Metrología avanzada: Acumulación de tolerancias y análisis de ensamble (página 2)

A continuación se explicara con mayor profundidad los puntos antes mencionados para una mejor comprensión de análisis de ensambles.

Son tres las fuentes principales que deben ser tomadas en cuenta en la variación de las posiciones en los ensamblajes [Chase, 1999]:

1º.- Las variaciones debidas a las tolerancias dimensionales (longitudinales y angulares).

2º.- Las variaciones debidas a las tolerancias geométricas (posición, redondez, planicidad…).

3º.-Las variaciones cinemáticas (pequeños desplazamientos en los acoplamientos de las piezas).

En el siguiente ejemplo (figura 1), vemos cómo las variaciones de la forma y dimensiones del cilindro y la ranura, son consecuencias de la rugosidad y posición de las superficies, y por lo tanto del proceso de fabricación. La variación cinemática es consecuencia de ajustarse a las variaciones dimensionales y geométricas en la unión o acoplamiento de las piezas.

La distancia U1 en el acoplamiento del cilindro con la ranura es función de las dimensiones de A, R y q. La pregunta clave es ¿Cuál es la tolerancia de Y?, sabiendo que depende de las tolerancias y distribuciones estadísticas de A, R y q. En este ejemplo concreto, el problema se puede resolver analíticamente y por medio de una hoja de cálculo, pero no en los casos generales de mecanismos en 3D. En este último caso, nos tenemos que apoyar en la geometría de los modelos en 3D del CAD o en la esquelitización de sus modelos. La descripción del problema general de análisis de tolerancias de los conjuntos y mecanismos aun es más compleja ya que además de estudiar las tolerancias dimensionales y el aspecto superficial, del ejemplo anterior, influyen el orden de montaje y las tolerancias geométricas. Para ilustrar el análisis de tolerancias en general, tomaremos el siguiente ejemplo. Suponemos un conjunto formado únicamente por dos piezas. Podemos hacerlo de dos formas: poniendo en contacto primero las caras horizontales y luego las verticales, o al revés. Si ambas piezas fuesen perfectas (fig. 2), el resultado sería el mismo.

Pero las piezas no son ideales y tienen errores de forma en sus superficies y errores dimensionales y geométricos (fig. 3).

.

Si realizamos el estudio teniendo en cuenta las tolerancias teóricas. Podemos comprobar como influye el orden de montaje. Si ponemos en contacto primero las caras verticales y luego las horizontales, obtenemos el resultado de la derecha (fig. 4); si ponemos primero las horizontales y luego las verticales, obtenemos el resultado de la izquierda.

Si además estudiamos la influencia real de las superficies, los puntos de apoyo de la superficie horizontal pueden ser distintos, en función de su aspecto superficial, obteniendo distintas posiciones de las piezas (fig. 5).

De los ejemplos anteriores deducimos que en el análisis de tolerancias influyen tanto las tolerancias individuales de cada pieza, como la secuencia y métodos de montaje de cada pieza en el conjunto. Para resolver el problema debemos actuar sobre aquellas tolerancias que realmente influyen en las mediciones finales, y sobre los procesos de montaje.

ESTIMACIÓN DE LA ACUMULACIÓN DE TOLERANCIAS EN LOS ENSAMBLAJES:

Los conceptos teóricos aplicados a las cadenas de cotas unidimensionales y

bidimensionales son aplicables también a los ensamblajes tridimensionales,

convirtiéndose el planteamiento del problema en un cálculo matricial de vectores de cota, en el espacio.

La estimación de las tolerancias acumuladas dU o dV pueden ser calculada por suma de los productos de la tolerancia sensitiva y la variación de los componentes del método DLM (Direct Linearization Method).

es la variación característica que sufre la dimensión Ui ó Vi del ensamblaje al variar la dimensión del componente Xj un valor dXj. La estimación de la tolerancia se puede realizar de tres modos:

1.- Por el método del peor de los casos.

Suponiendo que la tolerancia del ensamblaje es igual a la suma de las tolerancias que intervienen en lo condición de ensamblaje

Por lo tanto, dUi ó dVi =

2. Por medio de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

La ley de propagación de la varianza nos dice que si y = f(x), donde Ui es cada una de la desviaciones típicas de los componentes y Uy es la desviación típica del ensamblaje.

En esta hipótesis se desprecia la influencia de la covarianza, para lo cual se debe cumplir que las variables xi sean independientes.

Aplicando esta teoría a nuestro caso podemos escribir:

dUi ó dVi =

dXj es la variación del componente Xj, que en la mayoría de los casos es desconocida, por lo que suponemos que es simétrica e igual a ±3s (desviación típica), que corresponde al valor de la tolerancia.

3. De forma aleatoria, por simulación del método de Monte Carlo.

El método Monte Carlo estima la variación dimensional en un ensamblaje, debido a las variaciones dimensionales y geométricas de los distintos componentes del ensamblaje. Conocida o estimada la distribución de las variables de entrada, podemos estimar la variable de salida (en el ensamblaje), de forma estadística y la distribución que sigue, siempre y cuando se conozca la función de ensamblaje.

En la figura 6, se muestra conceptualmente este método:

La simulación consiste en seleccionar valores aleatorios para las dimensiones de entrada independientes, de sus respectivas distribuciones probabilísticas, y calcular las dimensiones resultantes de la función ensamblaje. El proceso se realiza de forma iterativa si la función es implícita.

Si la función vectorial de ensamblaje es explícita además de utilizar el método de Monte Carlo, se puede utilizar el método de DLM (Direct Linearization Method), que utiliza las matrices algebraicas y restricciones cinemáticas, para estimar la variación de las variables cinemáticas o de ensamblaje y predecir el número de piezas rechazadas.

Si se utiliza el método Monte Carlo, estimamos la media, la desviación, pudiendo compararse las características del ensamblaje a las de una muestra.

Los ensamblajes rechazados por estar fuera de los límites, pueden ser contados durante la simulación, o sus percentiles en las salidas del método de Monte Carlo, pudiendo estimar los rechazos. La distribución más utilizada es la normal o de Gauss, cuando no se conoce su distribución.

El número requerido para el muestreo es función de la exactitud en la variable de salida.

[Gao, 1995] Realizó un estudio de siete mecanismos en 2D, uno en 3D, incluyendo en dos de ellos control de tolerancias geométricas, además de las dimensionales.

Comparó el método Monte Carlo con el método DLM, obteniendo los siguientes resultados:

– El método DLM es preciso estimando la variación del ensamblaje. Es también preciso en predecir los rechazos de ensamblajes, en la mayoría de los casos, excepto cuando el número de restricciones cinemáticas no lineales es alto.

– El tamaño de la muestra tiene gran influencia en predecir los ensamblajes rechazados en el método Monte Carlo, pero el efecto es pequeño en la simulación de las variaciones del ensamblaje, para tamaño de muestreo mayor de 1.000 simulaciones.

– Las restricciones no lineales en los ensamblajes, pueden causar un cambio significativo en el resultado de las dimensiones cinemáticas del ensamblaje y en la simetría de la distribución.

– Para muestreo superior a 30.000, es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir la variación del ensamblaje.

– Para muestreo superior a 10.000 es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir los ensamblajes rechazados. Por debajo de este muestreo la predicción de rechazos da peor resultado

– Para muestreo de 100.000 o superior los resultados son razonablemente precisos.

Posteriormente [Cvetko, 1998] comprueba la influencia del tamaño de la muestra en la simulación por el método Monte Carlo, comparando el error cometido en un ensamblaje entre muestras de 1.000 y 10.000 ensamblajes, con intervalo de confianza de ± 68%. Comprobando que:

– Las medias y las variaciones son suficientemente próximas.

– Los momentos de tercer y cuarto orden (simetría), pueden no ser próximos.

(John Thomas Dygdon, 2006)

UTILIZACIÓN DEL CAD PARA CALCULAR LA TOLERANCIA DE ENSAMBLAJE:

El cálculo de las tolerancias de ensamblaje se realiza esqueletizando los modelos de CAD 3D con herramientas de CAT (Computer Aided Tolerancing), integrados en paquetes de CAD. El coste del conjunto de estos softwares es muy elevado actualmente para la mayoría de las medianas y pequeñas empresas, pero con los conceptos teóricos del método DLM y un paquete de CAD standard que tenga geometría variacional asociativa, podemos resolver un gran número problemas.

Por ejemplo:

Dado el conjunto denominado regla-horizontal (fig. 7), formado por dos cilindros y dos placas con ranuras en V, se pretende estimar, ¿cual es la tolerancia del ángulo a del ensamblaje?

Supuestas las tolerancias de cada pieza del ensamblaje, que se adjuntan en la figura 8.

Si queremos definir el procedimiento automatizado para determinar las tolerancias del ensamblaje, debemos seguir los siguientes pasos:

1º.- Estudio funcional del ensamblaje.

Donde se definen los sistemas de referencias DRF de cada pieza y se detectan e indican las juntas cinemáticas (fig. 9).

2º.- Creación del diagrama del ensamblaje (fig. 10).

Donde cada pieza se representa por un círculo y las juntas cinemáticas entre las distintas piezas se representas por arcos, que unen los distintos círculos. Estas juntas se representan por su símbolo.

3º.- Cálculo del número de bucles o lazos necesarios para determinar la matriz sensitiva.

L = J – P + 1 Donde L es el número de lazos, J el número de juntas y P el número de piezas del ensamblaje. Por lo tanto. L = 7 – 4 + 1 =4

Se necesita 4 lazos para determinar la matriz sensitiva. Algunos de los posibles lazos se representan en la figura 11.

La estimación del ángulo a se determina en el lazo 4. Su cálculo se puede hacer definiendo la matriz sensitiva [S] o de forma gráfica por medio del CAD. En este ejemplo se estima a utilizando el CAD y es función de los vectores adjuntos.

a=f(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N)

Teniendo presente la expresión de la matriz sensitiva y la estimación de la tolerancia por el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.

El ángulo a es función de la variación que experimentan las distintas cotas que interviene en el lazo 4 del ensamblaje, es decir, depende de las cotas con tolerancias de

T1=60±0,05, T2=90º±0,1º, T3=10±0,05, T4=45º±0,05º, T5=20±0,01 y T6=0,1º.

Debido a la forma del ensamblaje, a que existen dos bolas y a la simetría entre las piezas 1 y 2, los incrementos de a producidos por T1 se repiten 2 veces, los de T2 3 veces, los de T3 4 veces, los de T4 1 vez, los de T5 2 veces y los de T6 4 veces.

Para estimar la tolerancia de a, empleamos el CAD, donde previamente se han introducido las distintas relaciones de tangencia, posición, orientación, dimensión lineal y angular. Posteriormente, se da un incremento a las distintas cotas T1, T2, T3, T4, T5 y T6, de forma independiente, obteniendo los gráficos de la figura 12. Al variar dT1=0,05 mm, obtenemos en el CAD da=0,048º.

Si dT2=0,1º Þ da=0,012º.

Si dT3=0,05 mm Þ da=0,048º.

Si dT4=0,05º Þ da=0,012º.

Si dT5=0,01 mm Þ da=0,014º.

Si dT6=0,05º Þ da=0,012º

La tolerancia del ángulo a es ± 0,12º, utilizando el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.

(Escuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica. 5-7 junio de 2002)

INTEGRACIÓN DE CAT EN EL CAD:

Actualmente, se están desarrollando una serie de proyectos a nivel mundial, que pretenden integrar la información de los requisitos funcionales de los productos, las condiciones de fabricación y de metrología, dentro de los paquetes de diseño, para determinar las dimensiones y tolerancias funcionales de los productos.

El método DLM que determina la matriz sensitiva, esta basado en la obtención y solución del sistema de ecuaciones lineales de ensamblaje de forma algebraica. Éste método proporciona un preciso y rápido análisis de las tolerancias de forma compatible e integrada con las herramientas de diseño CAD.

La definición del vector bucle o lazo (cadena de cotas en 3D) también puede ser usada en el análisis de las tolerancias por medio de modeladores de CAT gráficos, para después simular los ensamblajes de forma reiterativa y aleatoria por el método Monte Carlo. Esto genera un histograma de las condiciones funcionales del ensamblaje, que permite realizar un análisis de sus dimensiones dentro del módulo de análisis de CAT.

En la figura 13 se muestra la estructura de como se puede integrar los sistemas de CAT dentro de los sistemas de CAD comerciales. Los modeladores de CAT crean modelos gráficos y simbólicos de los ensamblajes, que se enlazan de forma asociada a los modelos de CAD, es decir se diseña la esqueletización del ensamblaje enlazado al CAD. El modelo es creado completamente dentro del interfase gráfico del sistema de CAD y no utiliza ecuaciones para determinar las condiciones en las uniones de las piezas, ni otras relaciones en los ensamblajes.

El analizador de CAT accede al modelo de las tolerancias del ensamblaje que se creó y almacenó en es sistema de CAD. El analizador dispone de algoritmos estadísticos incorporados, para poder predecir la variación de las dimensiones críticas del ensamblaje debidas a las variaciones introducidas en el proceso.

La síntesis de las tolerancias estimadas y la obtención gráfica de la aportación de cada tolerancia individual a la tolerancia del ensamblaje, permite redefinir de forma instantánea e integrada la tolerancia individual y comprobar cual es la variación que produce en el ensamblaje.

Con la integración del CAT en el CAD el diseñador tiene un control completo sobre el proceso de definición y análisis de las tolerancias. Los gráficos obtenidos del análisis de las tolerancias, dan al ingeniero una visión de las distribuciones estadísticas, de la contribución percentil de cada tolerancia y de la estimación de los ensamblajes fuera de tolerancias por millón.

(Escuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica.

5-7DE JUNIO DEL 2002)

CONCLUSIÓN:

El procedimiento de definición de las condiciones funcionales en las distintas piezas y ensamblajes es un proceso iterativo. Donde en primer lugar, se suponen unas tolerancias dimensionales y geométricas individuales que cumplan con las condiciones de diseño, fabricación e inspección.

Posteriormente, se integran los modelos geométricos de las piezas, sus tolerancias y las relaciones entre las uniones de las distintas piezas, dentro de un sistema de CAD comercial. Y por último, por medio de módulos de modeladores y analizadores de CAT totalmente integrados en el CAD, se obtienen de forma estadísticas las tolerancias de las condiciones funcionales del ensamblaje, la contribución de cada tolerancia individual y el número de en samblajes por millón rechazados.

La integración del CAT en el CAD, aporta una herramienta que permite ahorrar costes de forma rápida, simulando de forma aleatoria, automática e instantánea los distintos ensamblajes. Pudiendo modificar cualquiera de las cotas o tolerancias del ensamblaje dentro de las condiciones de diseño, fabricación e inspección permitidas, y comprobar de forma instantánea su contribución a la variación en las condiciones funcionales del ensamblaje.

Podemos concluir que en el análisis de ensamble son muchos los factores que hay que tener en cuenta así como un proceso el cual hay que seguir cuidadosamente.

Las tolerancias geométricas, las tolerancias dimensiónales, y las variaciones cinemáticas son elementos los cuales hay que tomar en cuenta para obtener un ensamble adecuado y de calidad.

Pudimos ver que por medio de programas de computadora podemos reducir el índice de error en nuestro ensamble, así como también reducir nuestra incertidumbre en el análisis.

(Escuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica.5-7 junio de 2002)

BIBLIOGRAFÍA:

Dibujo y comunicación gráfica

Escrito por John Thomas Dygdon, Jesús Elmer Murrieta Murrieta, Henry Cecil Spencer, Frederick E. Giesecke, Alva Mitchell, John Thomas Dygdon Henry Cecil Spencer Alva Mitchell Ivan Leroy Hill James E. Novak Frederick E Glesecke Shawna Lockhart, Ivan Leroy Hill, James E. Novak

Edition: 3

Publicado por Pearson Educación, 2006

ISBN 9702608112, 9789702608110

http://books.google.com.mx/books?id=qLh9gGOUI5IC&pg=PA366&lpg=PA366&dq=tolerancias+acumulativas&source=bl&ots=o1xW5obIYN&sig=rCTT993RgJ9FH_aF8eKFXgCm6xY&hl=es&ei=oJH_Sa_KLaHqswPdvKn1BQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA366,M1

Universidad de Burgos, España

Escuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica.

5-7 junio de 2002

ANALISIS DE LAS TOLERANCIAS DE

ENSAMBLAJE ASISTIDAS POR ORDENADOR EN

EL DISEÑO (CAT).

Correo electrónico:bramos[arroba]ubu.es http://departamentos.unican.es/digteg/ingegraf/cd/ponencias/12.pdf

Land, T. [a.k.a. Beads] (1998, 15 Octubre). Web extension to American Psychological Association Style (WEAPAS) (Rev. 1.6) [Documento WWW]. URL http://www.beadsland.com/weapas

Autor:

Pedro Soto Hernández

Catedrático: Ing. Pedro Zambrano Bojorquez

Instituto Tecnológico de Chihuahua