¿El Algebra Lineal tiene puntos de contacto con el Cálculo? (Ampliación de una propuesta de tratar dos temas en uno)
Introducción
Generalmente en las bibliografías que tratan el Cálculo Diferencial de funciones reales de varias variables reales pues al abordar la teoría de extremos locales de tales funciones aun cuando se exponga la teoría en forma general pues solo se ilustra la aplicación de teoremas correspondientes en el caso de dos variables independientes. Con este documento tengo el objetivo de ilustrar algunos ejemplos de resolución de ejercicios de búsqueda de puntos de extremo local para funciones reales de dos o tres variables independientes (aunque la teoría se expondrá para el caso de n variables independientes) por lo que solo abordaré el caso de extremos no condicionados o sea de extremos libres.
Objetivos:
- Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados con los extremos de funciones de varias variables.
- Ilustrar mediante la resolución de ejercicios cómo determinar puntos de extremo local de una función real de tres variables reales diferenciables mostrando a su vez la vinculación con el Algebra Lineal.
Desarrollo
Recordemos algunos aspectos teóricos esenciales.
¿Qué conceptos englobamos en la categoría Extremos?
- Pues los máximos y mínimos.
¿Qué es un punto de extremo absoluto o global sobre un conjunto A para una función real de n variables reales?
Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.
En símbolos:
Sea una función 
decimos que 
es un punto de máximo absoluto o global si para todo 
es verdadero que 
.
¿Y cuándo hablamos de puntos de extremo local o relativo?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en todos los demás puntos de A.
Sea una función 
decimos que 
es un punto de máximo local o relativo si existe al menos
un número positivo
tal que para todo 
es
verdadero que 
.
Sea una función decimos que es un punto de mínimo absoluto o global si para todo es verdadero que 
En símbolos:
Sea una función decimos que es un punto de mínimo local o relativo si existe al menos
un número positivo tal que para todo es
verdadero que 
.
Ejemplos:
El punto 
es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por 
El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por 
.
Es importante que usted tenga en cuenta que aunque estos dos ejemplos anteriores ha sido la casualidad que el extremo local es a la vez global en general esto no es así. Tal es el caso de la función definida por 
la cual tiene un mínimo local en (1;-1) e igual a
-1 pero este mínimo no es global (¿Por qué?).
Obsérvese además que según la definición un punto de extremo relativo tienen que ser un punto interior del conjunto A por lo que puede darse el caso que hayan extremos globales y no locales. Tal es el caso de la función definida por 
la cual tiene extremos globales y no locales en el conjunto 
.Trate de justificar usted esta afirmación utilizando sus conocimientos sobre extremos o inmediatamente después de haber leído este material u otro análogo!
Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero, en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.
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