² + 7z² – xy es o tiene un máximo en el punto crítico (1/3,2/3,0).

CONCLUSIÓN

Luego de la realización de este trabajo se ha podido observar la facilidad con la que podemos encontrar máximos y mínimos de una función de varias variables.

Se ha aprendido a aplicar las matrices hessianas, lo cual es de gran provecho porque así se determina una parte muy importante del comportamiento de una función, tal como lo es el punto de silla, los máximos y los mínimos.

Se ha visto que estos procesos son sencillos y solamente se necesita plantear correctamente la matriz hessiana y luego simplemente se resuelve la matriz que se tiene por el método que ya se conoce de la determinante de una matriz cuadrada.

Este trabajo es de mucho valor e importancia para el aprendizaje y se espera que sea muy provechoso para quienes lo lean.

BIBLIOGRAFÍA

Universitat de Barcelona. www.maia.ub.es/cag/docencia/analiIII.pdf

School of Mathematical and Computational Sciences. University of St Andrews.

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/PictDisplay/Hesse.html

Instituto Balseiro

http://ib.cnea.gov.ar/~mecanica/apuntes2003/apuntes/apunte022.pdf

Thomas, G. B. Jr. (2006). CÁLCULO VARIAS VARIABLES (undédima edición). Massachusets: Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

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SATD. SERVICIO DE APOYO TECNOLÓGICO A LA DOCENCIA

http://www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr3a3_1.html

Weber, J. E. (1984). MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (cuarta edición). Harla, S.A. de C.V.

Jaime Oswaldo Montoya Guzmán

Lugar y fecha de nacimiento: San Salvador, 16 de julio de 1986

Centro de estudios: Universidad Católica de Occidente (UNICO)

Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos

Ciudad y país: Santa Ana, El Salvador

Fecha de envío de trabajo: 11 de mayo de 2006

Asignatura: Matemática III

Sitio web personal:

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