Análisis descriptivo de la solución de un problema matemático

Resumen

En el presente artículo se pretende dar a conocer un trabajo de investigación sobre el proceso de solución presentado por un estudiante para profesor de matemáticas, frente a un problema matemático, relacionado a la topología; identificando el uso de herramientas heurísticas y los diferentes procesos metacognitivos que realiza el estudiante, por medio del establecimiento de diferentes categorías de análisis enmarcadas por la teoría propuesta por Mason (1989).

PALABRAS CLAVE: Trabajo de investigación, estudiante para profesor de matemáticas, problema matemático, topología, herramientas heurísticas, procesos metacognitivos, categorías de análisis.

Introducción

Para el presente artículo se analizarán las acciones de un estudiante que está cursando el último semestre de licenciatura en educación básica con énfasis de matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco José De Caldas, cuya formación está bajo la resolución de problemas como metodología de enseñanza. Como perfil profesional que plantea la LEBEM es La formación de un docente investig6ados comprometido con el conocimiento y transformación de las prácticas educativas y pedagógicas en matemáticas en la educación básica, utilizando como base metodológica la resolución de problemas" (LEBEM 2010).

Ahora el espacio de formación en el cual giran los hechos objeto de este análisis tiene por nombre tecnología en el aula y como temática trabajo se está abordando la topología y espacios topológicos.

A demás en este artículo se presenta un análisis descriptivo del proceso de solución de un problema matemático (Puig 1996) expuesto por un estudiante para profesor de matemáticas.

Este se encuentra dividido en tres partes, en la primera se plantea un objetivo general que guía el desarrollo del trabajo y dos objetivos específicos enfocados a las acciones a realizar con el fin de cumplir el objetivo general; seguidamente encontraremos una descripción de la población y del problema; después por el carácter del análisis se presentara la metodología a utilizar, donde se determina el tipo de investigación que se pretende desarrollar.

En la segunda parte se encuentran los referentes teóricos que se consideran pertinentes y que permitirán el establecimiento de las categorías de análisis. Por último en la tercera parte se hará uso de las categorías para el análisis propio de la actividad matemática desarrollada por el estudiante y se realizarán las conclusiones que responden a los objetivos planteados en la primera parte.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Realizar un análisis descriptivo del proceso de solución realizado por un estudiante para profesor de matemáticas[1]con respecto a un problema de pensamiento matemático avanzado (PMA) enfocado a topología.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Establecer categorías de análisis para el proceso de solución realizado por el estudiante basadas diversos referentes teóricos que permitan realizar un análisis del proceso de solución de un problema matemático.

• Analizar el proceso de solución presentado por el estudiante frente a un problema de pensamiento matemático avanzado, considerando el uso las estrategias metacognitivas, las herramientas heurísticas y el proceso de resolución de problemas que el estudiante plantea.

Descripción del tipo de investigación

El tipo de investigación que se usará durante este proceso será la investigación cualitativa descriptiva, dada la naturaleza de la investigación es necesario que los investigadores deban tener contacto directo con el sujeto de estudio (estudiante LEBEM). El cual busca describir los procesos metacognitivos y heurísticas del proceso de solución llevado a cabo por el estudiante. Bajo lo planteado por Suarez Pasos (2012)

Marco teórico

En nuestro proceso de formación como futuros licenciados en matemáticas, hemos estado enfrentados a diversos problemas en matemáticas, en relación al pensamiento matemático avanzado. Pero se ha venido observando que en los espacios de formación del último semestre (validez y modelos, tecnología en el aula) se consolida con mayor fuerza el rigor en la demostración pero al mismo tiempo el poco entendimiento del estudiante. Gracias a esto se ha generado entre el grupo de trabajo, el interés de analizar y comprender qué tipo de herramientas utiliza un estudiante para profesor de décimo semestre de la LEBEM para resolver un problema que se ha presentado en el espacio de formación Tecnología en el aula con respecto a espacios topológicos.

Desde hace tiempo el conocimiento matemático ha sido objeto de estudio de diversas investigaciones a nivel educativo. Un aspecto importante de las investigaciones que abordan como objeto de estudio las heurísticas del pensamiento matemático avanzado es mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje del alumno, ya que permiten diagnosticas la pertinencia de los diferentes objetos contemplados en el diseño, aquí pueden haber instrumentos, herramientas, tipos de intervenciones, tipos de problemas, metodologías entre otros. Para poder determinar esas mejoras y qué del alumno está fallando se debe remitir a referentes teóricos que hablen al respecto para así llegar a alguna conclusión. Esta investigación tiene un componente que obliga a la interacción con el otro sujeto, es decir entre los indagadores y los indagados. Esto dado a la naturaleza de la investigación.

Esta investigación va dirigida a un estudiante de la LEBEM por lo cual la resolución de problemas está inmersa en el proceso de solución del mismo, por lo tanto se deberá definir qué se entiende por resolución de problemas. Según Puig (1996) el proceso de resolución se define como la actividad mental que desarrolla el resolutor desde cuando asume el problema, tiene interés de resolverlo y hasta que da por terminada la tarea. Pero además Puig (1996) define otros términos que parecen ser importantes en esta investigación, se tiene el concepto de resultado que es la respuesta de la pregunta al problema, y solución que denota el conjunto de pasos que llevan al resultado.

Es de vital importancia que así como se definió lo que se entiende por resolución, también se defina lo que se entiende por problema. Santos (1996) define como problema; que es una tarea o situación que cumple las siguientes características:

• Interés: las personas involucradas quieren o necesitan encontrar la solución.

• No hay solución inmediata: no existe proceso o regla que garantice la solución total de la tarea o situación.

• Varios caminos de solución: el problema puede tener varias soluciones, o la solución se puede dar en un contexto numérico, geométrico o algebraico.

Es importante reconocer que un problema es como tal hasta que existe un interés y se emplean acciones específicas para intentar resolverlo. Queda claro que considerar una tarea o situación como problema depende de cada individuo, depende de la persona que se enfrenta a dicha situación. Además Puig (1996) considera que se debería usar el término problema cuando se conoce un procedimiento para resolverlo pero se requiere de una justificación, por ello en el presente análisis determinaremos como problema la situación desarrollada por el estudiante y que más adelante se describirá..

Ya se han definido las concepciones de problema y resolución de problemas que de manera explícita o implícita se abordarán en esta investigación. Otro aspecto de vital importancia de donde se está trabajando pero no se hace mucho énfasis es el pensamiento matemático avanzado, vale la pena definirlo ya que el problema y su solución incluyen este término tan importante.

Para la definición de pensamiento matemático avanzado se tomó la concepción de Tall (1988), que menciona que es aquel que está relacionado con la idea de prueba y va dirigido a la organización y formulación de una teoría matemática axiomática. Debe cumplir las siguientes características:

• Abstracción de propiedades: al suministrar definiciones conceptuales para los conceptos matemáticos.

• Uso de definiciones conceptuales abstractas: para disminuir la tensión cognitiva del pensamiento.

• Insistencia sobre la prueba lógica: es más que una justificación coherente la cual a su vez debe contener la deducción de propiedades de conceptos matemáticos desde las definiciones conceptuales dadas, y la implicación de que si cierta propiedad matemática se mantiene, entonces otras la siguen.

Para Beltrán, Guerrero & Ramírez O. (2009) un componente importante de la resolución es el uso de la metacognición y reflexión sobre el proceso de resolución de problemas, pues estos aportes ayudan a superar el estado del atascado. Así como también, heurísticas tales como la particularización y la contradicción. Por lo tanto se tomara una postura en cada una de estas definiciones a continuación.

Para este artículo se tomara la definición de heurística que propone Polya (1965) siguiendo a Puig (1996), donde se entenderá a la heurística como "el estudio de los modelos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan al momento de resolverlos que son independientes del contenido y que no son garantía de que se obtenga la solución".

Para abordar un problema Polya propone cuatro etapas: a) Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuál es la condición? b) Diseñar un plan: Se buscan problemas análogos y/o divide en casos específicos. c) Ponerlo en práctica. Donde se ejecuta y justifica. d) Por ultimo examinar la solución.

Para Santos (1996) la herramienta heurística está dentro de las estrategias cognitivas, y están asociadas a la vez a las estrategias metacognitivas, entendiendo metacognición como: …el conocimiento que tenemos acerca de nuestro proceso de conocimiento, de nuestras acciones, trayectorias y regulaciones que ponemos en juego al realizar un problema… (Santos 1996).

Este tipo de estrategias está presente cuando se es consciente de los procesos de resolución, se reflexiona en torno a estos e realiza un control y una autorregulación de las acciones en la resolución del problema y por último se toma una postura personal en la actividad matemática.

Se espera que el estudiante que se analice evidencie el uso de diferentes procesos metacognitivos, y el uso de diferentes herramientas heurísticas mediante el análisis que se realizará.

Para poder realizar una reflexión sobre la resolución de problemas, y poder llevar un monitoreo Manson (1989), propone una serie de rótulos que permiten identificar diversos momentos durante la resolución de un problema. Tales rótulos se relacionan con tres fases que se usan al momento de solucionar un problema.

• Fase de abordaje: en el cual el sujeto se enfrenta al problema, ya sea escrito, pictórico o de cualquier otra presentación. Las etiquetas que se recomiendan durante esta fase son:

• i. Lo que sé: está relacionado con lo que se por el enunciado del problema y lo que se conoce del enfrentamiento a problemas similares.

• ii. Lo que quiero: lo que dirige la atención a cuál es el objetivo del problema, la interpretación que se le da.

• iii. Lo que puedo usar: relacionado con elementos como notación, organización y representación.

• Fase de ataque: Determinado por que el problema ya ha sido comprendido y se cree que se puede comenzar a trabajarlo. Este estado se caracteriza por estados de ánimo en los cuales se siente que se tiene una herramienta para resolver el problema, y otro en el cual se siente que no se puede avanzar pues no se logra vislumbrar la manera de hacerlo. Para esta fase se recomiendan los rótulos ATASCADO y AJA: el primero permite reconocer el momento en el que no es posible continuar con el desarrollo del problema, el segundo corresponde a la ocurrencia de una idea que permite desbloquear el camino , o realizar algún proceso alterno, aunque no lleve a la solución del problema.

• Fase de revisión, en la cual se analiza lo realizado hasta el momento, buscando tener un entendimiento más amplio del problema. Para esta fase se usan los siguientes rótulos:

• I. Intentar, podría ser: tiene que ver con llevar a cabo la idea encontrada en el aja, y conlleva a un momento de realizar conjeturas respecto a elementos para la solución del problema.

• II. ¿Por qué?: tiene que ver con el proceso de justificación de la conjetura.

• III. Comprobar la solución.

• IV. Reflexionar: acerca de los momentos importantes del proceso.

• V. Generalizar: colocar el problema en un contexto más amplio.

Lo anterior es un conjunto de recomendaciones realizadas por Mason con la finalidad de mejorar el pensamiento y razonamiento matemático.

Análisis del problema

Teniendo en cuenta a Mason (1989), dentro de un proceso de solución de un determinado problema matemático, se presentan diferentes fases de trabajo, como lo son la fase de abordaje, la fase de ataque y la fase de revisión; en el cual, se puede llegar a evidenciar otros procedimientos alternos en medio de dichas fases, ya que el estudiante cuanto se encuentra dentro de la fase de abordaje y va a pasar a la fase de ataque, realiza un proceso de particularización, y cuando el estudiante va a pasar de la fase de ataque a la fase de revisión, realiza un proceso de generalización, como se muestra en el siguiente esquema:

Ahora, tomando cada una de estas fases propuestas por este autor, se revisará el trabajo realizado por el estudiante a investigar, frente al proceso de solución al problema matemático planteado, con el establecimiento y consideración de diferentes categorías de análisis, tales como:

Categorías de Análisis

Cada fase de trabajo brinda categorías de análisis visto desde sus diferentes componentes:

Primera fase de trabajo: En esta fase se observaran las herramientas heurísticas que el sujeto puso en juego en su proceso de solución siguiendo a Beltrán y otros (2009)

• 1. ¿Qué es lo que sé?

• 2. ¿Qué es lo que quiero?

• 3. ¿Qué puedo usar?

Segunda fase: En esta fase se evidenciará según Beltrán y otros (2009) como el estudiante usa procesos metacognitivos para superar el atascado.

• 4. ¡Atascado!:

• 5. ¡Aja!

Y en la tercera: De la misma forma en la categoría 7 se observara si el estudiante usa la metacognición para reflexionar en torno a su proceso de solución al comprobar y reflexionar, siguiendo al mismo autor.

• 6. Comprobar la solución.

• 7. Reflexionar en las ideas y momentos claves.

• 8. Generalizar a un contexto más amplio.

Para poder entender el análisis es importante mostrar el problema:

Observación del proceso de solución realizado por el estudiante

Fase de Abordaje: De acuerdo al proceso de solución presentando por el estudiante investigado, inicialmente lee el enunciado del problema con el fin de entenderlo y comprenderlo, de tal forma que le permita plantear y generar un posible proceso de solución ha dicho problema. Para esta fase se han considerado las siguientes categorías de análisis de acuerdo a Mason (1989), ¿Qué es lo que sé?; ¿Qué es lo que quiero? Y ¿Qué puedo usar? Por lo que después de preguntar y cuestionar al estudiante analizado, frente al proceso de solución que presentó al problema matemático al que se veía enfrentado, a continuación se muestra los resultados obtenidos de acuerdo a cada una de las categorías de análisis de esta primer fase de trabajo.

• ¿Qué es lo que sé?: Por lo que el estudiante investigado, menciona que frente al problema que se le ha planteado sobre la temática de topología, reconoce tanto el concepto como su definición formal, haciendo énfasis puntual de cada una de sus propiedades, que permiten determinar la existencia o inexistencia de una topología; en el cual, dicha información la ha obtenido gracias a apuntes y correcciones, que ha adquirido durante el transcurso del espacio de formación de T. A. Remitiéndose a la definición de topología y al detalle puntual del enunciado, con el fin de revisar los datos proporcionados por el mismo problema, para mirar lo que le dan y a lo que tiene que llegar. Además de esto el estudiante tuvo en cuenta los casos particulares que se habían desarrollado con anterioridad en la clase.

• ¿Qué es lo que quiero?: Aquí el estudiante, mediante la lectura realizada del problema, inicialmente reconoce que debe probar si un conjunto X con t una familia de topologías, su intersección forma una topología en X y comprobar además, si la unión de dos topologías forma una topología o no. Posteriormente en el siguiente ítem, identifica que debe probar que una familia de abiertos O dados, definen una topología en N; que es lo que pregunta cada uno de los ítems.

• ¿Qué puedo usar?: Teniendo en cuenta la solución al problema matemático presentado por el estudiante, se evidencia un claro uso del lenguaje matemático y representación simbólica relacionado al tema de topología, sin acudir a ningún tipo de representación tabular ni gráfica; sin embargo, el estudiante reconoce como herramienta de solución en el momento de abordar el problema, el uso de diferentes explicaciones del profesor, apuntes e investigaciones hechas por él mismo.

Fase de Ataque: En esta fase de trabajo, el estudiante entró en una etapa de apropiación del problema que se le ha planteado, con el fin de presentarle una posible solución al mismo, siguiendo un proceso de solución que le permite al estudiante partir de un problema particular a un segundo problema más general, llamados por Mason (1989) procesos de particularización y generalización. De acuerdo a este autor, se enfatiza en dos categorías de análisis dentro de ésta fase de trabajo, como el ¡Atascado! Y el ¡Aja!; y de estas se revisa el proceso de solución presentado por el estudiante.

• ¡Atascado!: En esta categoría de análisis, el estudiante investigado referencia haber tenido dificultades en el momento de solucionar el primer ítem del problema al que se veía enfrentado, en el momento de probar si la unión de dos topologías forman una topología, con respecto a la prueba de la primera y segunda propiedad de espacio topológico, en el cual, la primera propiedad hace énfasis a que Ø y X pertenecen a t, y la segunda propiedad que hace referencia a que al unir dos elementos del conjunto no se salga del mismo; ya que el estudiante no lograba expresar y plasmar de manera simbólica la comprobación de dichas propiedades por medio de la demostración, a pesar de reconocer la temática de topología y haber trabajado previamente dicho tema.

• ¡Aja!: De acuerdo a cada uno de los atascados mencionados por el estudiante en el momento de llevar a cabo la solución del problema matemático como se mencionó anteriormente, logró resolver su primer atascado de no poder comprobar la primera propiedad de espacio topológico del primer ítem, con la explicación proporcionada por parte del docente del espacio de formación, que daba cuenta que: "Por tratarse de una familia de topologías, por lo menos existiría un t con i ? I, que contendrá a {Ø} y al conjunto como tal {X}, por lo tanto t con i ? I tendrá por lo menos a {Ø} y {X}", información que le permitió al estudiante llevar a cabo la solución de esta prueba de la primera propiedad; ya para poder probar si el espacio topológico cumplía la segunda propiedad, se guió por la solución presentada y propuesta por el profesor del espacio de formación, frente a un ejercicio similar, donde de igual manera hacían la prueba de cada una de las de las condiciones de espacio topológico, permitiéndole de esta manera solucionar el atascado que se le había presentado al estudiante al no poder probar esta segunda propiedad que debe cumplir el espacio topológico.

Fase de Revisión: Para esta tercera fase de trabajo, se tiene en cuenta cada uno de los procedimientos realizados por el estudiante, en el momento de solución el problema matemático, relacionados con revisiones al trabajo que ha realizado, con el fin de presentar una solución óptima al problema matemático planteado. En esta medida, según Mason (1989), se han tomado como categorías de análisis, comprobar la solución; reflexionar en las ideas y momentos claves; y generalizar un contexto más amplio. En este orden de ideas, a continuación se presenta la identificación de los procesos realizados por el estudiante, de acuerdo a la consideración de cada una de las categorías de análisis.

• Comprobar la solución: Teniendo en cuenta la argumentación presentada por el estudiante en el momento de cuestionarlo frente a la solución que planteó para el problema matemático, se puede referenciar, que solo revisó si el espacio topológico cumplía cada una de las propiedades de topología, sin realizar ningún tipo de procedimiento que conllevará a la corrección o modificación del proceso de solución que había presentado; ya que según el estudiante no contaba con referentes que le permitieran corroborar sus demostraciones.

• Reflexionar en las ideas y momentos claves: De acuerdo a la respuesta del estudiante y a lo referenciado en el anterior apartado, se evidencio de forma similar, que dicho estudiante no revisó las acciones y procedimientos realizados en torno a la solución del problema; esto se puede comprobar en la evidencia (Ver Anexo), ya que el estudiante no realiza una corrección ni antes ni después de la solución del ejercicio matemático.

• Generalizar a un contexto más amplio: Debido al carácter que presenta el ejercicio sobre la temática de topología, no se puede evidenciar una generalización más amplia, ya que el ejercicio exige la prueba de que si un determinado conjunto cumple cada uno de los axiomas de espacio topológico, sin exigir mayor complejidad, restringiendo de esta manera la variedad de posibles respuestas.

Generación de hipótesis

El estudiante usa las herramientas heurísticas al usar sus conocimientos previos para dar solución al problema como lo son las demostraciones anteriores, los apuntes del cuaderno para el mayor entendimiento, sin embargo no realizo un ejemplo particular para ejemplificar lo que intenta demostrar.

• 1. Que es lo que sabe el estudiante: Las condiciones del problema (el primer renglón) y el interrogante que tiene que resolver (segundo renglón)

Por tanto el estudiante conoce lo que tiene que demostrar pero tiene dificultades para plantear las condiciones necesarias para terminar la demostración.

• 2. Que es lo que se quiere: El estudiante entiende el enunciado de forma errónea y prueba que tiene que demostrar formalmente la intersección y la unión entre dos topologías que pertenecen a una topología, pero como axiomas ii) y iii). Por lo tanto lo que el estudiante quiere es demostrar que tanto la unión como la intersección de dos topologías es una topología en un solo paso para cada una.

Que puede usar: El estudiante usó los apuntes del cuaderno, intento usar ideas de problemas topológicos específicos anteriores para llegar a la solución del problema, la definición de topologías

Conclusiones

• Al observar el proceso de solución del estudiante se pudo deducir que la reflexión y auto reflexión del trabajo en matemáticas permite evidenciar de manera más exacta los errores conceptuales.

• En el análisis realizado, se encontró que en el pensamiento matemático avanzado por la abstracción que se requiere para el proceso de solución de un problema obliga al individuo (intuitivamente) a realizar el proceso de meta cognición (en este caso el expuesto por ).

• Mediante el análisis realizado, se lograron caracterizar y ejemplificar las tres categorías iniciales que se dan en el ejercicio heurístico según Mason, Burton & Stacey (1982) ya que en la misma teoría se encuentran muy generales y pareciera que no tuvieran diferencia, pese a cómo están expuestas.

• Las herramientas heurísticas transforman los problemas o contextualizan los conceptos para armar puentes que permiten desarrollar y avanzar el proceso justificativo.

Bibliografía

• Mercedes Suárez Pasos. Algunas reflexiones sobre la investigación-acción colaboradora en la educación. Revista electrónica de enseñanza de las ciencias Vol. 1 N° 1 (2002).

• Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1989). Pensar matemáticamente. Madrid: Ed. Labor S.A.

• Polya, G. (1965) Como plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas, (19ª reimp., 1995)

• Puig, L. (1996) Elementos de resolución de problemas (1ª Ed.). Granada, España: Editorial COMARES.

• Santos, L. (1996) Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Ed. Grupo editorial Iberoamericano S.A.

• Tall, D. (1988).The nature of Advanced Mathematical Thinking. (Recuperable en Internet)

• L.E.B.E.M. (2010). "Informe para la Renovación de la Acreditación de Alta Calidad". Subcomité de Autoevaluación y Acreditación. Bogotá: Colombia.

• Beltrán C., Guerrero F. & Ramírez O. (2009), la superación del ¡ATASCADO! Desde la heurística. Un estudio en una comunidad de estudiantes para profesor de matemáticas; en Memorias X encuentro colombiano de matemática educativa, ASOCOLME, Pasto, Colombia.

• Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas.

Anexos

En estos anexos se encuentra la solución presentada por el estudiante en cuestión que quedará a criterio del lector un segundo análisis.

Autor:

Ramiro Jiménez Leal

Milton Villamil Camelo

Anderxon Olaya Duran

Christian Olarte Zabala

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS, BOGOTÁ, COLOMBIA

[1] Estudiante de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas del proyecto curricular LEBEM.