Lógica proposicional (página 2)

A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina función proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al sustituirse la variable por una constante específica.

Ejemplo:

El enunciado abierto

x2 + 1 = 5

Es una función proposicional, el cual se convierte en proposición cuando:

• i. Para x = -3 (por ejemplo), se convierte en la proposición

(-3)2 + 1 = 5……………………… (F)

el cual tiene valor de verdad Falsa

• ii. Para x = 2, entonces, será la proposición

(2)2 + 1 = 5 ……………………… (V)

el cual tiene valor de verdad Verdadera

• Notación

Usaremos las letras minúsculas p, q, r,… para simbolizar las proposiciones. Las proposiciones se pueden combinar para obtener proposiciones compuestas utilizando conectivos lógicos que veremos a continuación:

Actividades

• 1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:

p: "está lloviendo"

q: "el sol esta brillando"

r: "hay nubes en el cielo"

Traduciremos las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos:

• 2. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en español:

• 3. Selecciona un artículo de periódico o de una revista: identifica, proposiciones simples, conjunciones, disyunciones e implicaciones.

• 4. Construye funciones proposicionales.

La proposición: "si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo" se simboliza:

Ejercicio: Simbolice y redacte la recíproca, inversa y contrarecíproca

• Negación de proposiciones

• a) Negación de una conjunción:

Ejemplo

La negación de

Está lloviendo y el sol está brillando

es

No está lloviendo o el sol no está brillando

Es decir, la negación de una conjunción es la disyunción

Observe que la última proposición es diferente a la cual corresponde, en nuestro ejemplo, a No está lloviendo y el sol no está brillando. Que usualmente se dice: ni está lloviendo ni el sol está brillando

• b) Negación de una disyunción.

Ejemplo: La negación de

Está lloviendo o el sol está brillando

es

No está lloviendo y el sol no está brillando

Es decir, la negación de una disyunción p ( q, es la conjunción

Observe que la última proposición es diferente a

• c) Negación de una condicional

Ejemplo. La negación de

Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

es

Está lloviendo y no hay nubes en el cielo

IMPORTANTE

Lectura

"Caía una espesa lluvia. Juan se despertó y lanzó un gemido ¡Aj,… aj,… el colegio! Se levantó de la cama y se sentó en una silla. Oyó la bocina de un auto o el silbato de un policía. Entonces se estremeció. Por causa del frío o del miedo. Estaban haciendo tanto ruido. Repentinamente se le iluminó la cara. ¡Qué bien! Se habían acordado de algo. Las clases no empiezan hoy, sino mañana"

Actividades

1. Redacta una lista de las proposiciones simples de la lectura leída

p: ____________________________________________

q: ____________________________________________

r: ____________________________________________

s: ____________________________________________

t: ____________________________________________

2. En base a las proposiciones anteriores haz una lista de proposiciones compuestas

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

AUTOEVALUACIÓN

• 1. De los siguientes enunciados cuales son de proposiciones y no proposiciones:

• a) Todos los planetas giran alrededor del sol

• b) Si un número es divisible por 4 también lo es por 2

• c) a + b + 10 = 20

• d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7

• e) Batman es el hombre murciélago

• f)  ¡Socorro!

• g) Todo organismo viviente se adapta a su medio físico

• h) ¿Habrá juicio final?

• 2. Identifica las premisas y conclusiones en el siguientes texto

La luz que vemos provenientes de las galaxias distantes salió de ellas hace millones de años, y en el caso del objeto más distante que hemos visto, la luz surgió desde hace ocho millones de años. Así pues, cuando observamos el universo, lo estamos viendo como fue en el pasado.

• 3. Un profesor dice a sus estudiantes lo siguiente: estoy pensando en dos números de los tres números 1, 2 y 3. Luego los alumnos formularon las siguientes proposiciones:

• a) Por los menos uno de los números es impar

• b) El promedio de sus dos números es mayor que 5/4

• c) Uno de sus números es tres

• d) La diferencia entre sus números es 1

• e) El primero de los números en que está pensando es es mayor que el segundo

• f) La suma de los cuadrados de sus números es menor que 14

Unidad 02

Cálculo proposicional

Objetivos

• Calcular el valor de verdad de proposiciones compuestas

• Construir razonamientos válidos en matemática

La definición de proposición nos dice que debe ser una oración a la cual se le puede asignar un valor de verdad de manera precisa, sin ambigüedades. Ahora bien, ¿cómo le asignamos un valor de verdad a las proposiciones compuestas?, es decir, a las proposiciones que contienen alguno de los conectivos lógicos. Esto lo haremos a través de tablas de verdad.

• 1. Tabla de la negación

Observamos que si p es verdadera, entonces (p es falso; si p es falso, entonces (p es verdadero. Es decir, el valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto al valor de verdad del enunciado inicial. La negación de una negación es siempre la proposición original

Ejemplo.

p: Pedro es alto

(p: Pedro no es alto

(p: No es cierto que Pedro es alto

(p: Es falso que Pedro no es alto

• 2. Tabla de la disyunción (inclusiva o débil)

La disyunción inclusiva es verdadera, si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falso únicamente cuando las dos proposiciones son falsas.

• 3. Tabla de la disyunción (exclusiva o fuerte)

La disyunción exclusiva es verdadera cuando sólo una de las proposiciones que la compone es verdadera, resultando falso en cualquier otro caso.

• 4. Tabla de la conjunción

La disyunción exclusiva es únicamente verdadera cuando los valores de las proposiciones que la compone son ambas verdaderas, resultando falso en cualquier otro caso.

• p y q

• p con q

• p sin embargo q

• p incluso q

• p tanto como q

• p así mismo q

• p también q

• p al igual que q

• No sólo p también q

• p no obstante q

• 5. Tabla de la condicional

En los problemas económicos, la siguiente proposición es una verdad: "Si los precios de los artículos suben, entonces, tienen menos demanda. Aquí

p: Los precios de los artículos suben

q: Los artículos tiene menos demanda

y se simboliza:

y se lee: Si p, entonces q

A la proposición "p" se le llama antecedente o hipótesis y a "q" consecuente o tesis.

Esta es su tabla de verdad:

¿Cómo se calcula su valor de verdad?

Si analizamos la palabra "entonces", la podemos entender como una deducción (que se puede realizar en base a la experiencia o por simple razonamiento mental). En nuestro ejemplo inicial: "si los precios de los artículos suben, se deduce que tienen menos demanda." Ahora, para realizar esta deducción (p(q) hemos nos valemos de proposición "p".

Si trabajamos con funciones proposicionales este sería algunos ejemplos:

Actividad

Justificaremos las líneas 3 y 4 de la tabla condicional mediante ejemplos. (Los dos primeros quedaran como ejercicios)

¿Es posible deducir una verdad, partiendo de una falsedad?

Aunque esto contradiga nuestra intuición, si es posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Analizando el antecedente o hipótesis se tiene:

• Si 2 = 3, podemos escribir como 3 = 2

• Sumando miembro a miembro las igualdades

• Entonces decimos que:

De la falsedad de (2 = 3) hemos deducido una verdad (5 = 5)

• i. ¿Es posible deducir una falsedad a partir de una falsedad?

También es posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Analizando la hipótesis se tiene:

• i. Multiplicando ambos miembros por 2

2 x 2 = 3 x 2

4 = 6

• ii. Hemos deducido que:

De la falsedad de (2 = 3), hemos deducido una la falsedad (4 = 6)

• 2. Completa la tabla de la condicional, para la recíproca, contrario y contrarecíproca

• 6. Tabla de la bicondicional o doble implicación

Dadas las proposiciones simples "p" y "q", se llama bicondicional a la proposición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recíproca.

Nótese que la bicondicional p q significa una deducción doble: de "p" se puede deducir "q" y de "q" se puede deducir "p"

Veamos el caso de la segunda fila:

• ii. Valor de p: V

• iii. Valor de q: F

Por lo tanto (p q) es falso.

Queda como ejercicio mostrar las demás filas

• 7. Cálculo de valores de verdad de proposiciones compuestas

Utilizando los conectivos lógicos, se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones simples, para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad.

Para efectuar el número de combinaciones de los valores de las proposiciones, recurrimos a la relación 2n, donde n representa el número de proposiciones.

Ejemplo. Construir la tabla de verdad de la proposición:

• 8. Proposiciones lógicamente equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes cuando el resultado de sus tablas de verdad son iguales.

Ejemplo. Las proposiciones son equivalente, ya que:

La equivalencia entre dos proposiciones p y q lo escribimos como p ( q

Nota: La relación de equivalen es reflexiva, simétrica y transitiva

• 9. Tautologías, contradicciones y contingencias

• Una expresión proposicional se llama tautología, si los valores de verdad de su operador principal son verdaderos.

• Se llama contradicción o antitautología, si los valores de verdad de su operador principal son todos falsos.

• Se llama contingencia, cuando los valores de verdad hay valores verdaderos y falsos

Resumen

Ejercicios resueltos

• 1. Analizar las siguientes expresiones

• a) 7 + 5 = 20

• b) ¿Eres un estudiante de matemática?

• c) X + 5 = 8

• d) El día esta frío.

• e) ¡cierra la puerta!

Solución

• a) 7 + 5 = 20, es una expresión cuyo valor de verdad es falsa. Luego es una proposición.

• b) ¿Eres un estudiante de matemática?, es una pregunta que se hace, carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o falso, luego no es una proposición.

• c) X + 5 = 8, es un enunciado abierto o función proposicional por que tiene variable

• d) El día esta frío, es una proposición que puede ser verdadera o falsa

• e) ¡cierra la puerta!, es una orden. Luego no es una proposición.

• 2. Sean las proposiciones p, q, r, cuyos valores de verdad es V, F y F. hallar el valor de verdad de las siguiente proposiciones compuestas:

Bibliografía

Didáctica de la matemática

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* MOLINA, Isabel, El Señor del Cero, Editorial ALFAGUARA, Madrid, 2000

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* RICO, Luis. LA EDUCACION MATEMATICA EN LA ENSEÑANZA SECUNDARIA, Editorial HORSORI, Barcelona, 2000

* SALET, María. MODELAGEN MATEMATICA NO ENSINO, Editorial Contexto, Sao Paulo, 2000

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* SEBASTIANI, Felipe. Didáctica de la Matemática, Editorial Escuela Nueva, Lima 1991.

* SOLIS, César. MATERIALES DIDÁCTICOS, Editorial CKEF, Huancayo, 2001

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* CARRANZA, Cesar Matemática Básica. Publicación de CONCYTEC, Lima, 1992.

* ESPINOZA RAMOS, Eduardo "Matemática Básica". Edit. Servicios Gráficos. 2002.

* FIGUEROA G. Ricardo "Matemática Básica". Edit. América, Lima, 2002.

* LAZARO, Moisés "Matemática Básica", Tomo I. Edit. Moshera S.R.L., Lima. 1998.

* LIPSCHUTZ, Seymour "Teoría de Conjuntos y Temas Afines", Edit. Mc Graw Hill, México, 1991.

* ROJO, Armando "Álgebra", Tomo I. Edit. El Ateneo, Buenos Aires, 2002

* VENERO, Armando Matemática Básica. Edic. Gemar, Lima-Perú, 1993.

Taller de lógica proposicional

• A. INSTITUCIÓN EDUCATIVA:……………………………………………………………

• B. NOMBRES:……………………………………………………………………………….

• 1. Lógica es la ciencia que estudia: …………………………………………………………………………………………………

• 2. Al mínimo pensamiento se le conoce como:…………………………………………

• 3. Marque los enunciados con "J" si son juicios y con "C" si son conceptos.

Automóvil deportivo

Libro

El automóvil es Ferrari

El perro ladra al gato

Gato negro

Evo Morales usa corbata

Profesor

El profesor toma examen

Director de la UGEL Tacna

• 4. Todo razonamiento consta de:

…………………………………………………………………………………………………………………………

• 5. Dado:

"Puesto que un hombre prudente huye de los gorilas y pues ningún profesor es imprudente. Se sigue que ningún profesor deja de huir de los gorilas"

¿Es un razonamiento?……Si No

¿Cuál es su conclusión?

………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Toda oración es una proposición. V F

Toda proposición es una oración: V F

7. Dado el siguiente titular del diario correo 02/08/07:

"Mono ataca niño y escapa del parque"

¿Cuáles son conceptos? ……………………………………………………….

¿Cuales son juicios?

…………………. ……………………………………………………………

• 8. De los siguientes enunciados, ¿Cuáles son proposiciones?

a) x + 3 = 11, si x = 2 ( )

b) x + 3 = 14 ( )

c) Romeo y Julieta se amaron ( )

d) Machu Picchu es maravilla del mundo moderno ( )

e) Siéntese rápido ( )

f) ¿Qué estidias? ( )

9. Si Alfonso estudia aritmética, entonces también estudia lógica o álgebra. Alfonso no estudia aritmética. Alfonso estudia aritmética, o lógica, o algebra. Luego, Alfonso estudia algebra.

Considerando el texto anterior, identifique lo siguiente:

Conceptos:

……………………………………………………………………………………

Juicios:

……………………………………………………………………………………

Razonamientos:

Premisas:…………………………………………………………………………

Conclusiones:………………………………………………………………………

Conectivos lógicos:…………………………………………………………………

Efectuar la formalización lógica:

Autor:

Rodolfo Huisa Sanizo