Lynn A. Steen (1998) viene a respon- der a la pregunta anterior, justamente en términos referidos a la experiencia de las personas ante la naturaleza y la propia convivencia humana. ¿Cuáles son, pues, las “cosas” que se aglutinaron para con- formar, con el paso del tiempo y con el esfuerzo perceptivo y re?exivo humano, las matemáticas? He aquí su respuesta: • Las dimensiones de los objetos y de sus representaciones • La cantidad presente en las co- sas, en los fenómenos y en sus propieda- des • La incertidumbre de algunos
P lamientos de tierra que construyen las hor- migas…), etc.
De igual forma puede hablarse de cier- tas relaciones entre líneas: paralelismo (en- tre los troncos rectos de árboles cercanos, entre las dos orillas de un río…), perpendi- cularidad (entre el tronco de un árbol o el tallo de una planta y el suelo…). O de rela- ciones dentro de una misma ?gura, como la simetría (en algunas hojas, ?ores y frutos; en la forma externa de los peces, pájaros, mariposas…). O de relaciones entre cuerpos o ?guras, como la semejanza (entre obje- tos grandes y pequeños de la misma espe- cie…).
Pero la naturaleza no es la única fuente tenían antes de las inundaciones. Este era Pero, ¿cuál era el trasfondo de todo esto? El pago de los impuestos que los pro- pietarios de las tierras debían efectuar, pago Deeste modoysegúnSerres,lageome- lacultura. de estos objetos geométricos. También lo es la cultura de todos los pueblos. Las formas geométricas están presentes en muchos de los artefactos que se presentan en todas las culturas, desde sus comienzos y a lo largo de su evolución histórica hasta nuestros días: Artefactos como los edi?cios, vivien- das, vehículos de transporte, puentes y vías de comunicación; o como los utensilios do- mésticos, los utilizados para la caza y pes- ca, y para los diversos o?cios productivos; o como la ropa y tantos otros… Sin olvidar el inmenso y deslumbrante mundo del arte, en el que las formas y relaciones geométri- cas tienen una presencia inmemorial en la arquitectura, en la escultura, en la elabora- ción de instrumentos musicales, en la pin- tura sobre piedra, arcilla, madera, telas, etc. En todo este universo cultural aparecen for- mas geométricas, así como relaciones entre ellas: paralelismo, simetría, semejanza… Mencione algunos objetos naturales o 2. ¿Cómosonlosobjetosgeométricos?
ero la percepción de esas regularidades llamadas formas o relaciones geométricas, así como su manipulación y repre- sentación, no constituyen, sin más, la geometría. El ?lósofo Edmund Husserl, en su obra “El origen de la geometría” (Husserl, 2000), de- nomina como “mundo pregeométrico” este mundo de cosas corpó- reas (bien sean objetos naturales o artefactos culturales), dotadas de formas espaciales que se mani?estan mediante cualidades materiales tales como el tamaño, color, peso, dureza, etc.
A partir de ellas debe comenzar un proceso de “abstracción”. Por ejemplo, de un ob- jeto plano (o que se ve plano) y de forma redonda (una rueda, una ?or, la sección de un tronco cortado, la cara de la luna…) se puede pasar a la idea de línea plana “redonda”. Pero el tránsito no termina aquí. Aún hay un paso más, que es llegar a la idea de circun- ferencia, desligada de los objetos de los que proviene: la circunferencia es un objeto “ideal”, una línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (el centro de la circunferencia); o bien, es la línea que mantiene una curvatura constante (para entender esto último, si se “tuerce” el volante de un carro y se le deja con ese giro ?jo, el carro, al moverse, traza una circunferencia, ya que constantemente está dando “la misma curva”).
7 nes de la geometría” (1996), habla de los proporcional al tamaño de sus campos. orígenes naturalistas y culturalistas de la Aquí entran en juego el poder, las leyes, el geometría. Para referirse a los primeros, Derecho. Este sería el origen culturalista de se ubica en las crecidas periódicas del río la geometría. Nilo en Egipto, que inundaban las tierras de labranza, reduciendo sus dimensiones. Con el descenso de las aguas se presenta- tría no reproduce la tierra ni el cielo, sino ba el problema de restituir a los propieta- que pone en comunicación la naturaleza y rios sus campos, en las dimensiones que propios de nuestra cultura que representan objetos geométricos en una, dos o tres di- un problema de formas y medidas, es decir, mensiones, así como relaciones geométri- geométrico. cas, tales como paralelismo, perpendicula- ridad, semejanza de ?guras, simetrías, etc.
Michel Serres, en su libro “Los oríge-
poseyeran, justamente, 8 De esta forma, Husserl establece que los auténticos objetos geométricos son las idealidades geométricas, modelos de los objetos de los que surgen. Y que la Geome- tría es la disciplina que estudia estas ideali- dades, esos modelos ideales.
Probablemente vamos percibiendo que la abstracción es una de las características de la matemática como ciencia. El número –objeto de estudio de la aritmética, sobre la cual han versado los diez cuadernos ante- riores- es producto de un proceso de abs- tracción. Así, el número 5 tuvo su primer sentido en una situación concreta, al contar cinco objetos, por ejemplo, cinco árboles, o cinco dedos. La “pérdida” de los denomi- nadores (árboles, dedos) permitió extender (abstraer) la idea de “cinco” como medida común de la cantidad de elemen- tos de todos los conjuntos que cinco s elementos. El símbolo que uti- lizamos, 5, remite sie mpre a esa medida común: de- cimos que “repres enta” la idea, el concep to de “cinco”. El sím bolo, como tal, ya e una abstracción.
Algo similar ocurre con los ob jetos geo mé- tri cos. Hay una idea, un concepto (una “idealidad”, en términos de Husserl), como la de circunfe- rencia: línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (el centro de la circunferencia), o bien, línea que mantie- ne una curvatura constante en su recorrido. Cualquier circunferencia trazada sobre la arena, la pizarra o un papel, es una repre- sentación de esa idea; en otras palabras, esa circunferencia trazada es como la ima- gen sensible, visible, del “lugar” que ocupa- ría una circunferencia ideal, y nos remite a esa idea.
En Matemática, pues, trabajamos con las representaciones de los objetos mate- máticos: 5, una circunferencia trazada… Pero esto no signi?ca “menospreciar” a ta- les representaciones, como si tuvieran una categoría inferior a la de las ideas. De he- cho, toda idea o concepto necesita de ellas, se descubre en ellas, no tiene sentido sin ellas. En otras palabras, las ideas sólo pue- den manifestarse, comunicarse y estudiarse a través de sus representaciones.
Y tampoco signi?ca menospreciar el mundo de la realidad, natural o cultural, en la que están los objetos, pues aquí está la fuente primigenia de esa aventura humana que conocemos como la construcción del conocimiento matemático.
Ubicados en el terreno de las idealidades geométricas, podemos elaborar ciencia, en el sentido de construir nuevas idealidades, basándonos en las anteriores. Entramos en un proceso permanente de formación pro- gresiva de idealidades geométricas. Así, por ejemplo, sobre la idea de trián- gulo podemos construir –sin necesidad de buscarlas entre los objetos naturales o entre los artefactos culturales- las ideas de los diversos tipos de triángulos que se pue- den considerar, si se toma como criterio de diferenciación las relaciones entre las lon- gitudes de sus lados. Podemos pensar en que los tres lados tengan la misma longitud (triángulo equilátero), que sólo dos de ellos la tengan (triángulo isósceles), o que los tres tengan longitudes diferentes (triángulo esca- leno). No hay más casos posibles. Recalca- mos que esta diferenciación puede hacerse a nivel mental, sin necesidad de buscar ta- les triángulos en objetos de la realidad. De hecho, este proceso de abstracción e idealización no es nuevo. Para ubicar su origen en la historia, basta observar los nombres que utilizamos para designar los objetos geométricos. Algunos de ellos se derivan directamente del latín (triángulo = tres ángulos; equilátero = lados iguales…), pero las raíces primigenias se encuentran en la lengua griega (geometría = geo [tierra] + metron [medida] = medida de la tierra; po- lígono = polus [mucho] + gonia [ángulo] = muchos ángulos; isósceles = iso [igual] + skelos [pierna] = piernas iguales [no nos sorprendamos por esta última expresión: si una persona se yergue sobre sus piernas abiertas y si éstas son iguales, la forma que presenta el conjunto de ambas piernas con el suelo es, precisamente, la de un triángulo “piernas iguales”, es decir, isósceles]; esca- leno = skalenos = oblicuo…).
Los griegos son los primeros que “su- ben” los objetos geométricos al nivel de la idealidad, abstracción que les permite desa-
M rrollar los conocimientos geométricos hasta cotas nunca alcanzadas antes, precisamente por haberse “liberado” de depender de los objetos de la realidad. Nada tiene de extra- ño que el libro de los Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C. y que recoge unabuenapartedeestosconocimientos,se convierta en el texto más leído, hasta el si- glo XX, después de la Biblia.
Así, pues, en los griegos encontramos la intención de “construir” la geometría en el sentido de ir formando progresivas idea- lidades geométricas, apoyándose en las anteriores por la vía de la deducción. Pero no basta con esa preocupación originaria, sentida hace más de veinte siglos. Porque a esa intención inicial hay que agregarle, in- eludiblemente, la de garantizar su auténtica transmisión cultural a lo largo de los tiem- pos (Husserl, 2000). Es decir, tenemos que garantizar que los colectivos culturales y las personas sepan “construir” la geometría, dotar de sentido a sus objetos, propiedades y relaciones. Esto nos lleva a hablar del es- tudio de la geometría. 3. ¿Porqué y para quéestudiar geometría?
iguel de Guzmán nos recuerda que el objetivo principal de este estudio debe ser el dedesarrollar elpensamiento geométrico, entendido éstecomo algo“básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre de explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la ?gura, la forma básica” (Guzmán, 1988, p. 135).
Explorar racionalmente signi?ca ir más allá de la mera visualización o manipulación. Además de ver, la actividad geométrica nos tiene que llevar a de?nir, deducir, resolver problemas y aplicar los conocimientos sobre los objetos geométricos, sus propiedades y relaciones entre ellos (Pérez Gómez, 2002).
Ahora bien, ¿qué se consigue con esta exploración y este estudio racional de los ob- jetos geométricos? ¿Qué ofrece de especial la geometría, dentro de la matemática? En primer lugar, sumergirse en el estudio de la geometría ayuda al desarrollo de la intuición espacial, a la construcción del pensamiento espacial. Al respecto, recordemos que el hemisferio derecho de nuestro cerebro, centro de la creatividad y de la intuición, procesa la información basándose en imágenes espaciales y visuales, y se comunica a su vez por medio de acciones e imágenes. El estudio de la geometría propicia el desarrollo de estas potencialidades, muchas veces relegadas frente a las de carácter exclusivamente lógico- abstracto.
Por otro lado y como nos lo recuerda Miguel de Guzmán, la geometría es “la fuente más importante que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados interesantes, abordables con un número pequeño de herramientas fácilmen- te asimilables” (Guzmán, 1988, p. 135). A esto hay que agregar cierto aire de juego que con frecuencia presentan las tareas geométricas.
En resumen, podemos decir que el estudio de la geometría, además de desa- rrollar la intuición espacial, trata de integrar la visualización con la conceptua- lización; la manipulación y experimentación con la deducción; y todo ello, con la resolución de problemas y la aplicación de losconocimientosgeométricos.
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H 4. El avanceen el aprendizaje delageometría
ace algunas décadas y basados en sus investigaciones acerca del aprendizaje y de la enseñanza de la geometría, los esposos Pierre y Dina van Hiele presentaron un modelo de cómo se avanza, por etapas, en el desarrollo del razonamiento geométrico. He aquí, resumidos, los rasgos fundamentales de los niveles progresivos de tal desarrollo (van Hiele, 1986):
• Nivel 1 (Reconocimiento): Las personas reconocen las ?guras geométricas sólo por su forma, por su apariencia física, globalmente. No reconocen sus partes, ni sus propie- dades. Sin embargo, pueden reproducir una copia de algunas ?guras en particular.
Por ejemplo, se encuentran en este nivel los individuos que saben reconocer la forma rectangular al ver una hoja de un cuaderno, el tablero de una mesa, una ventana, etc., pero sin percatarse de las partes (lados, ángulos, diagonales…) del rectángulo, o de sus propiedades.
• Nivel 2 (Análisis): Ahora las personas pueden reconocer que las ?guras tienen par- tes o elementos, incluso las ?guras pueden ser reconocidas por sus partes, aunque no se identi?can las relaciones existentes entre ellas. Las propiedades de las ?guras se estable- cen experimentalmente.
Siguiendo con el ejemplo anterior, en este nivel los individuos ya perciben (contando y midiendo segmentos y ángulos) que un rectángulo posee 4 lados paralelos dos a dos, 4 ángulos rectos, y dos diagonales iguales, pero no son capaces de percibir por qué esos elementos y propiedades están relacionados entre sí. Por ejemplo, no establecen un vín- culo entre el hecho de que las dos diagonales sean iguales, con el hecho de que los lados opuestos sean paralelos y de que los lados contiguos sean perpendiculares.
• Nivel 3 (Clasi?cación): En este nivel, las ?guras se determinan por sus propiedades. Los objetos geométricos pueden ser de?nidos –incluso de más de una manera- a partir de las propiedades que relacionan a sus elementos. Esto permite diferenciar unos objetos de otros a partir de sus semejanzas y diferencias, es decir, clasi?carlos.
Si continuamos con el ejemplo del rectángulo, ahora los individuos captan que el rectángulo es un paralelogramo (cuadrilátero o polígono de cuatro lados, que posee dos pares de lados paralelos), que se particulariza por el hecho de que sus lados forman cuatro ángulos rectos. De esta forma, de?nen el rectángulo como una clase de parale-
10 logramo. Y lo distinguen, por ejemplo, del rombo, otra clase de paralelogramo cuya propiedad característica es que los cuatro lados son de igual longitud.
Saber clasi?car los paralelogramos es saber precisar las características que son comunes a todos ellos (cuadriláteros o po- lígonos de cuatro lados, que poseen dos pares de lados paralelos) y, simultánea- mente, las que son peculiares de cada tipo de paralelogramo. Por eso, por ejemplo, se descubre que el cuadrado es, simultá- neamente, un rectángulo (sus lados forman cuatro ángulos rectos) y un rombo (los cua- tro lados son de igual longitud). Y que, por consiguiente, el cuadrado puede de?nirse como “un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales”, o como “un rombo que tie- ne sus ángulos rectos”.
• Nivel 4 (Deducción formal): Llegados a este nivel, las personas están en capaci- dad de desarrollar demostraciones, es de- cir, de formar una secuencia deductiva de argumentaciones para ir obteniendo nue- vos resultados a partir de los anteriores.
En el texto del Cuaderno construiremos algunas demostraciones sencillas.
¿Por qué presentamos esta secuencia de niveles [por razones prácticas hemos omi- tido el quinto nivel 5 (rigor)] de desarrollo del razonamiento geométrico? Porque, en primer lugar, debemos estar conscientes de que la actividad geométrica no se reduce al primer nivel (reconocer ?guras), o a los dos primeros (reconocer ?guras y los elementos que las componen), sino que tenemos que
E E “comprender” las ?guras (entender sus propiedades y cómo las ?guras se determinan y de?nen a partir de éstas, como se indica en el nivel 3) y, además, ser capaces de razonar a partir de estas de?niciones y propiedades, con el ?n de llegar a nuevos conocimientos geométricos (saber construir algunas deducciones, como se apunta en el nivel 4), así como a saber aplicarlos y resolver problemas. Es decir, de alguna manera, la presencia de estos niveles marca el camino y la meta de lo que podemos y debemos ir alcanzando en nuestro aprendizaje geométrico, no sólo en este curso, sino en nuestra formación permanente como docentes. Y, por esta misma razón, nos pueden ayudar a evaluar el progreso de nuestro aprendizaje en el campo de la geometría.
5.Nuestrapropuestaparaelaprendizajede lageometría n éste y en los cuatro Cuadernos que siguen, vamos a transitar por el campo de la geometría. Hablaremos primero de los conceptos y construcciones elementales (Cuaderno No 12); y luego, de los polígonos (No 13 y No 14), de la circunferencia y el círculo (No 15), y de los cuerpos geométricos (No 16). Nuestro proceso de presentación y trabajo va a intentar seguir un recorrido de avance en los niveles propuestos por van Hiele, niveles que acaban de describirse. Habrá, pues, actividades de reconocimiento de los objetos geométricos y de sus componentes, activi- dades que surgirán a partir de la construcción de tales objetos. También, actividades de de?nición de los objetos a partir de las propiedades de sus elementos y de las relaciones entre ellos. Finalmente y en lo posible, plantearemos actividades de deducción de nuevos conocimientos geométricos a partir de los ya aprendidos.
6. Conceptos geométricos elementales: Espacio,plano,líneaypunto n nuestro derredor encontramos objetos naturales o elaborados por personas; por ejemplo, una roca, una pelota de fútbol, una casa. Si pudiéramos meterlos ajustada- mente en sendas cajas, de manera que cada objeto citado tocara por dentro todas las caras de la caja en que está metida, sin deformarlas, nos daríamos cuenta de que podríamos obtener, de tales objetos, tres medidas de longitud diferentes: su largura, su anchura (pro- fundidad) y su altura. Es decir, los objetos que ocupan un lugar en el espacio físico tienen tres dimensiones. También tiene tres dimensiones el espacio geométrico, representado por el espacio físico. Ahora bien, si observamos, por ejemplo, una de esas cajas, percibimos que su con- torno super?cial exterior está formado por zonas o caras que cali?camos como planas. La misma impresión recibimos cuando ob- servamos la parte superior de una mesa, o un piso bien pulido: si están en perfecta posición horizontal, cualquier objeto que se desplace sobre una de esas zonas, en cualquier dirección, no experimenta altiba- jos en su recorrido, siempre se mantiene a la misma altura.
La idea presente en estos ejemplos es la de plano que, como concepto geométri- co, se considera sin espesor e ilimitado en todas sus direcciones. Si tenemos algunas ?guras cerradas representadas en un plano y pudiéramos meterlas ajustadamente en sendos rectángulos, de manera que cada ?gura tocara por dentro los cuatro lados del rectángulo en que está metida, sin sobresa- lir, nos daríamos cuenta de que sólo podría- mos obtener, de tales ?guras, dos medidas de longitud diferentes: su largura y su an- chura (o altura). Es decir, todo plano tiene dos dimensiones, al igual que las ?guras cerradas que podamos representar en él.
Evidentemente, no hay “cosas” en nues- tro entorno real que sean planos en el senti- do geométrico estricto, pues todas las cosas reales tienen tres dimensiones. Pero sí po- demos encontrar imágenes o representacio- nes de un plano: la parte superior de una mesa, un piso o una pared bien pulidos, una hoja de papel bien tensa, la super?cie de una laguna en la que no se observa nin- gún movimiento, etc.
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Por otro lado, sobre los objetos y par- ticularmente sobre los planos, podemos trazar líneas valiéndonos de punzones, lápices, tizas, etc. Algunas de estas líneas pueden ser “derechitas”, rectas; otras pue- den ser “torcidas”, curvadas; otras pueden presentar trazos rectos combinados con algunos curvados, etc. La idea presente en estos ejemplos es la de línea que, como concepto geométrico, se considera sin es- pesor. Si consideramos diversas líneas y las “enderezamos”, nos daríamos cuenta de que sólo podríamos obtener una medida de ellas: su largura o longitud. Es decir, toda líneatieneunadimensión.
También aquí es evidente que no hay “cosas” en nuestro entorno real que sean lí- neas en el sentido geométrico estricto, pues todas las cosas reales tienen, como se ha dicho, tres dimensiones. Pero sí podemos encontrar imágenes, representaciones de lí- neas: los bordes de los objetos (por ejemplo, si volvemos a las cajas mencionadas ante- riormente, descubrimos que poseen aristas, que son las partes en que se “topan” dos caras contiguas, es decir, las líneas en que terminan y coinciden ambas caras), o los bordes de las ?guras dibujadas en un plano, o un trozo extendido de hilo de coser…
Antes de abordar los diferentes tipos de líneas, debemos mencionar otro obje- to geométrico básico. Es el que se obtiene como corte o intersección de dos líneas: el punto. Como objeto geométrico, el punto no tiene dimensión alguna. Toda línea se considera formada por puntos y, por esa razón, la línea no tiene “espesor”. Como imágenes o representaciones de un punto
12 podemos referirnos a la huella que sobre un papel puede dejarse con el toque de la pun- ta de un lápiz, o a la perforación que puede hacerse con la punta de una aguja, o a los vértices de una caja…
En resumen, podemos establecer el siguiente cuadro que relaciona los ám- bitos en los que pueden encontrarse los objetos geométricos, con el número de dimensiones correspondientes:
Volvamos ahora a los diferentes tipos de línea que se pueden trazar sobre un pla- no. En primer lugar, la línea recta. Como objeto geométrico, la línea recta es la que mantiene la misma dirección en todos sus puntos y se considera ilimitada por ambos extremos. La línea recta puede recorrerse en dos sentidos opuestos (no es correcto hablar de dos direcciones opuestas…). Se considera que una recta está formada por in?nitos puntos.
También podemos hablar de la semi- rrecta, porción de recta que tiene como origen un punto y se extiende ilimitada- mente en un sentido. Como puede verse, todo punto sobre una recta determina dos semirrectas en ella. Finalmente, si ?jamos dos puntos sobre una recta, tendremos un segmento, porción de recta que une los dos puntos. Con segmentos situados en rectas diferentes, y concatenados por sus extre- mos, se construyen líneas quebradas o po- ligonales. Cuando estas líneas quebradas se “cierran” sin haberse cruzado entre ellas, se forman polígonos.
También podemos hablar de líneas curvas (y de segmentos curvos), que son aquellas que van variando su dirección en cada punto. Entre algunas de las más cono- cidas podemos mencionar la circunferen- cia (el borde de una ?gura plana redonda) o la catenaria, que es la línea formada por una cadena (eliminando su espesor) cuan- do cuelga libremente de sus dos extremos. Como se ve, también las líneas curvas pue- den ser “cerradas” o pueden dejar libres sus extremos. Finalmente, hablamos de líneas mixtas para referirnos a las que “mezclan” unas partes rectas con otras curvas.
Antes de seguir adelante tengamos presenteque:
• Dos puntos bastan para determinar una recta
• Tres puntos no alineados bastan para determinar un plano
• Un plano queda perfectamente determinado mediante dos rectas que se cortan en un punto
Todos estos objetos geométricos bá- sicos tienen su representación:
1. Indique, señalando sus puntos extremos, cuántos segmentos aparecen dibujados en la siguiente ?gura: A B C
F G H I He aquí algunas preguntas que ya podemos responder. Trate de visualizar cada situación antes de dar una respuesta. a) ¿Cuántos puntos tiene una recta? ¿Y una semirrecta? b) ¿Cuántos puntos tiene un segmento? ¿Depende de su tamaño? c) ¿Cuántas rectas pueden pasar por un punto de un plano? d) ¿Qué pasa si dos rectas tienen tres puntos en común? e) ¿Cuántas rectas diferentes se pueden determinar con tres puntos no alineados de un plano, es decir, si no hay ninguna recta que contiene a los tres puntos? f) ¿Y si se trata de cuatro puntos con las mismas condiciones, es decir, que no hay ninguna terna de puntos contenidos en una misma recta? g) ¿Y si ahora se trata de cinco puntos con las mismas condiciones? h) ¿En cuántos semiespacios divide un plano al espacio? i) ¿En cuántos semiplanos divide una recta al plano que la contiene? j) Si marcamos dos puntos en una recta, ¿cuántas semirrectas diferentes quedan determinadas? ¿Y si marcamos tres puntos diferentes? k) ¿Cuántas rectas contiene un pla- no? l) ¿Cuántos puntos contiene un pla- no? m) ¿Cuántos planos contiene el es- pacio? n)Si estamos en el espacio, ¿cuántos planos pueden contener a una misma recta? ñ) Y si tres rectas pasan por un mismo punto, ¿se determina un solo plano que contiene al punto y a las tres rectas? o) Si marcamos dos puntos en una recta, ¿cuántos segmentos diferentes quedan determinados? ¿Y si marcamos tres puntosdiferentes? ¿Ysi son cuatro? Veamos las respuestas: a) In?nitos puntos en ambos casos b) Tiene in?nitos puntos, cualquiera que sea su tamaño c) In?nitas rectas. Conforman los que se llama un “haz de rectas” d) Que en realidad no se trata de dos rectas, sino de una sola recta; ambas co- inciden no sólo en esos tres puntos, sino en todos sus puntos e) Tres rectas f) Seis rectas g) Diez rectas h) En dos semiespacios
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I i) En dos semiplanos j)Cuatro: de cada punto salen dos, una en cada sentido. Seis, por la misma razón k)In?nitas rectas l) In?nitos puntos m)In?nitos planos n)In?nitos planos. Puede ayudarnos la imagen de un libro suspendido en el aire al agarrarlo por una de sus hojas: el libro se abre y todas las hojas (imagen de los planos) coinciden en el canto del libro (imagen de la recta común). Se habla entonces de un “haz de planos”. ñ) En general, no. Pensemos en una habitación, en el punto en que se unen el piso y dos paredes contiguas. Las tres “rectas” que se forman entre esos tres planos (hay que imaginarlas ilimitadas…) pasan por el mismo punto y, sin embargo, se necesita más de un plano para contener el punto y las tres rectas. o)Un solo segmento. Tres segmentos. Seis segmentos.
7. Construirymedirobjetosgeométricos: herramientas
ndudablemente, podemos imaginar- nos los objetos geométricos. Pero tam- bién podemos “construirlos” o representar- los con el ?n, por ejemplo, de estudiarlos mejor. En particular, podemos representar en un plano los objetos y ?guras de hasta dos dimensiones (y de alguna manera los de tres dimensiones, dibujándolos como si fueran “transparentes”…). Y una vez dibuja- dos, también podemos medir sus elementos o componentes: longitud (de segmentos), amplitud (de ángulos), super?cie (de ?guras planas cerradas).
Parafacilitarnosestatareaderepresentar y medir contamos con ciertas herramientas que hemos de aprender a manejar adecua- damente. He aquí las fundamentales:
14 Fig. 1: Herramientas geométricas
8. Actividades referidas asegmentos
8.1. Construir el segmento que une dos puntos dados Se coloca la regla de forma que su borde “toque” simultáneamente a los dos puntos y se traza la porción de línea recta correspondiente.
8.2.Medir la distancia existente entre dos puntos P y Q, o la longitud del seg- mento PQ: Se coloca la regla de forma que su borde toque simultáneamente a los dos puntos, o que coincida con el segmento ya dado. Se coloca el 0 de la regla en uno de los puntos o en uno de los extremos del segmento, y se lee (con la mayor precisión posible) el número correspondiente al otro punto o al otro extremo del segmento. Si
15 no se parte del 0 de la regla, hay que restar del número leído al ?nal, el número inicial. Observe que la distancia entre los puntos P y Q es la misma que entre los puntos Q y P; y que la longitud del segmento PQ es la misma que la del segmento QP.
8.3. Construir un segmento de longi- tud dada, a partir de un punto P sobre una recta dada y en el sentido que se indique Determinar sobre los números de la re- gla (preferiblemente desde el 0), la longitud dada. Si es posible, abarcarla con el com- pás. Colocar sobre el punto P el extremo puntiagudo del compás y, con el otro ex- tremo orientado hacia el sentido deseado, marcar el punto Q sobre la recta: PQ es el segmento solicitado. Si la longitud dada no se abarca con el compás, se procede con la misma regla.
La actividad anterior también se puede entender como trasladar un segmento, es Fig. 2: Construir un segmento de longitud dada de ser la misma en que se halla el segmento original), a partir de un punto y en el senti- do que se indique.
8.4.Veri?car la relación existente en- tre las longitudes de dos segmentos Dado uno de los dos segmentos, se tras- lada el otro sobre la recta en que se halla el primero, de modo que se superpongan y coincidan sendos extremos. La observación de los extremos libres determina si los seg- mentos son iguales o cuál de ellos es mayor o menor. La anterior es una forma de realizar la actividad sin recurrir a las medidas de los segmentos. Lógicamente, también se pue- den medir ambas longitudes y comparar las cantidades correspondientes. De esta manera se puede tener una cuanti?cación de la comparación de la longitud de ambos segmentos. partir de un punto dado P nuevos puntos el número de veces que se análoga con la misma regla. suma de otros dados mina un punto P. Se traslada, a partir de P, el primero de los segmentos dados. A partir del punto extremo Q del primer segmen- to, se traslada el segundo segmento. Y así, progresivamente, hasta trasladar todos los segmentos. El segmento que va desde P hasta el extremo libre del último segmen- to trasladado es el segmento suma de los segmentos dados. Observe que el orden en que se trasladan los segmentos no afecta al resultado ?nal. r s t P Q H L Fig. 3: Segmento suma de otros dados 8.7. Construir un segmento que sea la diferencia de dos segmentos dados Con ayuda del compás se traslada uno 8.5. Dibujar puntos equidistantes (a de los segmentos sobre el otro, de modo una distancia dada) sobre un segmento, a que se superpongan y coincidan sendos extremos. Con el compás se abarca el seg- Marcada la distancia sobre la regla, mento constituido ahora por los dos extre- abarcarla con el compás. Ubicarse en el mos no coincidentes de ambos segmentos. punto P y, en el sentido deseado, marcar Este nuevo segmento puede trasladarse al el punto siguiente Q. Luego, sobre Q, repe- lugar que se desee. (ver ?gura 4) tir la acción. Y así progresivamente con los 8.8. Veri?car si un segmento es la requiera. Si no se puede abarcar la longitud suma (o la diferencia) de otros segmentos dada con el compás, se procede de manera dados Para determinar si un segmento AB es la suma de varios segmentos dados, primero 8.6.Construir un segmento que sea la se construye el segmento suma CD de estos últimos (actividad 8.6.) y luego se veri?ca la Se traza una recta y sobre ella se deter- relación existente entre los segmentos AB y CD (actividad 8.4.). t r s decir, colocarlo sobre una recta dada (pue-
H Análogamente, para determinar si un segmento AB es la diferencia de dos seg- mentos dados, primero se construye el seg- mento diferencia CD (actividad 8.7.) y luego se veri?ca la relación existente entre los seg- mentos AB y CD (actividad 8.4.). También puede construirse el segmento suma de AB y el menor de los dos segmentos dados y veri?car si el nuevo segmento es igual al mayor de los dos dados. Fig.4:Segmentodiferenciadedossegmentos dados
9. Actividades referidas a ángulos
e aquí un par de situaciones muy frecuentes en nuestra vida diaria: una puerta que se abre y un reloj de agujas funcionando. Vamos a destacar en ambas una ?gura matemáticamuy interesante.
En la primera de ellas vemos que la puerta se va separando de la pared en que se en- cuentra, de una manera particular. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en el plano de la hoja de la puerta que se separa del plano de la pared, mientras ambos planos comparten el eje donde se hallan las bisagras. La ?gura idealizada que aparece es la de dos porciones de planos que comparten o se cortan en un segmento; o en términos más genera- les, dos planos que comparten o se cortan en una recta. El objeto matemático formado por todos esos elementos se denomina ángulo sólido (a pesar de que más bien se presenta como “vacío”, como “hueco”…) o ángulo en el espacio.
Si ahora observamos las dos agujas de un reloj, vemos que también ellas se acercan o alejan una de la otra. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en el segmento de una de las agujas que se mueve con respecto al segmento de la otra aguja, mientras ambos comparten su extremo en el centro del reloj. La ?gura idealizada que aparece es la de dos segmentos que comparten uno de sus extremos; o en términos más generales, dos semirrec- tas que parten del mismo punto. El objeto matemático formado por todos esos elementos se denomina ángulo plano. Otra situación en la que aparece un ángulo plano es la que forman, sobre el plano del piso, la línea inferior de la puerta que se abre y la de la pared en que se halla la puerta. O cuando abrimos las dos patas de un compás, en el plano formado por ellas.
16 Vamos a detenernos ahora en el estudio de los ángulos planos (de los ángulos sóli- dos hablaremos en el Cuaderno n° 16).
Hay varias formas de considerar un án- gulo (Vasco, 1999). Desde una perspectiva dinámica, podemos entenderlo como un giro que hace una semirrecta que mantie- ne ?jo su punto de origen. Como este mo- vimiento puede ser más o menos amplio, hablamos de amplitud del giro. Incluso, esta amplitud puede ser mayor que una vuelta completa.
En este caso interesa saber en qué “sen- tido” se mueve la semirrecta; es decir, la orientación del giro. Si tomamos como referencia un reloj, suele decirse que un giro en el sentido de las agujas de un re- loj se considera como negativo, mientras que un giro en el sentido contrario al de las agujas de un reloj se considera como po- sitivo. ¿La razón de esta asignación? Pues sencillamente, que se supone la semirrecta “durmiendo” en una recta horizontal y ex- tendiéndose hacia la derecha de su punto de origen (como la aguja horaria de un reloj a las 3 en punto); así, su movimiento natu- ral cuando se despierta y se “levanta” sin mover su punto de origen, es hacia arriba, justo en sentido contrario al de las agujas de un reloj…
Todavía desde una perspectiva dinámi- ca, puede considerarse un ángulo como un movimiento de barrido que hace una se- mirrecta que mantiene ?jo su punto ori- gen. Es una idea muy similar a la de giro, sólo que ahora la semirrecta, al moverse, va marcando su huella en el plano. Las ideas
de amplitud y de orientación del barrido se mantienen.
Desde una pers- pectiva estática, un ángulo puede ser considerado como la región del plano limi- tadapor dos se- mirrectas con un origen común. Es decir, como si fuera el resultado del barrido del que se hablaba antes. También desde la misma perspectiva, un ángulo puede ser considerado como la unión de dos semi- rrectas con un origen común. En ambos casos se mantiene el concepto de amplitud angular, pero no suele tomarse en cuenta la orientación del giro, a no ser que se diga explícitamente cuál de las dos semirrectas se considera como “primera” con respecto a la otra.
Al hablar de ángulos, conviene advertir que todo lo que se ha dicho en términos de semirrectas puede extenderse también a segmentos. Para incluir ambos casos posi- bles, se habla de los lados de un ángulo. Por su parte, el punto de origen de la se- mirrecta que gira, o el punto común de las dos semirrectas que se unen, se denomina vértice del ángulo.
Nótese, además, que cuando se trazan dos semirrectas con un origen común, se determinan dos regiones en el plano. La que corresponde al giro dado, se denomina regióninternadelángulo,yavecessemar- ca con un pequeño arco de lado a lado: ). La otra región se denomina externa.
Los ángulos se representan con tres le- tras seguidas, precedidas de un pequeño símbolo “
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